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第3讲　圆周运动
一、匀速圆周运动及描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，那么物体所做的就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．描述匀速圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝＝，单位：s
(2)频率f＝，单位：Hz
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝＝rω2
(2)单位：m/s2
自测1　(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
答案　BCD
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
自测2　(多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是(　　)
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力就是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案　BC
三、离心运动和近心运动
1．离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
图1
2．受力特点(如图1)
(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
(3)当F(4)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
3．本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是所受的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
命题点一　圆周运动的运动学问题
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比．
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图2甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
图2
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图3甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
图3
(3)同轴转动：如图4甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
图4
例1　(多选)(2018·江苏单科·6)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°.在此10 s时间内，火车(　　)
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
答案　AD
解析　由s＝vt知，火车运动路程为s＝600 m，A对；火车在弯道做圆周运动，故加速度不为零，B错；由10 s内转过10°知，角速度ω＝ rad/s＝ rad/s≈0.017 rad/s，C错；由v＝rω知，火车转弯半径r＝＝ m≈3.4 km，D对．
变式1　(多选)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图5所示．正常骑行自行车时，下列说法正确的是(　　)
图5
A．A、B两点的线速度大小相等，角速度大小也相等
B．B、C两点的角速度大小相等，周期也相等
C．A点的向心加速度小于B点的向心加速度
D．B点的向心加速度大于C点的向心加速度
答案　BC
解析　设A、B、C三点到各自轴心的距离分别为RA、RB、RC，由题图可知RC>RA>RB.A、B两点通过链条相连，线速度大小相等，由v＝ωr知，A、B两点的角速度不相等，选项A错误；由题图知，B、C两点绕同一轴转动，角速度相等，由T＝知周期也相等，选项B正确；由an＝知，A点的向心加速度小于B点的向心加速度，选项C正确；由an＝ω2r知，B点的向心加速度小于C点的向心加速度，选项D错误．
命题点二　水平面内的圆周运动
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．几种典型运动模型
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
3.“一、二、三、四”求解圆周运动问题
例2　(2018·南京市、盐城市一模)如图6所示，质量相等的A、B两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，A在B的上方．则它们运动的(　　)
图6
A．向心力FA＞FB
B．线速度vA＞vB
C．角速度ωA＞ωB
D．向心加速度anA＞anB
答案　B
解析　对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力FN.如图所示
设漏斗顶角的一半为θ，则F向＝，由于两球质量相等，所以A、B两球的向心力相等，故A错误；由公式F向＝＝可得：v＝，由于A球做匀速圆周运动的半径比B球大，所以vA＞vB，故B正确；由公式F向＝mω2r＝可得：ω＝，由于A球做匀速圆周运动的半径比B球大，所以ωA＜ωB，故C错误；由公式F向＝man＝可得：an＝，所以anA＝anB，故D错误．
变式2　(多选)(2018·如东县调研)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图7所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)
图7
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速度大小大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速度大小小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
答案　AB
