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第四章
考 纲 要 求
考 情 分 析
运动的合成与分解
Ⅱ
　　1.命题规律
平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角速度、线速度和向心加速度，人造卫星及天体的运动问题等是该部分的命题热点，题型既有选择题，也有计算题。
2.考查热点
突出物理与现代科技、生产、生活的结合，特别是现代航天技术的密切联系，与牛顿运动定律、机械能守恒定律等内容综合命题的可能性也较大。
抛体运动
Ⅱ
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度
Ⅰ
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ
离心现象
Ⅰ
万有引力定律及其应用
Ⅱ
环绕速度
Ⅱ
第二宇宙速度和第三宇宙速度
Ⅰ
经典时空观和相对论时空观
Ⅰ
　运动的合成与分解(双基落实课)
点点通(一)　物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动。
(3)物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
[小题练通]
1．一个物体在力F1、F2、F3、…、Fn共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去F2，而其他力不变，则该物体(　　)
A．可能做曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．一定沿F2的方向做直线运动
D．一定沿F2的反方向做匀减速直线运动
解析：选A　根据题意，物体开始做匀速直线运动，物体所受的合力一定为零，突然撤去F2后，物体所受其余力的合力与F2大小相等、方向相反，而物体速度的方向未知，故有多种可能情况：若速度的方向和F2的方向在同一直线上，物体做匀变速直线运动，若速度的方向和F2的方向不在同一直线上，物体做曲线运动，A正确。
2.(2019·金华联考)春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福。如图所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图中的(　　)
A．直线OA　　　　　 　 　B．曲线OB
C．曲线OC D．曲线OD
解析：选D　孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹凹侧可知轨迹可能为题图中的曲线OD，故D正确。
3．(多选)(2019·南昌模拟)一质量为m的质点起初以速度v0做匀速直线运动，在t＝0时开始受到恒力F作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v＝0.5v0，由此可判断(　　)
A．质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动
B．质点受到恒力F作用后可能做圆周运动
C．t＝0时恒力F方向与速度v0方向间的夹角为60°
D．恒力F作用时间时质点速度最小
解析：选AD　在t＝0时质点开始受到恒力F作用，加速度不变，做匀变速运动，若质点做匀变速直线运动，则最小速度为零，所以质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动，故A正确；质点在恒力F作用下不可能做圆周运动，故B错误；设恒力F与初速度v0之间的夹角为θ，最小速度v1＝v0sin θ＝0.5v0，由题意可知初速度v0与恒力F间的夹角为钝角，所以θ＝150°，故C错误；在沿恒力F方向上速度为0时有v0cos 30°－Δt＝0，解得Δt＝，故D正确。
[融会贯通]
(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向，如图所示。在电场中，经常根据这一规律判定带电粒子所受的电场力方向，进而分析粒子的电性或场强方向。
(2)运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向。
点点通(二)　运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
等时性
合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响
2.合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
[小题练通]
1.(2019·衡阳联考)如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动。在t＝0时刻，汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，同时有一雨滴从O点下落，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到在t＝0时刻从O点下落的雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到在t＝0时刻从O点下落的雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点。则 t1∶t2为(　　)
A．2∶1 B．1∶
C．1∶ D．1∶(－1)
解析：选A　雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小相等，与水平方向的运动无关，故t1∶t2＝∶＝2∶1，A正确。
2．(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v -t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x -t图像如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．猴子在0～2 s内的加速度大小为4 m/s2
解析：选BD　由题图乙可知，猴子在竖直方向做初速度为8 m/s，加速度大小为m/s2＝4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度大小为m/s＝4 m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝ m/s＝4 m/s，选项C错误；猴子在0～2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确。
[融会贯通]
“化曲为直”思想在运动的合成与分解中的应用
(1)分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动。
(2)要注意分析物体在两个分方向上的受力及运动规律，分别列式求解。
(3)两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
点点通(三)　小船渡河问题
1．三种速度
船在静水中的速度v1、水流速度v2和船的实际运动速度v，其中v是v1与v2的合速度。
2．三种情景
(1)渡河时间最短
船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)。
(2)渡河位移最短(v2合速度垂直于河岸时，位移最短，xmin＝。船头指向上游，与河岸夹角为α，cos α＝。
(3)渡河位移最短(v2>v1时)
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时位移最短。
由图可知sin θ＝，最短位移xmin＝＝d。
[小题练通]
1．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A.　　　　　　 　 　B.
C. D.
解析：选B　设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则小船去程渡河所用时间为t1＝，小船回程渡河所用时间为t2＝。由题意知＝k，联立以上各式得v0＝。选项B正确，A、C、D错误。
2．船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图乙所示，经过一段时间该船以最短时间成功渡河。下列对该船渡河的说法错误的是(　　)
A．船在河水中的最大速度是5 m/s
B．船渡河的时间是150 s
C．船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
D．船渡河的位移是×102 m
解析：选B　由题图乙可知，水流的最大速度为4 m/s，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5 m/s，选项A正确；当船头始终与河岸垂直时，渡河时间最短，有t＝＝ s＝100 s，因此船渡河的时间不是150 s，选项B错误，C正确；在渡河时间内，船沿水流方向的位移x在数值上等于水流速度与时间图像所围成的面积大小，根据速度变化的对称性可得x＝ m＝200 m，船沿垂直河岸方向的位移为y＝d＝300 m，再根据运动的合成与分解可得，船渡河的位移为＝×102 m，选项D正确。
3．(2019·泰安质检)如图所示，甲、乙两船在同一匀速的河水中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点。如果甲、乙两船在静水中的速度大小相同，且甲、乙两船相遇不影响各自的航行，下列判断正确的是(　　)
A．甲船也能到达M点正对岸
B．甲船渡河时间一定比乙船短
C．甲、乙两船相遇在NP直线上的某点(非P点)
D．渡河过程中两船不会相遇
解析：选C　乙船垂直河岸到达正对岸，说明水流方向向右，甲船参与了两个分运动，沿着船头指向的匀速运动，随着水流方向的匀速运动，故不可能到达M点正对岸，故A错误；船渡河的速度为船本身的速度垂直河岸方向的分速度vy＝vsin α，船渡河的时间t＝＝，故甲、乙两船到达对岸的时间相同，故B错误；船沿垂直河岸方向的位移y＝vyt′＝vt′sin α，可知任意时刻两船沿垂直河岸方向的位移相等，又由于乙船沿着NP方向运动，故相遇点在NP直线上的某点(非P点)，故C正确，D错误。
[融会贯通]
(1)解决船渡河问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线。
(2)应用运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。
(4)求最短渡河位移时，根据船在静水中的速度v船与水流速度v水的大小情况，用三角形定则求极限的方法处理。
点点通(四)　关联速度问题
1．问题特点：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与原则
(1)思路
①明确合速度―→物体的实际运动速度v。
(2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
[小题练通]
1.如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面体固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1A．v2sin θ B.
C．v2cos θ D.
解析：选C　m1的速度与绳子上各点沿绳子方向的速度大小相等，所以绳子的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动应是合运动(沿杆向下)，合速度v2可由沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度来合成(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可得m1的速度大小v1＝v2cos θ，C正确。
2.一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示。当轻杆到达位置2时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1。已知此时轻杆与水平方向成 θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
解析：选C　球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin θ＝v1，由几何关系知，球B此时的速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos α＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。
3.如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为(　　)
A．vsin θ B．vcos θ
C．vtan θ D.
