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专题六　机械能守恒定律
考点一　功和功率
1.(2018课标Ⅲ,19,6分)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程,(　　)
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
答案　AC
2.(2019届内蒙古集宁联考,13,8分)汽车的质量为m,输出功率恒为P,沿平直公路前进距离s的过程中,其速度由v1增至最大速度v2。假定汽车在运动过程中所受阻力恒定,求汽车通过距离s所用的时间。
答案　m(v22-v12)2P+sv2
3.(2018江西临川联考,16,14分)一传送带装置示意图如图所示,传送带的倾角θ=30°,工作时传送带的运行速度保持v=2 m/s 不变。现将质量均为m=2 kg的小货箱(可视为质点)一个一个在A处放到传送带上,放置小货箱的时间间隔均为T=1 s,放置时初速度为零,小货箱一到达B处立即被取走。已知小货箱刚放在A处时,前方相邻的小货箱还处于匀加速运动阶段,此时两者相距为s1=0.5 m。传送带装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦,取g=10 m/s2。
(1)求小货箱在传送带上做匀加速运动的加速度大小;
(2)AB的长度至少多长才能使小货箱最后的速度能达到v=2 m/s;
(3)除了刚释放货箱的时刻,若其他时间内总有4个货箱在传送带上运动,求每运送一个小货箱电动机对外做多少功?并求电动机的平均输出功率P。
答案　(1)1 m/s2　(2)2 m　(3)88 J　88 W
考点二　动能定理、机械能守恒定律及其应用
1.(2018课标Ⅱ,14,6分)如图, 某同学用绳子拉动木箱,使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功
C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功
答案　A
2.(2017广东华南三校联考,18)(多选)正在粗糙水平面上滑动的物块,从t1时刻到t2时刻受到恒定的水平推力F的作用,在这段时间内物块做直线运动,已知物块在t1时刻的速度与t2时刻的速度大小相等,则在此过程中(　　)
A.物块可能做匀速直线运动
B.物块的位移可能为零
C.合外力对物块做功一定为零
D.F一定对物块做正功
答案　ACD
3.(2018湖北黄冈期末)如图所示,物体A的质量大于B的质量,绳子的质量、绳与滑轮间的摩擦可不计,A、B恰好处于平衡状态,如果将悬点P靠近Q少许使系统重新平衡,则(　　)
A.物体A的重力势能增大
B.物体B的重力势能增大
C.绳的张力减小
D.P处绳与竖直方向的夹角减小
答案　A
4.(2019届甘肃兰州摸底,8,4分)如图所示,光滑轨道由AB、BCDE两段细圆管平滑连接组成,其中AB段水平,BCDE段为半径为R的四分之三圆弧,圆心O及D点与AB等高,整个轨道固定在竖直平面内,现有一质量为m,初速度v0=10gR2的光滑小球水平进入圆管AB,设小球经过管道交接处无能量损失,圆管内径远小于R,则(小球直径略小于管内径)(　　)
A.小球到达C点时的速度大小vC=3gR2
B.小球能通过E点且抛出后恰好落至B点
C.无论小球的初速度v0为多少,小球到达E点时的速度都不能为零
D.若将DE段轨道拆除,则小球能上升的最大高度与D点相距2R
答案　B
5.(2018江西上饶六校一联)如图所示,质量m=3 kg的小物块以初速度v0=4 m/s水平向右抛出,恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道,圆弧轨道的半径为R=3.75 m,B点是圆弧轨道的最低点,圆弧轨道与水平轨道BD平滑连接,A与圆心O的连线与竖直方向成37°角。MN是一段粗糙的水平轨道,小物块与MN间的动摩擦因数μ=0.1,轨道其他部分光滑。最右侧是一个半径为r=0.4 m的半圆轨道,C点是圆弧轨道的最高点,半圆轨道与水平轨道BD在D点平滑连接。
已知重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求小物块的抛出点离A点的高度h;
(2)若MN的长度为L=6 m,求小物块通过C点时所受轨道的弹力FN;
(3)若小物块恰好能通过C点,求MN的长度L'。
答案　(1)0.45 m　(2)60 N　(3)10 m
考点三　功能关系、能量守恒定律
1.(2018河北石家庄质检)如图所示,质量为m的物体A和质量为2m的物体B通过不可伸长的轻绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧。开始用手托着物体A使弹簧处于原长且细绳伸直,此时物体A与地面的距离为h,物体B静止在地面上。现由静止释放A,A与地面即将接触时速度恰好为0,此时物体B对地面恰好无压力,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.物体A下落过程中一直处于失重状态
B.物体A即将落地时,物体B处于失重状态
C.物体A下落过程中,弹簧的弹性势能最大值为mgh
D.物体A下落过程中,A的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小
答案　C
2.(2018湖北四地七校联考,10,6分)(多选)如图所示,两个可视为质点的小球a、b的质量均为m,a、b通过铰链用刚性轻杆连接,轻杆长度为L。a套在另一根固定的光滑竖直杆上, b放在光滑水平地面上,开始时a、b之间的轻杆可以认为是竖直静止的,在轻轻扰动下,a向下运动,b向右运动。不计一切摩擦,重力加速度大小为g。则(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为2gL
C.a下落过程中的某个时刻,其加速度大小可能等于g
D.a落地前,当a的机械能最小时,杆对b所做的功为4mgL27
答案　BCD
3.(2019届河南九校联考,14,12分)如图所示,传送带AB总长为l=10 m,与一个半径为R=0.4 m的光滑四分之一圆弧轨道BC相切于B点,传送带速度恒为v=6 m/s,方向向右,现有一个滑块以一定初速度从A点水平滑上传送带,滑块质量为m=10 kg,滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.1,已知滑块运动到B端时,刚好与传送带同速,求:
