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5.1矩形 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．测量门框的三个角，是否都是直角
2．如图，四边形ABCD为长方形，△BED与△BCD关于直线BD对称，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
3．已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是（　　）
A．AC＝BD B．AB＝BC
C．AC与BD互相平分 D．AC⊥BD
4．如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形ABCD是矩形．求证，AC＝BD．以下是排乱的证明过程：①∴AB＝CD、∠ABC＝∠DCB．②∵BC＝CB③∵四边形ABCD是矩形，④∴AC＝DB⑤∴△ABC≌△DCB．证明步骤正确的顺序是（　　）
A．③①②⑤④ B．②①③⑤④ C．②⑤①③④ D．③⑤②①④
5．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3 B． C． D．4
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A．2.5 B．2.4 C．2 D．3
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共6小题）
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则矩形ABCD的面积为　 　．
10．在劳技课上莹莹用一根铁丝正好围成一个长方形，若此长方形的一边长为（2a+b）cm，另一边比这条边长（a﹣b）cm，则这根铁丝的长为　 　cm．
11．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝　 　时，四边形ABEC是矩形．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形．
13．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件　 　时，四边形PEMF为矩形．
14．如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ＝　 　；（2）第n个矩形的边长分别是　 　．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在?ABCD，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD、EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠BOD＝100°，则当∠A＝　 　时，四边形BECD是矩形．
16．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP⊥PC，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP＝5，AB＝BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD＝PM，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．
17．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE的度数是多少？
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
5.1矩形 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．测量门框的三个角，是否都是直角
解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的方法是：一个角是直角的平行四边形是矩形．
∵一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的另一个方法是：先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
∵两条对角线相等的平行四边形是矩形，
∴测量两条对角线是否相等可用．
而测量两条对角线是否互相平分不能判定是否是矩形，
故选：C．
2．如图，四边形ABCD为长方形，△BED与△BCD关于直线BD对称，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
解：如图：
∵折叠的性质得出△ABD与△CDB，△EDB形状完全相同，即全等，
，
得出△ABF≌△EDF（AAS），
所以图中的全等三角形有：△ABD≌△CDB，△ABD≌△EDB，△CDB≌△EDB，△ABF≌△EDF共有4对，
故选：C．
3．已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是（　　）
A．AC＝BD B．AB＝BC
C．AC与BD互相平分 D．AC⊥BD
解：∵有一个直角的平行四边形是矩形，
∴只要四边形ABCD是平行四边形，即可判定四边形ABCD是矩形，
∴添加AC与BD互相平分
故选：C．
4．如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形ABCD是矩形．求证，AC＝BD．以下是排乱的证明过程：①∴AB＝CD、∠ABC＝∠DCB．②∵BC＝CB③∵四边形ABCD是矩形，④∴AC＝DB⑤∴△ABC≌△DCB．证明步骤正确的顺序是（　　）
A．③①②⑤④ B．②①③⑤④ C．②⑤①③④ D．③⑤②①④
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD、∠ABC＝∠DCB＝90°．
∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC＝DB，
∴证明步骤正确的顺序是：③①②⑤④，
故选：A．
5．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
解：根据图形，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
则得到：∠1+∠3＝90°，
根据三角形内角和定理得到：∠AFB＝∠EFG＝90°，
同理，平行四边形的相邻角的平分线一定互相垂直，
因而平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成四边形，四边形的四个内角一定是直角，即四边形是矩形．
故选：A．
6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3 B． C． D．4
解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A．2.5 B．2.4 C．2 D．3
解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP×BC＝AB×AC，
∴AP×BC＝AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，
∵AB＝6，AC＝8，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝，
∴AM＝，
故选：B．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解：①设AB＝a，则AD＝a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．
∴在Rt△ABE中，AE＝a，∴AE＝BE．①正确；
②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，∴DH＝AH＝a．∴DH＝DC．
