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第十讲 质数、合数和分解质因数
10.1质数和合数
[同步巩固演练]
1、（南京市外校招生试题）若a是最小的自然数，b是最小的质数，c是最小的合数则a＋b＋c= 。
2、把1至8这8个自然数填入图5-2大圆上的小圆圈内，使任意相邻两圆圈内数的和都是质数（绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法）。

第2题
3、两个质数的和是99，这两个质数的积是多少？
4、两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？
5、有7个不同的质数，它们的和是偶数，其中最小的质数是几？
6、由1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成的九位数可以是质数吗？
7、写出10个连续自然数，个个都是合数。
8、有两个质数的积是65，它们的和是多少？差是多少？
9、19乘以一个数积是质数；乘以另一个数积是合数，并能被1，2，3，4，…等自然数整除，问这两个数（不能是分数或小数）分别是什么数？
[能力拓展平台]
1、（全国奥赛决赛题）用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只用到1次，那么，这9个数字最多能组成几质数？
2、（南京兴趣杯赛题）如果a是自然数，（a×a－4）÷7是质数，那么a的最小两个数值是几？
3、（全国竞赛题）请给出5个质数，把它们按从小到大的顺序排列起来，使每相邻两数的差都是6。
4、（北京市迎春杯试题）9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有几个？
5、（华杯赛一决赛题）如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等，问六个质数的积是多少？

第5题
6、（华杯赛试题）“哥德巴赫猜想”是说：每个大于2偶数都可以表示成两个质数的和，问168是哪两个两位质数的和，并且其中一个的个位数是1？
7、（华杯赛复赛试题）把37拆成若干个不同数的和，有多少种不同拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到乘积中哪个最小？
8、（第五届华杯赛决赛试题）27名小运动员所穿运动服的号码恰是1，2，3…，26，27这27个自然数，这些小运动员能否站成一个圆圈，使任意两个相邻运动员之和都是质数？说明理由。


10.2 分解质因数
[同步巩固演练]
1、相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少？
2、有5个连续偶数的积是3840，求这个数各是多少？
3、有5个连续奇数的积是945，求这五个数各是多少？
4、五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄。
5、有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c10，则a×b×c=？
6、求自然数N，使得它能被5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）。
7、自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少？
8、有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。
9、五个儿童的年龄的和是37，积是18480，如果每一个儿童的年龄都不到13岁，五个儿童的年龄各是多少？
10、用几只船分三次把90袋化肥载过河去，已知每只船载的化肥袋数相同，且至少载6袋，每次应有多少只船？每只船载多少袋化肥？
11、学生1430人参加团体体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100人到200人之间，有几种排法？
12、某班同学在王老师带邻下去植树，学生恰好能分成人数都相等的3组，如果老师与学生每人种树的棵数一样多，共种884棵，那么每人种树多少棵？（学生人数50人左右）
13、一些真分数的分子与分母互质，且分母的乘积是780，这样的真分数有多少个？


[能力拓展平台]
1、自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和该数本身），试问，数a×b能不能恰有1000个自然数因数（包括1和该数本身）。
2、有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。
3、求2310除它本身以外的最大约数。
4、自然数a乘经2376，正好是一个平方数，求a的最小值。
5、三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？
6、将8个数14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组4个数，要使各组4个数的乘积相等。则其中一组的4个数是14， 、 、 。
7、有24盆花，分成几堆（至少分2堆），使每堆的盆数都相等，可以怎样分？
8、将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数。
9、边长是自然数，面积是165的形状不同的长方形共多少种？
10、如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数同时能被30整除，求这两个数。


