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总共三部分：一、初中数学里常用的几种经典解题方法
二、中考经典错题集
三、综合知识讲解
初中数学里常用的几种经典解题方法介绍
　　1、配方法
　　所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
　　2、因式分解法
　　因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
　　3、换元法
　　换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
　　4、判别式法与韦达定理
　　一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法 ，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
　　韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
　　5、待定系数法
　　在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
　　6、构造法
　　在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
　　7、反证法
　　反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
　　反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
　　归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
　　8、面积法
　　平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
　　用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
　　9、几何变换法
　　在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
　　几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。
　　10.客观性题的解题方法
　　选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
　　填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
　　要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
　　（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
　　（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。
　　（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
　　（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
　　（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
　　（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法.

第二章　应知应会知识点
2.1　代数篇
一　数与式
（一）有理数
1　有理数的分类
2　数轴的定义与应用
3　相反数
4　倒数
5　绝对值
6　有理数的大小比较
7　有理数的运算
（二）实数
8　实数的分类
9　实数的运算
10　科学记数法
11　近似数与有效数字
12　平方根与算术根和立方根
13　非负数
14　零指数次幂　负指数次幂
（三)代数式
15　代数式　代数式的值
16　列代数式
（四）整式
17　整式的分类
18　整式的加减　乘除的运算
19　幂的有关运算性质
20　乘法公式
21　因式分解
（五）分式
22　分式的定义
23　分式的基本性质
24　分式的运算
（六）二次根式
25　二次根式的意义
26　根式的基本性质
27　根式的运算
二　方程和不等式
（一）一元一次方程
28　方程　方程的解的有关定义
29　一元一次的定义
30　一元一次方程的解法
31　列方程解应用题的一般步骤
（二）二元一次方程
32　二元一次方程的定义
33　二元一次方程组的定义
34　二元一次方程组的解法（代入法消元法　加减消元法）
35　二元一次方程组的应用
（三）一元二次方程
36　一元二次方程的定义
37　一元二次方程的解法（配方法　因式分解法　公式法　十字相乘法）
38　一元二次方程根与系数的关系和根的判别式
39　一元二次方程的应用
（四）分式方程
40　分式方程的定义
41　分式方程的解法（转化为整式方程　检验）
42　分式方程的增根的定义
43　分式方程的应用
（五）不等式和不等式组
44　不等式（组）的有关定义
45　不等式的基本性质
46　一元一次不等式的解法
47　一元一次不等式组的解法
48　一元一次不等式（组）的应用
三　函数
（一）位置的确定与平面直角坐标系
49　位置的确定
50　坐标变换
51　平面直角坐标系内点的特征
52　平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置
53　对称问题：P(x,y)→Q(x,- y）关于x轴对称
P(x,y)→Q(- x,y)关于y轴对称
P(x,y)→Q(- x,- y)关于原点对称
54　变量　自变量　因变量　函数的定义
55　函数自变量　因变量的取值范围（使式子有意义的条件　图象法）
56　函数的图象：变量的变化趋势描述
（二）一次函数与正比例函数
57　一次函数的定义与正比例函数的定义
58　一次函数的图象：直线，画法
59　一次函数的性质（增减性）
60　一次函数y=kx+b(k≠0)中k　b符号与图象位置
61　待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）
62　一次函数的平移问题
63　一次函数与一元一次方程　一元一次不等式　二元一次方程的关系（图象法）
64　一次函数的实际应用
65　一次函数的综合应用
（1）一次函数与方程综合
（2）一次函数与其它函数综合
（3）一次函数与不等式的综合
（4）一次函数与几何综合
（三）反比例函数
66　反比例函数的定义
67　反比例函数解析式的确定
68　反比例函数的图象：双曲线
69　反比例函数的性质（增减性质）
70　反比例函数的实际应用
71　反比例函数的综合应用（四个方面　面积问题）
（四）二次函数
72　二次函数的定义
73　二次函数的三种表达式（一般式　顶点式　交点式）
74　二次函数解析式的确定（待定系数法）
75　二次函数的图象：抛物线　画法（五点法）
76　二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）
77　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a　b　c　△与特殊式子的符号与图象位置关系
78　求二次函数的顶点坐标　对称轴　最值
79　二次函数的交点问题
80　二次函数的对称问题
81　二次函数的最值问题（实际应用）
82　二次函数的平移问题
83　二次函数的实际应用
84　二次函数的综合应用
（1）二次函数与方程综合
（2）二次函数与其它函数综合
（3）二次函数与不等式的综合
（4）二次函数与几何综合
2.2　几何篇
1　过两点有且只有一条直线　
2　两点之间线段最短　
3　同角或等角的补角相等　
4　同角或等角的余角相等　
5　过一点有且只有一条直线和已知直线垂直　
6　直线外一点与直线上各点连接的所有线段中　垂线段最短　
7　经过直线外一点　有且只有一条直线与这条直线平行　
8　如果两条直线都和第三条直线平行　这两条直线也互相平行　
9　同位角相等　两直线平行　
10　内错角相等　两直线平行　
11　同旁内角互补　两直线行　
12　两直线平行　同位角相等　
