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限时练(二)
(限时：45分钟)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i(2＋3i)＝(　　)
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
答案　D
2．设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0解析　因为B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，因为A＝{x|0答案　B
3．若＜＜0，则下列四个不等式恒成立的是(　　)
A．|a|＞|b| B．a＜b
C．a3＜b3 D．a＋b＜ab
解析　由＜＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，b3＜a3，即A，B，C项均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab，即D项正确．
答案　D
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝5bsin C，且cos A＝5cos Bcos C，则tan A的值为(　　)
A．5 B．6 C．－4 D．－6
解析　由正弦定理得sin A＝5sin Bsin C　①，又cos A＝5cos Bcos C　②，②－①得，cos A－sin A＝5(cos Bcos C－sin Bsin C)＝5cos(B＋C)＝－5cos A，∴sin A＝6cos A，∴tan A＝6.
答案　B
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b
B.a－b
C．a＋b
D．a－b

答案　A
6．已知Sn表示数列{an}的前n项和，若对任意n∈N*满足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则S2 019＝(　　)
A．1 008×2 019 B．1 008×2 020
C．1 009×2 019 D．1 009×2 020
解析　在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，则a2＝a1＋a2，∴a1＝0，令n＝2，则a3＝2a2＝2，∴a2＝1，于是an＋1－an＝1，∴数列{an}是首项为0，公差为1的等差数列，∴S2 019＝＝1 009×2 019.
答案　C
7．若f(x)＝sin(2x＋θ)，则“f(x)的图象关于x＝对称”是“θ＝－”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析　若f(x)的图象关于x＝对称，则＋θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝－＋kπ，k∈Z，此时θ的值不一定为－；若θ＝－时，f(x)＝sin，2x－＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，当k＝0时，f(x)的图象关于x＝对称．即“f(x)的图象关于x＝对称”是“θ＝－”的必要不充分条件．
答案　B
8．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是(　　)
A．25 B．32 C．60 D．100
解析　要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是(C＋C)A＝60.
答案　C
9．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．63 B．64 C．31 D．32
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.
答案　A
10．口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是(　　)
A．4 B．4.5 C．4.75 D．5
解析　由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝eq \f(1,C)＝，
P(X＝4)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝5)＝eq \f(C,C)＝＝，
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
答案　B
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)
11．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________(填序号)．
解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确．
答案　②③④
12．以椭圆＋y2＝1的焦点为顶点、长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________．
解析　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得双曲线的顶点为(±，0)，焦点为(±2，0)，所以a＝，c＝2，所以b＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率为e＝＝.
答案　y＝±x　
13．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________．

解析　由图象知函数f(x)的周期为π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.
答案　2　
14．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3，表面积为________cm2.

解析　由三视图知该几何体为一个半球被割去后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为××π×13＝，表面积为××4π×12＋×π×12＋2××π×12＝.
答案　　
15．已知x，y∈R且满足不等式组
当k＝1时，不等式组所表示的平面区域的面积为________；
若目标函数z＝3x＋y的最大值为7，则k的值为________．
解析　当k＝1时，不等式组为作出不等式组满足的平面区域如图中△ABC，易求得A(1，3)，B(1，－1)，C，所以S△ABC＝×4×＝；由目标函数z＝3x＋y的最大值为7知解得则点(2，1)在kx－y－k－1＝0上，即2k－1－k－1＝0，解得k＝2.

答案　　2
16．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a、b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
关于函数f(x)＝(ex)*的性质，有如下说法：
①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]．
其中所有正确说法的序号为________．
解析　依题意得f(x)＝(ex)*＝ex·＋[(ex)*0]＋＝1＋ex＋，其中x∈R.∴f′(x)＝ex－，令f′(x)＝0，则x＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x＝0，f(0)min＝3，即①正确，③错误．又f(－x)＝1＋e－x＋＝1＋ex＋＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，即②正确．
答案　①②
17．若关于x的方程＝kx2有四个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析　由于关于x的方程＝kx2有四个不同的实根，x＝0是此方程的一个根，故关于x的方程＝kx2有3个不同的非零的实数解．
∴方程＝有3个不同的非零的实数解，
即函数y＝的图象和函数g(x)＝的图象有3个交点，画出函数g(x)图象，如图所示，
故0＜＜1，解得k＞1.
答案　(1，＋∞)