[全讲综合训练]
1、50以内，由1～7组成的两位数的质数共有多少个？
2、用1，2，4，5，8中的三个数字组成、最大的三位质数。
3、（“小学爱数学”大江杯赛题）100×101×102×…×199×200这101个数相乘，积的末尾上连续有多少个“0”？
4、（全国奥赛题）一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，且它等于两个两位数的积，求此自然数。
5、（全国奥赛题）如果自然数有四个不同的质数，那么，这样的自然数中，最小的是几？
6、（全国数学竞赛题）在947后面添上三个不同的数字，组成一个能被2，3，5整除的六位数，这个数最小是几？
7、（全国奥赛题）找出1992的所有不同的质数，它们的和是多少？
8、（南京市兴趣杯赛题）现有四个数：76550，76551，76552，76554，其中有两个数的乘积能被12整除，写出所有这样的两个数。
9、将60拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么其中最大质数是几？
10、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。
11、两个大于10的合数的和是29，这两个合数分别是多少？
12、一个自然数a是一质数，而且a＋12，a＋22也是质数，那么a最小是多少？
13、（华杯赛复赛题）173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的三个四位数，依次可被9，11，6整除”，问数学老先后填入的三个数字的和是多少？
14、把26，33，34，35，63，85，91，143成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成多少组？
15、小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？
16、A=61×62×63×…×86×87×88。问A能否被6188整除？
17、（祖冲之杯赛题）如果一个数，将它的数字倒排后所得数仍是这个数，我们就称这个数为“回数”例如，22，464，25752等都是“回数”“1991”这个数具有如下两个性质：
（1）1991是一个“回数”
（2）1991可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积，即1991=11×181，其中11，181既是回数又是素数。
在1000到2000这1000个数中，除1991外，具有性质（1）和（2）的整数还有哪些？
18、（华杯赛决赛二试题）已知五个数依次是13，12，15，25，20，它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数相邻两个相乘得三个数，它三个数每相邻两个相乘得两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0（如图）

第18题













第十讲 质数、合数和分解质因数
10、1 质数和合数
[同步巩固演练]
1、7
a=1，b=2，c=4，故a+b+c=7
2、填法如图

相邻二圈内两数和最小可能值为1+2=3，最大可能值为8+7=15，即相邻二圆圈内数之和只能是3、5、7、11、13这5个数，于是圆圈内填的数必奇偶相间，现1可与2、4与6相邻，3可与2、4、8相邻，5可与2、6、8相邻，7可与4、6相邻，故7两边必为4、6，而8的两边必为3与5，即得到④—⑦—⑥与③—⑧—⑤这两个“短链”。考虑1与2插入此二短链之间，④—①—⑤，④—①—③，⑥—①—⑤，⑥—①—③等均不能奇偶相间，故只能4与3相邻或5与6相邻，得6—7—4—3—8—5或4—7—6—5—8—3，在两端分别插入1与2，可得两种填法，如将此二图翻转还可得另二种类似填法（不是旋转）。
3、194
99=2+97，2×97=194
3、21
枚举试验得10×11+11=121是合数，这两个自然数的和为10+11=21。
4、2
5、一定不是质数
因为1+2+3+……+9=45是3的倍数，所以一定不是质数。
6、39916802，39916803，39916804，39916805，39916806，39916807，39916808，39916809，39916810，39916811。
设k=11×10×9×…×2×1，则k+2，k+3，k+4，…k+11为连续10个合数。
7、27
285=5×3×19，故三个质数和为5+3+19=27。
8、1和0
[能力拓展平台]
1、6个
末位数为偶数的质数只有2，其余三个偶数都不能作为质数的末位数，故至多可组成6个质数，现有43、61、89、2、5、7这6个数为质数。
2、3，11
设此质数为p，则a2=7p+4，经验算可知p=3，11。
3、5，11，17，23，29
设此质数为p，则此五个数为p、p+6、p+6×2、p+6×3、p+6×4，故p≠2，3，即p≥5。即p=5可得一组解。
4、4个
连续9个自然数均大于80，其中至少4个偶数，其中必有3个3的倍数，3个3的倍数中必有一个是奇数，故连续9个自然数中至少有5个合数，故至多有4个质数，又101，103，107，109这四个数为质数，即从101～109这9个数中有4个质数，故知结论正确。
5、900

