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高中数学轮换对称不等式的证明技巧

轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。
一、凑项升幂法
例1 已知，且，
求证：
分析：由于当时，上述不等式的“=”成立，于是。
证明：因为，所以，同理，，上述三式相加，并将代入化简即得证。
二、凑项降幂法
例2 证明Cauchy不等式
证明：设，则，所以，
即。
三、凑项去分母法
例3　设是正数，且，
求证：（1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题２）
分析：由于当时等号成立，于是。
证明：设，因为
所以，即。
例4　设，且，求证：（1995年第36届IMO题2）
证明：原不等式等价于
当a=b=c=1时等号成立，此时，所以，，同理，，，上述三式相加并化简得
例5　设角A、B、C满足
求证：
分析：原条件等价于，当时等号成立，于是，，上述三式相加并化简得证，证明略。
四、凑项平衡系数法
例6　设z>0，，则。
分析：当x=y=时等号成立。
证明：因为，，①，将上述三式相加并化简得，②
所以，
即。
注：只有①式的系数凑成，②式中xy的系数才能是。
上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。
注：本文发表于《上海中学数学》2003年第6期

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