解析：选A　由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确。
[融会贯通]
绳(杆)关联问题的解题技巧
(1)解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。
(2)基本思路
①先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。
②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳(杆)伸缩；另一方面使绳(杆)转动。
③确定两个分速度的方向：沿绳(杆)方向的分速度和垂直绳(杆)方向的分速度，而沿绳(杆)方向的分速度大小相同。
1．物体做直线运动还是做曲线运动是由物体的速度与合外力是否在同一直线上决定的。
2．两个分运动的合运动是直线运动还是曲线运动要看两个分运动的合速度与合加速度是否在同一直线上。
3．小船渡河问题与关联速度问题的本质及解题方法是运动的合成与分解，具体说就是小船实际运动的速度等于它在静水中的速度与水流速度的合速度，合速度垂直于河岸，小船才能刚好到达正对岸即航程最短；用绳(或杆)连接的两物体，把两物体的速度在沿绳(或杆)及垂直于绳(或杆)的方向上进行分解，则有沿绳(或杆)方向的分速度大小相等，这就是“关联”所在。
[课堂综合训练]
1．(2019·永州模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的运动项目，当跳伞运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中若受到水平风力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的空中表演动作
B．风力越大，运动员下落时间越短，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力大小无关
D．运动员着地速度与风力大小无关
解析：选C　运动员同时参与了两个分运动，即竖直方向向下落和水平方向随风飘，两个分运动同时发生，相互独立；因此，水平分速度越大，即水平风力越大，落地的合速度越大，但落地时间不变，故A、B、D错误，C正确。
2.如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升。当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为(　　)
A.　　　　　 　　 　B.
C. D.
解析：选B　由题图可知，棒与平台接触点的实际运动即合运动，其速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿竖直向上的分量等于v，即ωLsin α＝v，所以ω＝，B正确。
3.如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动。运动开始时，AB杆在竖直位置，水平杆OC到A点的距离为h，则小环M的速度将(　　)
A．逐渐增大
B．先减小后增大
C．先增大后减小
D．逐渐减小
解析：选A　设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点的线速度v＝ω·。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆上分速度大小等于小环M绕A点的线速度大小v，则小环M的速度v′＝＝，随着时间的延长，则小环M的速度逐渐增大，故A正确，B、C、D错误。
4．(2019·潍坊统考)如图所示，河水由西向东流，河宽为d＝800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)。让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s。则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
解析：选B　由题意可知，小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，即小船渡河的轨迹为曲线，A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为×400 m/s＝3 m/s，此时小船的合速度最大，可得最大值vm＝5 m/s，B正确；由v水与x的关系可知，水流在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m 处的速度，故小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错误；小船的渡河时间t＝＝200 s，D错误。
5．由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为(　　)
A．西偏北方向，1.9×103 m/s
B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s
D．东偏南方向，2.7×103 m/s
解析：选B　设当卫星在转移轨道上飞经赤道上空与同步轨道高度相同的某点时，速度为v1，发动机给卫星的附加速度为v2，该点在同步轨道上运行时的速度为v。三者关系如图所示，由图知附加速度方向为东偏南，由余弦定理知v22＝v12＋v2－2v1vcos 30°，代入数据解得v2≈1.9×103 m/s，选项B正确。

1．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受水平向右的风力的影响，但着地前一段时间风突然停止，则其运动的轨迹可能是选项图中的(　　)
解析：选C　物体一开始做自由落体运动，速度方向竖直向下；当受到水平向右的风力时，合力的方向为向右偏下，速度和合力的方向不在同一条直线上，物体做曲线运动，轨迹应夹在速度方向和合力方向之间；风停止后，物体的合力方向向下，与速度仍然不在同一条直线上，继续做曲线运动，轨迹向下凹，故C正确，A、B、D错误。
2．一质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始做匀加速直线运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后(　　)
A．继续做匀变速直线运动
B．在相等时间内速度的变化量一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
解析：选B　F1、F2为恒力，质点从静止开始做匀加速直线运动，F1增大到F1＋ΔF后仍为恒力，合力仍为恒力，加速度恒定，但合力的方向与速度方向不再共线，所以质点将做匀变速曲线运动，故A、C、D错；由加速度的定义式a＝知，在相等时间Δt内Δv＝aΔt必相等，故B对。
3．一质点从水平面内的xOy坐标系的原点出发开始运动，其沿x轴正方向的分速度随时间变化的图像及沿y轴正方向的位移随时间变化的图像如图甲、乙所示。一条直线过坐标原点O、与x轴正方向成30°角，如图丙所示。质点经过该直线时的坐标为(　　)
A．(12 m,4 m)　　　　　 　B．(9 m,3 m)
C．(6 m,2 m) D．(3 m， m)
解析：选A　由题图甲知，质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2；由题图乙知，质点沿y轴正方向做匀速直线运动，速度大小v0＝2 m/s。设质点经过时间t经过题图丙的直线，则有＝tan 30°，x0＝，y0＝v0t，解得x0＝12 m，y0＝4 m，选项A正确。
4.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度大小为vA，则此时B球的速度大小vB为(　　)
A．vA B.
C. D．vAcos α
解析：选C　A球以速度大小vA沿槽下滑时，可分解为一个沿杆方向的分运动，设其速度大小为vA1，一个垂直于杆的分运动，设其速度大小为vA2，而B球沿槽上滑的运动为合运动，设其速度大小为vB，可分解为一个沿杆方向的分运动，设其速度大小为vB1，vB1＝vA1，一个垂直于杆的分运动，设其速度大小为vB2。可知：vB1＝vBsin α＝vA1＝vAcos α，则vB＝，C正确。
5.如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动。则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为(　　)
A．水平向左，大小为v
B．竖直向上，大小为vtan θ
C．沿杆A斜向上，大小为
D．沿杆A斜向上，大小为vcos θ
解析：选C　两杆的交点P参与了两个分运动，如图所示，即水平向左的速度大小为v的匀速直线运动和沿杆B竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿杆A斜向上，交点P的速度大小为vP＝，选项C正确。
6．(2019·泸州模拟)如图所示，MN是流速稳定的河流，河宽一定，小船在静水中的速度大小一定。现小船自A点渡河，第一次船头沿AB方向与河岸的夹角为α，到达对岸；第二次船头沿AC方向与河岸的夹角为β，到达对岸，若两次航行的时间相等，则(　　)
A．α＝β B．α＜β
C．α＞β D．无法比较α与β的大小
解析：选A　第一次船头沿AB方向(即船在静水中的速度方向沿AB方向)到达对岸，第二次船头沿AC方向(即船在静水中的速度方向沿AC方向)到达对岸，对在这两种情况下的船在静水中的速度进行分解，因两次航行的时间相等，所以在垂直于河岸方向上的速度是相等的，因此两方向与河岸的夹角也相等，即α＝β，故A正确，B、C、D错误。
7.(多选)如图所示，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸，从一侧岸边向对岸行驶，小船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则(　　)
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与小船以出发时的速度匀速渡河相比，渡河时间变长了
D．与小船以出发时的速度匀速渡河相比，渡河时间变短了
解析：选BD　小船在沿河岸的方向上随河水做匀速直线运动，即在相同的时间间隔内，沿河岸方向上的位移是相同的；在垂直河岸的方向上，在相等的时间间隔内(参照小船沿河岸方向上的位移)，位移的变化量先逐渐增大再逐渐减小，所以速度先增大后减小；因中间那段时间垂直河岸方向的速度较大，所以与小船以出发时的速度匀速渡河相比，渡河时间变短了，选项B、D正确。