解析　火车转弯不侧向挤压车轮轮缘时，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，解得：r＝，故A正确；v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速度大小大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误；当火车速度大小小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故D错误．
拓展点　水平面内圆周运动的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰好不向内滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且方向沿半径背离圆心)和一个恰好不向外滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且方向沿半径指向圆心)，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．
例3　(2018·南京市期中)如图8所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L＝2 m的细绳悬一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，圆锥顶角为2θ＝74°.当小球以ω＝5 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
图8
A．50 N B．40 N
C．20 N D．38.5 N
答案　A
变式3　(2018·扬州中学月考)如图9叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，物体A、B、C的质量分别为3m、2m、m，物体B与转台、物体C与转台间的动摩擦因数都为μ，物体A与物体B间的动摩擦因数也为μ，物体B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是(　　)
图9
A．物体B对物体A的摩擦力有可能为3μmg
B．物体C与转台间的摩擦力大于物体A与物体B间的摩擦力
C．转台的角速度ω有可能恰好等于
D．若角速度ω缓慢增大，物体A与物体B将最先发生相对滑动
答案　C
解析　对物体A、B整体有：
(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g①
对物体C有：mω2(1.5r)≤μmg②
对物体A有：3mω2r≤μ(3m)g③
联立①②③解得：ω≤ ，即不发生相对滑动时，转台的角速度ω≤ ，可知物体A与物体B间的静摩擦力最大值Ffm＝3m·r·ω2＝3mr·＝2μmg，故A错误，C正确；由于物体A与物体C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力有m×1.5rω2＜3mrω2，即物体C与转台间的摩擦力小于物体A与物体B间的摩擦力，故B错误；由A选项分析可知，最先发生相对滑动的是物体C，故D错误．
命题点三　竖直面内的圆周运动
拱桥模型
绳—球模型
杆—球模型
实例
汽车过拱形桥
绳—球，过山车等
杆—球，管形圆轨道
图示
特征
下有支撑，上无约束
下无支撑，上有约束
下有支撑，上有约束
过最高点条件
v≤
v≥
v≥0
不同速度时受力及运动情况
v≤时：
mg－FN＝m
FN＝mg－mv>时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面
①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
②当0③当v＝时，FN＝0
④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
例4　(多选)(2018·泰州中学月考)如图10所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地面上，B不能左右运动，在环的最低点静放一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足(　　)
图10
A．最小值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最大值为
答案　CD
变式4　(多选)如图11甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示．下列说法正确的是(　　)
图11
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为R
C．若c＝2b，则杆对小球拉力的大小为a
D．若c＝2b，则杆对小球支持力的大小为2a
答案　AC
解析　由题意可知，当v2＝gR时，FN＝0，结合题图乙可知gR＝b，g＝；当v2＜gR时，杆对小球的弹力方向向上，根据mg－FN＝，可得FN＝mg－，当v2＝0时，a＝mg，m＝＝R；当v2＞gR时，杆对小球弹力方向向下，根据mg＋FN＝，可得FN＝－mg，若v2＝c＝2b＝2gR，则FN＝mg＝a，故选项A、C正确．
变式5　(多选)(2018·海安中学开学考)如图12，在竖直平面内光滑圆轨道外侧，有一小球以某一水平速度v0从A点出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，不计空气阻力．下列说法中正确的是(　　)
图12
A．在B点时，小球向心加速度大小为g
B．B到C过程，小球做匀变速运动
C．在A点时，小球对圆轨道压力大于其重力
D．A到B过程，小球水平方向的加速度先增加后减小
答案　BD
1.(2018·泰州中学期中)如图13所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮上质量相等的两个质点，则偏心轮转动的过程中a、b两质点(　　)
图13
A．线速度大小相同
B．角速度大小相同
C．向心力大小相同
D．向心加速度大小相同
答案　B
解析　偏心轮上各处角速度相等，故B正确；根据v＝ωr，可知到圆心距离不同的点，线速度不同，故A错误；根据F＝mω2r可知到圆心距离不同的点，向心力不同，故C错误；根据a＝ω2r可知到圆心距离不同的点，向心加速度不同，故D错误．
2.(多选)(2017·南通中学期中)如图14所示，绳子的一端固定在O点，另一端拴一重物在光滑水平面上做匀速圆周运动(　　)
图14
A．转速相同时，绳长的容易断
B．周期相同时，绳短的容易断
C．线速度大小相等时，绳短的容易断
D．线速度大小相等时，绳长的容易断
答案　AC
解析　根据牛顿第二定律得：F＝m(2πn)2r，m一定，当转速n相同时，绳长r越长，绳子拉力F越大，绳子越容易断，故A正确．根据牛顿第二定律得：F＝m，m一定，当周期T相同时，绳长r越长，绳子拉力F越大，绳子越容易断，故B错误．根据牛顿第二定律得：F＝m，m一定，线速度v大小相等时，绳长r越短，绳子拉力F越大，绳子越容易断，故C正确，D错误．