(1)滑块的初速度;
(2)滑块能上升的最大高度;
(3)滑块第二次在传送带上滑行时,滑块和传送带系统产生的内能。
答案　(1)214m/s或4 m/s　(2)1.8 m　(3)220 J
4.(2018湖北四地七校联考,15)如图所示,固定斜面的倾角θ=30°,物体A与斜面之间的动摩擦因数μ=32,轻弹簧下端固定在斜面底端,弹簧处于原长时上端位于C点。用一根不可伸长的轻绳,通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B,滑轮右侧绳子与斜面平行,A的质量为mA=2 kg,B的质量为mB=1 kg,物体A的初始位置到C点的距离为l=0.5 m。现给A、B一初速度v0=3 m/s,使A沿斜面向下运动,B向上运动,物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点。已知重力加速度g=10 m/s2,不计空气阻力,整个过程中轻绳始终处于伸直状态,求:
(1)物体A沿斜面向下运动,刚到C点时的速度大小。
(2)弹簧的最大压缩量。
(3)弹簧的最大弹性势能。
答案　(1)2 m/s　(2)0.2 m　(3)3 J
【方法集训】
方法1　机车启动问题的处理方法
1.(2018辽宁大连期中,2,4分)一辆质量为m的汽车在平直公路上以恒定功率P行驶,经过时间t,运动距离为x,速度从v1增加到v2,已知所受阻力大小恒为f,则下列表达式正确的是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.x=v1+v22t B.P=fv1
C.Pv1-Pv2=m(v2-v1)t D.Pt-fx=12mv22-12mv12
答案　D
2.(2017福建龙岩四校联考,9,4分)(多选)联合国气候变化大会达成《哥本哈根协议》,为减少二氧化碳排放,我国城市公交推出新型节能环保电动车,在检测某款电动车性能的实验中,质量为8×102kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶,达到的最大速度为15 m/s,利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v,并描绘出F-1v图像(图中AB、BO均为线段),假设电动车行驶中所受的阻力恒定,则由图像可得(　　)
A.在全过程中,电动车在B点时速度最大
B.电动车运动过程中所受的阻力
C.电动车的额定功率
D.电动车从开始运动到刚好达到最大速度所用的时间
答案　BC
3.(2019届河北衡水二调,20,10分)如图甲所示,一升降机在电动机的拉力作用下,由静止开始沿竖直方向向上运动,在电动机的带动下,升降机先做匀加速运动,5 s末电动机达到额定功率,之后保持额定功率不变,升降机运动的v-t图像如图乙所示,已知电动机的额定功率P=36 kW,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)升降机的总质量。
(2)升降机在0~ 8 s内上升的高度。
答案　(1)300 kg　(2)58.8 m
方法2　巧用动能定理求总路程的方法
1.(2018河北定州期中,22,15分)如图所示,一根轻弹簧左端固定于竖直墙上,右端被质量m=1 kg可视为质点的小物块压缩而处于静止状态,且弹簧与物块不拴接,弹簧原长小于光滑平台的长度。在平台的右端有一传送带,AB长L=5 m,物块与传送带间的动摩擦因数μ1=0.2,与传送带相邻的粗糙水平面BC长s=1.5 m,它与物块间的动摩擦因数μ2=0.3,在C点右侧有一半径为R的光滑竖直圆弧轨道与BC平滑连接,圆弧对应的圆心角为θ=120°,在圆弧轨道的最高点F处有一固定挡板,物块撞上挡板后会以原速率反弹回来。若传送带以v=5 m/s的速率顺时针转动,不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失。当弹簧储存的Ep=18 J能量全部释放时,小物块恰能滑到与圆心等高的E点,取g=10 m/s2。
(1)求右侧圆弧轨道的半径R;
(2)求小物块最终停下时与C点的距离;
(3)若传送带的速度大小可调,欲使小物块与挡板只碰一次,且碰后不脱离轨道,求传送带速度的可调节范围。
答案　(1)R=0.8 m　(2)13 m　(3)37 m/s≤v≤43 m/s
2.(2019届四川绵阳摸底,12,14分)如图所示,装置由AB、BC、CD三段轨道组成,轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接,其中轨道AB、CD段是光滑的,水平轨道BC的长度x=5 m,轨道CD足够长且倾角θ=37°,A、D两点离轨道BC的高度分别为h1=4.30 m,h2=1.35 m。现让质量为m的小滑块(可视为质点)自A点由静止释放。已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小滑块第一次到达D点时的速度大小;
(2)小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔;
(3)小滑块最终停止的位置距B点的距离。
答案　(1)3 m/s　(2)2 s　(3)1.4 m
方法3　巧用功能关系处理问题
1.(2018安徽皖南八校联考,12,4分)(多选)如图所示,竖直平面内有一固定的光滑轨道ABCD,其中倾角为θ=37°的斜面AB与半径为R的圆弧轨道平滑相切于B点,CD为竖直直径,O为圆心。质量为m的小球(可视为质点)从与B点高度差为h的位置A点沿斜面由静止释放。重力加速度大小为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是(　　)
A.当h=2R时,小球过C点时对轨道的压力大小为275mg
B.当h=2R时,小球会从D点离开圆弧轨道做平抛运动
C.当h=3R时,小球运动到D点时对轨道的压力大小为1.4mg
D.调整h的值,小球能从D点离开圆弧轨道,并能恰好落在B点
答案　AC