8.(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处。在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L。现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程中下列说法正确的是(　　)
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的速度先增大后减小
解析：选CD　与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vT是细绳的速度，即重物M的速度。设vT与v的夹角是θ，则vT＝vcos θ，开始时θ减小，则vT增大；当杆与细绳垂直(θ＝0)时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，C、D正确。
9．(多选)质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图线分别如图甲、乙所示，由图可知(　　)
A．最初4 s内物体的位移为8 m
B．从开始至6 s末物体都做曲线运动
C．最初4 s内物体做曲线运动，接下来的2 s内物体做直线运动
D．最初4 s内物体做直线运动，接下来的2 s内物体做曲线运动
解析：选AC　由运动的独立性并结合题图甲、乙可得，在0～4 s内y轴方向的位移y＝8 m，x轴方向的位移x＝8 m，由运动的合成得物体的位移s＝＝8 m，A正确；在0～4 s内，物体的加速度a＝ay＝1 m/s2，初速度v0＝vx0＝2 m/s，即物体的加速度与速度不共线，物体做曲线运动，4 s末物体的速度与x轴正方向夹角的正切值tan α＝＝＝2，在4～6 s内，合加速度与x轴正方向夹角的正切值tan β＝＝＝2，速度与合加速度共线，物体做直线运动，C正确，B、D错误。
10．(多选)船在静水中的速度v1和水速v2一定，渡河的最短时间为t1，用最短的位移渡河的时间是t2，则下列说法正确的是(　　)
A．若v1>v2，则＝
B．若v1>v2，则＝
C．若v1D．若v1解析：选AD　设河宽为d，则用最短时间渡河时，船头垂直河岸，t1＝，若v1>v2，船渡河位移最短时，船的合速度垂直河岸，v＝，t2＝，解得＝，选项A正确，B错误；若v1第21课时　平抛运动(双基落实课)
点点通(一)　平抛运动的基本规律
1．运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
2．基本规律
(1)水平方向：做匀速直线运动，vx＝v0，x＝v0t。
(2)竖直方向：做自由落体运动，vy＝gt，y＝gt2。
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝。
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝。
3．对规律的理解
飞行
时间
由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平
射程
x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地
速度
v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度
改变量
任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
4.两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。
[小题练通]
1．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析：选C　发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上h＝gt2，可知两球下降相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误；由vy2＝2gh可知，两球下降相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误；由平抛运动规律，水平方向上x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误。
2.如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为(　　)
A．1 s　　 　　　　　　　 　B．2 s
C．3 s D．4 s
解析：选C　由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移s水平＝OM＝2QM＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t＝＝3 s，C正确。
3.(多选)(2019·南昌模拟)如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD?A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向平抛一小球(可视为质点)。关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
A．落点在A1B1C1D1内的小球，落在C1点时平抛的初速度最大
B．落点在B1D1上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1∶
C．运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
D．运动轨迹与A1C相交的小球，在交点处的速度方向都相同
解析：选ABC　依据平抛运动规律，在竖直方向有h＝gt2，得小球运动的时间t＝ ，水平方向有x＝v0 ，落点在A1B1C1D1内的小球，h相同，而水平位移xAC1最大，则落在C1点时平抛的初速度最大，A项正确；落点在B1D1上的小球，由几何关系可知最大水平位移xmax＝L(L为正方体的棱长)，最小水平位移xmin＝L，由v0＝x ，可知平抛运动初速度的最小值与最大值之比vmin∶vmax＝xmin∶xmax＝1∶，B项正确；凡运动轨迹与AC1相交的小球，位移偏转角β相同，设速度偏转角为θ，由平抛运动规律有tan θ＝2tan β，故θ相同，则运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同，C项正确，同理可知，D项错误。
[融会贯通]
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度，也不用分解加速度。
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。
点点通(二)　多体平抛运动问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题。
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出，则两物体始终在同一高度，水平间距取决于两物体的初速度和运动时间。
(2)若两物体同时从不同高度水平抛出，则两物体高度差始终不变，水平间距取决于两物体的初速度和运动时间。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，水平间距取决于两物体的初速度和运动时间。
[小题练通]
1.(2017·江苏高考)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
A．t　　　　　　　　　　　 　B.t
C. D.
解析：选C　设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确。
[融会贯通]
两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。即轨迹相交是物体相遇的必要条件。
2.如图所示，两个小球从水平地面上方同一点O分别以初速度v1、v2水平抛出，落在地面上的位置分别是A、B，O′是O在地面上的竖直投影，且O′A∶AB＝1∶3。若不计空气阻力，则两小球(　　)
A．抛出的初速度大小之比为1∶4
B．落地速度大小之比为1∶3
C．落地速度与水平地面夹角的正切值之比为1∶3
D．通过的位移大小之比为1∶
解析：选A　两小球的抛出高度相同，故下落时间相同，落地时的竖直分速度相同，两小球的水平位移分别为O′A和O′B，故水平位移之比为1∶4，由x＝vt可知两小球抛出的初速度之比为1∶4，故A正确；由于未知两小球的下落高度，故无法准确求出落地时的竖直分速度，无法求得落地速度大小之比，故B错误；同理也无法求出位移大小之比，故D错误；设落地时速度方向与水平地面夹角为θ，tan θ＝，因竖直分速度相等，而水平初速度之比为1∶4，故正切值之比为4∶1，故C错误。
3．(多选)在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一个固定的竖直杆，其上的三个光滑水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地的高度分别为3h、2h和h。当小车遇到障碍物M时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，落到水平路面上的第一落点分别是a、b、c点，如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝∶∶1
B．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝3∶2∶1
C．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝(－)∶(－1)
D．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝1∶1
解析：选AC　由题意可知，A、B、C三个小球下落高度之比为3∶2∶1，由于竖直方向上做自由落体运动，由t＝ 可知，三个小球从平抛至落地的时间之比为∶∶1，A正确，B错误；三个小球在水平方向上做速度相同的匀速直线运动，可知A、B、C三个小球的水平位移之比为∶∶1，因此由题图可知L1∶L2＝(－)∶(－1)，C正确，D错误。
点点通(三)　斜面上的平抛运动
两类模型
解题方法
方法应用
分解速度，构建速度矢量三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
合速度：v＝
方向：tan θ＝
分解位移，构建位移矢量三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：s＝