3.(2018·盐城中学质检)如图15所示，一内壁光滑、质量为m、半径为r的环形细圆管(管的内径相对于环半径可忽略不计)用硬杆竖直固定在地面上．有一质量为m的小球可在圆管中运动(球直径略小于圆管直径，可看做质点)，小球以速率v0经过圆管最高点时，恰好对管壁无压力，当球运动到最低点时，硬杆对圆管的作用力大小为(　　)
图15
A．m B．2mg＋m
C．6mg D．7mg
答案　D
4．(多选)(2018·红桥中学一调)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v.下列说法中正确的是(　　)
A．当v＝时，轻杆对小球的弹力为零
B．当v由逐渐增大时，轻杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由逐渐减小时，轻杆对小球的支持力逐渐减小
D．不管v多大，小球在最低点时，都处于超重状态
答案　ABD
解析　设杆对小球的弹力为FN，根据牛顿第二定律：mg－FN＝m，当v＝时，解得弹力FN＝0，故A正确；在最高点，若速度v＝时，轻杆的作用力为零，当v＞时，轻杆表现为拉力，由mg＋FT＝m知，速度增大时，向心力增大，则轻杆对小球的拉力增大，故B正确；当v＜时，轻杆表现为支持力，由mg－FN＝m知，速度减小时，向心力减小，则轻杆对小球的支持力增大，故C错误；在最低点由牛顿第二定律：FT－mg＝m知，轻杆的拉力总大于重力，所以总处于超重状态，故D正确．
5.(多选)(2018·盐城市期中)公路转弯处通常是交通事故多发地带．如图16所示，某公路转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处(　　)
图16
A．路面外侧一定高于内侧
B．车速只能为v0，否则将发生交通事故
C．只要车速小于v0，车辆便会向内侧滑动
D．车速大于v0，车辆也不一定会向外侧滑动
答案　AD
解析　路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供做圆周运动的向心力，故A正确；当汽车行驶的速率为v0时，摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，当车速大于v0时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，车辆会受到沿路面指向公路内侧的摩擦力，当车速小于v0，重力和支持力的合力大于所需要的向心力，车辆会受到沿路面指向公路外侧的摩擦力，不一定发生滑动，故B、C错误，D正确．
1.(多选)(2018·响水中学模拟)电风扇的扇叶的重心如果不在转轴上，转动时会使风扇抖动，并加速转轴磨损．调整时，可在扇叶的一区域通过固定小金属块的办法改变其重心位置．如图1所示，A、B是两调整重心的金属块(可视为质点)，其质量相等，它们到转轴O的距离rA图1
A．向心力FAC．向心加速度相等 D．角速度大小相等
答案　AD
解析　由于同轴转动，风扇上各个点的角速度相同(圆心除外)，故A、B两点的角速度相同；根据线速度与角速度的关系式v＝ωr和rA2.如图2所示，杂技演员在表演“水流星”节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子经过最高点时，里面的水也不会流出来，这是因为(　　)
图2
A．水处于失重状态，不受重力的作用
B．水受的合力为零
C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动
D．杯子特殊，杯底对水有吸引力
答案　C
3．(多选)(2019·运河中学高三初考)如图3所示有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是(　　)
图3
A．如图(a)，汽车通过拱形桥的最高点处于超重状态
B．如图(b)所示是一圆锥摆，增大θ，若保持圆锥摆的高不变，则圆锥摆的角速度不变
C．如图(c)，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等
D．火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对火车轮缘会有挤压作用
答案　BD
解析　汽车在最高点由牛顿第二定律得mg－FN＝，知FN4．(多选)(2018·淮安中学期中)某同学为体会与向心力相关的因素，做了如图4所示的小实验：手通过细绳使小球在水平面内做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
图4
A．若保持周期不变，减小绳长，则细绳的拉力将增大
B．若保持周期不变，增大绳长，则细绳的拉力将增大
C．若保持绳长不变，增大小球的角速度，则细绳的拉力将增大
D．若保持绳长不变，增大小球的周期，则细绳的拉力将增大
答案　BC
5.(多选)(2018·程桥高中月考)公园里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空．秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度 θ，其简化模型如图5所示．若要使夹角θ变大，可(　　)
图5
A．增大钢丝绳长度 B．减小秋千半径
C．减小座椅质量 D．增大角速度
答案　AD
解析　对座椅受力分析如图所示，
设座椅质量为m，根据座椅所受重力和拉力的合力提供向心力，有：
mgtan θ＝m(lsin θ＋r)＝mω2(lsin θ＋r)，解得：l＝－
则要使夹角θ变大，可减小周期T，即增大角速度，或增大钢丝绳的长度，或增大秋千半径，与座椅的质量无关，故A、D正确，B、C错误．
6．(多选)(2018·徐州三中月考)如图6所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，然后释放，摆球运动过程中，支架始终不动．以下说法正确的应是(不计空气阻力)(　　)
图6
A．在摆球释放瞬间，支架对地面压力为(m＋M)g
B．在摆球释放瞬间，支架对地面压力为Mg
C．摆球到达最低点时，支架对地面压力为(m＋M)g
D．摆球到达最低点时，支架对地面压力为(3m＋M)g
答案　BD
解析　在摆球释放的瞬间，支架竖直方向受到重力Mg和地面的支持力FN1，由平衡条件知，FN1＝Mg，根据牛顿第三定律得知，支架对地面的压力FN1′＝FN1＝Mg，故A错误，B正确；设摆球到达最低点时速度大小为v，摆长为L，由机械能守恒定律得：mgL＝mv2，
摆球到达最低点时，由牛顿第二定律得：FT－mg＝m，
联立解得细线的拉力：FT＝3mg
