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第4讲 圆周运动和向心力
1.知道什么是匀速圆周运动
2. 理解什么是线速度，角速度，周期，_理解线速度，角速度，周期之间的关系
3 理解向心力和向心加速度_____________________________________
一、描述圆周运动的物理量
线速度
1．定义：质点做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值叫做线速度。
2．公式：________________。单位：m/s
3.矢量
4．方向：质点在圆周上某点的线速度方向就是__________________。线速度也有平均值和瞬时值之分。如果所取的时问间隔很小很小，这样得到的就是瞬时线速度。上面我们所说的速度方向就是指瞬时线速度的方向，与半径垂直，和圆弧___________。
5.物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量。线速度越大，质点沿圆弧运动越快。
6．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动叫匀速圆周运动。或质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
(2)因线速度方向不断发生变化，故匀速圆周运动是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。
(3)匀速圆周运动是最简单的圆周运动形式，也是最基本的曲线运动之一。匀速圆周运动是一种理想化的运动形式。许多物体的运动接近这种运动，具有一定的实际意义。一般圆周运动，也可以取一段较短的时间(或弧长)看成是匀速圆周运动。
(4)运动性质：是一种变速运动而绝非匀速运动。因为质点沿一圆周运动，做的是曲线运动，速度方向沿圆周的切线方向，时刻在改变，而匀速运动中质点的速度是个恒矢量，大小和方向都不变，且必是直线运动。
(5)匀速圆周运动应理解为“匀速率”圆周运动。因为“在相等的时间里通过的圆弧长度相等”，指的是速率不变。
角速度
1．定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值叫做角速度。
2．大小：___________ 3．单位：rad/s(弧度每秒)。
4.矢量(中学阶段不讨论)。
5.物理意义：描述质点做圆周运动快慢的物理量。
6.匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
转速与周期、频率
1．转速：技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。
定义：做匀速圆周运动的质点每秒转过的圈数。
符号和单位：n表示转速，在国际单位制中为r/s(转每秒)；常用单位为r/min(转每分)。1 r/s=60 r/min。
标量：只有大小。
意义：实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。质点作匀速圆周运动时，转速恒定不变。
2．周期：做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期。符号用T表示。单位是秒(s)。标量：只有大小。
意义：定量描述匀速圆周运动的快慢。周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。质点做匀速圆周运动时，周期恒定不变。
3. 频率:做圆周运动的物体在1秒内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。用f表示。单位：赫兹(Hz)。1Hz=1s-1。标量：只有大小。
意义：定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。质点做匀速圆周运动时，频率恒定不变。
二 各物理量之间的关系
1、线速度与角速度的关系
2、线速度与T的关系、角速度与T的关系

3、线速度与转速的关系、角速度与转速的关系

三、向心力和向心加速度
1、向心力的概念
做圆周运动的物体不沿直线飞去而是沿着一个圆周运动，说明这个物体必然受到了外力的作用。用绳系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，是由于绳子对它有拉力作用，不难想像，如在某时刻剪断细绳，那物体必然沿切线方向飞出做匀速直线运动；如果月球不受地球对它的吸引力，则月球不受任何外力的作用（其它天体对月球的吸引力很小，可忽略），月球必然不会绕地球转动，而是做匀速直线运动，离地球越来越远。
由于物体做圆周运动过程中，至少速度的方向在不断变化，所以物体一定具有加速度。做匀速圆周运动的物体，其加速度的方向始终指向圆心，根据牛顿第二定律，力是产生加速度的原因，所以物体一定受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。
2、向心力的表达式
设做匀速圆周运动物体的向心加速度为a?n，所受向心力为Fn，根据牛顿第二定律可得Fn＝ma?n
通过上一节内容的学习，我们知道a?n＝＝rω2
所以，Fn＝m ＝m rω2
匀速圆周运动中物体受到的向心力大小不变，但方向始终沿半径方向指向圆心，如图7－1所示，显然，向心力方向不断发生变化，所以向心力是一个变力。
我们对物体进行受力分析时，经常提到重力、弹力、摩擦力等，它们都是按其产生的性质命名的，而向心力则不然，我们是根据它的作用效果（方向始终指向圆心，使物体产生向心加速度，迫使物体做圆周运动）命名的。凡是产生向心加速度的力，不管它属于什么性质，都是向心力。在匀速圆周运动中，合力提供向心力。
3、向心加速度
方向：设质点沿半径为r的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA，经过时间△t后位于B点，速度为vB。我们按以下思路讨论质点运动的加速度的方向。