2.(2018湖北四地七校联考,16,14分)甲、乙是两只完全相同的排球,质量均为m。A、B是同一水平线的两个位置。排球甲由A点以初动能E0竖直向上抛出,在甲到达最高点的同一时刻,将排球乙由B点以某一较小初动能竖直向上抛出,最终,甲、乙同一时刻回到各自抛出点,甲回到A点的动能为kE0(k<1)。已知,两只排球在运动过程中空气阻力大小相等且恒定,重力加速度为g。求:
(1)取AB水平线为零势面,求甲在上升和下降过程中动能与重力势能相等时的高度分别是多少?
(2)乙球的初动能。
答案　(1)设空气阻力大小为f,甲上升的最大高度为H
甲上升过程,由动能定理有
(mg+f)H=E0(1分)
甲下降过程,由动能定理有
(mg-f)H=kE0(1分)
得:f=1?k1+kmg(1分)
H=(1+k)E02mg(1分)
设上升途中离AB高h1处第一次动能等于重力势能,有
mgh1=E0-(mg+f)h1(1分)
得h1=(1+k)E0(3+k)mg(1分)
设下降途中离AB高h2处第二次动能等于重力势能,有
(mg-f)(H-h2)=mgh2
得h2=k(k+1)E0(3k+1)mg(1分)
(2)E0(k+1)2
A组　
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
1.(2018课标Ⅱ,15,6分)高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下,与地面的碰撞时间约为2 ms,则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为(　　)
A.10 N B.102 N C.103 N D.104 N
答案　C
2.(2017课标Ⅱ,14,6分)如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力(　　)
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心
答案　A
3.(2016课标Ⅱ,19,6分)(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成,甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落,假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比,与球的速率无关。若它们下落相同的距离,则(　　)
A.甲球用的时间比乙球长
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
答案　BD
4.(2016课标Ⅱ,16,6分)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,P球的质量大于Q球的质量,悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起,使两绳均被水平拉直,如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点(　　)
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案　C
5.(2016课标Ⅲ,20,6分)(多选)如图,一固定容器的内壁是半径为R的半球面;在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中,克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时,向心加速度的大小为a,容器对它的支持力大小为N,则(　　)
A.a=2(mgR-W)mR B.a=2mgR-WmR
C.N=3mgR-2WR D.N=2(mgR-W)R
答案　AC
6.(2018课标Ⅰ,18,6分)如图,abc是竖直面内的光滑固定轨道,ab水平,长度为2R;bc是半径为R的四分之一圆弧,与ab相切于b点。一质量为m的小球,始终受到与重力大小相等的水平外力的作用,自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点,机械能的增量为(　　)
A.2mgR B.4mgR C.5mgR D.6mgR
答案　C
7.(2017课标Ⅱ,24,12分)为提高冰球运动员的加速能力,教练员在冰面上与起跑线相距s0和s1(s1(1)冰球与冰面之间的动摩擦因数;
(2)满足训练要求的运动员的最小加速度。
答案　(1)v02-v122gs0　(2)s1(v1+v0)22s02
8.(2016课标Ⅱ,25,20分)轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置在地面上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度l,然后放开,P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。
(1)若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离;
(2)若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求P的质量的取值范围。
答案　(1)6gl　22l　(2)53m≤M<52m
B组　
1.(2017课标Ⅲ,16,6分)如图,一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点,M点与绳的上端P相距13l。重力加速度大小为g。在此过程中,外力做的功为 (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.19mgl B.16mgl C.13mgl D.12mgl
答案　A
2.(2015课标Ⅱ,21,6分)(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则(　　)
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为2gh
C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g
D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg
答案　BD