如图，中间三个圆圈中填的质数分别为a、b、c，由于四个小三角形中三个顶点填数和相等，故上顶点只能填c，左顶点只能填b，右顶点只能填c，左顶点只能填b，右顶点只能填a，于是可知a+b+c=10。从而只能是填2、3、5，从而六数之积为2×2×3×3×5×5=900。
6、71、97
据已知，这两个质数的个位数分别是1与7，个位数为1的两位质数有11，31，41，61，71；
而168—11=157，168—31=137，168—41=127，168—61=107，168—71=97。只有97是两位的质数，故本题只有惟一解。
7、10种，4325
小于37的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2共11个
（1）由37=31+6，而6不能用5，3，2这三数中某些数的和得出；
（2）37=29+8，而8=5+3，故得37=29+5+3；
（3）37=23+14，而14=11+3=7+5+2，故得37=23+11+3，37=23+7+5+2；
（4）37=19+18，而18=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2，故得37=19+13+5，37=19+13+3+2，37=19+11+7，37=19+11+5+2；
（5）37=17+20，而20=13+7=13+5+2=11+7+2，故得37=17+13+7，37=17+13+2，37=17+11+7+2。
这样共得到10种拆法。积以29×5×3=435最小
8、不能站成一圈
方法一 因为质数除2以外都是奇数，但此27个数中任二个的和都不可能等于2，所以如果能站成的话，所得27个数均应为奇质数。
但若两个数的和为奇数，这两个数必一奇一偶，所以此圆上27个数必奇偶相间排列，这27个数中奇数个数应该等于偶数个数，但这27个数的奇数与偶数个数不等，从而他们不能站成一个圈。
方法二 同上理由，27个质数均为奇数，故它们的和也为奇数。但些27个质数都是由1至27中某两个数相加而得，于是1至27这27个数在和中出现了两次，即和应是（1+2+3+…+27）×2为偶数。
由于奇数不能等于偶数，故他们不能站成一圈。
10、2分解质因数

[同步巩固演练]
1、27和28
756=2×2×3×3×3×7=27×28，所以相邻两个自然数是27和28。
2、2、4、6、8、10
3840=2×2×2×2×2×2×2×2×3×5=2×4×6×8×10，所以五个连续偶数是2、4、6、8、10。
3、1、3、5、7、9
945=3×3×3×5×7=1×3×5×7×9，所五个连续奇数是1、3、5、7、9。
4、7岁、8岁、9岁、10岁、11，岁
55440=2×2×2×2×3×3×5×7×11=7×8×9×10×11，所以五个孩子的年龄是7岁、8岁、9岁、10岁、11岁
5、30
（a×b）×(b×c)×(a×c)=6×15×10
=a×a×b×b×c×c =2×3×3×5×2×5
=(a×b×c)×(a×b×c) =(2×3×5)×(2×3×5)
那么a×b×c=2×3×5=30。
6、12005
N=52—1×75—1=5×74=12005
7、33333和33335
先大概估各计一下，30000×30000=900000000＜1111155555＜122500000=35000×35000，
所以这两个奇数应在30000～35000之间。将1111155555分解因数是1111155555=11111×100005 =11111×3×33335=33333×33335
这两个连续奇数是33333和33335
8、32、35、38
先观察条件可知，因为最大的比最小的大6且另一个是它们的平均数，所以这三个数一个比一个大3。再大概估计一下，因为30×30×30=2700＜42560＜40×40×40=64000，所以要求的三个数在30～40之间。
42560=26×5×7×19=32×35×38
这三个自然数是32、35主38
9、5岁、6岁、7岁、8岁、11，岁
18480=2×2×2×2×5×3×7×11=5×6×7×8×11，而5+6+7+8+11+37，所以五个儿童的年龄各是5岁、6岁、7岁、8岁、11，岁
10、每次2条船，每船15袋；第次3条船，每船10袋；每次5条船，每船6袋。
90=3×2×3×5=3×2×15=3×3×10=3×5×6，所以每次2条船，每船15袋；第次3条船，每船10袋；每次5条船，每船6袋。
11、3种
1430=2×5×11×13=13×110=130×11=143×10，其它都不符合条件，所以只有3种排法。
12、17棵
884=2×2×13×17=52×17， 52－1=51， 51=17×3，51是学生人数，每人种17棵树。
13、8个
因为780=2×2×3×5×13，所以2×2的分子上，有，，共3个，2×2在分母上时，，，，共5个，故这样的分数共有3+5=8（个）