（1）分别作出质点在A、B两点的速度矢量vA和vB。由于是匀速圆周运动，vA和vB的长度是一样的。
（2）为便于对vA和vB做比较，将vA的起点移到B，同时保持vA的长度和方向不变，它仍可代表质点在A处的速度。
（3）以vA的箭头端为起点，vB的箭头端为终点做矢量。如前所述，△v就是质点由A运动到B的速度变化量。
（4）是质点从A运动到B的平均加速度。由于与△v的方向相同，以下我们只△v讨论的方向，它代表了质点的加速度的方向。
（5）△v并不与圆的半径平行，但当△t很小很小时，A、B两点非常非常接近，vA和vB也就非常非常接近，如图6－3所示。由于vA和vB的长度相等，它们与△v组成等腰三角形，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，或说△v指向圆心了。
如图6－4所示，我们可以发现图中△v的方向与沿半径指向圆心的方向非常接近，实际上，当△t很小很小时，△v也就指向圆心了。
由此可见，图6－3中，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，△v反映了速度变化量的大小和方向，当把这个矢量的起点移至A（或B）点时，我们就可发现其方向确实指向圆心。
大小：
（1）vA和vB的大小实际上就是图6－5中vA和vB的长度，解决几个物理量的关系，实际是找它们的几何关系。
（2）如图6－6，当角θ用弧度表示时，弧长QP可以表示为QP＝aθ。当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别，所以此式也表示弦长。这个关系可以用来计算矢量△v的长度。
在图6－6中，由三角形的相似关系可得
当θ很小很小时，有。（θ的单位为弧度）
由加速度定义式可知an＝＝v
根据角速度定义式ω＝以及线速度与角速度的关系式v＝ωr可得
an＝vω＝或an＝rω2
3、匀速圆周运动的运动性质
由于物体做匀速圆周运动的过程中，其角速度、速率和周期等都是不变的，因而物体在做匀速圆周运动过程中，向心加速度的大小是不变的，但向心加速度的方向在时刻变化着，所以匀速圆周运动是变加速运动。
类型一：圆周运动
例1．如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(　　)
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
2．（2018春?东城区期末）如图所示为水平放置的皮带传动装置的俯视图，皮带与圆盘O、O′之间不打滑．将三个相同的小物块分别固定在圆盘O、O′边缘的A、B两点和圆盘O上的C点，三个小物块随圆盘做匀速圆周运动．A、B、C三物块做圆周运动的半径rA=2rB，rC=rB．小物块A、B运动的线速度大小之比为______________；小物块B、C运动的周期之比____________．
类型二：速度
例3、如图所示，长为L的细线一端悬于O点，另一端连接一个质量为m的小球，小球从A点由静止开始摆下，当摆到A点与最低点之间的某一位置C点时，其速度大小为v，此时悬线与竖直方向夹角为θ。求小球在经过C点时的切向加速度和向心加速度分别是多大？此时悬线对小球的拉力为多大？
例4、如图所示，在半径为R的水平圆板中心轴的正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与小球初速度方向平行时（图示位置），开始抛出小球，要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，求：⑴小球的初速度大小；
⑵圆板转动的角速度大小。
基础演练
1．关于向心力的下列说法中正确的是 （ ）
A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小
B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的
C．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力
D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力
2．宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是
（ ）
A．宇航员仍受重力的作用
B．宇航员受力平衡
C．宇航员受的重力正好充当向心力
D．宇航员不受任何作用力
3．图4—2—1所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，A是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，
大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.B点在小轮上，它到小轮中心的距离为r.C点和D点
分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中，皮带不打滑.则 （ ）
A．A点与B点的线速度大小相等
B．A点与B点的角速度大小相等
C．A点与C点的线速度大小相等
D．A点与D点的向心加速度大小相等
4．质量为m的滑块从半径为R的半球形碗的边
缘滑向碗底，过碗底时速度为v若滑块与碗
间的动摩擦因数为μ则在过碗底时滑块受到
摩擦力的大小为 （ ）
A．μmg B．μm C．μm(g+) D．μm(-g)
5．甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，则
（ ）
A．甲距地面的高度比乙小 B．甲的加速度一定比乙小
C．甲的加速度一定比乙大 D．甲的动能一定比乙大
6．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（ ）
A．轨道半径R=
B．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
7．关于向心力的下列说法中正确的是