3.(2016课标Ⅱ,21,6分)(多选)如图,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM<∠OMN<π2。在小球从M点运动到N点的过程中,(　　)
A.弹力对小球先做正功后做负功
B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零
D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
答案　
BCD
4.(2014课标Ⅱ,16,6分)一物体静止在粗糙水平地面上。现用一大小为F1的水平拉力拉动物体,经过一段时间后其速度变为v。若将水平拉力的大小改为F2,物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。对于上述两个过程,用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功,Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功,则(　　)
A.WF2>4WF1,Wf2>2Wf1 B.WF2>4WF1,Wf2=2Wf1
C.WF2<4WF1,Wf2=2Wf1 D.WF2<4WF1,Wf2<2Wf1
答案　C
5.(2015课标Ⅰ,17,6分)如图,一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置,直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落,恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时,对轨道的压力为4mg,g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则(　　)
A.W=12mgR,质点恰好可以到达Q点
B.W>12mgR,质点不能到达Q点
C.W=12mgR,质点到达Q点后,继续上升一段距离
D.W<12mgR,质点到达Q点后,继续上升一段距离
答案　C
6.(2018课标Ⅲ,25,20分)如图,在竖直平面内,一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O为圆心,OA和OB之间的夹角为α,sin α=35。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小;
(2)小球到达A点时动量的大小;
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
答案　(1)34mg　5gR2　(2)m23gR2　(3)355Rg
7.(2016课标Ⅲ,24,12分)如图,在竖直平面内有由14圆弧AB和12圆弧BC组成的光滑固定轨道,两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R,BC弧的半径为R2。
一小球在A点正上方与A相距R4处由静止开始自由下落,经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比;
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
答案　(1)设小球的质量为m,小球在A点的动能为EkA,由机械能守恒得EkA=mgR4①
设小球在B点的动能为EkB,同理有EkB=mg5R4②
由①②式得EkBEkA=5③
(2)若小球能沿轨道运动到C点,小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④
设小球在C点的速度大小为vC,由牛顿运动定律和向心加速度公式有N+mg=mvC2R2⑤
由④⑤式得,vC应满足mg≤m2vC2R⑥
由机械能守恒有mgR4=12mvC2⑦
由⑥⑦式可知,小球恰好可以沿轨道运动到C点。
C组　
1.(2015四川理综,1,6分)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出,不计空气阻力,则落在同一水平地面时的速度大小(　　)
A.一样大
B.水平抛的最大
C.斜向上抛的最大
D.斜向下抛的最大
答案　A
2.(2013课标Ⅱ,20,6分,0.515)(多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是(　　)
A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
答案　BD
3.(2014山东理综,20,6分)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想:如图,将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上,与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接,然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m,月球半径为R,月面的重力加速度为g月。以月面为零势能面,“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep=GMmhR(R+h),其中G为引力常量,M为月球质量。若忽略月球的自转,从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.mg月RR+h(h+2R) B.mg月RR+h(h+2R)
C.mg月RR+hh+22R D.mg月RR+hh+12R
答案　D
4.(2014上海单科,11,3分)静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升,在某一高度撤去恒力。不计空气阻力,在整个上升过程中,物体机械能随时间变化关系是(　　)
答案　C
5.(2017江苏单科,9,4分)(多选)如图所示,三个小球A、B、C的质量均为m,A与B、C间通过铰链用轻杆连接,杆长为L。B、C置于水平地面上,用一轻质弹簧连接,弹簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点,两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、B、C在同一竖直平面内运动,弹簧在弹性限度内,忽略一切摩擦,重力加速度为g。则此下降过程中(　　)