[能力拓展平台]
1、不能恰有1000个自然数因数。
2、1、 6、 331
因为1986=2×3×331，而2+3+331=336，不合题意，最大的质因数是331，那么另两个数的积是6，和是7，那只能是1和6
3、1155
因为最大的约数是他本身，那么除本身以外最大的约是是2310÷2=1155
4、66
2376=2×2×2×3×3×3×11 ，要使它是一个平方数每个质因的个数必须是偶数，所以a最小是2×3×11=66
5、210
a×b×b×c×a×c=30×35×42
=(a×b×c)×(a×b×c)=2×3×5×5×7×2×3×7
=(2×3×5×7)×(2×3×5×7)
所以a×b×c=2×3×5×7=210
6、14、75、143、4953
14=2×7 30=2×3×5， 33=3×11， 75=3×5×5, 143=11×13， 169=13×13 4445=5×7×127, 4953=3×13×127
所以含有14的组是14、75、143，4953
7、7种分法。
24=2×2×2×3=2×12=3×8=4×6=6×4=8×3=12×2=24×1所以分2堆，每堆12盆；分3堆，每堆8盆；分4堆，每堆6盆；分6堆，每堆4盆；分8堆，每堆3盆；分12堆，每堆2盆。分24堆，每堆1盆。
8、25人
750元=7500角=2×2×3×5×5×5×5=12×25×25
所以获奖人数是25
9、4种
165=5×3×11=3×55=5×33=11×15=1×165，所以共4种
10、30种4620，60和2310，210和660，330和420
308×450=2×2×7×11×3×2×3×5×5=30×30×2×7×11=30×4620=60×2310=210×660=330×420
所以两个数为30和4620，60和2310，210和660，330和420
[全讲综合训练]
1、9
两位数的质数的个位数字只能是1，3，7，当个位数字是1时，质数为11，31，41，当个位数字是3时，质数为13，23，43；当个位数字是7时，质数为17，37，47；所以满足条件的质数共有9个。
2、821
由题意知个位数只能是1，将个位数字是1的三位数从大到小进行试验，只有821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数。
3、27个0
积的末尾连续0的个位数只与积的分解式中因数2与5的相关，在分解式中有一个“2”及一个“5”，积的末尾就有一个“0”，由于在这个积中，每隔5个数才有一个数有因子5，每2个数就有一个数有因子2，这说明积的分解式中，因子“2”比因子“5”多，所以只要考虑积的分解式中因子“5”的个数：在100，105，110，…，200这21个数中有因子5，其中100、125、150、175、200这5个数有因数52，而125有因数53，于是积的分解式中因数“5：共有21+5+1=27个，从而积的末尾有连续27个“0”
4、195
最小的两个二位数积为10×10=100，故所求数的百位数字为1，且这两个二位数的十位数字都必为1，个位数字为奇数，由于11×1x，（x为1，3，5，7）的积的十位数字必为x+1为偶数，故这二个两位数中没有11；又13×13=169，13×15=195，13×17＞200，知只有195满足条件。
5、210
2×3×5×7=210
6、947130
因为能被2、5整除的末位是0设这个数为，则9＋4＋7＋a＋b=20＋a＋b, a＋b=1,4,7又要求数字不同，所以只能是4，最小的是947130
7、88
1992=23×3×83 所和为2＋3＋83=88
8、76550×765554；76551×76552；76552×76554
76550=2×38275，76551=3×25517，76552=23×9569，76554=2×23×4253，但12=22×3，故76550×76554；76551×76552；76552×76554这三对数之积是12的倍数。
9、7
60=7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋2＋2
10、5，17，29，41，53
11、14和15
将29表示成两个大于10的数的和：29=11＋18=12＋17=13＋16=14＋15
所以这两个合数是14和15。
12、7
从最小质数进行试验，只有当a=7时，a+12是质数，a＋22也是质数，所以符合条件的最小值是7。
13、19
因为 1+7＋3=11，11+7=18，故□中填入数字7时，该四位数可被9整除
因为1+3=4，7+8—4=11，故□中填入数字8时，该四位数可被11整除。
因为一个数要能被6整除，则这个数应分别能被2与3整除，当□中填入0，2，34，6，8时，该四位数可被2整除，当□中填入1，4，7，时，该四位数可被3整除，故当中填入数字4时，该 四位数可被6整除。
所以三次填入的数依次为7，8，4，此三数的和为19
14、至少分成三组。
26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=7×32，85=5×17，91=7×13，143=11×13。
因为26，91，143都含有质因数13，所以到少应分成三组，这才保证相同的质因数不分在同一组内。
15、9699690
设电话号码为，，=×1001×10=2×5×7×11×13×
因为电话号码是连续七个质数的乘积，而是三位数，故3×17×19=969
故小明家的电话号码是 9699690
16、能
因为6188=22×7×13×17，而63=7×9，65=5×13，68=22×17，63×65×68=22×7×13×17×（9×5）=6188×45
所以，6188能整除A
17、1111，1441，1661，共有三个
由于20×100=2000，故两位的素数回数只能＜20，即只能是11，而11×200=2200＞2000，故三位的素数回数只能是，而11×=是一回数（x＜9＝，但使为素数的x只能为1111，1441，1661。
18、10个0
第二行四个数依次写为13×12，12×15，15×25，25×20；第三行三个数依次为13×122×15，12×152×25，15×252×20；第四行两个数依次为13×123×153×25，12×153×253×20；第五行的数为13×124×156×254×20
13×124×156×254×20=13×34×44×36×56×58×4×5=210×310×515×13
由于最后得数的分解式中有10个因数2及15个因数5，故积可写成1010×a（a为末位数字不为0的整数），故乘积从个位起依次向左数，可以连续地得到10个0