A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小
B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的
C．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力
D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力
8．在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率vc=，则下述正确的是
A．此球的最大速率是vc
B．小球到达C点时对轨道的压力是
C．小球在任一直径两端点上的动能之和相等
D．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π
9、钟表的时针、分钟和秒针的针尖都在做圆周运动，它们的角速度的比是 _______________ ，如果三针的长度的比是2：3：3。那么，三针尖的线速度的比是 ______________ ，向心加速度的比是 ________ ．
10. 一个小球作半径为r的匀速圆周运动，其线速度为v。从某时刻算起，使其速度的增量的大小为v，所需的最短时间为________。
巩固提高
1．关于匀速圆周运动的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是(　　)
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
2．
如图所示，电风扇工作时，叶片上a、b两点的线速度分别为va、vb，角速度分别为ωa、ωb，则下列关系正确的是(　　)
A．va＝vb，ωa＝ωb
B．vaC．va>vb，ωa>ωb
D．va3（2018春?东城区期末）如图所示，小物块A与水平圆盘之间保持相对静止．若小物块A跟随圆盘做匀速圆周运动，则A受到的力有（　　）
A．重力、支持力、沿切线的摩擦力
B．重力、支持力、向心力、摩擦力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力
4．（2018春?西城区期末）如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v．若火车通过此弯道时超速了，则火车的轮缘会挤压　　　　　　轨；若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压　　　　　　轨．（填“内”或“外”）
　
5．如图3所示，地球绕OO′轴自转，则下列正确的是
A．A、B两点的角速度相等
B．A、B两点线速度相等
C．A、B两点的转动半径相同[来源:学。科。网Z。X。X。K]
D．A、B两点的转动周期相同
6．A、B两质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的弧长之比ｓA∶ｓB＝2∶3， 而转过的角度之比φA∶φB＝32，则它们的周期之比ＴA∶ＴB＝_____________ ；角速度之比ωA∶ωB＝______________ ；线速度之比ｖA∶ｖB＝ ______________ ，半径之比ＲA∶ＲB＝ ___________________ .
１下列说法正确的是（ ）A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动C．匀速圆周运动是一种变加速运动D．物体做圆周运动时其向心力垂直于速度方向，不改变线速度的大小
２如图５所示为质点P、Q做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知（ ）
Ａ质点P的线速度大小不变B．质点P的角速度大小不变C．质点Q的角速度不变D．质点Q的线速度大小不变
３下列关于向心加速度说法正确的是（ ）
A 加速度越大，物体速率变化越快；
B.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
C向心加速度的方向始终与速度方向垂直；
D在匀速圆周运动中向心加速度是恒量。
4于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是
A它描述的是线速度方向变化的快慢?
B.它描述的是期变化快慢
C它是线速度大小变化的快慢?
D.它描述的是角速度变化的快慢?
5甲.乙两物体都做圆周运动, 甲球的轨道半径是乙的两倍,1min内甲球转动的次数是乙 二分之一,则两球的加速度之比为( )
A1:1 B1:2 C2:3 D 2:1
6 如图所示传送装置中，三个轮的半径分别为R，2R，4R；则图中A，B，C各点的线速度之比为 ；角速度之比为 ______________ ；加速度之比为 ________________ 。


7如上图所示圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点的轨道的切线是水平的，一质点自A 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则质点刚要达到B点时的加速度是多大？滑过B点后的加速度是多大？(质点在B点的速度为v2=2gR)
8、钟表的时针、分钟和秒针的针尖都在做圆周运动，它们的角速度的比是 ，如果三针的长度的比是2：3：3。那么，三针尖的线速度的比是 ，向心加速度的比是 ________ ．
9. 一个小球作半径为r的匀速圆周运动，其线速度为v。从某时刻算起，使其速度的增量的大小为v，所需的最短时间为________。
_________________________________________________________________________________
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1．由，可知（ ）
A．a与成正比 B．物体加速度大小由决定
C．加速度方向与方向相同 D．就是加速度
