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第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数
9.1约数、倍数
[同步巩固演练]
1、试求下列各数的约数的个数：
（1）3136； （2）46305
2、试求下列各数的约数的和：
（1）1998： （2）16200
3、甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。
4、100以内能被3与7整除的最大奇数是几？最大偶数是几？
5、小于200的有14个约数的自然数是多少？
6、有奇数个约数的三位数是多少个？
7、在所有两位数中，哪个数的约数最多？最多有多少个约数？
8、有12个数约数的最小自然数是几？
9、求出不大于30且有八个约数的最大自然数。
10、求小于1000的只有15个约数的最大自然数。
11、能同时被2，3，5，7整除的最小四位数是几？
12、把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11倍的数，求此二个数。
13、四个连续的自然数的积是3024，求此四个数。
14、十个连续的三位数，最大不超过130，这十个数的和是77倍数，求这十个数。
[能力拓展平台]
1、求50至70之间只有4个不同约数的所有自然数。
2、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a与b。
3、一个数的约数中，将所有约数两两求和，所有的和中，最小的是3，最大的是1200，求这个数。
4、修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？
5、一个数如果等于除它本身外的所有约数的和，则称此数为完全数，已知30以内有两个完全数，试把它们找出来，并请找出，在496，996，4128中哪几个完全数？
6、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1，1，2，3，5，8，13，21，…。在这串数的前2000个数中，共有多少个6的倍数。
9.2 最大公约数、最小公倍数
[同步巩固演练]
1、求35，98，112的最大公约数与最小公倍数。
2、求403，527，713的最大公约数与最小公倍数。
3、老师将301个笔记本，215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，每个同学各拿到多少？
4．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？
5．某校全体学生列队，不论他们人数相等地分成2队，3队，4队，5队，6队，7队，8队或9队，都会多出1人，那么该校至少有多少名学生？
6．已知两数的最大公约数是8，最小公倍数是64，求这两个数。
7．两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。
8．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和是16，求这两个整数。
9．两个自然数的差是3，它们的最大公约数与最小公倍数的积是180，求这两个数。
10．一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角中树，每2棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？
11．已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个自然数。
12．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？
13．将长25分米，宽20米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？
14．一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克，求一个地雷的重量？
15．甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54人、48人和72人，现要在各班内分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同。锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班各有多少个小组？
16．设计一种底面为正方形的包装箱，装运四种不同规则的象棋。每种棋盒底面都是正方形，边长分别是21厘米、12厘米、14厘米和10.5厘米。要使包装箱不论装运哪一种规格的象棋都能铺满底面，问包装底面的边至少是多少厘米？
17．一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它裁成若干个同样大的正方形，纸张不能有剩余，正方形边长最大多少厘米？
18．某数与24的最大公约数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？
19．所有形如的六位数中（其中a，b，c均为从0到9的整数a≠0）它们的最大公约数是多少？
20．某公共汽车站有三条线路通往不同地方。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二条线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次，三条线路在同一时间发车后，再过多少分钟又同时发车？
[能力拓展平台]
1、（北京市第三届迎春杯试题）四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？
2、（天津市“我爱数学”试题）两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是几？
3、（南京市第二届“兴趣杯”决赛题）七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是几？
4、两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？
5、设a与b为两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72那么a与b之和可以有多少种不同的值？
6、在被除数小于100的条件下，在方格中填上适当的数


□=4……4
□÷ □=5……5
□=6……6
7、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，至少可截成多少段？
8、将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）
9、一排电线杆的每相邻两根的距离，原来都是45米，现在改成60米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不移动？如果马路全长5400米，一共有多少根可以不移动？
10、某厂加工一种机器零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各分配几个工人？
11、两个数的差是48，最小公倍数是60，求这两个数。
12、（全国小学数学竞赛试题）甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲、乙两数相差为18，求此二数。
13、（第二届华杯赛决赛一试题）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等分，第二种刻度线把木棍分成12等分，第三种刻度线把木棍分成15等分，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
14、写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。
15、用2、3、4、5、6、7六个数组成两个三位数，使这两个三位数与540的公约数尽可能地大。
16、写出三个小于10的自然数，使它们三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大公约数大于1。
17、已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,满足上述要求的数组{a，b，c}共有多少组？
[全讲综合训练]
1、王斌每隔7天去图书馆借一次书，李兴每隔10天去借一次书，陈军每隔15天去借一次书。已知4月20日他们在一起借书，那么离4月20日最近的、他们三人又在同一天借书是几月几日？
2、化肥厂包装车间对化肥进行包装，需要经过：扎编织袋、装化肥入袋，缝袋口以及搬运4道工序。每人每小时能扎编织袋24个，或装化肥36袋，或缝袋口18只，或搬运化肥16袋。这个车间至少要多少名工人才能进行合理分工？
3、从甲、乙两地原来每隔36米安装一根电线，现在改成每隔54米安装一根电线杆。在安装过程中，除两端的两根不需要移动外，途中还有14根不需要移动。那么甲、乙两地相距多少米？
4、甲、乙两位同学写了两个数给老师看，老师看后告诉大家：甲、乙写的是两个不互质的自然数，甲写的数除以9，乙写的数除以10后，不改变这两个数的最大公约数，甲、乙写的两个数的最小公倍数是180。你知道甲、乙两位同学分别写的是什么数？
5、设A，B两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？
6、已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数。
7、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4米，黄鼠狼每次跳2米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔12米设有一个陷阱，当他们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
8、（第二届华杯赛试题）有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？
9、（全国奥赛题，1992）把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任两个数的最大公约数都是1，那么，至少要分几组？
10、把1～1999这1999个数分成n个小组，使每个数都至少在一个小组中，且第一组中没有2倍数，第二组中没有3倍数，第三组中没有4的倍数，…，第n组中没有n＋1的倍数，那么，n至少是几？
11、一组五个连续自然数的和能分别被2，3，4，5，6整除，求满足此条件的最小一组数。
12、有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，…15号说：“这个数能被15整除”1号同学一一验证后发现，只有（编号连续的）两位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。