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED＝∠CED正确；
③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB．
∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°．
又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD．
∠HEB＝∠FDH＝45°，又BE＝DH＝a，
∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH＝HF，③正确；
④由△BHE≌△HFD得到HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝，
则CF＝a﹣（）＝2a﹣，∴，即CF＝DF，∴④错误；
⑤BC＝a，CF＝2a﹣，HE＝，
∴BC﹣CF＝2HE，∴⑤正确；
综上所述，正确的是①②③⑤共4个．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则矩形ABCD的面积为　16　．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝4，∠ADB＝30°，
∴BD＝8，
∴AD＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?AD＝4×4＝16，
故答案为：16．
10．在劳技课上莹莹用一根铁丝正好围成一个长方形，若此长方形的一边长为（2a+b）cm，另一边比这条边长（a﹣b）cm，则这根铁丝的长为　10a+2b　cm．
解：∵一根铁丝正好围成一个长方形，一边长为（2a+b）cm，另一边比它长（a﹣b）cm，
∴另一边长为：2a+b+a﹣b＝3a（cm），
∴此长方形的周长为（2a+b+3a）×2＝10a+2b（cm）；
故答案为：10a+2b．
11．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝　2　时，四边形ABEC是矩形．
解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，
由题意易得AB∥EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∴四边形ABEC是矩形，
故答案为：2．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，　3　秒后四边形ABPD是矩形．
解：当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，
此时：AB＝DP＝4，CD＝5，
在Rt△DPC中，CP＝，
所以3秒后四边形ABPD是矩形，
故答案为：3
13．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件　AB＝BC　时，四边形PEMF为矩形．
解：AB＝BC时，四边形PEMF是矩形．
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB＝BC，
∴AB＝DC＝AM＝MD，∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠MCD＝45°，
∴∠BMC＝90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM＝∠PEM＝90°，
∴四边形PEMF是矩形．
14．如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ＝　5　；（2）第n个矩形的边长分别是　10×，5×　．
解：（1）∵AM⊥MB，且M为CD的中点，AM＝MB，
∴∠DAM＝∠DMA，∴AD＝DM＝CD，
又已知矩形ABCD的周长为30，所以CD＝10，
所以PQ＝
故答案为5，
（2）由第一问求得：第一个矩形的长为：10，宽为5，
又点P、Q是AM、BM的中点，所以之后得到的矩形长宽比例为2：1，
在△ABM中，PQ＝5，则宽为，
则可得出：第n个矩形的边长分别是10×，5×，
故答案为10×，5×，
三．解答题（共4小题）
15．如图，在?ABCD，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD、EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠BOD＝100°，则当∠A＝　50°　时，四边形BECD是矩形．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠BOD＝100°，则当∠A＝50°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案是：50°．
16．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP⊥PC，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP＝5，AB＝BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD＝PM，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．
解：（1）∵AP＝PC，AP⊥PC，
∴AC＝AP＝5
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB＝，BC＝3
∴S四边形ABCD＝AB×BC＝15
（2）AC＝AP+PN
如图．延长AP，CD交于点E
∵AP＝PC，AP⊥PC，
∴∠APC＝90°，∠PAC＝∠PCA＝45°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠APC
∴点A，点C，点D，点P四点共圆
∴∠PDA＝∠PCA＝45°，∠PCD＝∠PAD，∠DPC＝∠DCA，
∵PM⊥PD
∴∠PMD＝∠PDM＝45°
∴PM＝PD，且PM＝CD
∴PD＝CD，
∴∠DPC＝∠DCP
∴∠PAD＝∠DAC，且AD＝AD，∠ADE＝∠ADC＝90°
∴△ADE≌△ADC（ASA）
∴AC＝AE，
∵AP＝PC，∠APC＝∠EPC＝90°，∠PCE＝∠PAD
∴△PAN≌△PEC（ASA）
∴PN＝PE
∴AC＝AE＝AP+PE＝AP+PN
17．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE的度数是多少？
解：（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵∠ADC＝90°，∠ADB：∠CDB＝2：3，
∴∠ADB＝36°
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADB＝36°，
∴∠DOC＝72°．
∵DE⊥AC，
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝18°．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴四边形AEBC是矩形；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，
∵四边形AEBC是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝EO，
∴AF＝OF，
∴AG＝OG，
∴∠GOF＝∠GAF＝30°，
∴∠CGO＝60°，
∴∠COG＝90°，
∵OC＝OA＝AB＝3，
∴OG＝，
∴△OGC的面积＝×3×＝．

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