2．关于质点做匀速圆周运动的下列说法中，错误的是
A．由a=可知，a与r成反比
B．由a=ω2r可知，a与r成正比
C．由v=ωr可知，ω与r成反比
D．由ω=2πn可知，ω与n成反比
3、如图所示的两轮以皮带传动，没有打滑，A、B、C三点的位置关系如图，若r1>r2，O1C=r2，则三点的向心加速度的关系为
A.aA=aB=aC B．aC>aA>aB
C.aCaA
4．小球做匀速圆周运动，半径为R，向心加速率为a，则 ( )
A．小球受到的合力是一个恒力
B．小球运动的角速度为
C．小球在时间t内通过的位移为
D．小球的运动周期为2π
5．关于速度和加速度的关系，下列论述正确的是（ ）
A. 加速度大，则速度也大
B. 速度的变化量越大，则加速度也越大
C. 物体的速度变化越快，则加速度就越大
D. 速度的变化率越大，则加速度越大
6．由于地球自转，地球上的物体都随地球一起转动。所以（）
A．在我国各地的物体都有相同的角速度；
B．位于赤道地区的物体的线速度比位于两极地区的小；
C．位于赤道地区的物体的线速度比位于两极地区的大；
D．地球上所有物体的向心加速度方向都指向地心。
7．图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（）
A．A点与b点的线速度大小相等；
B．a点与b点的角速度大小相等；
C．a点与c点的线速度大小相等；
D．a点与d点的向心加速度大小相等。
8．下列说法中正确的是（）
A．向心加速度是描述角速度变化的快慢的；
B．向心加速度是描述线速度大小变化的快慢的；
C．向心加速度总是与速度方向垂直；
D．向心加速度只改变速度的方向。
第4讲 圆周运动和向心力
1.知道什么是匀速圆周运动
2. 理解什么是线速度，角速度，周期，_理解线速度，角速度，周期之间的关系
3 理解向心力和向心加速度_____________________________________
一、描述圆周运动的物理量
线速度
1．定义：质点做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值叫做线速度。
2．公式：。单位：m/s
3.矢量
4．方向：质点在圆周上某点的线速度方向就是沿圆周上该点的切线方向。线速度也有平均值和瞬时值之分。如果所取的时问间隔很小很小，这样得到的就是瞬时线速度。上面我们所说的速度方向就是指瞬时线速度的方向，与半径垂直，和圆弧相切。
5.物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量。线速度越大，质点沿圆弧运动越快。
6．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动叫匀速圆周运动。或质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
(2)因线速度方向不断发生变化，故匀速圆周运动是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。
(3)匀速圆周运动是最简单的圆周运动形式，也是最基本的曲线运动之一。匀速圆周运动是一种理想化的运动形式。许多物体的运动接近这种运动，具有一定的实际意义。一般圆周运动，也可以取一段较短的时间(或弧长)看成是匀速圆周运动。
(4)运动性质：是一种变速运动而绝非匀速运动。因为质点沿一圆周运动，做的是曲线运动，速度方向沿圆周的切线方向，时刻在改变，而匀速运动中质点的速度是个恒矢量，大小和方向都不变，且必是直线运动。
(5)匀速圆周运动应理解为“匀速率”圆周运动。因为“在相等的时间里通过的圆弧长度相等”，指的是速率不变。
角速度
1．定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值叫做角速度。
2．大小： 3．单位：rad/s(弧度每秒)。
4.矢量(中学阶段不讨论)。
5.物理意义：描述质点做圆周运动快慢的物理量。
6.匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
转速与周期、频率
1．转速：技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。
定义：做匀速圆周运动的质点每秒转过的圈数。
符号和单位：n表示转速，在国际单位制中为r/s(转每秒)；常用单位为r/min(转每分)。1 r/s=60 r/min。
标量：只有大小。
意义：实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。质点作匀速圆周运动时，转速恒定不变。
2．周期：做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期。符号用T表示。单位是秒(s)。标量：只有大小。
意义：定量描述匀速圆周运动的快慢。周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。质点做匀速圆周运动时，周期恒定不变。
3. 频率:做圆周运动的物体在1秒内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。用f表示。单位：赫兹(Hz)。1Hz=1s-1。标量：只有大小。
意义：定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。质点做匀速圆周运动时，频率恒定不变。
二 各物理量之间的关系
1、线速度与角速度的关系
2、线速度与T的关系、角速度与T的关系

3、线速度与转速的关系、角速度与转速的关系

三、向心力和向心加速度
1、向心力的概念
做圆周运动的物体不沿直线飞去而是沿着一个圆周运动，说明这个物体必然受到了外力的作用。用绳系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，是由于绳子对它有拉力作用，不难想像，如在某时刻剪断细绳，那物体必然沿切线方向飞出做匀速直线运动；如果月球不受地球对它的吸引力，则月球不受任何外力的作用（其它天体对月球的吸引力很小，可忽略），月球必然不会绕地球转动，而是做匀速直线运动，离地球越来越远。