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限时练(一)
(限时：45分钟)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　)
A．{3} B．{5}
C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}
解析　因为集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{3，5}，故选C.
答案　C
2．设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B. C．1 D.
解析　法一　因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.
法二　因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故选C.
答案　C
3．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加(　　)
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
解析　依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d，则5×30＋d＝390，解得d＝.故选B.
答案　B
4．已知直线l：x＋y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m＝(　　)
A．1 B．2 C．－5 D．1或－3
解析　△ABC为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的.圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心到直线l的距离d＝，依题意得＝，解得m＝1或－3.故选D.
答案　D
5．多面体MNABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是(　　)

A. B. C. D.
解析　将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE为正方形，SBCFE＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴VNBCFE＝×4×2＝.可将三棱柱补成直三棱柱，则VADMEFN＝×2×2×2＝4，∴多面体的体积为.故选D.
答案　D
6．已知向量a，b的模都是2，其夹角是60°，又＝3a＋2b，＝a＋3b，则P，Q两点间的距离为(　　)
A．2 B. C．2 D.
解析　∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2×2×＝2，＝－＝－2a＋b，∴||2＝4a2－4a·b＋b2＝12，
∴||＝2.
答案　C
7．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45 B．60 C．120 D．210
解析　在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C·C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)＝C·C＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120.
答案　C
8．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意，X～B，又E(X)＝＝3，
∴m＝2，
则X～B，故D(X)＝5××＝.
答案　B
9．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)
A. B．11 C．12 D．16
解析　由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，∴|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.
答案　B
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0A．c≤3 B．39
解析　由题意，不妨设g(x)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，m∈(0，3]，则g(x)的三个零点分别为x1＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，则c－m＝6，因此c＝m＋6∈(6，9]．
答案　C
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)
11．已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝8π，则{an}前9项的和S9＝________，cos(a3＋a7)的值为________．
解析　由{an}为等差数列得a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝，所以{an}前9项的和S9＝＝9a5＝9×＝24π.cos(a3＋a7)＝cos 2a5＝cos＝cos＝－.
答案　24π　－
12．函数f(x)＝4sin xcos x＋2cos2x－1的最小正周期为________，最大值为________．
解析　f(x)＝2sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，所以最小正周期T＝＝π，最大值为.
答案　π　
13．设函数f(x)＝
则f ＝________，若f(a)解析　由题意可得f ＝＝，则f ＝f ＝tan＝1.当－1答案　1　
14．已知圆O：x2＋y2＝r2与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P，过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B(异于P点)，且OA⊥OB，则直线OP的斜率k＝________，r＝________．
解析　两圆的方程相减可得点P的横坐标为1.易知P为AB的中点，因为OA⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，又|AO|＝|OP|，所以△OAP为等边三角形，同理可得△CBP为等边三角形，所以∠OPC＝60°.又|OP|＝|OC|，所以△OCP为等边三角形，所以∠POC＝60°，所以直线OP的斜率为.设P(1，y1)，则y1＝，所以P(1，)，代入圆O，解得r＝2.

答案　　2
15．若x、y满足约束条件若目标函数z＝ax＋3y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围为________．
解析　画出关于x、y约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋3y－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1，
∴0＜a＜3.当a＜0时，k＝－＜kAB＝2，∴－6＜a＜0.综上所得，实数a的取值范围是(－6，3)．
答案　(－6，3)
16．某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记“恰有两名学生来自同一所学校”为事件A，则P(A)＝________．
解析　在10名学生中任选4名学生，共有C种不同的选法，先选出两名来自同一所学校的学生，有C种选法，再选剩余的两名学生有CCC种情况，所以恰有两名学生来自同一所学校共有CCCC种情况，则所求概率为eq \f(CCCC,C)＝.
答案　
17．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若区间[－1，3]上，函数g(x)＝f(x)－kx－k有3个零点，则实数k的取值范围是________．
解析　根据已知条件知函数f(x)为周期为2的周期函数；且x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|；而函数g(x)的零点个数便是函数f(x)和函数y＝kx＋k的交点个数．
①若k＞0，如图所示，当y＝kx＋k经过点(1，1)时，k＝；当经过点(3，1)时，k＝，∴＜k＜.②若k＜0，即函数y＝kx＋k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f(x)的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在．③若k＝0，得到直线y＝0，显然与f(x)图象只有两个交点．综上所得，实数k的取值范围是.
答案　

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