13　两直线平行　内错角相等　
14　两直线平行　同旁内角互补　
15　三角形两边的和大于第三边　
16　三角形两边的差小于第三边　
17　三角形三个内角的和等180°　
18　直角三角形的两个锐角互余　
19　三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和　
20　三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角　
21　全等三角形的对应边　对应角相等　
22　有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等　(SAS)
23　有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)　
24　有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)　
25　有三边对应相等的两个三角形全等　(SSS)
26　有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)　
27　在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28　到一个角的两边的距离相同的点　在这个角的平分线上　
29　角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合　
30　等腰三角形的性质定理　等腰三角形的两个底角相等　
31　等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边　
32　等腰三角形的顶角平分线　底边上的中线和高互相重合　
33　等边三角形的各角都相等　并且每一个角都等于60°　
34　等腰三角形的判定定理　如果一个三角形有两个角相等　　那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)　
35　三个角都相等的三角形是等边三角形　
36　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形　
37　在直角三角形中　如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半　
38　直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半　
39　线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等　
40　和一条线段两个端点距离相等的点　在这条线段的垂直平分线上　
41　线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合　
42　关于某条直线对称的两个图形是全等形　
43　如果两个图形关于某直线对称　那么对称轴是对应点连线的垂直平分线　
44　两个图形关于某直线对称　如果它们的对应线段或延长线相交　那么交点在对称轴上　
45　如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分　那么这两个图形关于这条直线对称　
46　直角三角形两直角边a　b的平方和　等于斜边c的平方　即a+b=c　
47　如果三角形的三边长a　b　c有关系a+b=c　那么这个三角形是直角三角形　
48　四边形的内角和等于360°　
49　四边形的外角和等于360°　
50　多边形内角和定理　n边形的内角的和等于(n-2)×180°　
51　任意多边的外角和等于360°　
52　平行四边形的对角相等　
53　平行四边形的对边相等　
54　夹在两条平行线间的平行线段相等　
55　平行四边形的对角线互相平分　
56　两组对角分别相等的四边形是平行四边形　
57　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58　对角线互相平分的四边形是平行四边形　
59　一组对边平行相等的四边形是平行四边形　
60　矩形的四个角都是直角　
61　矩形的对角线相等　
62　有三个角是直角的四边形是矩形　
63　对角线相等的平行四边形是矩形　
64　菱形的四条边都相等　
65　菱形的对角线互相垂直　并且每一条对角线平分一组对角　
66　菱形面积=对角线乘积的一半　即S=(a×b)÷2　
67　四边都相等的四边形是菱形　
68　对角线互相垂直的平行四边形是菱形　
69　正方形的四个角都是直角　四条边都相等　
70　正方形的两条对角线相等　并且互相垂直平分　每条对角线平分一组对角　
71　关于中心对称的两个图形是全等的　
72　关于中心对称的两个图形　对称点连线都经过对称中心　并且被对称中心平分　
73　如果两个图形的对应点连线都经过某一点　并且被这一　点平分　那么这两个图形关于这一点对称　
74　等腰梯形在同一底上的两个角相等　
75　等腰梯形的两条对角线相等　
76　在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形　
77　对角线相等的梯形是等腰梯形　
78　如果一组平行线在一条直线上截得的线段　
相等　那么在其他直线上截得的线段也相等　
79　经过梯形一腰的中点与底平行的直线　必平分另一腰　
80　经过三角形一边的中点与另一边平行的直线　必平分第三边　
81　三角形的中位线平行于第三边　并且等于它的一半
82　梯形的中位线平行于两底　并且等于两底和的　一半　
L=(a+b)　S=L×h　
83　如果a:b=c:d　那么ad=bc　
如果ad=bc　那么a:b=c:d　
84　如果a/b=c/d　那么
(a±b)/　b=(c±d)/d　
85　如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)　那么　
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b　
86　三条平行线截两条直线　所得的对应线段成比例　
87　平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)　所得的对应线段成比例　
88　如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例　那么这条直线平行于三角形的第三边　
89　平行于三角形的一边　并且和其他两边相交的直线　所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例　
90　平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交　所构成的三角形与原三角形相似　
91　两角对应相等　两三角形相似(ASA)　
92　直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似　
93　两边对应成比例且夹角相等　两三角形相似(SAS)　
94　三边对应成比例　两三角形相似(SSS)　
95　如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例　那么这两个直角三角形相似　
96　相似三角形对应高的比　对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比　
97　相似三角形周长的比等于相似比　
98　相似三角形面积的比等于相似比的平方　
99　任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值　任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值　
100　任意锐角的正切值等于它的余角的余切值　任意锐角的余切值等　
于它的余角的正切值　
101　圆是定点的距离等于定长的点的集合　
102　圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合　
103　圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合　
104　同圆或等圆的半径相等　
105　到定点的距离等于定长的点的轨迹　是以定点为圆心　定长为半径的圆　