由于物体做圆周运动过程中，至少速度的方向在不断变化，所以物体一定具有加速度。做匀速圆周运动的物体，其加速度的方向始终指向圆心，根据牛顿第二定律，力是产生加速度的原因，所以物体一定受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。
2、向心力的表达式
设做匀速圆周运动物体的向心加速度为a?n，所受向心力为Fn，根据牛顿第二定律可得Fn＝ma?n
通过上一节内容的学习，我们知道a?n＝＝rω2
所以，Fn＝m ＝m rω2
匀速圆周运动中物体受到的向心力大小不变，但方向始终沿半径方向指向圆心，如图7－1所示，显然，向心力方向不断发生变化，所以向心力是一个变力。
我们对物体进行受力分析时，经常提到重力、弹力、摩擦力等，它们都是按其产生的性质命名的，而向心力则不然，我们是根据它的作用效果（方向始终指向圆心，使物体产生向心加速度，迫使物体做圆周运动）命名的。凡是产生向心加速度的力，不管它属于什么性质，都是向心力。在匀速圆周运动中，合力提供向心力。
3、向心加速度
方向：设质点沿半径为r的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA，经过时间△t后位于B点，速度为vB。我们按以下思路讨论质点运动的加速度的方向。
（1）分别作出质点在A、B两点的速度矢量vA和vB。由于是匀速圆周运动，vA和vB的长度是一样的。
（2）为便于对vA和vB做比较，将vA的起点移到B，同时保持vA的长度和方向不变，它仍可代表质点在A处的速度。
（3）以vA的箭头端为起点，vB的箭头端为终点做矢量。如前所述，△v就是质点由A运动到B的速度变化量。
（4）是质点从A运动到B的平均加速度。由于与△v的方向相同，以下我们只△v讨论的方向，它代表了质点的加速度的方向。
（5）△v并不与圆的半径平行，但当△t很小很小时，A、B两点非常非常接近，vA和vB也就非常非常接近，如图6－3所示。由于vA和vB的长度相等，它们与△v组成等腰三角形，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，或说△v指向圆心了。
如图6－4所示，我们可以发现图中△v的方向与沿半径指向圆心的方向非常接近，实际上，当△t很小很小时，△v也就指向圆心了。
由此可见，图6－3中，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，△v反映了速度变化量的大小和方向，当把这个矢量的起点移至A（或B）点时，我们就可发现其方向确实指向圆心。
大小：
（1）vA和vB的大小实际上就是图6－5中vA和vB的长度，解决几个物理量的关系，实际是找它们的几何关系。
（2）如图6－6，当角θ用弧度表示时，弧长QP可以表示为QP＝aθ。当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别，所以此式也表示弦长。这个关系可以用来计算矢量△v的长度。
在图6－6中，由三角形的相似关系可得
当θ很小很小时，有。（θ的单位为弧度）
由加速度定义式可知an＝＝v
根据角速度定义式ω＝以及线速度与角速度的关系式v＝ωr可得
an＝vω＝或an＝rω2
3、匀速圆周运动的运动性质
由于物体做匀速圆周运动的过程中，其角速度、速率和周期等都是不变的，因而物体在做匀速圆周运动过程中，向心加速度的大小是不变的，但向心加速度的方向在时刻变化着，所以匀速圆周运动是变加速运动。
类型一：圆周运动
例1．如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(　　)
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
答案：BC
解析：根据皮带的缠绕方向知B正确，由2πnr1＝2πn2r2，得n2＝n，C项正确。
2．（2018春?东城区期末）如图所示为水平放置的皮带传动装置的俯视图，皮带与圆盘O、O′之间不打滑．将三个相同的小物块分别固定在圆盘O、O′边缘的A、B两点和圆盘O上的C点，三个小物块随圆盘做匀速圆周运动．A、B、C三物块做圆周运动的半径rA=2rB，rC=rB．小物块A、B运动的线速度大小之比为______________；小物块B、C运动的周期之比____________．
【解答】解：由于AB的线速度大小相等，由v=ωr知，ω=，所以ω于r成反比，又由于角速度与周期成反比，则周期与半径成正比．
因此小物块B、A运动的周期之比为1：2，
又A、C同轴，所以A、C两点的角速度之比为1：1，
则它们的周期也相等．那么B、C运动的周期之比1：2；
故答案为：1：1 1：2
类型二：速度
例3、如图所示，长为L的细线一端悬于O点，另一端连接一个质量为m的小球，小球从A点由静止开始摆下，当摆到A点与最低点之间的某一位置C点时，其速度大小为v，此时悬线与竖直方向夹角为θ。求小球在经过C点时的切向加速度和向心加速度分别是多大？此时悬线对小球的拉力为多大？
答案：向心加速度为a＝，切向加速度为gsinθ； + mgcosθ
解析：小球在C点时，速度大小为v，圆周运动的轨道半径为L，其重
力的切向分力为mgsinθ，故小球在C点时的向心加速度为a＝，
切向加速度为gsinθ。
设小球在C点时悬线对小球拉力为F，由F-mgcosθ= 可求得：F=+ mgcosθ。
例4、如图所示，在半径为R的水平圆板中心轴的正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与小球初速度方向平行时（图示位置），开始抛出小球，要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，求：⑴小球的初速度大小；
⑵圆板转动的角速度大小。
答案: ⑴R⑵2nπ（n＝1，2，3，……）
解析：根据平抛运动特点，由竖直方向高度求出时间，再根据水平位移求出水平速度。为了保证下落正好打在B点，这段时间内B转过的弧度必须满足：