方向：tan θ＝
[小题练通]
1．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
解析：选A　画出小球在斜面上运动轨迹，如图所示，可知：x＝vt，xtan θ＝gt2，则x＝v2，即x∝v2。甲、乙两球抛出速度为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，由落至斜面时的速率v斜＝可得落至斜面时速率之比为2∶1，A正确。
2.(多选)(2019·西安调研)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点。今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断(不计空气阻力)(　　)
A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
解析：选BC　由AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，可得三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，由y＝gt2可得，运动时间之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度方向之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，B项正确；tan α＝，所以三个小球的初速度大小之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相交，因此不会在空中相交，D项错误。
3.(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出。小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计。则下列说法中正确的是(　　)
A．若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B．若小球垂直击中斜面，则t＝
C．若小球能击中斜面中点，则t＝
D．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
解析：选AB　当小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，即t＝，A正确，D错误；当小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，即t＝，B正确；当小球击中斜面中点时，设斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝gt2，解得t＝，C错误。
[融会贯通]
(1)物体从斜面上水平抛出后，当其速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
(2)由推论tan α＝2tan θ知，物体落回斜面的速度方向取决于斜面倾角，与初速度的大小无关。
1．求解平抛运动的方法就是运动的合成与分解。
2．平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，要充分利用相关推论快速解题，如比例“1∶3∶5∶…”。
3．对多个物体的平抛运动要注意抛出点或抛出时刻的不同，同时注意运动过程中的相遇(条件)问题。
[课堂综合训练]
1．在一堵竖直高墙前x远处的高台上水平抛出A、B两小球，若两小球抛出的初速度vA>vB，A、B两球分别打到高墙a、b两点，则有(不计空气阻力)(　　)
A．a点在b点的上方
B．a点在b点的下方
C．A球打到a点的速率一定大于B球打到b点的速率
D．A球打到a点的速率一定小于B球打到b点的速率
解析：选A　平抛运动的水平位移x＝vxt，初速度越大，运动时间越短，再由h＝gt2可得运动时间越短竖直位移越小，即离水平地面的高度越高，所以a点在b点的上方，选项A正确，B错误；a点的水平速度比b点大，b点的竖直速度比a点大，无法比较合速度v＝的大小，选项C、D错误。
2.(2019·河南百校模拟)如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点。在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A. m　　　　　　　　 　B. m
C. m D. m
解析：选D　设斜面体的高AB为h，落地点到C点的距离为x，由几何关系知D点到水平地面的高为，A点到C点的水平距离为xA＝，D点到C点的水平距离为xD＝，由A点抛出的小球下落时间为tA＝ ，由D点抛出的小球下落时间为tD＝ ，由平抛运动的规律有：xA＋x＝v0tA，xD＋x＝v0tD，解得x＝ m，选项D正确。
3．(2019·宝鸡质检)如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点，将一个小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，那么小球完成PQ 段飞行的时间是(　　)
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
解析：选C　小球做平抛运动，tan θ＝＝，则时间t＝，选项A、B错误；在水平方向上有Rsin θ＝v0t，则t＝，选项C正确，D错误。
4．套圈游戏是一项很受儿童欢迎的活动，要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m、高为20 cm 的竖直细杆，即为获胜。一身高1.4 m的儿童从距地面1 m高处水平抛出圆环，圆环半径为10 cm，要想套住细杆，儿童水平抛出圆环的速度可能为(g取10 m/s2，空气阻力不计)(　　)
A．7.4 m/s B．9.6 m/s
C．7.8 m/s D．8.2 m/s
解析：选C　圆环做平抛运动，初始时圆环距细杆上端的竖直距离为H＝0.8 m，又知圆环在竖直方向做自由落体运动，则有H＝gt2，解得t＝0.4 s，圆环后端与细杆的水平距离为3.2 m，在水平方向有3.2 m＝v1t，解得v1＝8 m/s，圆环前端与细杆的水平距离为3 m，在水平方向有3 m＝v2t，解得v2＝7.5 m/s，所以要想套住细杆，圆环水平抛出的速度范围为7.5 m/s5.(多选)如图所示，假设某滑雪者从山上M点以水平速度v0飞出，经t0时间落在山坡上N点时速度方向刚好沿斜坡NP向下，接着从N点沿斜坡下滑，又经t0时间到达坡底P点。已知斜坡NP与水平面夹角为60°，不计摩擦阻力和空气阻力，则(　　)
A．滑雪者到达N点的速度大小为2v0
B．M、N两点之间的距离为2v0t0
C．滑雪者沿斜坡NP下滑的加速度大小为
D．M、P之间的高度差为v0t0
解析：选AD　滑雪者到达N点时的竖直分速度为vy＝gt0＝v0tan 60°，得g＝，到达N点时的速度大小为v＝＝2v0，A正确；M、N两点之间的水平位移为x＝v0t0，竖直高度差为y＝gt02＝v0t0，M、N两点之间的距离为s＝＝v0t0，B错误；由mgsin 60°＝ma，解得滑雪者沿斜坡NP下滑的加速度大小为a＝gsin 60°＝，C错误；N、P之间的距离为s′＝vt0＋at02＝v0t0，N、P两点之间的高度差为y′＝s′sin 60°＝v0t0，M、P之间的高度差为h＝y＋y′＝v0t0，D正确。

1.(2019·南昌模拟)如图所示，战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，第一颗落在a点，第二颗落在b点。斜坡上c、d两点与a、b共线，且ab＝bc＝cd，不计空气阻力。第三颗炸弹将落在(　　)
A．b、c之间　　　　　　　　 　B．c点
C．c、d之间 D．d点
解析：选A　如图所示，假设第二颗炸弹的轨迹经过A、b，第三颗炸弹的轨迹经过P、Q；a、A、B、P、C在同一水平线上，设aA＝AP＝x0，ab＝bc＝L，斜面的倾角为θ，三颗炸弹到达a所在水平面的竖直速度为vy，水平速度为v0，对第二颗炸弹，水平方向上有x1＝Lcos θ－x0＝v0t1，竖直方向上有y1＝vyt1＋gt12，对第三颗炸弹，水平方向上有x2＝2Lcos θ－2x0＝v0t2，竖直方向上有y2＝vyt2＋gt22，解得t2＝2t1，y2>2y1，所以Q点在c点的下方，故第三颗炸弹应落在b、c之间，选项A正确。
2．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的(　　)
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
解析：选B　弹射管自由下落，两只小球始终处于同一水平面，因此同时落地；水平方向的分运动为匀速直线运动，且速度相等，由h＝gt2知，两只小球弹出后在空中运动的时间不相等，由x＝vt知水平位移不相等，落地点不同，B正确。
3．(2019·重庆适应性考试)某同学将小球从距水平地面高为h1处水平抛出，不计空气阻力，小球落地时的水平位移为s1。若将该小球从高为h2处以相同速度水平抛出，小球落地时的水平位移为(　　)
A. s1 B.s1
C. s1 D.s1
解析：选A　小球从高为h1处水平抛出时，由s1＝vt1，h1＝gt12，解得s1＝v ；小球从高为h2处水平抛出时，由s2＝vt2，h2＝gt22，解得s2＝v ，即s2＝ s1，选项A正确。
4.(2019·抚顺模拟)如图所示，离地面高h处有甲、乙两个物体，甲以初速度v0水平射出，同时乙以初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下。若甲、乙同时到达地面，则v0的大小是(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选A　甲做平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，得：t＝ ，根据几何关系可知：x乙＝h，乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知：a＝＝＝g，根据位移时间公式可知：x乙＝v0t＋at2，解得：v0＝，A正确。
5.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球甲、乙(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点。已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为(　　)
A．tan α B.