106　和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹　是着条线段的垂直平分线　
107　到已知角的两边距离相等的点的轨迹　是这个角的平分线　
108　到两条平行线距离相等的点的轨迹　是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线　
109　不在同一直线上的三个点确定一条直线　
110　垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧　
111　　①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦　并且平分弦所对的两条弧　
②弦的垂直平分线经过圆心　并且平分弦所对的两条弧　
③平分弦所对的一条弧的直径　垂直平分弦　并且平分弦所对的另一条弧　
112　圆的两条平行弦所夹的弧相等　
113　圆是以圆心为对称中心的中心对称图形　
114　在同圆或等圆中　相等的圆心角所对的弧相等　所对的弦相等　所对的弦的弦心距相等　
115　在同圆或等圆中　如果两个圆心角　两条弧　两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等　
116　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半　
117　同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中　相等的圆周角所对的弧也相等　
118　半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所　
对的弦是直径　
119　如果三角形一边上的中线等于这边的一半　那么这个三角形是直角三角形　
120　圆的内接四边形的对角互补　并且任何一个外角都等于它的内对角　
121　①直线L和⊙O相交　d＜r　
②直线L和⊙O相切　d=r　
③直线L和⊙O相离　d＞r　
122　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线　
123　圆的切线垂直于经过切点的半径　
124　经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点　
125　经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心　
126　从圆外一点引圆的两条切线　它们的切线长相等　圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角　
127　圆的外切四边形的两组对边的和相等　
128　弦切角等于它所夹的弧对的圆周角　
129　如果两个弦切角所夹的弧相等　那么这两个弦切角也相等　
130　圆内的两条相交弦　被交点分成的两条线段长的积相等　
131　如果弦与直径垂直相交　那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132　从圆外一点引圆的切线和割线　切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项　
133　从圆外一点引圆的两条割线　这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等　
134　如果两个圆相切　那么切点一定在连心线上　
135　①两圆外离d＞R+r　②两圆外切　d=R+r　
③两圆相交　R-r＜d＜R+r(R＞r)　
④两圆内切　d=R-r(R＞r)　⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)　
136　相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦　
137　把圆分成n(n≥3):　
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形　
⑵经过各分点作圆的切线　以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形　
138　任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆　这两个圆是同心圆　
139　正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n　
140　正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形　
141　正n边形的面积Sn=pnrn/2　p表示正n边形的周长　
142　正三角形面积√3a/4　a表示边长　
143　如果在一个顶点周围有k个正n边形的角　由于这些角的和应为　360°　因此k×(n-2)180°/n=360°化为
(n-2)(k-2)=4　
144　弧长计算公式:L=n∏R/180　
145　扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2　
146　内公切线长=　d-(R-r)　外公切线长=　d-(R+r)
第三章　例题讲解
【例１】如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．　FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。
（1）　求证：ΔBEF∽ΔCEG．
（2）　当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
解析过程及每步分值
1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分
所以
所以 3分
（2）的周长之和为定值． 4分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 6分
（3）设BE＝x，则
所以 8分
配方得：．
所以，当时，y有最大值． 9分
最大值为． 10分
【例２】如图　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A　B　C且OA＝1　OB＝OC＝3　．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M　N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)　且MN∥x轴　求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．
解析过程及每步分值
（1）依题意分别代入 1分
解方程组得所求解析式为 4分
（2） 5分
顶点坐标，对称轴 7分
（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为 8分
把点代入得 9分
同理可得另一种情形
圆的半径为或 10分
【例3】已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．
（1）求的值；
（2）求函数的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．
解析过程及每步分值
（1）由
得．
又因为当时，，即，
解得，或（舍去），故的值为．
（2）由，得，
所以函数的图象的对称轴为，
于是，有，解得，
所以．
（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；
由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为；
故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点．
【例4】如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
（1）求点A的坐标;
（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.