第十一讲 奇数和偶数
[同步巩固演练]
有15支球队进行比赛，如果要求每支球队都与其他5支球队比赛一场，能办到吗？为什么？





六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？






已知A、B、C、中有一个是7，一个是8，一个是9，则（A－3）×（B－4）×（C－5）的结果一定是奇数还是偶数。







4、1987个球无论多少人采用什么样的分法，最终每人都分得奇数个球的总人数不能是偶数。为什么？







5、小华买了一本共有96张纸的练习本，并依次将每张 纸的正反两面编号（从第1页编到第192页），小丽从这本练习本中撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加。试问：小丽所加得的和数能不能是1998？






6、任意写1000个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？为什么？







7、能不能将1010写成10个连续自然数的和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。







8、有九只杯口全部向上的杯子，每次将其中四只同时“翻转”，问能不能经过若干次“翻转”使杯口全部向下？为什么？









9、将36支香插进9个香炉中，要使每个香炉中香的支数都是奇数，能否做到？





10、某教室有座位是三排，每排五把椅子，每个椅子上坐着一个学生，要让这些学生都必须换到与他相邻（前、后、左、右）的某一个同学的座位上，能不能实现？








[能力拓展平台]
1、平面上有99个点，每三个点都不在一条直线上，现在从每个点引出五条直线和其余的任意五个点相连，你能连成吗？如果不行，请说明道理。
2、设O点是正12边形，A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12（见图）的中心，用1，2，3，…11，12给正12边形的和边任意编号，又用同样的这12个数把线段OA1，OA2，OA3，…OA12也任意编号，问能不能找到一种编号法，使三角形A1OA2，A2OA3，…A11OA12，A12OA1各边上的号码和都相等？能的话给出一种编法；能的话，请说明原因。

第2题
3、任意改变某个三位数的各数字的次序后得到一个新的三位数（比如三位数432可以改变为432、324等），问这个新三位数与原来那个三位数的和能不能等于999？如能，试举一例；如不能，请说明理由。
4、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8、8、8？
5、能不能将1～1993这1993个自然数分成若干组，使得每组中都有一个数等于同组中其余各数的和？为什么？
6、有9只杯口向上的茶杯，每次翻动其中6只，能否翻若干次后使杯口向全部向下？
7、有20个1升的的容器，分别盛有1，2，3，…，20厘米3的水，允许由容器A向B倒进B容器内所盛水体积相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）问：在若干倒水以后能否使其中11个空器中各有11厘米3的水？
8、共考20道题，规定答对一题给5分，答给1分，答错倒扣1分，证明：得分总数一定是偶数？
9、设a1,a2,…,a64是自然数1，2，…，64的任一排列，令
b1=a1－a2,b2=a3－a4,…,b32=a63－a64；
c1=b1－b2,c2=b3－b4,…,c16=b31－b32；
d1=c1－c2,d2=c3－c4,…,d8=c15－c16；
……
这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数？
[全讲综合训练]
1、下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？
□＋□=□ □－□=□
□×□=□ □÷□=□
2、任意取出1234连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
3、一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？
4、能不能将1～1993这1993个自然数分成偶数组，使得每一组中最大数都等于这一组内其余各数和的一半？
5、一个游戏的规则为：在黑板上写上三个自然数，然后随便擦去其中一个数，换上未擦去的两个数的和减1，这样做了多次之后，黑板上得到17、123、139这三个数，请问黑板上开始写的三个数可以是2、2、2或3、3、3吗？
6、有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？
7、一次数学竞赛共30题，答对一题得2分，错1题扣1分，不答的不扣分，也不加分，考试结束，小华得47分，他只记得未答题数是偶数，他答对几道？
8、从1，2，3，…，100中任选两个不同的数，可以组成两个加法算式（8＋2与2＋8算两个），这些算式中，有的和是奇数，有的和是偶数，在所有这些算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多？多多少？
9、桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻其中的76枚，第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚，按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。
10、在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分，有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局，现知，其中有一位学生共得7分，另一学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。















