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第四章
第二节圆周运动的规律与应用
知识内容
必考要求
1.圆周运动、向心加速度、向心力
d
2.生活中的圆周运动
c
考点一 圆周运动、向心加速度、向心力
[巩固基础]
1．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等。
(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
2．描述匀速圆周运动的物理量
(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量。
v＝＝，单位m/s。
(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
ω＝＝，单位rad/s。
(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
T＝，T＝。
(4)转速：物体单位时间内所转过的圈数。符号n，单位r/s(或r/min)。
(5)相互关系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr。
3．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量。
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r。
4．向心力
做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，公式为Fn＝m或Fn＝mrω2。向心力的方向总是沿半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力。
[提升能力]
常见的三种传动方式及特点
1．皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
2．摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
3．同轴传动：如图丁、戊所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
[典例]　如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约30 cm的感应玻璃盘起电的。其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮链接，如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑。下列说法正确的是(　　 )
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相同
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
[解析]　线速度是矢量，P、Q的速度方向不同，A错误；若摇把使主动轮沿顺时针方向转动，则从动轮将沿逆时针方向转动，故玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，B错误；由玻璃盘的转速可得其周期T＝0.6 s，P点的线速度vP＝ω·＝·≈1.6 m/s，C正确；设摇把的转速为n′，有2πn·r＝2πn′·R，得n′＝25 r/min，D错误。
[答案]　C
[演练考法]
1.(2016·10月浙江学考)在G20峰会“最忆是杭州”的文艺演出中，芭蕾舞演员保持如图所示姿势原地旋转，此时手臂上A，B两点角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则(　　 )
A．ωA＜ωB　　　　 　 B．ωA＞ωB
C．vA＜vB D．vA＞vB
解析：选D　由于A、B两处在人自转的过程中周期一样，所以根据ω＝可知，A、B两处的角速度一样，ωA＝ωB，所以A、B选项错误；根据v＝rω可知A处转动半径较大，所以A处的线速度较大，即vA＞vB选项D正确。
考点二 生活中的圆周运动
[巩固基础]
1．火车转弯：重力与铁轨支持力的合力(沿水平方向)提供向心力。火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨。
2．汽车过弧形桥：重力和桥面支持力的合力(沿竖直方向)提供向心力。
3．离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，即离心运动。典型应用有洗衣机的脱水筒、无缝钢管的生产等。
[提升能力]
1．竖直面内圆周运动的绳、杆模型
绳模型
杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝m
得v临＝
由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0(3)当v＝ 时，FN＝0
(4)当v> 时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
2．竖直面内圆周运动类问题的解题思路
(1)定模型：首先判断是绳模型还是杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。
(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥及杆模型中最高点v≥0这两个临界条件。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
[典例]　如图所示，长为L的轻杆一端连接在O点，另一端固定一质量为m的小球，现让小球在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，P为圆周的最高点，小球运动到最低点时速率为，不计一切阻力，则(　　)
A．小球不能到达P点
B．小球到达P点时速度小于
C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆的弹力为0
[解析]　本题是杆模型，当小球恰好到达最高点时，由机械能守恒有mg·2L＝mv2，即小球在圆周最低点时必须具有的速度v≥2，因>2，所以小球能到达最高点P，选项A错误；由机械能守恒知小球到达最高点时速度为，选项B错误；在P点时小球所需向心力F＝m＝mg，故此时轻杆上弹力为0，选项C错误、选项D正确。
[答案]　D
[演练考法]
2.(2016·4月浙江学考)如图为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他(　　 )
A．所受的合力为零，做匀速运动
B．所受的合力恒定，做匀加速运动
C．所受的合力恒定，做变加速运动
D．所受的合力变化，做变加速运动
解析：选D　运动员做匀速圆周运动，所受合力时刻变化，加速度时刻变化，D正确。
3.(2017·11月浙江学考)如图所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车道的总宽度约为15 m，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍，则运动的汽车(　　)
A．所受的合力可能为零
B．只受重力和地面支持力作用
C．最大速度不能超过25 m/s
D．所需的向心力由重力和支持力的合力提供
解析：选C　汽车在水平面上做匀速圆周运动，合外力时刻指向圆心，拐弯时靠静摩擦力提供向心力，因此排除A、B、D项，所以选择C。

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