第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数
9、1 约数、倍数
[同步巩固演练]
1、（1）、21
3136=26×72，故约数有（6+1）×（2+1）=21（个）
（2）32个
46305=32×5×73，故约数有（3＋1）×（2＋1）×（3＋1）=32（个）
2、（1）4560
1998=2×33×37，故约数和为（1＋2）×（1＋3＋32＋33）×（1＋37）=4560
（2）56265
16200=23×34×52，故约数和=（1＋2＋22＋23）×（1＋2＋32＋33＋34）×（1＋5＋52）=56265
3、甲数是0
4、63，84
因为100以内21的倍数有21，42，63，84，故最大奇数为63，最大偶数为84
5、192
因14=1×14=2×7，而14=（13＋1） 213＞200 2×7=（1+1）×（6＋1），26×3=192
6、22个
有奇数个约数的数是完全平方数，而在三位数中完全平方数有102=100，112=121，……、312=961，所以共有31—10—1=22（个）
7、60，72，96的约数个数最多，有12个约数。
8、60
12=11+1=（1+1）×（5＋1）=（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）=（2＋1）×（3＋1），故该数只有一个质数时，该数至少是211=2048，若该数有2个质数，则该数可能2×35或3×25或22×23或23×32，经比较以23×32=72最小，若该数有3个质因数，则可能为2×3×52，或2×32×5或22×3×5，以22×3×5=60最小，比较可知该数为60。
9、24和30
8=7+1，于是该数可能为n7，由于27＞30不符合题意，8=（3+1）×（3+1），故该数可能为a3×b形，取=2，a=2，a=3，得24，又8=（1+1）×（1+1）×（1+1），故该数还可写成a×b×c形，取2=a，b=3，c=5，得30。
10、784
15=14+1，但214＞1000，故应舍去，15=（2+1）×（4+1），故可取该数为a2×b4，由于54=625，乘以a2后＞1000，故b只能取2或3。22×34=324,32×24=144,52×34＞1000,52×24=400,72×24=784。若a＞7，则必有a2×b4＞1000，故784为最大的一个数。
11、1050
同时被2、3、5、7整除的数必是2×3×5×7=210的倍数，1000÷210=4余160，故取210×5=1050
12、264与52，121与195
316÷11=28余8，即11×28＋8=316，所以可得11×24＋11×4＋8=11×24＋13×4=316，11×11＋11×13＋13×4=11×11＋13×15=316，故这两个数是264与52；或121与195。
13、6、7、8和9
3024=24×18×7=6×7×8×9
14、111，112，113,…,120
设这十个数中最小的数为a，那么这10个数的和为10a+（1+2+3+…+9）=10a+45，由最大数不超过130，故a≤121，10a+45≤1255，1255÷77=16余23，又10a+45≥1045，而1045÷77=13余44，由于77的倍数减45必须是10的倍数，故只能有10a+45=77×15,而a=111，故这十个数是111，112，…，120。

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1、51，55，57，58，62，64，65，69
4=1×4=2×2，有4个约数的自然数一定能表示为a3或a×b，其中a、b都是质数。
如果为a3，符合条件的自然数a=4，a3=64，如果为a×b，符合条件的自然数a=2，b=29，a×b=58；a=2，b=31，a×b=62；a=3，b=17，a×b=51；a=3，b=19，a×b=57；a=3，b=23，a×b=69；a=5，b=13，a×b=65。所以满足条件的所有自然数为：51，55，57，58，62，64，65，69。
2、a=24，b=36
12=22×3，即a、b都至少有二个质因子2与3，由于8=4×2=（3+1）×（1+1）故a=22×3=24；9=3×3=（2+1）×（2+1），故b=22×32=36。
3、80
最小两个约数和为3，那最小两个约数为1与2,如原来自然数为A，则最大的约数为A，其次为A÷2，最大两个约数和为A+A÷2=120从而A=120÷1.5=80。
4、33743
用竖式计算31743÷823，可得