C．tan α· D．cos α·
解析：选C　根据平抛运动得甲小球水平方向的位移为xA＝Rsin α＝v1t1，竖直方向的位移为yA＝Rcos α＝gt12，解得v1＝ ；乙小球水平方向的位移为xB＝Rcos α＝v2t2，竖直方向的位移为yB＝Rsin α＝gt22，解得v2＝ ，所以有＝tan α·，选项C正确。
6.(多选)(2019·湖南长郡中学月考)如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则(　　)
A．当v1＞v2时，α1＞α2
B．当v1＞v2时，α1＜α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的大小与斜面的倾角θ有关
解析：选CD　小球从斜面上水平抛出，又落到斜面上，由平抛运动的规律知位移偏向角一定为θ，设速度偏向角为φ，根据速度偏向角和位移偏向角的关系tan φ＝2tan θ，故无论v1、v2关系如何，一定有φ相等，根据α＝φ－θ，均有α1＝α2，且大小与斜面的倾角θ有关，选项A、B错误，C、D正确。
7.(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的(不计空气阻力)，则(　　)
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的初速度比b的小
D．b的初速度比c的大
解析：选BD　根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝ ，因此平抛运动的时间只由高度决定，由题图知竖直方向有hb＝hc＞ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，选项A错误，B正确；由题图知水平方向有xa＞xb，而ta＜tb，所以a的初速度比b的大，选项C错误；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，xb>xc，而tb＝tc，所以vb＞vc，即b的初速度比c的大，选项D正确。
8.(多选)如图所示，B点为倾角为45°的斜面上的一点。从B点正上方、距B点的高度为h的A点处，静止释放一质量为m的弹性小球，落在B点和斜面碰撞，碰撞后速度大小不变，方向变为水平，经过一段时间小球落在斜面上C点(C点未画出，不计空气阻力)。则(　　)
A．小球落到B点时重力的瞬时功率为mg
B．小球从B点运动到C点的时间为
C．小球从B点运动到C点的时间为2 
D．B、C两点间的高度差为5h
解析：选AC　从A点到B点的过程，小球做自由落体运动，落到B点时有v＝，则小球落到B点时重力的瞬时功率为P＝mgv＝mg，故选项A正确；从B点到C点的过程，小球做平抛运动，位移与水平方向的夹角为45°，则水平位移和竖直位移相等，有vt＝gt2，解得t＝2 ，故选项C正确，B错误；B、C两点间的高度差为h′＝gt2＝4h，故选项D错误。
第22课时　平抛运动规律的应用(题型研究课)
1．(2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
A. B. C. D. 解析：选D　设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间，则竖直方向上有3h－h＝gt12，水平方向上有＝v1t1，解得v1＝ ；设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向上有3h＝gt22，在水平方向上有 ＝v2t2，解得v2＝ 。则v的最大取值范围为v12.(2017·全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)
A.　　　　　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选B　设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝mv2－mv12，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，在水平方向上有x＝v1t，在竖直方向上有2R＝gt2，解得x＝，因此当R－＝0，即R＝时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。

平抛运动是日常生活中常见的运动类型，高考考查的题型多为选择题，难度中等，如果作为一种运动形式在计算题中考查，难度较大，再甚至结合电磁学考查，则一般为压轴题。解答平抛运动问题的关键是建立合理的坐标系，对速度、位移、加速度进行合成与分解。　　
命题点一　平抛运动的临界、极值问题
[典例]　在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示，P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h(不计空气阻力)。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围。
[解析]　(1)由题意可知，微粒在空中飞行做平抛运动，打在探测屏AB中点的微粒满足h＝gt2
解得t＝ 。
(2)当微粒打在探测屏B点时，
初速度为v1＝，竖直方向有2h＝gt12
解得v1＝L 
同理，当微粒打在探测屏A点时，初速度为v2＝L 
所以能被屏探测到的微粒初速度范围
L ≤v≤L 。
[答案]　(1) 　(2)L ≤v≤L 

平抛运动临界问题求解的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。　　
[集训冲关]
1.(多选)(2019·石家庄模拟)如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个建筑物的屋顶，然后水平跳跃并离开屋顶，在另一个建筑物的屋顶上着地。如果演员在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，那么下列关于演员能否安全跳到另一个屋顶的说法正确的是(g取9.8 m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．演员安全跳到另一个屋顶是可能的
B．演员安全跳到另一个屋顶是不可能的
C．如果要安全跳到另一个屋顶，演员在屋顶跑动的最小速度应大于 6.2 m/s
D．如果要安全跳到另一个屋顶，演员在屋顶跑动的最小速度应大于 4.5 m/s
解析：选BC　演员在跳跃过程中做平抛运动，在竖直方向有y＝gt2，当演员降落到另一个屋顶时，下落的高度y＝4.9 m，所用时间t＝ ＝  s＝1.0 s，最大水平位移x＝vmt＝4.5×1.0 m＝4.5 m＜6.2 m，所以演员不能安全跳到另一个屋顶，要想安全跳过去，演员在屋顶跑动的最小速度应大于 m/s，即6.2 m/s，故B、C正确。
2．(2019·济南模拟)如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为 2 m，运动员站在网前3 m处正对球网跳起将球水平击出，球大小不计，取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)若击球高度为2.5 m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；
(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？
解析：(1)球被水平击出后，做平抛运动，如图所示，
若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间
t1＝ ＝ s
由此得球出界的临界速度
v1＝＝12 m/s
若球恰好触网，则球在网上方运动的时间
t2＝ ＝ s
得球触网的临界速度v2＝＝3 m/s
要使球既不触网又不出界，水平击球速度v的取值范围为
3 m/s(2)设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，则有
＝
得h＝＝ m
即击球高度为 m时，球不是触网就是出界。
答案：(1)3 m/s命题点二　类平抛运动
当物体受到与初速度垂直恒定的合外力时，其运动规律与平抛运动类似，简称类平抛运动。类平抛运动的解题方法是，将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即合外力方向)的匀加速直线运动，求出等效加速度，再利用求解平抛运动的方法求解相关问题。
[典例]　(2019·河北正定中学月考)风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图所示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐标系。质量m＝0.5 kg 的小球以初速度v0＝0.40 m/s从O点沿x轴正方向运动，在0～2.0 s内受到一个沿y轴正方向、大小F1＝0.20 N的风力作用；小球运动2.0 s后风力方向变为沿y轴负方向、大小变为F2＝0.10 N(图中未画出)。求：
(1)2.0 s末小球在y轴方向的速度大小和2.0 s内运动的位移大小；
(2)风力F2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。
[解析]　(1)设在0～2.0 s内小球运动的加速度为a1，
则F1＝ma1
2．0 s末小球在y轴方向的速度v1＝a1t1
代入数据解得v1＝0.8 m/s
沿x轴方向运动的位移x1＝v0t1
沿y轴方向运动的位移y1＝a1t12
2．0 s内小球运动的位移大小s1＝ 
代入数据解得s1＝0.8 m≈1.1 m。
(2)设2.0 s后小球运动的加速度为a2，F2的作用时间为t2时小球的速度变为与初速度相同，则－F2＝ma2
0＝v1＋a2t2
代入数据解得t2＝4.0 s。
[答案]　(1)0.8 m/s　1.1 m　(2)4.0 s

类平抛运动问题的解题技巧
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。　　
[集训冲关]
1.如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可视为质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则(　　)
A．P→Q所用的时间t＝2 
B．P→Q所用的时间t＝ 
C．初速度v0＝b 
D．初速度v0＝b 
解析：选C　物块在斜面上的加速度为：a＝gsin θ，根据l＝at2，得：t＝ ，故A、B错误；物块的初速度为：v0＝＝b ，故C正确，D错误。
2.(多选)如图所示，某人从高出水平地面h的山坡上的P点水平击出一质量为m的高尔夫球，球在飞行中持续受到恒定的水平风力的作用，恰好竖直落入距击球点水平距离为L的洞穴Q中。则(　　)
A．球在飞行中做的是平抛运动
B．球飞行的时间为 
C．球被击出时的初速度大小为L 
D．球在飞行中受到的水平风力大小为
解析：选BC　由于球受到水平方向的风力，故球在飞行中做的不是平抛运动，A项错误；球在竖直方向只受到重力的作用做自由落体运动，由h＝gt2，解得t＝ ，B项正确；球恰好竖直落入洞穴，说明球在水平方向做匀减速直线运动，根据平均速度公式，有L＝v0t，解得v0＝L ，C项正确；由a＝，F＝ma，解得风力大小F＝，D项错误。