解析过程及每步分值
解：（1）∵
∴A(-2,-4)
（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)
四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()
四边形ABP3O为直角梯形时，P1()
四边形ABOP4为直角梯形时，P1()
（3）

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x
①当点P在第二象限时，x<0,
△POB的面积
∵△AOB的面积，
∴
∵，
∴
即 ∴
∴x的取值范围是
②当点P在第四象限是，x>0,
过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′
则四边形POA′A的面积
∵△AA′B的面积
∴
∵，
∴ 即 ∴
∴x的取值范围是
【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
解析过程及每步分值
解：（1）设=,由图①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，
故利润关于投资量的函数关系式是=；
因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），
所以，
故利润关于投资量的函数关系式是；
（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），
则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得
=+==
当时，的最小值是14；
因为，所以
所以
所以
所以，即，此时
当时，的最大值是32.
【例5】如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式;
（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

解析过程及每步分值
解:（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：
△ABO∽△ACD， ∴．
由已知，可知： ．
∴．∴C点坐标为．
直线BC的解析是为：
化简得：
（2）设抛物线解析式为，由题意得： ，
解得：
∴解得抛物线解析式为或．
又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为
（准确画出函数图象）
（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，，
∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为
同理可求得直线与y轴交点坐标为
∴两直线解析式；．
根据题意列出方程组： ⑴；⑵
∴解得：；；；
∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，.
【例6】如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

解析过程及每步分值
【例7】如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
（1）求的度数；
（2）当取何值时，点落在矩形的边上？
（3）①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