2 4 6 9
7 0 5 3
6 5 8 4
4 6 9
由于最后的余数为469，而在计算商的十位数“3”时，有823×3=2469，这说明，如果余 469能增加2000，就恰是823的整数倍了，所以，只要把原数加上2000，得到33743就是823的38＋3=41倍，此时恰只修改了一个数字。
5、6与28，496与4128都是完全数
6、166
将数列的各数除以6的余数按次序列表如下：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，3，5，3，2，5，1，0，1，1，2，…
可以看到数列各数除以6的余数24个数一循环，并且每24个数中有2个0，说明有2个数是6的倍数，而2000÷24=83余8。因此在前2000个数中共有6的倍数是2×83=1662个。
9.2最大公约数、最小公倍数
[同步巩固演练]
1、7，3920
57573
3、7本，5支，2块
为（301，215，86）=43，所以全班共有43人，每人拿到笔记本：301÷43=7（本），每人拿到铅笔，215÷43=5（支），每人拿到橡皮：86÷43=2（块）
4．72
504×6÷42=72
5．2521人
[2，3，4，5，6，7，8，9]+1=2521（人）
6．8和64
64÷8=8，将8分成两个互质数的乘积只有1×8，所以两数分别为8×1=8，8×8=64
7．180和252或36和396
432÷36=12，将12分成两个互质数的和，有12=1+11=5+7，所以两效为1×36=36和11×36=396或5×36=180和7×36=252
8．385和175
16分成两个互质数的和有16=1+15=1+11，所以而1925不能被15整除，只有1925÷5=385和1925÷11=175
9．12和15
（180，3）=3，公约数只有1和3，当公约数为1时，没有满足条件的解，当公约数为3时，180÷3÷3=20=4×5，且5－4=1，所以两数为5×3=15，和3×4=12。
10．6棵，60米
（120，60）=60， （120+60）×2÷60=6（棵）
11．31和186或62和93
5766÷31÷31=6，而6=1×6=2×3，所以两数为1×31=31和6×61=186或2×31=62和3×31=93
12．10月25日
[6，8，12]=24 1＋24=25，所以是10月25日
13．125立方米，60块
（25，20，15）=5，所以体积为5×5×5=125（立方米），25×20×15÷125=60（块）
14．3千克
（201，183）=3，所以一个地雷的重量是3千克
15．每组最多6人，；甲9组，乙8组，丙12组
（54，48，72）=6，54÷6=9（组） 48÷6=8（组）；72÷6=12（组）
16．边长84厘米
[21，12，14，10.5]=84所以包装箱底面的边长至少是84厘米
17．159厘米
用辗转相除法求（2703，1113）=159


18．28
168×4÷24=28
19．1001
=×1001，所以它的最大公约数是1001
20．30分钟
[5，6，10]=30，所以再过30分钟又同时发车。