命题点三　斜抛运动
1．定义
将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3．基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：做匀速直线运动，
v0x＝v0cos θ，x＝v0tcos θ。
(2)竖直方向：做竖直上抛运动，
v0y＝v0sin θ，y＝v0tsin θ－gt2。
4．平抛运动和斜抛运动的相同点
(1)都只受到重力作用，加速度相同，相等时间内速度的变化量相同。
(2)都是匀变速曲线运动，轨迹都是抛物线。
(3)都采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题。
[典例]　(多选)如图所示，在水平地面上的A点以速度v1与地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直穿入墙壁上的小孔B，下列有关说法中正确的是(　　)
A．在B点以跟v2大小相等、方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
B．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
C．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在A点的左侧
D．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在A点的右侧
[解析]　由题意知B点是弹丸斜抛运动的最高点，则v2与v1的水平分速度大小相等，且v2[答案]　AC

斜抛运动可以从最高点分段研究，后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具有对称性。
[集训冲关]
1．(2016·江苏高考)有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)
A．①　　　　　　　　　 　B．②
C．③ D．④
解析：选A　不计空气阻力的情况下，两球沿同一方向以相同速率抛出，其运动轨迹是相同的，选项A正确。
2.(多选)如图所示，在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在M点右方地面上N点处将S2球以初速度v2斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线中点的正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中(　　)
A．初速度大小关系为v1＝v2
B．速度变化量相等
C．水平位移大小相等
D．都不做匀变速运动
解析：选BC　由题意可知，两球的水平位移大小相等，C正确；由于两球在运动过程中只受重力的作用，故都做匀变速运动，且相同时间内速度变化量相等，B正确，D错误；又由两球在相同的时间内水平位移相同，即v2水平方向上的分量与v1大小相等，所以v2>v1，A错误。

1.如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m。某人在离墙壁距离L＝1.4 m，距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是(　　)
A．v>7 m/s　　　　　　 　B．v<2.3 m/s
C．3 m/s解析：选C　小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，需满足的条件为：能穿过窗口的右上沿，即水平位移x′＝L时，竖直位移y′>h，同时能穿过窗口的左下沿，即水平位移x″＝L＋d时，竖直位移y″2.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m。一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，空气阻力不计，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是(　　)
A. m/sB．2 m/sC. m/sD．2 m/s解析：选A　小球离开台阶后做平抛运动，根据平抛运动规律有x＝vt，y＝gt2，小球恰好经过台阶边缘时，根据几何关系有vt＝gt2，得v＝gt，如果落到第四台阶上，则有3×0.4 m<gt2≤4×0.4 m，代入v＝gt，得 m/s3.如图所示，从水平地面上不同位置斜向上抛出的三个小球沿三条不同的路径运动，最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的。若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．沿路径1抛出的小球落地的速率最小
B．沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长
C．三个小球抛出的初速度的竖直分量相等
D．三个小球抛出的初速度的水平分量相等
解析：选C　根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，设初速度方向与竖直方向的夹角为θ，则小球初速度的竖直分量v竖＝v0cos θ，根据小球的运动轨迹可知，三个小球沿竖直方向的分运动路程相同，根据竖直上抛运动特点可知，三个小球在空中运动时间相同，初速度的竖直分量相等，B错误，C正确；由于θ1＞θ2＞θ3，故v01＞v02＞v03，落地时重力做的总功为零，所以落地时的速率与初速度的大小关系均相同，A错误；小球初速度的水平分量v水平＝v0sin θ，可知沿路径1抛出的小球初速度的水平分量最大，D错误。
4.如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，斜面倾角为θ，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计一切阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B的运动时间相同
B．A、B沿x轴方向的位移相同
C．A、B运动过程中的加速度大小相同
D．A、B落地时速度大小相同
解析：选D　设O点与水平面的高度差为h，对于A有：h＝gt12，对于B有：＝gsin θ·t22，可得t1＝ ，t2＝ ，故t15.如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　)
A．足球位移的大小x＝ 
B．足球初速度的大小v0＝ 
C．足球末速度的大小v＝ 
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
解析：选B　根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝ ，则足球位移的大小为x＝＝ ，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度大小v0＝ ，选项B正确；对足球应用动能定理mgh＝－，可得足球末速度大小v＝＝ ，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误。
6.(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　)
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
解析：选CD　做斜抛运动的小球只受重力作用，加速度都是重力加速度，A项错误；由于两小球上升时在竖直方向做竖直上抛运动，上升的高度相同，因此运动的时间相等，B项错误；由于水平方向都做匀速直线运动，且在相等时间内B运动的水平位移大，因此B在水平方向的分速度大，在最高点时竖直分速度为零，因此最高点的速度等于水平分速度，则B在最高点的速度比A在最高点的大，C项正确；两小球落地时在竖直方向的分速度相等，而B的水平分速度大，因此落地时B的速度大，D项正确。
7．(多选)在一场足球比赛中，小明将界外球掷给小华，小明将足球水平掷出时的照片(正视)如图所示，掷出后的足球可视为做平抛运动。掷出点的实际高度为1.8 m，小华的身高为1.6 m。根据照片进行估算，下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2)(　　)
A．为使球恰好落在小华头顶，则小明掷足球的初速度应约为22.5 m/s
B．若小明减小掷出点的实际高度，则球落点一定在小华前面
C．若小明增大掷出足球的初速度，则球落点一定在小华后面
D．为使球恰好落在小华脚下，则小明掷足球的初速度应约为7.5 m/s
解析：选AD　由平抛运动的公式h＝gt2，得足球在空中的运动时间为t＝ ，为使球恰好落在小华头顶，则t1＝  s＝0.2 s，由题图可估算出足球与小华的水平距离x约为抛出点高度的2.5倍，约4.5 m。若足球恰好落在小华头顶，则小明掷足球的初速度约为v1＝＝22.5 m/s，选项A正确；水平位移x＝v0t＝v0 ，即水平位移由高度和初速度共同决定，选项B、C错误；若足球恰好落在小华脚下，则足球在空中的运动时间为t2＝  s＝0.6 s，所以小明掷足球的初速度约为v2＝＝7.5 m/s，选项D正确。
8．(多选)驾驶员要驾驶一辆汽车飞越宽度为d的河流。在河岸左侧建起如图所示高为h、倾角为α的斜坡，驾驶员驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越。已知h＞H，当地重力加速度为g，汽车可视为质点，忽略汽车在空中运动时所受的空气阻力。根据题中条件可以确定(　　)
A．汽车在左侧斜坡上加速的时间t
B．汽车离开左侧斜坡时的动能Ek
C．汽车在空中飞行的最大高度Hm
D．两斜坡的倾角满足α＜θ
解析：选CD　设汽车从左侧斜坡飞出时的速度大小为v，飞出后，汽车水平方向以速度vcos α做匀速直线运动，竖直方向以vsin α为初速度做竖直上抛运动，则汽车从飞出到最高点的过程中，竖直方向有Hm－h＝，汽车无碰撞地落在右侧斜坡上，说明汽车落在斜坡上时速度方向与斜坡平行，故汽车落在斜坡上时的速度大小为v′＝，对汽车从最高点到右侧斜坡的过程，竖直方向有Hm－H＝，解得Hm＝，选项C正确；因为h＞H，汽车落在右侧斜坡上时，竖直方向的分速度vy′大于从左侧斜坡飞出时竖直方向的分速度vy，但水平方向分速度大小相同，故tan α＝＜＝tan θ，所以α＜θ，选项D正确；因汽车的质量未知，故汽车离开左侧斜坡时的动能Ek无法求出，选项B错误；因汽车在左侧斜坡运动过程的初速度及加速度均未知，故汽车在左侧斜坡上加速的时间t无法求出，选项A错误。
第23课时　圆周运动的描述(双基落实课)
点点通(一)　圆周运动的基本概念
1．描述圆周运动的物理量
定义和意义
公式和单位
线速度
(1)描述物体沿圆周运动?快慢的物理量(v)
(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周?相切
(1)v＝＝
(2)单位：?m/s
角速度
(1)描述物体绕圆心?转动快慢的物理量(ω)
(2)矢量，中学不研究其方向