结合牛顿第三定律，得支架对地面的压力大小为：FN2＝Mg＋FT＝(3m＋M)g，故C错误，D正确．
7．(2018·徐州市考前模拟)如图7，C919大型客机是我国具有自主知识产权的大型喷气式民用飞机．如果客机绕地球做匀速圆周运动，空气阻力大小不变，不考虑油料消耗导致客机质量变化．关于客机，下列说法正确的是(　　)
图7
A．处于平衡状态
B．速度变化率为零
C．发动机的功率不变
D．向心力完全由地球引力提供
答案　C
8.(多选)(2017·南京外国语学校等四模)如图8所示，光滑的轻杆OA可绕竖直轴OO′旋转，且OA与OO′轴间夹角θ始终保持不变，质量为m的小球套在OA杆上，可在杆适当位置处随杆做水平面内的匀速圆周运动，下列说法正确的有(　　)
图8
A．小球在任何两位置随杆在水平面内做匀速圆周运动的加速度大小都相等
B．杆的转速越大，小球随杆做水平面内的匀速圆周运动的位置越高
C．小球在某一位置随杆在水平面内匀速转动，只要受到微小的扰动，就会远离该位置
D．小球在某一位置随杆在水平面内匀速转动，若杆转速突然增大，由于杆对球弹力垂直于杆，杆不会对小球做功
答案　AC
9．(2018·泰州中学期中)如图9甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球(视为质点)在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高点、最低点．小铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
图9
A．小铁球可能做匀速圆周运动
B．小铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C．小铁球在A点的速度的最小值为
D．要使小铁球不脱轨，轨道对小铁球的磁性引力至少为5mg
答案　D
10．(2018·沛县中学调研)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，其状态如图10所示，轻绳a与水平方向成θ角，轻绳b在水平方向且长为l，则下列说法正确的是(　　)
图10
A．a绳张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω＞，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案　A
解析　小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳的张力在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；设a绳的拉力为Fa，根据竖直方向上受力平衡得：Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知从此状态开始增大角速度时，a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，根据牛顿第二定律得：＝mlω2，解得ω＝，可知当角速度ω＞时，b绳出现弹力，故C错误；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误．
11．(2018·南京市期中)如图11所示，质量为m＝0.2 kg的小球(可视为质点)从水平桌面右端点A以初速度v0水平抛出，桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R＝0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为R.小球飞离桌面后恰由P点无碰撞地落入圆轨道，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．
图11
(1)求小球在A点的初速度大小v0及A、P两点间的水平距离x；
(2)求小球到达圆轨道最低点N时对轨道的压力；
(3)判断小球能否到达圆轨道最高点M.
答案　(1)4 m/s　1.6 m　(2)(14－2) N，方向竖直向下　(3)见解析
解析　(1)小球由A点做平抛运动，在P点恰好沿圆轨道的切线进入轨道，则小球在P点的竖直分速度为vy＝v0tan 45°＝v0，由平抛运动规律得，R＝t，x＝v0t，vy＝gt
解得v0＝4 m/s, x＝1.6 m.
(2)小球在P点的速度为v＝＝4 m/s
设小球在N点速度为vN，从P点到N点，由动能定理得mgR(1－cos 45°)＝mvN2－mv2
设小球在N点所受支持力为FN，由牛顿第二定律得
FN－mg＝m
解得FN＝(14－2) N
由牛顿第三定律得，小球在N点对轨道的压力为FN′＝FN＝(14－2) N，方向竖直向下．
(3) 假设小球能够到达M点且在M点速度为v′，从P点到M点由动能定理得－mgR(1＋cos 45°)＝mv′2－mv2
解得v′＝ m/s
若小球能够到达圆轨道最高点，在M点应有mg≤m，即vM≥＝ m/s，由v′12．(2018·徐州三中月考)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，轻绳的另一端系有质量为m的小球(可视为质点)，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，轻绳突然断掉，球飞出水平距离d后落地，如图12所示．已知握轻绳的手离地面高度为d，手与球之间的轻绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．
图12
(1)求轻绳断开时球的速度大小v1；
(2)求轻绳能承受的最大拉力的大小；
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若轻绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
答案　(1)　(2)mg　(3)　d
解析　(1)设轻绳断开后球做平抛运动的时间为t1，
竖直方向上：d＝gt12，水平方向上：d＝v1t1
解得：v1＝＝＝.
(2)设轻绳能承受的最大拉力为Fm，球做圆周运动的半径为：R＝d，小球运动到最低点时由牛顿第二定律有Fm－mg＝m
解得：Fm＝mg＋m＝mg＋m＝mg.
(3)设轻绳长为l，轻绳断开时球的速度为v2.由牛顿第二定律有：Fm－mg＝m，
解得：v2＝
轻绳断开后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t2.
竖直方向有：d－l＝gt22
水平方向有：x＝v2t2.
得x＝v2t2＝ ·＝4 
根据数学关系知当l＝时，x有最大值：xmax＝d.

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