[能力拓展平台]
1、15
6435=5×9×11×13，于是可知9，11，13，15这四个连续奇数的最小公倍数是6435
2、62和93或31，186
5766=2×3×312，故此二数可以是1×31与6×31，也可是2×31与3×31。
3、142
设这个最大的公约数为d，则这七个不同的三位数至少为d，2d，3d，…7d，于是100≤7d＜1000，即d＜142，即这个最大的公约数不超过142，而142，284，426，568，710，852，994这7个三位数的最大公约数为142。
4、40或20
50÷5=10，而10=1+9=3+7， 5×9—1×5=40或7×5—3×5=20
5、17种
14=4……4
6、60÷ 1=5……5
9=6……6
7、10段
（120，180，300）=60，（120+180+300）÷60=10（段）
8、21厘米
3.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米（357，105，84）=21，所以边长是21厘米
9、180米，31根
[45、60]=180，5400÷180+1=31（根）
10、第一道工序分配20人，第二道工序分配5人，第三道工序分配12人。
[3，12，5]=60，60÷3=20（人），60÷12=5（人） 60÷5=12（人）
11、60和12
（48，60）=12，60÷12=5，5=1×5，且5－1=48÷12=4，所以两数为1×12=12和5×12=60
12、72和54
设甲 =ad,乙=bd，并没a＞b，其中d为甲、乙的最大公约数，a，b互质，则甲、乙的最小公倍数=abd，据题意，ab=12，（a—d）b=18，由ab=12知a=12，b=1或a=4，b=3，但只有a=4，b=3能使a—b整除18，故d=18，于是甲=72，乙=54
13、28段
由于[10，12，15]=60，先把木棍60等分，每一等份作为一个单位，则第一种刻度线相邻每两刻度间占6单位，第二种刻度线占5单位，第三种刻度线占4单位，分点共有9+11+14=34个。
由于[5，6]=30，故在30单位处二种刻度重合1次；
[4，5]=20，故在20、40单位处二种刻度重合2次；
[4，6]=12，故在12，25，36，48单位处二种刻度重合4次；
∴共有不重合刻度34—1—2—4=27个，从而分成28段。
14、6、10和15，10、12和15，10、15和18
因为a、b、c是小于20的合数，所以它分解因数后只能含有质因数2、3、5、7，按题目要求适当搭配可得
2×3=6， 2×5=10， 3×5=15
2×3=12， 2×5=10， 3×5=15
3×5=15， 2×5=10， 3×32=18
15、324，756
540=22×33×5，又因为2、3、4、5、6、7中只含一个5，所以两数的最大公约数中不含因数5，则最大公约数可能为22×33=108，经检验，可找到这两个三位数分别是108×3=325和108×7=756。
16、2、3、6
17、70组
已知当a能被b整除时，有[a，b]=a，现在我们先固定a、b、c三个数中的某两个，看第三个数有多少种可能性先让a=1000，c=2000，只要b是1000的约数便有[a、b]=1000，[b，c]=2000，[a、c]=2000。因为1000=23×53，b又是a的约数，a的约数有[（3+1）×（3+1）=]16个，即b有16种可能，所以这样的数组有16组，再让b=1000，c=2000，这时只要a是1000的约数，题目中的条件都满足，去掉与上面16种中相同的一种a=b=1000，c=2000，又有15（=16—1）组。
再看a、b、c三个数中固定一个数的情况。
让c=2000，为保证满足题目中的要求[a、c]=2000，[b，c]=2000，a、b均应为2000的约数。为了使[a，b]=1000，而1000=23×53，所以a=23×5n，b=53×5m。为去掉a=b=1000这一种情况，n可以取0、1、2三个值，m也可以取0、1、2三个值，即a可以是8、40、200这三个数，b可以是125、250、500这三个数。所以这样的数组有（3×3=）9组，交换a、b又有9组，当c=2000时，这样的数组共有18组。
再让a=1000，为保证题目中的条件得到满足，即[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000，且不与上面已有的数组重复。又因为1000=23×53，2000=24×53，故应有b=2n×53，c=24×5m。这里n可以取0、1、2、3四个数，m可以取0、1、2三种数，即b可以是125、250、500、1000这四个数，c可以是16、80、400这三个数，此时这样的数组共有（4×3=）12组。
再让b=1000，为保证题目中的条件[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000得到满足，且不与上面已有的数组重复，根据1000=23×53，2000=24×53，故应有a=2n×53，c=24×5m。这里n只能取0、1、2三个数，m可以取0、1、2三个数。即a可以是125、250、500这三个数，c可以是16、80、400这三个数，此时这样的数组共有（3×3=）9组。
把上述各种情况下的组数相加，便是所求的答案。
满足要求的a、b、c数组共有：16+15+18+12+9=70
注意：这里125，1000，16和1000，125，16算两组。
[全讲综合讲练]
1、10月13日
由题意，每隔7天支一次图书馆，加上去图书馆的那一天，应是每8天去一次；每隔10天去一次就是每11天去一次；每隔15天去一次就是每16天去一次。要求离4月20日最近的那一天，就是要求经过多少天他们三人又在同一天借书，经过的天数，就是8、11、16的最小公倍数，[8，11，16]=176。从4月20日经过176天是10月13日。
2、7名
3、进行合理安排，就要使每道工序生产的产品既不积压，也不会窝工。使包装的化肥袋数既是24的倍数，又分别是36、18和16的倍；又要使车间的人最少，所以每小时包装化肥的袋数就是求24、36、18和16的最小公倍数。
[24，36，18，16]=144。由每小时包装化肥144袋，那么扎编织袋人数144÷24=6（名）。装化肥人数144÷36=4（名），缝袋口人数144÷18=8（名），搬运化肥人数144÷16（名）。所以这个车间至少需工人6+4+8+9=27（名）才能进行合理分工。
3、1620米。
从甲地开始，每隔36米装一根电线杆与每隔54米装一根电线杆，当安装到36米与54米的最小公倍数108时，就有2根不需要移动，只有一个间隔；从甲地到乙地共有2+14=16（根）不需要移动，就有16—1=15（个）间隔。
所以，从甲地到乙地的距离是108×15=1620（米）
8和20
因甲写的数除以9，乙写的数除以10，不改变这两个数的最大公约数，说明9、10分别是两个数独有的约数，而两数的最小公倍数是180，180=9×10×2，所以2是两个数的最大公约数，两位同学写的数分别是9×2=18和10×2=20。
5、2550
A有12个约数12=3×4=（2+1）×（3+1），所以A是32×53=1125，或33×52=675，B有10个约数。10=2×5=（1+1）×（4+1），所以B是3×54=1875，或34×5=405，经试验得675和1875的最大公约数是75，所以A+B=675+1875=675+1875=2550
6、12，15
设A，B且A＞B的最大公约数为m，则 ，且a、b互质，依题意得ma—mb=m（a—b）=3，m mab=m2ab=180，而（180，3）=3，所以m为1或3，当m=1时，a—b=3。ab=180，而180=1×180=4×45=5×36=9×20=15×12，刚好15—12=3。所以两数为12×1=12，15×1=15；当m=3时，a—b=1 ab=60 而60=1×60=4×15。没有符合a—b=1的数，故这两个数为12和15。
7、40米
[，]==49，（次），[]=，÷=9（次），而9＜11，所以狐狸跳子9×=40（米）（求几个分数的最小公倍数，就是用几个分数的分子的最小公倍数除发分母的最大公约数。）
8、1人
由题意知某班学生人数是7、3、2的公倍数，而[7、3、2]=42，所以不超过60的公倍数只有42。故不及格的人数是42×（1———）=1（人）
9、36人
由题意知这个班人数是6和9的公倍数，而[6，9]=18，没总人数为18K，18K÷9=2K，3K-2K=2，K=2，所求人数为18×2=36（人）
10、3组
因为26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=32×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13
这8个数每个都有2个质因数，要使其中每两个数的最大公约数都为1，则同一质因数最多只能在一个组中出现1次，现在三个数35，63，91中都有质因数7，三个数26，91，143中都有质因数13，因此，至少需分3组，才有可能把这两组数分开。
现取26，33，35为一组，34，63，143为一组，91。85为一组，同组的数中，每两个数的最大公约数都是1，共3组，满足题目的要求。
11、n=8
分2组则6的倍数未分入小组，分3组则12的倍数未分入小组，分4组或5组时，60的倍数未分入小组，分6组时420的倍数未分入小组，分7组时840的倍数未分入小组，而分8组，则1—1999的数均可分入某一组，故n=8
12、10、12、13、14、
由于2、3、4、5、6的最小公倍数为60，得这五个数的和为60的倍数，即至少为60，60÷5=12，得10+11+12+13+14=60，故满足条件的最小一组数为10、11、12、13、14。
13、（1）8和9，（2）60060
（1）我们可以采用试算的方法寻找解题途径。
如果说得不对的两个同学是2号3号，则a不是2和3的倍数，从而也不是6的倍数，也就是说6号同学也说得不对，与1号同学验证结果矛盾，故说得不对的两个同学不是2号与3号。
同理，说得不对的两个同学也不是3号同学和4号同学。
反过来，说得不对的两人中不应包括6号，否则2号与3号也说得不对，与已知矛盾，这样，说是不对的两人不应是5号和6号，6号和7号。
同理，说得不对的两人中也不应包括12，从而说得不对的两人不应是11和12号，12号或13号。
由前面的结论知a应是5、6和7的倍数，故a也是10，14，15的倍数，说得不对的人中不包括10号，14号，15号，从而不是9号和10号，10号和11号，13号和14号，14号15号。
同理，说得不对的人也不应是4号和5号，7号和8号。
综上所述不难得出，两个同学的编号为8和9。
（2）编号为1的同学写在黑板上的数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的倍数，它们的最小公倍数为22×3×5×7×11×13=60060。
因为60060×2=120120是一个六位数，故编号为1的同学写的数a=60060。