(1)ω＝＝
(2)单位：?rad/s
周期
和转速
(1)周期是物体沿圆周运动?一周的时间(T)
(2)转速是物体在单位时间转过的?圈数(n)，也叫频率(f)
(1)T＝，单位：?s
(2)f＝，单位：?Hz
(3)n的单位：r/s、r/min
向心
加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)矢量，方向指向圆心
(1)an＝＝ω2r
(2)单位：m/s2
相互
关系
(1)v＝ωr＝＝2πrf
(2)an＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝ωv
2．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等。
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，但线速度大小发生变化。
(2)合力的作用
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。
[小题练通]
1.(多选)(粤教教材改编题)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图像可以知道(　　)
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
解析：选AD　由题图可知，甲图线中a与r成反比，则由向心加速度公式a＝可知，甲球的线速度大小不变，根据v＝rω 知，随r变化角速度大小发生变化，故A正确，B错误；乙图线中a与r成正比，则由向心加速度公式a＝ω2r可知，乙球运动的角速度大小保持不变，根据v＝rω知，随r变化线速度大小发生变化，故C错误，D正确。
2．(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)
A．角速度为0.5 rad/s　　　 　B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
解析：选BCD　角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；轨迹半径为r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确。
3.(2019·台州模拟)汽车后备箱盖一般都配有可伸缩的液压杆，其示意图如图所示，可伸缩的液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O′点，B也为后盖上一点，后盖可绕过O点的固定铰链转动，在合上后备箱盖的过程中(　　)
A．A点相对O′点做圆周运动
B．A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等
C．A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等
D．A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等
解析：选C　在合上后备箱盖的过程中，O′A的长度是变化的，因此A点相对O′点不是做圆周运动，故选项A错误；在合上后备箱盖的过程中，A点与B点都是绕O点做圆周运动，相同的时间绕O点转过的角度相同，即A点与B点相对O点的角速度大小相等，但是OB的长度大于OA的长度，根据v＝rω，可知B点相对于O点转动的线速度大，故选项B错误，C正确；根据向心加速度公式a＝rω2，可知B点相对O点的向心加速度大于A点相对O点的向心加速度，故选项D错误。
[融会贯通]
判断匀速圆周运动中a、v、ω、r、n、T之间是否成正比或反比关系时，首先要明确不变量，再结合关系式进行判断，用到了控制变量法的思想。
点点通(二)　几类常见的传动装置
1．传动装置的分类
主要有四种：(1)同轴传动如图甲所示；(2)皮带传动如图乙所示；(3)齿轮传动如图丙所示；(4)摩擦传动如图丁所示。
2．传动装置的特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同。
(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
[小题练通]
1.(多选)(2019·丹东质检)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6。当齿轮转动的时候，下列关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点的说法正确的是(　　)
A．A点和B点的线速度大小之比为 1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．A点和B点的线速度大小之比为3∶1
解析：选AC　题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，即A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，故A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，B、D错误。
2.机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定程度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有检测过程简图如图所示：车轴A的半径为ra，车轮B的半径为rb，滚动圆筒C的半径为rc，B与C间不打滑。当B以恒定转速n(每秒钟n转)运行时，下列说法正确的是(　　)
A．C的边缘线速度大小为2πnrc
B．A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动
C．A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动
D．B、C的角速度之比为
解析：选B　由v＝2πnR可知，B的线速度大小为vb＝2πnrb，B、C线速度大小相同，即C的线速度大小为vc＝vb＝2πnrb，B、C角速度与半径成反比，A、D错误；A、B为主动轮，且同轴，角速度大小相等且为2πn，C为从动轮，A、B顺时针方向转动，C逆时针方向转动，B正确，C错误。
3．风速仪结构如图(a)所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为 r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片(　　)

A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
解析：选B　根据题意，从题图(b)可以看出，在Δt时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定凸轮圆盘的转速在减小，则风轮叶片转速逐渐减小；在Δt时间内可以看出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l＝4n×2πr，叶片转动平均速率为：v＝，故选项B正确。
点点通(三)　向心力的理解和计算
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。
3．向心力的公式
Fn＝man＝m＝mω2r＝mr·＝mr·4π2f2＝mωv。
4．匀速圆周运动的条件
当物体所受的合外力大小恒定，且始终与速度方向垂直时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。
[小题练通]
1.(多选)如图所示为花样滑冰双人自由滑比赛的情形。男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若男运动员转速为30 r/min，手臂与竖直方向夹角约为60°，女运动员质量是50 kg，她触地冰鞋的线速度为 4.7 m/s。则下列说法正确的是(　　)
A．女运动员做圆周运动的角速度为π rad/s
B．女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径约为2 m
C．男运动员手臂拉力约是850 N
D．男运动员手臂拉力约是500 N
解析：选AC　由题意可知，男、女运动员的转速相同，转速n＝30 r/min＝0.5 r/s，由公式ω＝2πn，解得ω＝π rad/s，故A正确；由v＝ωr得r＝＝ m≈1.5 m，故B错误；对女运动员研究可知，其在竖直方向上受力平衡，拉力的水平分力提供向心力，则有Fsin 60°＝m，解得F≈850 N，故C正确，D错误。
2．(多选)在光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动，未画出)，小环上连接一轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触。如图所示，图甲中小环与小球在同一水平面上，图乙中轻绳与竖直轴成θ(θ<90°)角。设图甲和图乙中轻绳对小球的拉力分别为Ta和Tb，圆锥内壁对小球的支持力分别为Na和Nb，则下列说法中正确的是(　　)
A．Ta一定为零，Tb一定为零
B．Ta可以为零，Tb可以为零
C．Na一定不为零，Nb可以为零
D．Na可以为零，Nb可以为零
解析：选BC　对题图甲中的小球受力分析，小球所受的重力与支持力合力的方向可以指向圆心提供向心力，所以Ta可以为零，若Na等于零，则小球所受的重力与轻绳拉力的合力方向不能指向圆心提供向心力，所以Na一定不为零；对题图乙中的小球受力分析，若Tb为零，则小球所受的重力与支持力合力的方向可以指向圆心提供向心力，所以Tb可以为零，若Nb等于零，则小球所受的重力及轻绳拉力的合力方向也可以指向圆心提供向心力，所以Nb可以为零；故B、C正确，A、D错误。
3.(多选)在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3 m的小正三棱柱abc，俯视图如图所示。长度为L＝1 m的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m＝0.5 kg、不计大小的小球。初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v0＝2 m/s 且垂直于细线方向的水平速度，由于光滑三棱柱的存在，细线逐渐缠绕在三棱柱上(不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失)。已知细线所能承受的最大张力为7 N，则下列说法正确的是(　　)
A．细线断裂之前，小球速度的大小保持不变
B．细线断裂之前，小球的速度大小逐渐减小
C．细线断裂之前，小球运动的总时间为0.7π s
D．细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.9 m
解析：选ACD　细线断裂之前，细线拉力与速度垂直，不做功，不改变小球的速度大小，故选项A正确，B错误；细线刚断裂时，拉力大小为7 N，由F＝m，得此时的半径为r＝ m，由于小球每转120°，半径减小0.3 m，则知小球刚好转过一周，细线断裂，则小球运动的总时间为t＝·＋·＋·，而r1＝1 m，r2＝0.7 m，r3＝0.4 m，v0＝2 m/s，解得t＝0.7π s，故选项C正确；小球每转120°，半径减小0.3 m，细线断裂之前，小球运动的位移大小为1 m－0.1 m＝0.9 m，故选项D正确。