A.A的动能达到最大前,B受到地面的支持力小于32mg
B.A的动能最大时,B受到地面的支持力等于32mg
C.弹簧的弹性势能最大时,A的加速度方向竖直向下
D.弹簧的弹性势能最大值为32mgL
答案　AB
6.(2014福建理综,18,6分)如图,两根相同的轻质弹簧,沿足够长的光滑斜面放置,下端固定在斜面底部挡板上,斜面固定不动。质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端。现用外力作用在物块上,使两弹簧具有相同的压缩量;若撤去外力后,两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧,则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程,两物块(　　)
A.最大速度相同
B.最大加速度相同
C.上升的最大高度不同
D.重力势能的变化量不同
答案　C
7.(2015浙江理综,18,6分)(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器。舰载机总质量为3.0×104 kg,设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N;弹射器有效作用长度为100 m,推力恒定。要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s。弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和,假设所受阻力为总推力的20%,则(　　)
A.弹射器的推力大小为1.1×106 N
B.弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C.弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D.舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
答案　ABD
8.(2015北京理综,18,6分)“蹦极”运动中,长弹性绳的一端固定,另一端绑在人身上,人从几十米高处跳下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。从绳恰好伸直,到人第一次下降至最低点的过程中,下列分析正确的是(　　)
A.绳对人的冲量始终向上,人的动量先增大后减小
B.绳对人的拉力始终做负功,人的动能一直减小
C.绳恰好伸直时,绳的弹性势能为零,人的动能最大
D.人在最低点时,绳对人的拉力等于人所受的重力
答案　A
9.(2017江苏单科,3,3分)一小物块沿斜面向上滑动,然后滑回到原处。物块初动能为Ek0,与斜面间的动摩擦因数不变,则该过程中,物块的动能Ek与位移x关系的图线是(　　)
答案　C
10.(2016浙江理综,18,6分)(多选)如图所示为一滑草场。某条滑道由上下两段高均为h,与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成,滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ。质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑,经过上、下两段滑道后,最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)。则(　　)
A.动摩擦因数μ=67
B.载人滑草车最大速度为2gh7
C.载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为35g
答案　AB
11.(2014大纲全国,19,6分)一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时,上升的最大高度为H,如图所示;当物块的初速度为v2时,上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为(　　)
A.tan θ和H2 B.v22gH-1 tan θ和H2
C.tan θ和H4 D.v22gH-1 tan θ和H4
答案　D
12.(2018天津理综,2,6分)滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB,从滑道的A点滑行到最低点B的过程中,由于摩擦力的存在,运动员的速率不变,则运动员沿AB下滑过程中(　　)
A.所受合外力始终为零
B.所受摩擦力大小不变
C.合外力做功一定为零
D.机械能始终保持不变
答案　C
13.(2018江苏单科,7,4分)(多选)如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端连接一小物块,O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放,沿粗糙程度相同的水平面向右运动,最远到达B点。在从A到B的过程中,物块(　　)
A.加速度先减小后增大
B.经过O点时的速度最大
C.所受弹簧弹力始终做正功
D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
答案　AD
14.(2014安徽理综,15,6分)如图所示,有一内壁光滑的闭合椭圆形管道,置于竖直平面内,MN是通过椭圆中心O点的水平线。已知一小球从M点出发,初速率为v0,沿管道MPN运动,到N点的速率为v1,所需时间为t1;若该小球仍由M点以初速率v0出发,而沿管道MQN运动,到N点的速率为v2,所需时间为t2。则(　　)
A.v1=v2,t1>t2 B.v1t2
C.v1=v2,t1答案　A
15.(2014江苏单科,15,16分)如图所示,生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙,甲的速度为v0。小工件离开甲前与甲的速度相同,并平稳地传到乙上,工件与乙之间的动摩擦因数为μ。乙的宽度足够大,重力加速度为g。