第七讲 抽屉原理
[同步巩固演练]
1、在一条长100米的小路一旁种101棵树苗，证明：不管怎样种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。
2、一位运动员用11秒钟跑完了100米。证明：在跑的过程中必有一秒钟，他跑的距离超过了9米。
3、在一副扑克牌中取牌，至少取多少张，才能保证其中必有3张牌的点数相同？
4、从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。
5、20名乒乓球运动员进行单循环比赛。证明：在比赛过程中的任何时候，至少有两位选手比赛过的场次相同。
6、图书角有三种图书：科技书、文艺书、故事书。每位学生可任意借两本图书。问：至少应有多少学生来借书，才能保证其中必有4人借的书完全相同？
7、一个幼儿班有40名小朋友，现在有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会想到4件或4件以上的玩具？
8、有三张卡片，卡车上分别写着数字1、2、3。同学们任意选两张数字不同的卡片组成一个两位数。问至少要有几个同学才能保证有两个人选的卡片所组成的两位数相同？
9、19朵鲜花插入4个花瓶里。求证：至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。
10、在一个口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，一次至少摸出多少个小球，才能保证至少有4个球的颜色相同。
11、某班共有40名学生，他们都参加了课外兴趣小组，活动分英语组、书法组、钢琴组，每人可任选一个或几个组参加，那么班级中至少有多少个学生参加的组和组数完全相同？
12、一个口袋里有5个黑球，8个白球，9个红球，2个蓝球，一次至少取出多少个球才能保证至少有一个红球？
13、夏令营有400个小朋友参加，这些小朋友中至少有 人在同一天过生日。
14、任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
15．在正方体的每个面上，分别涂上红、黄、蓝三种颜色（每个面上只涂一色）。证明：至少有二个面涂有相同的颜色。
[能力拓展平台]
1、某商店有126箱苹果，每箱至少有120个，至多有144个，现将苹果个数相同的箱子作为一组，如果其中箱子数最多的一组有n个箱子，那么n的最小值是多少？
2、在一个边长为1分米的正三角形内任意放置10个点。证明：至少有2个点之间的距离不超过1/3分米。
3、至少要给出多少个自然数（这些数可以随便写），才能保证其中必有两个数，它们的差是7的倍数？
4、在边长为4的正方形内，至少任意放进几个点，那么其中必有3个点，它们构成的三角形的面积不大于2？
5、从1，2，3…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有：（1）2个数互质；（2）2个数的差为50；（3）8个数，它们的最大公约数大于1。
6、任意给定1991个自然数。证明：其中必有若干自然数的和是1991的倍数。
7、将1，2，3，…，9，10这10个数按任意顺序排在一个圆周上。证明：在圆周上的10个数中，必有相邻的3个数，其和不小于17。
8、上体育课时，21名男女学生排成3行7列的队形做操。老师发现按大小个的排法可以从队形中划出一个矩形，站在这个矩形四个角上的学生或者都是男生或者都是女生。你能不能找一种排法，仍是站3行7列，但上面所说的矩形不存在？如果能，说出站法；如果不能，说明原因。
9、平面上给定6个点，没有三个点在一条直线上。证明：用这些点为顶点所组成的三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另一个三角形的最小边。
10、已知在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意点了五个点，求证：至少有两点之间的距离不大于。