解析过程及每步分值
解：（1）如图，四边形是矩形，．
又，，，
，．
，．
，．
（2）如图1，由轴对称的性质可知，，
，．
由（1）知，，
，．
，，．
在中，根据题意得：，
解这个方程得：．
（3）①当点在矩形的内部或边上时，
，，
，当时，
当在矩形的外部时（如图2），，
在中，，
，
又，，
在中，
，．
，
，
当时，．
综上所述，与之间的函数解析式是：．
②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，
而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：
，解这个方程，得，因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
第四章　兴趣练习
4.1　代数部分
1. 已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
2. 已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建
立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折
得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得
直线重合．
（1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标．
4. 如图，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．
5. 如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
二、动态几何
6. 如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为何值时，与相互平分；
（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？
7. 已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．
8. 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为；矩形的顶点与点重合，分别在轴、轴上，且，．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动．设它们运动的时间为秒（），直线与该抛物线的交点为（如图2所示）．
①当时，判断点是否在直线上，并说明理由；
②设以为顶点的多边形面积为，试问是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
10. 已知抛物线：．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式．
（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示：抛物线（）的对称轴是顶点坐标是】
11. 如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、．抛物线过两点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒．过点作交于点．
①过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段最长？
②连接．在点运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？
请直接写出相应的值．
13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．


14. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．
15. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点
、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．
（1）求与轴的另一个交点D的坐标；
（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．
16. 如图，点坐标分别为（4，0）、（0，8），点是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形是矩形，且．设，矩形与重合部分的面积为．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形的顶点在直线上时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）直接写出与的函数关系式；（不必写出解题过程）
（4）若，则 ．
17. 直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
（1）直接写出两点的坐标；
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
18. 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2） 求△CAB的铅垂高CD及；
（3） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，
求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上．已知某二次函数的图象经过、、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的平行线交于点
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长．
（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标．
20. 如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题：
（1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；
（3）求与之间的函数关系式．
21. 定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．
（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于______________；
②四边形为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；
（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．
22. 如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．
（1）请直接写出点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．
23. 如图，点坐标分别为（4，0）、（0，8），点是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形是矩形，且．设，矩形与重合部分的面积为．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形的顶点在直线上时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）直接写出与的函数关系式；（不必写出解题过程）
（4）若，则 ．
24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形的空地进行生态环境改造．已知的边长120米，高长80米．学校计划将它分割成、、和矩形四部分（如图）．其中矩形的一边在边上，其余两个顶点、分别在边、上．现计划在上种草，每平米投资6元；在、上都种花，每平方米投资10元；在矩形上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．
（1）当长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当矩形的边为多少米时，空地改造总投资最小？最小值为多少？
25. 已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当的面积为24时，是否存在这样的点，使为正方形？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
26. 如图，抛物线经过三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．
27. 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．
（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．
28. 如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，经过两点的直线是，连结．
（1）两点坐标分别为（_____，_____）、（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线的顶点坐标是]
29. 已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
30. 如图所示，将矩形沿折叠，使点恰好落在上处，以为边作正方形，延长至，使，再以、为边作矩形．
（1）试比较、的大小，并说明理由．
（2）令，请问是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若为上一点且，抛物线经过、两点，请求出此抛物线的解析式．
（4）在（3）的条件下，若抛物线与线段交于点，试问在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由．4.2　几何部分
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
　（1）求证：AH＝2OM；
　（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
3、Ptolemy（托勒密）定理：设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
　（初三）
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：≤l＜2．
　
　
　
　
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
　
　
　
　
　
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
?
　
　　
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．
　
　　
第五章　复习提纲
初中数学总复习提纲
实数
★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算
☆内容提要☆
重要概念
1．数的分类及概念
数系表：
说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）
2）有标准
2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3．倒数： ①定义及表示法
②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。
4．相反数： ①定义及表示法
②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5．数轴：①定义（“三要素”）
②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）
定义及表示：
奇数：2n-1
偶数：2n（n为自然数）
7．绝对值：①定义（两种）：
代数定义：
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
实数的运算
运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]
分配律）
运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”
到“右”（如5÷×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
应用举例（略）
附：典型例题
已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│
=b-a.
2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。
第二章 代数式
★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算
☆内容提要☆
重要概念
分类：