基础演练
1．关于向心力的下列说法中正确的是 （ ）
A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小
B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的
C．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力
D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力
2．宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是
（ ）
A．宇航员仍受重力的作用
B．宇航员受力平衡
C．宇航员受的重力正好充当向心力
D．宇航员不受任何作用力
3．图4—2—1所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，A是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，
大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.B点在小轮上，它到小轮中心的距离为r.C点和D点
分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中，皮带不打滑.则 （ ）
A．A点与B点的线速度大小相等
B．A点与B点的角速度大小相等
C．A点与C点的线速度大小相等
D．A点与D点的向心加速度大小相等
4．质量为m的滑块从半径为R的半球形碗的边
缘滑向碗底，过碗底时速度为v若滑块与碗
间的动摩擦因数为μ则在过碗底时滑块受到
摩擦力的大小为 （ ）
A．μmg B．μm C．μm(g+) D．μm(-g)
5．甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，则
（ ）
A．甲距地面的高度比乙小 B．甲的加速度一定比乙小
C．甲的加速度一定比乙大 D．甲的动能一定比乙大
6．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（ ）
A．轨道半径R=
B．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
7．关于向心力的下列说法中正确的是
A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小
B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的
C．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力
D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力
8．在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率vc=，则下述正确的是
A．此球的最大速率是vc
B．小球到达C点时对轨道的压力是
C．小球在任一直径两端点上的动能之和相等
D．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π
9、钟表的时针、分钟和秒针的针尖都在做圆周运动，它们的角速度的比是 _______________ ，如果三针的长度的比是2：3：3。那么，三针尖的线速度的比是 ______________ ，向心加速度的比是 ________ ．
10. 一个小球作半径为r的匀速圆周运动，其线速度为v。从某时刻算起，使其速度的增量的大小为v，所需的最短时间为________。
答案：1 AD 2 AC 3 CD 4 C 5 ACD 6 B 7 AD 8 ACD 9、1：12：720；1：18：1080；1：216：777600 10、πr/3v
巩固提高
1．关于匀速圆周运动的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是(　　)
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
答案：D
2．
如图所示，电风扇工作时，叶片上a、b两点的线速度分别为va、vb，角速度分别为ωa、ωb，则下列关系正确的是(　　)
A．va＝vb，ωa＝ωb
B．vaC．va>vb，ωa>ωb
D．va答案：B
3（2015春?东城区期末）如图所示，小物块A与水平圆盘之间保持相对静止．若小物块A跟随圆盘做匀速圆周运动，则A受到的力有（　　）
A．重力、支持力、沿切线的摩擦力
B．重力、支持力、向心力、摩擦力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力
答案：C
4．（2018春?西城区期末）如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v．若火车通过此弯道时超速了，则火车的轮缘会挤压　　　　　　轨；若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压　　　　　　轨．（填“内”或“外”）
　
答案：外，内
5．如图3所示，地球绕OO′轴自转，则下列正确的是
A．A、B两点的角速度相等
B．A、B两点线速度相等
C．A、B两点的转动半径相同[来源:学。科。网Z。X。X。K]
D．A、B两点的转动周期相同
答案：AD
6．A、B两质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的弧长之比ｓA∶ｓB＝2∶3， 而转过的角度之比φA∶φB＝32，则它们的周期之比ＴA∶ＴB＝_____________ ；角速度之比ωA∶ωB＝______________ ；线速度之比ｖA∶ｖB＝ ______________ ，半径之比ＲA∶ＲB＝ ___________________ .