第10题
[全讲综合训练]
1、（全国小学数学竞赛题）幼儿园小朋友分水果，有苹果、鸭梨和橘子三种，如果每个小朋友任意拿两个，那么至少几个小朋友拿过后才一定会出现两人拿的水果是相同的。
2、（全国小学数学竞赛题）三（2）班有44名学生，他们都订了甲、乙、丙三种报刊中的若干种，有的只订甲，有的只订乙，有的只订丙，有的订甲乙，有的订甲丙，有的订乙丙，还有甲乙丙都订，问一定至少可以找出几个人订的报刊相同。
3、一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣一分，不答不得分。要保证至少4人得分相同，至少需多少人参加竞赛？
4、有一批四种颜色的小旗，任意取三面排成一行，表示各种信号。某天上午共打了200次信号，其中至少有多少个信号相同？
5、在10×10方格纸的每个方格中任意填入1、2、3、4四个数之一，然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。在这些数中，至少有几个相同。
6、（第二届新苗杯竞赛题）五年级有165个学生，都参加篮球、足球和乒乓球三项体育活动中的一项、二项或三项，其中一定可以找到至少几个同学参加了项目相同的活动？
7、（第二届新苗杯竞赛题）六年级有168个学生，都参加篮球、足球、乒乓球和跳绳四项体育活动中的一项、二项、三项或四项，其中一定可以至少找出多少个同学参加了项目相同的活动？
8、黑色、白色、黄色、红色的筷子分别有1根、3根、5根和7根混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取多少根才能保证达到要求？
9、一个袋子中有100只红袜子，80只蓝袜子，60只绿袜子，40只白袜子，让你闭上眼睛从袋子中摸袜子，每次只许摸一只。至少要摸出多少只，才能保证摸出的这几只袜子中至少有一双颜色一样。
10、用2、4、6、8这四个数字任意写一个2000位数，从这个2000位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数，这些四位数中至少有多少个相同？
11、（全国奥赛题，1992）如图，在23×23的方格纸中，将1至9这9个数字填入每个小方格，并对所有形如“ ”的五个方格中的数求和，对于小方格中数字的任一种填法，找出其中相等的和数，则一定能保证至少有多少个相等的和出现？
12、幼儿园买来不少白兔、狗、长颈鹿玩具，每个小朋友都分到其中的一、二或三种，某班有40人，他们当中至少有多少人拥有玩具相同？
13、任意多少个自然数，就可以保证其中必有四个数的和是4的倍数？
14、某班同学要从10名候选人中投票选举班干部。如果每个同学只能投票任选两名候选人，那么这个班至少应有多少个同学，才能保证必有两个或两个以上的同学投相同两名候选人的票？
15、（第十三届未来杯竞赛题）从4，8，12，16，20，…，72，76这列数（都是4的倍数，最大是76）任取11个数，其中至少有两个数的差为36，请说明为什么？
16、一个箱子里有50只球，其中，红、黄、蓝、墨球各10只，其余为紫球和绿球，这些球只是颜色不同，如果在黑暗中取球，要取出至少5只同色球，那么至少要取出多少只球？
17、从2，4，6，8，…，56，58这29个偶数中至少任意取出多少个数才能保证有两个数的和为62？
18、设自然数n具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。这样的n中最大的是。
19、两个布袋中有12个大小一样的球，且都是红、白、蓝色各4个。先从第一个袋中尽可能少且至少有两个颜色一样的球放入第二个袋中，再从第二个袋中拿出尽可能少的球放入第一个袋中，使第一个袋中每种颜色的球不少于3个。这时两个袋中各有多少个球（拿球时不许看）。
20、任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0及7组成的数。


























第七讲 抽屉原理
[同步巩固演练]
1、证明：把100米平均分成100段，每段长1米，把101棵树苗种在这100段中，根据抽屉原理可知，至少有两棵树苗在同一段中。因此，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。
2、证明：100=11×9＋1
余数不为0，所以最小数为9+1=10，（10＞9）即必有一钞钟，他跑的距离超过了9米。
3、29张
把去掉大、小王后的52张牌，按点数分成13个抽屉，每个抽屉里有4张牌。我们先按最坏的打算，每个抽屉里分别取出2张，共取出13×2=26（张），然后又取出大王和小王，共28张，这时只要再任意取1张，必然有一个抽屉里就取了3张牌，这样就保证有3张牌点数相同。这时共取出13×2+2+1=29张。
4、用12去除每一个数，得到13个余数中必有两个相同，余数相同的两个相同，余数相同的两数之差必是12的倍数。
5、证明：因为在比赛过程中，每人参赛的场次最多有19种情况，共有20名运动员参赛，根据抽屉原理可知，至少有两位选手比赛过的场次相同。
6、19人
每位学生借的书共有以下6种情况：



根据学生借书的情况不同可以分为6个抽屉，由于保证其中必有4人借的书完全相同，故先在每个抽屉中分别取出3套，共要3×6=18（人），这时只要再任意取出一套就可保证必有一套有4位学生拿走，所以至少有：
3×6+1=19（人）
7、有
因为3×40=120＜125，会有人得到4件以上的玩具。
8、首先用这三个数字共可“造”出6个两位数：12、21、13、31、23、32。将它们看作“抽屉”，共有6个抽屉，将同学看作“苹果”（或物体）。因此至少要有7位同学来造2张卡片，保证有两位同学造的卡片组成的两位数相同。
9、证明：19=4×4+3
最小数为4+1=5，因此至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。
10、10个
将三种不同颜色作为3个抽屉，那么要保证有4个球颜色相同，一次至少要摸3×3+1=10个。
11、6人
先考虑共有几种不同的参加情况。设3个兴趣小组为A、B、C，只参加一组的有3种情况，参加两组的有AB、AC、BC3种不同的情况，参加三组的有1种情况，共有3+3+1=7种不同的情况，根据抽屉原理40÷7=5……5，5+1=6人。
12、16个
考虑极端情况：即把除红色外的所有球都拿出后（已拿5+8+2=15（个）球），再拿1个，即第16个就能保证拿到红球，对于少于16个的情况就无法保证了。因此，至少应取出16个球。
13、2人
一年最多366天，作为366个抽屉，400个小朋友按自己的生日进到366个抽屉中，至少有一个抽屉有两人即至少有两人在同一天过生日。
14、8个
自然数被7除的余数有0，1，…，6这7种可能。这样可以把全体自然数按被7除的余数做成7个抽屉。那么取8个数就保证必有两个数在同一抽屉中，即被7除同余数，这两个数的差就是7的倍数。所以取8个数。
15、证明：6=3×2+0
余数为0，所以最小数就是2，即至少有2个面涂有相同的颜色。
[能力拓展平台]
1、6
因为144—120+1=25，而126÷25=5……1，所以几的最小值是6。
2、证明：把正三角形的每条边都会成三等份，将这个三角形划分成9个边长都是1/3分米的小正三角形。把10个点放入这9个小正三角形中，必有两点在同一个小正三角形里，这两点间的距离最长只能是边长1/3分米，所以这两点间的距离不超过1/3分米。

