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怎样画带电粒子在磁场中的运动轨迹
不考虑带电粒子的重力，在有界磁场中，带电粒子垂直磁场方向进入磁场。若不能做完整的圆周运动，不管题中所求的是什么物理量，都必须画轨迹、定圆心、寻半径、找圆心角、求运动时间几个环节。然而最关键的一步是画轨迹，画不出带电粒子的运动轨迹，一切都是徒劳。如何画轨迹？
一、根据曲线运动的特点画轨迹
先确定带电粒子所受的洛仑兹力f洛方向，根据曲线运动是朝受力方向弯曲的特点画出轨迹。
二、根据带电粒子在有界磁场中运动规律画轨迹
(
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O
B
图
2
υ
υ
)规律1：带电粒子以与边界成θ角射入磁场，从同一边界出射时，速度方向与边界仍成θ角。如图1所示。
(
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θ
θ
υ
υ
B
图
1
)




(
U
－
+
O
θ
电子束
M
图
3
甲
)规律2：带电粒子沿半径方向射入圆形区域的磁场，从磁场中出射时仍沿半径方向。如图2所示。
例1：电视机的显像管中，电子束的偏转是
用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的
加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图3甲
所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，
半径为r，当不加磁场时，电子束将通过O点而
打到屏幕的中心M点，为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
解析：由规律2，画出电子在磁场中运动轨迹，如图3乙，圆心为C，半径为R。以表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则
(
θ
O
C
图
3
乙
)

又有
由以上各式解得
规律3：带电粒子速度的偏转角等于其圆弧所对的圆心角。
(
x
y
O
b
3
0
°
图
4
甲
)例2：一质量为m，带电量为q的粒子以速度从O
点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区
域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿
过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图4甲所示
（粒子重力忽略不计），试求圆形磁场区的最小面积。
(
x
y
O
b
3
0
°
图
4
乙
30
°
6
0
°
R
r
O

′
C
a
)解析：将x轴b点处的方向反向延长，交y轴于C点，速度偏转角为∠bcy，由速度方向与圆弧相切和规律3，画出轨迹，如图4乙。
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
由图可知，，磁场区域最小半径

最小磁场面积
三、根据带电粒子在有界磁场中运动的临界条件画轨迹。
⑴ 带电粒子刚好从某边界穿出磁场的临界条件，其运动轨迹与该边界相切。
⑵ 带电粒子不从某边界穿出磁场的临界条件，其运动轨迹与该边界相切。
例3：一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度
(
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30
°
a
b
c
d
O
图
5
甲
)为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界
ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与
ad边夹角为30°，大小为的带正电粒子，如图5甲所示，
已知粒子电荷量为q，质量为m（重力不计），若要求粒子
能从ab边射出磁场，应满足什么条件？
(
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30
°
a
b
c
d
O
图
5
乙
6
0
°
O
′
Q
R
1
)解析：要使粒子从ab边射出，就不能从dc边射出，所以轨迹圆与cd边相切，此时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，设此半径为R1，如图5乙所示分析可知，则有
，得
要使粒子从ab边射出，则轨迹圆与ab边相切，
此时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最
小的情况，设此半径为R2，如图5丙所示分析可知，则有
(
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120
°
a
b
c
d
O
图
5
丙
O
′
Q
R
2
P
30
°
)
故粒子从ab边射出的条件为
根据，得。
四、根据带电粒子在磁场中运动的时间画轨迹
带电粒子在磁场中运动时间，通过计算，得出带电粒子运动轨迹圆弧所对的圆心角，从而确定轨迹。
(
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x
y
O
a
图
6
乙
) (
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x
y
O
a
图
6
甲
)例4：如图6甲，在的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。在O点处有一带正电粒子沿x轴射入磁场，最后会从x轴上某点射出磁场（不计重力的影响），已知该粒子在的区域中运动的时间与在的区域中运动的时间之比为2:3。在磁场中运动的总时间为5T/12。其中T是该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求该粒子从x轴上射出时的位置坐标。










解析：带电粒子在磁场中运动轨迹存在着多种可能性，如图6乙所示中的几个轨迹圆弧。因此先要通过题中给出的时间关系，求出圆弧所对的圆心角，才能画出轨迹圆弧。
设粒子在的区域中运动的时间为t1，轨迹圆弧所对的圆心角为，粒子在的区域中运动时间为t2，轨迹圆弧所对圆心角为，则

以上各式联解得，由此可得粒子运动轨迹是图6乙中的实线。不难求出粒子从x轴上射出时的位置坐标为。
五 根据带电粒子在磁场中运动的轨迹半径画轨迹
根据题中给出的条件,运用 得 R=mv/Bq 计算出轨迹半径,画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹.
(
D
)例5：如图7所示，质量为2g的小球，
(
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) (
O
′
) (
O
) (
C
) (
图
7
) (
B
)带电量为－1×10－3C。置于水平绝缘的桌面
MN上的P点，P距右端点N的距离为0.5m，
(
M
) (
P
) (
N
)小球与水平桌面之间的动摩擦因数为0.1。
桌面MN距水平面OO′高度为2.95m，过N
(
E
)点的竖直线CD右侧存在互相正交的匀强电
场和匀强磁场，电场方向竖直向下，场强
E=20N/C，磁场方向水平向里，磁感应强度B=5T，
现突然在桌面正上方，CD线的左边区域内加一场强也为E，方向水平向左的匀强电场。使小球MN运动，最终落在水平面OO′上，g取10m/s2，求小球从P点到刚落到水平面OO′所需的时间。
解析：根据题意，小球从P到N点做匀加速直线运动
则，解得m/s2
m/s，s
小球从N点进入CD线右边的复合场，因，电场力等于重力. 所以小球在洛仑兹力的作用下做匀圆周运动，最终落在水平面OO′上。其运动轨迹存在着多种可能性。如图8所示中的几个轨迹圆弧，只有准确地画出轨迹，才能求解。因此先要通过题中条件，算出轨迹圆弧的半径，才能确定轨迹圆弧是哪条。
(
P
) (
B
) (
O
′
) (
O
) (
C
) (
D
) (
N
) (
M
) (
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) (
图
8
)由，得m
显然轨迹是图8中的实线，小球在复合场
中运动时间为
小球CD线出射后作平抛运动，于是有
，得
∴小球从P点到刚落到水平面OO′所用时间



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