答案2:3; 3:2; 4:9
１下列说法正确的是（ ）A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动C．匀速圆周运动是一种变加速运动D．物体做圆周运动时其向心力垂直于速度方向，不改变线速度的大小
２如图５所示为质点P、Q做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知（ ）
Ａ质点P的线速度大小不变B．质点P的角速度大小不变C．质点Q的角速度不变D．质点Q的线速度大小不变
３下列关于向心加速度说法正确的是（ ）
A 加速度越大，物体速率变化越快；
B.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
C向心加速度的方向始终与速度方向垂直；
D在匀速圆周运动中向心加速度是恒量。
4于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是
A它描述的是线速度方向变化的快慢?
B.它描述的是期变化快慢
C它是线速度大小变化的快慢?
D.它描述的是角速度变化的快慢?
5甲.乙两物体都做圆周运动, 甲球的轨道半径是乙的两倍,1min内甲球转动的次数是乙 二分之一,则两球的加速度之比为( )
A1:1 B1:2 C2:3 D 2:1
6 如图所示传送装置中，三个轮的半径分别为R，2R，4R；则图中A，B，C各点的线速度之比为 ；角速度之比为 ______________ ；加速度之比为 ________________ 。


7如上图所示圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点的轨道的切线是水平的，一质点自A 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则质点刚要达到B点时的加速度是多大？滑过B点后的加速度是多大？(质点在B点的速度为v2=2gR)
8、钟表的时针、分钟和秒针的针尖都在做圆周运动，它们的角速度的比是 ，如果三针的长度的比是2：3：3。那么，三针尖的线速度的比是 ，向心加速度的比是 ________ ．
9. 一个小球作半径为r的匀速圆周运动，其线速度为v。从某时刻算起，使其速度的增量的大小为v，所需的最短时间为________。
参考答案
(1)CD； （2）A； （3）C；（4）A ； （5）B ；（6）2：1：12； 4：1：1
8：1：2 （7）2g; g. 8、1：12：720；1：18：1080；1：216：777600 9、πr/3v
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．由，可知（ ）
A．a与成正比 B．物体加速度大小由决定
C．加速度方向与方向相同 D．就是加速度
2．关于质点做匀速圆周运动的下列说法中，错误的是
A．由a=可知，a与r成反比
B．由a=ω2r可知，a与r成正比
C．由v=ωr可知，ω与r成反比
D．由ω=2πn可知，ω与n成反比
3、如图所示的两轮以皮带传动，没有打滑，A、B、C三点的位置关系如图，若r1>r2，O1C=r2，则三点的向心加速度的关系为
A.aA=aB=aC B．aC>aA>aB
C.aCaA
4．小球做匀速圆周运动，半径为R，向心加速率为a，则 ( )
A．小球受到的合力是一个恒力
B．小球运动的角速度为
C．小球在时间t内通过的位移为
D．小球的运动周期为2π
5．关于速度和加速度的关系，下列论述正确的是（ ）
A. 加速度大，则速度也大
B. 速度的变化量越大，则加速度也越大
C. 物体的速度变化越快，则加速度就越大
D. 速度的变化率越大，则加速度越大
6．由于地球自转，地球上的物体都随地球一起转动。所以（）
A．在我国各地的物体都有相同的角速度；
B．位于赤道地区的物体的线速度比位于两极地区的小；
C．位于赤道地区的物体的线速度比位于两极地区的大；
D．地球上所有物体的向心加速度方向都指向地心。
7．图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（）
A．A点与b点的线速度大小相等；
B．a点与b点的角速度大小相等；
C．a点与c点的线速度大小相等；
D．a点与d点的向心加速度大小相等。
8．下列说法中正确的是（）
A．向心加速度是描述角速度变化的快慢的；
B．向心加速度是描述线速度大小变化的快慢的；
C．向心加速度总是与速度方向垂直；
D．向心加速度只改变速度的方向。
1、CD 2、ABCD 3、C 4、BD 5、CD 6、 AC 7、CD 8、CD

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