3、8个
用7去除自然数，其余数只有7种：0、1、2、3、4、5、6。若给出8个数则必有两数余数相同，这两个数之差是7的倍数。
4、9个

边长为4的正方形面积为4×4=16，把正方形平均分成4个部分，每一部分最多可放入2个点，那么2×4=8个点，再加入1点，必有3个在同一部分，这3点构成的三角形面积必定不大于2。
5、证明 （1）将100个数分成50组：{1，2}，{3，4}，…，{99，100，}
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。
（2）将100个数分成50组：{1，2}，{2，25}，…，{50，100}，
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。
（3）将100个数分成5类（不同的类内可以有相同的数）：
第一类：2的倍数，即{2，4，…，100}；
第二类：3的倍数，即{3，6，…，99}；
第三类：5的倍数，{5，10，…，100}；
第四类：7的倍数，{7，14，…，98}；
第五类：1和大于7的质数即，{1，11，13，…，97}；
第五类中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一类到第四类中，根据第一抽屉原理总有8个数在第一类到第四类的某一类中，这8个数的最大公约数大于1，
6、证明：我们把这1991个数排列起来，可以得到1991和（单独一个数也看作一个和），如果这1991个和中有一个是1991的倍数，那么问题解决；如果这1991个和中没有一个是1991的倍数，那么我们用这1991个和分别去除以1991，得到的余数可能是：1，2，3，……1990，那么1991个数中必有两个余数相同，这它们的差必然是1991的倍数，而这个差也是干个数的和。这们就可以得出结论。
7、设这10个数为a1，a2，a3，a…，a9，a10，依顺时针方向排在圆周上，则所有的3个相邻数的和之总和为（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+…+（a9+a10+a1）+（a10+a1+a2）=3×（a1+a2+…+a10）=3×（1＋2＋…＋10）=3×55=165=10×16＋5
由抽屉原理知，必有一组相邻三数之和≥16+1=17
8、把这三行七列的队形看作一个3×7的长方形，其中男生站的位置所对应的小方格涂黑色，女生站在位置对应的小方格涂白色，这个问题就转化成涂色问题。
如图第一行有七个方格，因只涂两种颜色，根据抽屉原则，必有一种颜色涂了四个或四个以上的方格。我们不妨设第一行有4个黑方格。

再看第二行。在第一行的四个黑方格下面的四格中，如果有两格黑色，结论是已经有一个长方形，它的四个角都是同一颜色，否则这四个方格中必有三个白色方格。
再看第三行。在第二行的三个白色方格下面的三格中，必有一种颜色涂了两格或两格以上，此色若是黑色，就与第一行组成四个角都是黑色的矩形；若是白色，就与第二行组成四个角都是白色的矩形。
从而我们看出，无论怎么涂，四个角颜色相同的矩形都是存在的。回到原题上，就是这些学生无论怎么站，四个角上都是男生或都是女生的情况都存在。无法找到这种情况不发生的站法。
9、用涂色方法来解决，分两步涂色：
第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一颜色，比如红色（若在该三角形中有两条相等的最大边，则任选一边涂色）。
第二步：将所有尚未涂色的边涂上蓝色，这些三角形中必有一人同色三角形，而且必定是红色三角形，这是因为：任一个三角形中必有最大边，它已涂上红色，所以这个同色三角形不会是蓝色三角形，这个红色三角形必有一条最小边，它也是红色的，那么，此边必为某一三角形的最大边。
10、证明：如图，等边三角形ABC三边中点为D、E、F，这样DE，EF，FD，把边长为1的等边三角形分割成四个边长为的等边三角形，如果规定线段DE、EF、FD上的点是属于△DEF的，那么△ABC内的所有点被划分为四个不相交的区域，把每个区域看作一个“抽屉”，在△ABC内任意画五个点，根据抽屉原理，必有两个点放入同一抽屉中，也就是一定有一个边长为的等边三角形，其中包含两个点，显然，它们的距离不超过。