[融会贯通]
求解圆周运动问题必须进行的三类分析
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
点点通(四)　离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，做逐渐远离圆心的运动。
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。
3．受力特点
F为实际提供的向心力
当F＝mω2r时，做匀速圆周运动
当F＝0时，沿圆周切线方向飞出
当F＜mω2r时，逐渐远离圆心
当F>mω2r时，做近心运动
[小题练通]
1.(2019·三门峡陕州中学模拟)在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会(球直径比管直径略小)(　　)
A．向管底运动 B．向管口运动
C．保持不动 D．无法判断
解析：选B　转盘在水平面内转动时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的向心力，所以水被“甩”到外侧管底才能随转盘转动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故B正确。
2．(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转动到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两物体的运动情况是(　　)
A．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动
B．物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
解析：选AB　当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要与圆盘发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，故C、D错误，A、B正确。
3.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
解析：选AC　汽车以速率v0转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明此处路面内侧较低外侧较高，选项A正确；车速只要低于v0，车辆便有向内侧滑动的趋势，但不一定向内侧滑动，选项B错误；车速虽然高于v0，由于车轮与地面有摩擦力，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动，选项C正确；根据题述，汽车以速率v0转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，没有受到摩擦力，所以当路面结冰时，与未结冰时相比，转弯时v0的值不变，选项D错误。
1．皮带传动和摩擦传动装置中两轮边缘线速度大小相等，而同轴传动装置中两轮角速度相等。
2．无论匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，沿半径方向的合力一定指向圆心，提供向心力。
3．物体做离心运动的原因不是因为受到了“离心力”，而是因为合外力不足以提供物体所需要的“向心力”。
[课堂综合训练]
1．(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图所示是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　)
A．该自行车可变换两种不同挡位
B．该自行车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝4∶1
解析：选BC　该自行车可变换四种不同挡位，分别为A与C、A与D、B与C、B与D，A错误，B正确；当A轮与D轮组合时，由两轮齿数可知，当A轮转动一周时，D轮要转动四周，故ωA∶ωD＝1∶4，C正确，D错误。
2．(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则(　　)
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
解析：选ACD　由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr＋2r)、(2πr＋2r)和2πr，可知路线①的路程最短，选项A正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力提供向心力的情形，即μmg＝m，可得最大速率v＝，则知路线②和③的速率相等，且大于路线①的速率，选项B错误；根据t＝，可得路线①、②、③所用的时间分别为t1＝，t2＝，t3＝，可知t3最小，即路线③所用时间最短，选项C正确；在圆弧轨道上，由牛顿第二定律可得：μmg＝ma向，a向＝μg，可知三条路线上的向心加速度大小均为μg，选项D正确。
3.如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定在O点，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则选项图中细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图像正确的是(　　)
解析：选A　设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，有Fsin θ＝mω2lsin θ，得F＝mω2l，选项A正确；由mgtan θ＝mω2lsin θ，h＝lcos θ，得h＝，选项B错误；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，选项C错误；小球的线速度v＝ωlsin θ，选项D错误。
4．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的是(　　)
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
解析：选AD　火车转弯时，向心力由重力mg与轨道支持力FN的合力来提供，如图所示，设轨道平面与水平面的夹角为θ，则有mgtan θ＝，且tan θ≈sin θ＝，其中L为轨间距，是定值，有mg＝，通过分析可知A、D正确。

1.未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是(　　)
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B　旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝ ，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确。
2.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着绳的另一端在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图所示)。则下列说法正确的是(　　)
A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
解析：选B　由向心力的公式Fn＝mω2r可知，保持绳长不变，增大角速度，向心力增大，绳对手的拉力将增大，选项A错误，B正确；保持角速度不变，增大绳长，向心力增大，绳对手的拉力将增大，选项C、D错误。
3．(2019·铁岭联考)飞机由俯冲到拉起时，飞行员处于超重状态，此时座椅对飞行员的支持力大于飞行员所受的重力，这种现象叫过荷。过荷过重会造成飞行员四肢沉重，大脑缺血，暂时失明，甚至昏厥。受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的影响。g取10 m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲、拉起的速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为(　　)
A．100 m　　　　　　　　 　B．111 m
C．125 m D．250 m
解析：选C　在飞机经过最低点时，对飞行员受力分析，受重力mg和支持力FN，两者的合力提供向心力，由题意知，当FN＝9mg时，圆弧轨道半径最小为Rmin，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，解得Rmin＝125 m，故选项C正确。
4.如图所示，质量为m的物体随水平传送带一起顺时针匀速运动，A为传送带的终端皮带轮。皮带轮半径为r，要使物体通过右端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为(　　)
A.  B. 
C. D.
解析：选A　要使物体通过右端时能水平抛出，则有mg＝，物体飞出时速度至少为，由v＝ωr＝2πnr可得皮带轮的转速至少为n＝ ，选项A正确。
5.如图所示，三段细线长OA＝AB＝BC，A、B、C三球质量相等，当它们绕O点在光滑的水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动时，则三段细线的拉力FOA∶FAB∶FBC为(　　)
A．1∶2∶3 B．6∶5∶3
C．3∶2∶1 D．9∶3∶1
解析：选B　根据牛顿第二定律对C球有：FBC＝mrOCω2，对B球有：FAB－FBC＝mrOBω2，对A球有：FOA－FAB＝mrOAω2，因为OA＝AB＝BC，则rOA∶rOB∶rOC＝1∶2∶3，联立解得：FOA∶FAB∶FBC＝6∶5∶3。故B正确，A、C、D错误。
6．(多选)(2019·潍坊模拟)如图所示，水平杆两端有挡板，质量为m的小木块A穿在水平杆上，轻质弹簧一端与水平杆左侧挡板连接，另一端与A连接。初始时弹簧处于伸长状态，弹力恰好等于A与杆间的最大静摩擦力，A与杆间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A到竖直轴OO′的距离为L。现使杆绕竖直轴OO′由静止缓慢加速转动，角速度为ω。若A不与挡板接触，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧伸长量先保持不变后逐渐增大
B．弹簧伸长量保持不变
C．当ω＝ 时，摩擦力为零
D．当ω＝ 时，弹簧弹力为零
解析：选AC　初始时，弹簧弹力大小为μmg。ω较小时，摩擦力f背离竖直轴OO′，μmg－f＝mLω2，ω越大，f越小；当ω＝ 时，f为零；ω较大时，摩擦力f指向竖直轴OO′，μmg＋f＝mLω2，当ω> 时，A将沿远离OO′方向移动，弹簧弹力增大，伸长量增大。综上分

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