(1)若乙的速度为v0,求工件在乙上侧向(垂直于乙的运动方向)滑过的距离s;
(2)若乙的速度为2v0,求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小v;
(3)保持乙的速度2v0不变,当工件在乙上刚停止滑动时,下一只工件恰好传到乙上,如此反复。若每个工件的质量均为m,除工件与传送带之间摩擦外,其他能量损耗均不计,求驱动乙的电动机的平均输出功率 P。
答案　(1)2v022μg　(2)2v0　(3)45μmgv05
16.(2017上海单科,19,14分)如图,与水平面夹角θ=37°的斜面和半径R=0.4 m的光滑圆轨道相切于B点,且固定于竖直平面内。滑块从斜面上的A点由静止释放,经B点后沿圆轨道运动,通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零。已知滑块与斜面间动摩擦因数μ=0.25。(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:
(1)滑块在C点的速度大小vC;
(2)滑块在B点的速度大小vB;
(3)A、B两点间的高度差h。
答案　(1)2 m/s　(2)4.29 m/s　(3)1.38 m
17.(2017江苏单科,14,16分)如图所示,两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上,其上有一光滑圆柱C,三者半径均为R。C的质量为m,A、B的质量都为m2,与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A,使A缓慢移动,直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。求:
(1)未拉A时,C受到B作用力的大小F;
(2)动摩擦因数的最小值μmin;
(3)A移动的整个过程中,拉力做的功W。
答案　(1)33mg
(2)32
(3)(2μ-1)(3-1)mgR
18.(2015重庆理综,8,16分)同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图所示的实验装置。图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板。M板上部有一半径为R的14圆弧形的粗糙轨道,P为最高点,Q为最低点,Q点处的切线水平,距底板高为H。N板上固定有三个圆环。将质量为m的小球从P处静止释放,小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心,落到底板上距Q水平距离为L处。不考虑空气阻力,重力加速度为g。求:
(1)距Q水平距离为L2的圆环中心到底板的高度;
(2)小球运动到Q点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向;
(3)摩擦力对小球做的功。
答案　(1)34H
(2)Lg2H　mg1+L22HR　方向竖直向下
(3)mgL24H-R
19.(2016天津理综,10,16分)我国将于2022年举办冬奥会,跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示,质量m=60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6 m/s2匀加速滑下,到达助滑道末端B时速度vB=24 m/s,A与B的竖直高度差H=48 m。为了改变运动员的运动方向,在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接,其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差 h=5 m,运动员在B、C间运动时阻力做功W=-1 530 J,取g=10 m/s2。
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小;
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍,则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。
答案　(1)144 N　(2)12.5 m
20.(2015天津理综,10,16分)某快递公司分拣邮件的水平传输装置示意如图,皮带在电动机的带动下保持v=1 m/s的恒定速度向右运动,现将一质量为m=2 kg的邮件轻放在皮带上,邮件和皮带间的动摩擦因数μ=0.5。设皮带足够长,取g=10 m/s2,在邮件与皮带发生相对滑动的过程中,求
(1)邮件滑动的时间t;
(2)邮件对地的位移大小x;
(3)邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功W。
答案　(1)0.2 s　(2)0.1 m　(3)-2 J
21.(2015山东理综,23,18分)如图甲所示,物块与质量为m的小球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连接。物块置于左侧滑轮正下方的表面水平的压力传感装置上,小球与右侧滑轮的距离为l。开始时物块和小球均静止,将此时传感装置的示数记为初始值。现给小球施加一始终垂直于l段细绳的力,将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成60°角,如图乙所示,此时传感装置的示数为初始值的1.25倍;再将小球由静止释放,当运动至最低位置时,传感装置的示数为初始值的0.6倍。不计滑轮的大小和摩擦,重力加速度的大小为g。求:
图甲　　　　　　　　　图乙
(1)物块的质量;
(2)从释放到运动至最低位置的过程中,小球克服空气阻力所做的功。
答案　(1)3m　(2)0.1mgl
22.(2017课标Ⅰ,24,12分)一质量为8.00×104 kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105 m处以 7.50×103 m/s的速度进入大气层,逐渐减慢至速度为100 m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点,在飞船下落过程中,重力加速度可视为常量,大小取为 9.8 m/s2。(结果保留2位有效数字)