1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，
=x,=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;
⑵算术平方根与绝对值
联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴ (—幂，乘方运算)
a＞0时，＞0;②a＜0时，＞0（n是偶数），＜0（n是奇数）
⑵零指数：=1（a≠0）
负整指数：=1/（a≠0,p是正整数）
运算定律、性质、法则
1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2．分式的性质
⑴基本性质：=（m≠0）
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）
3．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4．幂的运算性质：①·=;②÷=;③=;④=;⑤
技巧：
5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6．乘法公式：（正、逆用）
（a+b）（a-b）=
(a±b)=
7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。
8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9．算术根的性质：＝;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b＞0)(正用、逆用)
10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A.;B.;C..
11．科学记数法：（1≤a＜10,n是整数＝
应用举例（略）
数式综合运算（略）
第三章 统计初步
★重点★
内容提要☆
重要概念
1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。
3.样本：从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）
计算方法
1.样本平均数：⑴;⑵若，，…，,则(a—常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加权平均数：;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
2．样本方差：⑴;⑵若,,…,,则（a—接近、、…、的平均数的较“整”的常数）;若、、…、较“小”较“整”，则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3．样本标准差：
应用举例（略）
第四章 直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
内容提要☆
直线、相交线、平行线
1．线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2．线段的中点及表示
3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）
4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）
5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）
6．互为余角、互为补角及表示方法
7．角的平分线及其表示
8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）
9．对顶角及性质
10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）
11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12．定义、命题、命题的组成
13．公理、定理
14．逆命题
三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1．定义（包括内、外角）
2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3．三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质
5．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6．三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8．证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
四边形
分类表：
1．一般性质（角）
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360°
2．特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形──↑
⑷对角线的纽带作用：
3．对称图形
⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）
4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）
5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6．作图：任意等分线段。
应用举例（略）
第五章 方程（组）
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
内容提要☆
基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）
分类：
解方程的依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0)
解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→
系数化成1→解。
元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法
②加减法
一元二次方程
1．定义及一般形式：
2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左边=0）
3．根的判别式：
4．根与系数顶的关系：
逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5．常用等式：

可化为一元二次方程的方程
1．分式方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）
⑷验根及方法
2．无理方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法
3．简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
列方程（组）解应用题
㈠概述
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
㈡常用的相等关系
行程问题（匀速运动）
基本关系：s=vt
⑴相遇问题(同时出发)：
+=;
⑵追及问题（同时出发）：
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行：;
配料问题：溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
㈢注意语言与解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
㈣注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算
如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
七、应用举例（略）
第六章 一元一次不等式（组）
★重点★一元一次不等式的性质、解法
内容提要☆
定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
一元一次不等式组：
不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac⑷（传递性）a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）
7．应用举例（略）
第七章 相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：
注意：①定理中“对应”二字的含义;
②平行→相似（比例线段）→平行。
二、相似三角形性质
1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证（解）题规律、辅助线
1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴
⑵
⑶
3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
应用举例（略）
第八章 函数及其图象
★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。
内容提要☆
一、平面直角坐标系
1．各象限内点的坐标的特点
2．坐标轴上点的坐标的特点
3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有
意义。
3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
（定义→图象→性质）
正比例函数
⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象：直线（过原点）
⑶性质：①k>0，…②k<0，…
一次函数
⑴定义：y=kx+b(k≠0)
⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

⑶性质：①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况：
二次函数
⑴定义：

特殊地，都是二次函数。
⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。用配方法变为，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。
4.反比例函数
⑴定义：或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。
⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：
2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
六、应用举例（略）
第九章 解直角三角形
★重点★解直角三角形
内容提要☆
一、三角函数
1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
特殊角的三角函数值：
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
cosα
tgα
/
ctgα
/
互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…
三角函数值随角度变化的关系
5．查三角函数表
二、解直角三角形
定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）
第十章 圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
内容提要☆
一、圆的基本性质
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4．切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)


2.相切（交）两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角：
内角的一半：(右图)
（解Rt△OAM可求出相关元素,、等）
一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
点的轨迹
六条基本轨迹
有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：4、8;6、3等分
基本图形

重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线（连心线）
6.两圆相交公共弦

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