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通州区高三年级第一次模拟考试
数学（理科）试卷
2019年4月
考生须知 1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟． 2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分． 3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,,则M∩N＝
A．{-2，-1 }　　　B．{-1，0 }　　C．{0，1}　　 D．{1，2 }　
2. 已知，则下列不等式中成立的是
A．　　　　　B．　　 C． 　　 D．
3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
A．　 B. 　 C.　 D.



4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N等于

A．7　　　　 B. 8　 C. 9　 D. 10
　　
5.设抛物线的焦点为，已知点，，，都在抛物线上，则M，N，P，Q四点中与焦点F距离最小的点是
A．M　　　 　　 　B．N　　　 　　C．P D．Q
6.“”是“方程表示双曲线”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为
A. B.
C. D.



8.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…．若数对满足，其中，则数对排在
A．第351位　　　 B．第353位　　 　C．第378位 D．第380位

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于第象限．
10.在中，，，，则．
11．若实数x，y满足则的最大值是．
12. 能说明“若函数满足，则在内不存在零点”为假命题的一个函数是 ．
13.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有个(用数字作答)．
14.在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，就称这个函数是点的“限定函数”． 以下函数：①，②，③，④，其中是原点的“限定函数”的序号是．已知点在函数的图象上，若函数是点的“限定函数”，则的取值范围是 　　 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）当时恒成立，求m的取值范围．
16．（本小题13分）
某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

职工甲 职工乙
（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）右图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
17．（本小题14分）
如图1，菱形中，，，于．将沿 QUOTE 翻折到 QUOTE ，使，如图2．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）设F为上一点，若EF//平面，求的值．

18．（本小题14分）
已知椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于A，B两点，若点满足，求证：由点构成的曲线关于直线对称．
19．（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，
（ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）若在区间内单调递减，求的取值范围．

20．（本小题13分）
定义集合M与集合N之差是由所有属于M且不属于N的元素组成的集合，记作．已知集合．
（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？
（Ⅲ）设集合，且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．




通州区高三年级第一次模拟考试
数学（理科）试卷参考答案及评分标准
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B A A C B

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．三
10．7
11．1
12．(答案不唯一)
13．48
14． ① ③ ,
三、解答题：本大题共6小题，共80分．　
15．解：（Ⅰ）
………………3分
………………4分
， ………………5分
所以最小正周期； ………………6分
（Ⅱ）因为，
所以，． ………………7分

所以当，即时，有最小值．…………10分
所以 有最小值． ………………11分
因为当时恒成立，
所以，
即的取值范围是． 　　　　　　　　　　　　　　　　 …………13分


16．解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件． ..........1分
从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以； ..........3分
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2， ..........4分
，，．..........7分
的分布列为
0 1 2


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　..........8分
； ..........10分
（Ⅲ）3月3日． 　..........13分
由直方图知，微信记步数落在[20,25]，[15,20)，[10,15)，[5,10)，[0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人．由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000---20000之间，根据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日. 所以只有3月3日符合要求．

17．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，
因为DE⊥AB，所以DE⊥AE，DE⊥EB．
所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………1分
因为,，
所以 ………………3分
因为，
所以 ………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，
如图建立空间直角坐标系E-xyz，则 ………………5分
E(0,0,0)，B(2,0,0)，， ，
所以
. ………………6分
设平面的法向量
由 ………………7分
得
所以
令，则．
所以． 　　　　………………8分
所以，
又 ，
所以． ………………9分
所以直线与平面所成角的正弦值为. 　　　………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
设，则 　　　　………………11分
． 　　　　　 ………………12分
因为EF//平面
所以 　　　
即． ………………13分
所以即． 　　　
所以. 　　　　　　　　　　………………14分
18．解：（Ⅰ）由已知，得，，所以．　　　 ..........3分
又，所以． 　　　　　　　　　　　　　　　　　..........4分
所以椭圆的标准方程为，离心率．　　　　　　 ..........5分
（Ⅱ）设．
①当直线与轴垂直时，点,的坐标分别为，．
因为 ，，，
所以．
所以，，即点与原点重合．　　　　　　　　　　　　　..........6分
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．　　　　.......... ..........7分
由
得， .......... ..........8分
．
所以，． .......... ..........9分
因为，，，
所以．
所以．
，． .......... ..........11分
消去得．
综上，点M构成的曲线的方程为． .......... ..........12分
对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．把的坐标代入曲线的方程的左端：
．
所以点也在曲线上．
所以由点构成的曲线关于直线对称． ......... ......... ......14分

19．解: （Ⅰ）当时，，. 　　..........1分
所以， . .........2分
所以曲线在点处的切线方程为
， .....................................3分
即；　　 .....................................4分
（Ⅱ）时，
（ⅰ），定义域为， ..........................5分
所以=． .......... ........ ..............7分
令，得． .......... ........ ..........8分
①当时，在和，；在，．
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；.........9分
②当时，在，；在和，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和；....10分
（ⅱ）由在区间内单调递减，
①当时，，有，所以； ..........11分
②当时, 在递减，符合题意． ..........12分
综上的取值范围是． ..........13分
20. 解：（Ⅰ）集合的所有元素是:； ............................2分
（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即．这样的数列只有1个：；　　　............................4分
当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即．这样的数列首项可以是中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列．......... ......... .......6分
（Ⅲ）将集合S中元素列表如下：
1 2 3 ┈ 10
11 12 13 ┈ 20
21 22 23 ┈ 30
┆ ┆ ┆ ┆ ┆
91 92 93 ┈ 100
表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．
假设存在含有10个元素的集合A，使得S-A中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A中的唯一一个元素．
记表中第行第列的数为．若第i(1≤i≤9)行中集合A的唯一元素为(i,j)，则第i+1行中(i+1,1),(i+1,2),┈(i+1,j)中必有集合A中元素．
若第i(1≤i≤9)行的第一个数在集合A中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A的唯一元素只可能在第十行．
同理，若第i(1≤i≤8)行的第二个数在集合A中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A的唯一元素只可能在第九行．
依此类推，得A={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．
此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．
综上，原命题成立． ...........................13分





注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．
































































































































































































































2019.4

图2

图1



13

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