(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能;
(2)求飞船从离地面高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功,已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。
答案　(1)4.0×108 J　2.4×1012 J　(2)9.7×108 J
23.(2018天津理综,10,16分)我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后,拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动,当位移x=1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v=80 m/s。已知飞机质量m=7.0×104 kg,滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍,重力加速度取g=10 m/s2。求飞机滑跑过程中
(1)加速度a的大小;
(2)牵引力的平均功率P。
答案　(1)2 m/s2　(2)8.4×106 W
24.(2015四川理综,9,15分)严重的雾霾天气,对国计民生已造成了严重的影响,汽车尾气是形成雾霾的重要污染源,“铁腕治污”已成为国家的工作重点。地铁列车可实现零排放,大力发展地铁,可以大大减少燃油公交车的使用,减少汽车尾气排放。
若一地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动,先匀加速运动20 s达最高速度72 km/h,再匀速运动 80 s,接着匀减速运动15 s到达乙站停住。设列车在匀加速运动阶段牵引力为1×106 N,匀速运动阶段牵引力的功率为6×103 kW,忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功。
(1)求甲站到乙站的距离;
(2)如果燃油公交车运行中做的功与该列车从甲站到乙站牵引力做的功相同,求公交车排放气态污染物的质量。(燃油公交车每做1焦耳功排放气态污染物3×10-6克)
答案　(1)1 950 m　(2)2.04 kg
25.(2018江苏单科,14,16分)如图所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为53°。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
(1)小球受到手的拉力大小F;
(2)物块和小球的质量之比M∶m;
(3)小球向下运动到最低点时,物块M所受的拉力大小T。
答案　(1)53Mg-mg　(2)6∶5
(3)根据机械能守恒定律,小球回到起始点。设此时AC方向的加速度大小为a,物块受到的拉力为T
由牛顿运动定律得Mg-T=Ma　
小球受AC的拉力T'=T
由牛顿运动定律得T'-mg cos 53°=ma
解得T=8mMg5(m+M)(T=4855mg或T=811Mg)
26.(2014福建理综,21,19分)图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图,整个轨道在同一竖直平面内,表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切。点A距水面的高度为H,圆弧轨道BC的半径为R,圆心O恰在水面。一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下,不计空气阻力。
(1)若游客从A点由静止开始滑下,到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点,OD=2R,求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf;
(2)若游客从AB段某处滑下,恰好停在B点,又因受到微小扰动,继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道,求P点离水面的高度h。(提示:在圆周运动过程中任一点,质点所受的向心力与其速率的关系为F向=mv2R)
答案　(1)2gR　-(mgH-2mgR)　(2)23R
【三年模拟】
一、选择题(每小题6分,共60分)
1.(2019届全国名校联盟,15)如图所示,两质量均为m=1 kg的小球a、b(均可视为质点)用长为L=1 m的轻质杆相连,水平置于光滑水平面上,且小球a恰好与光滑竖直墙壁接触。现用力F竖直向上拉动小球a,当杆与竖直墙壁夹角θ=37°时,小球b的速度大小v=1.6 m/s。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则此过程中力F所做的功为(　　)
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.8 J B.8.72 J C.10 J D.9.28 J
答案　C
2.(2018湖北四地七校联考,2)如图所示,小球位于光滑的曲面上,曲面体位于光滑的水平地面上,从地面上看,在小球沿曲面下滑的过程中,曲面体对小球的作用力(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.垂直于接触面,做功为零
B.垂直于接触面,做负功
C.不垂直于接触面,做功为零
D.不垂直于接触面,做正功
答案　B
3.(2018湖南永州联考,10)(多选)如图所示,A、B两球分别套在两光滑无限长的水平直杆上,两球通过一轻绳绕过一定滑轮(轴心固定不动)相连。某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β,A球向左的速度为v,下列说法正确的是(　　)
A.此时B球的速度大小为cosαcosβv
B.此时B球的速度大小为cosβcosαv
C.当β增大到90°时,B球的速度为零
D.在β增大到90°的过程中,绳对B球的拉力一直做正功
答案　AD
4.(2017河北衡水摸底,4)如图所示,小球在水平拉力作用下,以恒定速率v沿竖直光滑圆弧轨道由A点运动到B点,在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.逐渐减小 B.逐渐增大