第十一讲 奇数和偶数
[同步巩固演练]
1、办不到
如果一支球队与其他队赛一场，那么两支球队都计为各赛一场，则15支球队实际的比赛数是15×5÷2=37.5场，这显然是办不到。
2、偶数
两人互相交换是2张，所以全班用来交换的照片的总张数是偶数
3、偶数
经过试验易知，A无论是7，8，9哪一个数，保证A—3，B—4，C—5中至少有一个偶数，则偶数乘以任意一个自然数仍是偶数，得（A—3）×（B—4）×（C—5）必是偶数。
4、无论怎么分，每人分得的球的个数不是奇数就是偶数。分得偶数个球的人，他们球的总数一定是偶数。如果分得奇数个球的总人数是偶数，那么他们分得的球的总个数一定也偶数。偶数+偶数=偶数，与条件不符（1987是奇数），所以分得奇数个球的总人数不能是偶数
5、不能
每张纸上两个页码一定是一奇一偶，那么每张纸上两个页码的和一定是奇数，那么25张纸上的页码总和一定是奇数，（奇数个奇数的和是奇数），所以不可能是1998
6、偶数
1000个连续自然数中有500个奇数和500个偶数，500个奇数的和是偶数，500个偶数的和是偶数，所以偶数+偶数=偶数
7、不能
10个连续自然数中有5个奇数和5个偶数，5个奇数之和是奇数，5个偶数之和是偶数，奇数+偶数=奇数，1010是偶数，奇数≠偶数
8、不可能
对每一个杯口向上的杯子，要想使杯口向下，必须“翻转”奇数次，共有9个杯子，每个杯子都要翻转奇数次，9个奇数相加的和仍是奇数，也就是说，翻转的总数是奇数。
题目中只允许每次翻转四只杯子，是个偶数，翻转若干次后，翻转的总数一定是个偶数，因此，按规定不可能经过若干次翻转，使杯口全部向下。
9、不能
如果每个香炉中香的支数是奇数，则9个香炉中香的总和是奇数，而36是偶数，所以不能
10、不能
如图给15个座位按1、2相间标号，由于1有8个，2有7个，所以坐在1上的8个学生不能坐到2的7个座位上。
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1