[全讲综合训练]
1、4个人。
因为分苹果、鸭梨，苹果、橘子，鸭梨、橘子三种情况，所以至少4个小朋友拿过后才一定会出现两人拿的水果是相同的。
2、7个人
因有六个“抽屉”所以至少要7人。
3、15人
10道题全答错得0分，全答对得40分。我们发现从0分到40分这41种分数中，39分、38分都得不到，因第二高分是有一题不答，其它题全对，得37分；有一道答错，其它全对得36分。两道题不答其它题全对时，得34分，35分不可能得到；进一步验算可知，其他的分数都可以得到了。因此0～40分之间只有38种情况，做成38个抽屉，只要有115人就可保证至少4人得分相同。
4、4分
这一行有三位置，每个位置可能是四种颜色小旗中的一种，即每个位置有4种情况，那么三个位置共4×4×4=64（种）情况。因200÷64=3…8，所以这天上午所打200次信号中，至少有4个是相同信号。
5、7个
因每个2×2方格中填的数的和是最小是4=1+1+1+1；最大是16=4+4+4+4。共13种可能，而2×2的方格共有9×9=81（个），81÷13=6…3，所以，这些数中至少有7个相同。
6、24个人
因为可构造七个“抽屉”，而23×7=161＜165所以至有24人
7、12个人。
参加一项比赛有4种方法，参加二项比赛有6种方法，参加三项比赛有4种方法，参加四种比赛有1种方法，共有15种方法，168÷15=11……3，故可找出11＋1=12个人。
8、11根
设想最坏的可能，拿出了所有的红色筷子，这时已保证有一双红色筷子了；再把黑色、白色、黄色各拿出一根；这时再取一根，无论是白色还是黄色（已不可能是黄色、红色），必然又得到另一双同色且不是红色的筷子。
根据上面的取法知，至少取11根，才能保证有两双不同的筷子。
9、5只
考虑最坏的可能，四种颜色的袜子各取出1只，那么再取1只，、必能有一双同色袜子。即只需取5只就可保证有一双同色。
10、8个
在2000位数中，能截取出相邻的四位数，2000—3=1997个，用2，4，6，8这四个数可组成的不同位数，根据乘法原理有4×4×4×4=356种，那么根据抽屉原理，1997÷256=7……205，所以这些四位数中，至少有8个是相同的。
11、11个
在23×23的方格中如“ ”的“十字”共有21×21=441（个）。这是因为，把23×23的方格纸的四个角去掉后，剩下的部分都有“十字”型图形存在。
每个“十字”所填数的和最小是5（五个1），最大是45（五个9），共41种。因441=10×41＋31，所以和数相等的“十字”图形至少有11个。
12、6人
分到玩具的情况：
（1）只有一个：白兔、狗、长颈鹿；
（2）只有两个：白兔和狗、白兔和长颈鹿、狗和长颈鹿；
（3）三种都有。
一共7种情况，做成7个抽屉，40个小朋友根据自己拥有的玩具进入相应的抽屉，因为40=5×7＋5，所以至少6人在同一抽屉里，即至少有6人拥有的玩具完全相同。
13、4个
自然数可按奇偶数分成两类，我们看作是两个抽屉。当取7个自然数时，必有3对数奇偶性相同；另处三个数也必有两个数同奇偶性相同，这时有两对数奇偶性相同；另外三个数也必有两个数同奇或同偶，这样又得到一对数奇偶性相同。
设这三对数是a1与a2，a3与a4，a5与a6。那么a1+a2=2k1，a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。这里k1，k2，k3是整数。
而k1、k2、k3中又必有两个奇偶数性相同，不妨设是k1、k2同奇偶，那么k1+k2是2的倍数，2k1+2k2是4的倍数。
这样，从7个自然数中找到四个数的和是4的倍数。
14、46个
因为每个同学只能从10名候选人中任票两名投票，所以共有1+2+3+…+9=45（种），不同选法。把这45种不同选法看作45个抽屉，根据抽屉原则，至少有46名同学，才能保证必有两名或两名以上的同学投相同的两名候选人的票。
15、取{4，40}，{8，44}，{12，48}，{16，52}，{20，56}，{24，60}，{28，64}，{32，68}，{36，72}，{76}共10组，如取11个数，必有二数在同一组中，而同组二数差为36。
16、25只
根据最不利原则，红、黄、蓝、黑各取4个，而紫球和绿球总数为50—40=10（只），因题目没说明它们各几只，同样根据最不利原则，各取4个，那么共取4×（4＋2）＋1=25只，才能保证至少有5只同色球。
17、30个
根据题意，先找出两数和为62的情况[4，58]、[6，56]、[8，54]、[10，52]、…共有28种，根据最不利原则，每组中各取一个数加上2这个数共有29个数，那么要保证有两个数的和为62，必须取30个数。
18、40
设计20个抽屉，使得每个抽屉中的两个数的差是5：
（1，6），（2，7），（3，8），（4，9），（5，10），
（11，16），（12，17），（13，18），（14，19），（15，20），
（21，26），（22，27），（23，28），（24，29），（25，30），
（31，36），（32，37），（33，38），（34，39），（35，40）。
这样，从前40个自然数中任取21个，必然有两个数在同一抽屉里。所以40里符合题意的n的一个值。事实上也是最大的一个，因为从上述20个抽屉中各取一个数，再取一个41，这样得到的21个数中任意两个数的差都不是5。于是，n的最大值是40。
19、第一袋19个，第二袋5个。
第一袋中有三种颜色的球，故第一次需要拿4个才能保证至少有两个颜色相同，这时，第一袋中剩下8个球，第二个袋中有16个球。
第二次拿球，最坏的情况是第一袋中只有两种同色的球，故至少要从第二袋中拿11个球，才能保证第一袋中缺少的那种颜色的球不少于3个。这时，第一袋中有19个球，第二个袋中剩5个球。
20、证明 现在考察（n+1）个数。
7，77，777，…，，，把它们分别记作a1，a2，…，an，an+1，如果将这（n+1）个数中的某一个数a，除以n，则余数只可能为0，1，2，…，（n—1）中的某一个，由此可作出n个“抽屉”：
第1个——余数为0的；
第2个——余数为1的；
… …
第个——余数为（n—1）的。
把a1，a2，…，an+1按照被n除后余数的不同情况到各个抽屉中去，由第一抽屉原理可知，必有一个抽屉中含有两个余数相同的数，不妨设为ap=和aq=，（假设p＞q），于是ap—aq能被n整除，且具有ap—aq=的形式，这就是说，n乘以适当的整数之后得到了形式为的数，即由7和0组成的数，因而问题得到了证明。

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