C.先减小,后增大 D.先增大,后减小
答案　B
5.(2018四川成都九校联考,4)(多选)如图,用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P,小船的质量为m,小船受到的阻力大小恒为f,经过A点时的速度大小为v0,小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t,小船到B点时缆绳与水平方向的夹角为θ,A、B两点间距离为d,缆绳质量忽略不计,则下列说法正确的是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.小船从A点运动到B点的全过程阻力做功为fd
B.小船经过B点时的速度大小为v02+2m(Pt-fd)
C.小船在A点时的加速度大小为Pmv0-fm
D.小船在B点时的加速度大小为Pm2v02+2m(Pt-fd)cos θ-fm
答案　BC
6.(2018安徽皖南八校联考,7)在粗糙的水平面上固定一挡板,一质量不计的弹簧左端固定在挡板上,一可视为质点的质量为m的物块A放在弹簧的右端,初始时刻弹簧为原长,物块与弹簧未连接,现瞬间给物块一向左的初速度,使其将弹簧压缩,经过一段时间弹簧将物块弹开,在整个运动过程中弹簧的最大压缩量为l。已知物块的初速度大小为v0、物块与水平面之间的动摩擦因数为μ。则下列说法不正确的是(　　)
A.物块向右运动与弹簧分离前,物块的动能先增大后减小
B.弹簧最短时,弹簧具有的弹性势能为12mv02
C.物块与弹簧分离前二者组成的系统机械能一直减小
D.当物块离开弹簧滑动到速度为零时,物块与出发点之间的距离为v022μg-2l
答案　B
7.(2018山西太原一模)如图所示,两个人利用机械装置提升相同的重物。已知重物匀速上升,相同的时间内两重物提升的高度相同。不考虑绳、滑轮的质量及摩擦,在重物上升的过程中人拉力的作用点保持不变,(θ一直小于30°)则(　　)
A.站在地面的人比站在二楼的人省力
B.站在地面的人对绳的拉力越来越大
C.站在二楼的人对绳的拉力越来越大
D.同一时刻,二楼的人对绳拉力的功率小于地面的人对绳拉力的功率
答案　C
8.(2017福建师大附中期中,6)如图甲所示,一物体悬挂在细绳下端,由静止开始沿竖直方向运动,运动过程中物体的机械能E与物体通过的路程x的关系图像如图乙所示,其中0~x1过程的图线为曲线,x1~x2过程的图线为线段(忽略空气阻力)。则下列说法正确的是(　　)
A.0~x1过程中物体所受拉力一定大于重力
B.0~x1过程中物体的动能一定增加
C.x1~x2过程中物体可能做匀速直线运动
D.x1~x2过程中物体可能做变加速直线运动
答案　C
9.(2018河南调研联考)(多选)如图所示,轻弹簧一端固定于倾角为θ(θ<45°)的光滑斜面(固定)上方的O点,O点到斜面的距离OQ等于弹簧的原长L,弹簧另一端与小滑块(可视为质点)连接。在斜面上移动滑块至P点,使弹簧处于水平状态。现将滑块从P点由静止释放,滑块沿斜面运动到O点正下方M点,该过程中弹簧始终在弹性限度内。重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.滑块经过Q点时的速度最大
B.滑块经过M点时的速度大于2gLcosθ
C.滑块从P点运动到Q点的过程中,其加速度一直在减小
D.滑块从P点运动到Q点过程中动能的增量比从Q点运动到M点过程中动能的增量小
答案　BC
10.(2019届东北三校联考,8)(多选)质量分别为m1和m2的木块A和B之间用一轻质弹簧相连,然后将它们静置于一底端带有挡板的光滑斜面上,其中B置于斜面底端的挡板上。设斜面的倾角为θ,弹簧的劲度系数为k。现用一平行于斜面的恒力F拉木块A使A沿斜面由静止开始向上运动,当木块B恰好对挡板的压力为零时,木块A在斜面上运动的速度为v,则下列说法正确的是(　　)
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.此时弹簧的弹力大小为m1g sin θ
B.拉力F在该过程中对木块A所做的功为F(m1+m2)gsinθk
C.木块A在该过程中重力势能增加了m1(m1+m2)g2sin2θk
D.弹簧在该过程中弹性势能增加了F(m1+m2)gsinθk-12m1v2
答案　BC
二、非选择题(共25分)
11.(12分)(2019届吉林长春外国语学校摸底,12)如图所示,质量为m的滑块放在光滑的水平平台上,平台右端B与水平传送带相接,传送带的运行速度为v0,长为L。现将滑块缓慢水平向左移动压缩固定在平台上的轻弹簧,到达某处时突然释放,当滑块滑到传送带右端C时,恰好与传送带速度相同。滑块与传送带间的动摩擦因数为μ。
(1)试分析滑块在传送带上的运动情况;
(2)若滑块离开弹簧时的速度大于传送带的速度,求释放滑块时弹簧具有的弹性势能;
(3)若滑块离开弹簧时的速度大于传送带的速度,求滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量。
答案　(1)若滑块冲上传送带时的速度小于传送带的速度,则滑块由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动;若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度,则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动。
(2)12mv02+μmgL
(3)μmgL-mv0(v02+2μgL-v0)
12.(13分)(2018湖北八校二联)如图所示,竖直平面内放一直角杆,杆的各部分均光滑,水平部分套有质量为mA=3 kg的小球A,竖直部分套有质量为mB=2 kg的小球B,A、B之间用不可伸长的轻绳相连。在水平外力F的作用下,系统处于静止状态,且OA=3 m,OB=4 m,重力加速度g=10 m/s2。
(1)求水平拉力F的大小和水平杆对小球A的弹力FN的大小;
(2)若改变水平力F大小,使小球A由静止开始,向右做加速度大小为4.5 m/s2的匀加速直线运动,求经过 23 s拉力F所做的功。
答案　(1)15 N　50 N　(2)49.5 J

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