[能力拓展平台]
1、不能连成。
每个点与另一个点连接成一条直线，可看作两个点各连一次，则连接的直线总条数是99×5÷2，结果是小数，这是不可能的
2、不能
分别用a1;a2…,a12；b1，b2，…，b12代表12条边和12条线段上的号码数，不管怎么编号，总有a1+a2+…a12=b1+b2+…+b12=1+2+…+12，又因为每个三角形三边上的号码和都相等，当我们用s表示这个和时，所以12个三角形三边上号码和总数为12s，另外在计算12个三角形三边上号码之和时，每个b1，b2，…，b12都用了两次，这一来便有：
12s=（a1+a2+…+a12）+（b1+b2+…+b12）×2
即 12s=3×（1＋2＋…＋12）=3
化简得 2s=3×13=39，39是奇数，2s是偶数，根据奇数不等于偶数，所以满足要求的编号方法不存在。
3、原三位数与新三位数之和不能为999。
设原三位数为，新三位数为（a1，b1，c1是a，b，c的一个排列），一定有a+b+c=a1+b1+c1，如果+=999，因为c+c1≠19，所以c+c1=9，同样有a+a1=9，b+b1=9，（a1+a）+（b1+b）+（c1+c）=27，另外
（a1+a）+（b1+b）+（c1+c）=（a+b+c）+（a+b+c）+（a1+b1+c1）
所以 2（a+b+c）=27。2（a+b+c）是偶数，27是奇数，两者不等，所以原三位数与新三位数之和不能等于999。
4、不能
因8、8、8按要求操作是8、8、17；8、17、26；17、26、44；…，观察发现是两偶一奇，而17，1993，1997都是奇数，所以原来三个数不能是8、8、8
5、不能 假设可以按要求排成。设第一组中最大的数是a1，其余各数的和也是a1，，则第一组中所在数的和是2a1；同理，设第二组中的最大的数是an则第n组所有数的和是2an。
所有数（1～1993）的和就是 2a1+2a2+…+2an=2（a1+a2+…+an）其结果是一个偶数。
其实上（1～1993）的和是:（1+1993）×1993÷2=997×1993,奇数乘以奇数，积一定是奇数
假设的结果与事实矛盾，这说明假设的情况是不可能达到的。
因此不能将1～1993分成若干组，使每组中的某个数等于同组中其余各数的和。
6、不能
翻动若干次的和是偶数，而9只杯口向上要使杯口全部向上，要使杯口全部向下，必须翻动奇数次，所以不能。
7、不可能
在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的，事实上，以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器，于是在题中条件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍为（偶，偶）；而（偶，奇）会成为（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）却成为（偶，偶），在任何情况下，盛奇数立方厘米水的容器没有出来。
因为开始有10个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。
8、20道题全对，可得5×20=100分。若有一题未答，应给1分，假设全对时给5分，多给4分，若有m题未答，应减去4m分；答错了应倒扣1分，假设全对时给5分，多给6分，若有n题未答，应减去6n分，则实际得分是100—4m—6n，偶数减偶数等于偶数，其结果一定是偶数。
9、偶数。
我们知道，对于整数a与b，a+b与a—b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数:a1—a2，a3—a4，…，a63—a64，
分别与下列32个数：a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，
有相同的奇偶性，这就是说，在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”，这样可以把原来的计算过程改为
第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64，
第二步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64，
第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64，
……
最后一步所得到的数是a1+a2+…+a63+a64，由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一个排列，因此它们的总和为1+2+…+64，是一个偶数，故最后一个整数是偶数。
[全讲综合训练]
1、至少有6个偶数
因每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数则□+□=□中，至少有一个偶数，□—□=□中至少有一个偶数，□×□=□和□÷□=□中至少各有两个偶数，所以12个数中，至少有6个偶数。
2、奇数
1234÷2=617，所以在任取的1234个连续自然数中，奇数的个数是奇数，奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数。
3、33个
因为这串数的排列是以“奇奇偶”循环，所以100÷3=33……1，故有33个偶数。
4、不能
因为根据题意，假设能分成，则每组数中最大数为a，其余各数和为2a，每组和为a+2a=3a，所以无论3a是奇数还是偶数，偶数组的和是偶数，而1+2+3+……+1993=（1+1993）×1993÷2=997×1993是奇数，假设结果与事实矛盾，所以不能达到要求。
5、开始写的三个数可以是3、3、3，不能是2、2、2。
如开始三个数为2、2、2，通过具体分析发现，从第一次开始，以后各次不论怎么换，黑板上的数总是两偶一奇，而17、123、139三个全是奇数，故开始三个数不能是2、2、2。
可以是3、3、3，具体换法如下：
3,3,3→3,3,5→3,5,7，→5,7,11→7,11,17→11,17,27→17,27,43→17,43,59→17,59,75→17,75,91→17,91,107→17,107,123→17,123,129.
6、1分和3分
当币值为偶数时，可以甲若干枚2分硬币组成；
当币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。
7、25道
假设2道题未答，则28×2=56，（56—47）÷（2+1）=3（道）所以答错3道，答对28—3=25（道）
8、和为奇数的多，多100个。
把这些算式分为100类，每类中有99个算式：
第1类：1+2，1+3，1+4，…，1+100；
第2类：2+1，2+3，2+4，…，2+100；
第3类：3+1，3+2，3+4，…3+100；
……
第100类：100+1，100+2，…，100+99
在第1类中，缺少算式1+1，所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个；
在第2类中，缺少算式2+2，所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个；
在第3类中，缺少算式3+3，所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个；
……
在第100类中，缺少算式100+100，所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个。
故在所有这些算式中，和为奇数的比和为偶数的多1×100=100（个）
9、能
按规定的翻法，共翻动1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上，注意到77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38），
根据规定，可以设计如下的翻动方法：
第1次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第2次与第77次共翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第3次与第76次，第4次与第75次……第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次，这样每枚硬币都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。
10、设得7分的学生胜了x1局，败了y1局，得20分的学生胜了x2局，败了y2局，由得分情况知：x1—y1=7，x2—y2=20
如果比赛过程中无平局出现，那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数，另一方面，由x1—y1=7知x1+y2为奇数，由x2—y2=20知x2+y2知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数，这便 出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局。

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