资源简介

循环小数特点和规律的初步探究
洞头一中 高一（10）班
组长：朱倩沁 组员：张晓敏、童思鹏、
指导教师：叶延年
在分数中，当分母只是由素数2或5作为因数或组合而成的合数时，这个分数是可以化为一个有限小数的，如1/20，如果分数P/Q中，P和Q互质，分母是一个除2和5之外的素数，或者是一个含有除2和5之外的素数的合数时，其结果一定是循环小数，如1/6等。
循环小数，是数论研究的内容之一。然而它的枯燥无味，使得真正研究它的人相对于其他领域少了许多，而且在网上搜寻中，除了小学数学中的循环小数的问题外，也很难找到一些富有参考价值的材料。
循环小数和中，有一类分子为1，分母为一个除2和5之外的素数，如1/7，1/13，1/23，1/47…我们给它们起了个名称，叫做“简约分数”，它们是循环小数，其循环小数计算结果如下：
1/7=0.142857142857……
1/13=0. 0769230769230……
1/23=0. 043478260869565217391304347826……
1/47=0.02127659574468085106382978723404255319148936170212……
这些循环小数的第一循环节长度有长有短，各位置出现的数字变化无常。虽然如此，我们认为它们中会存在着一些规律或特点，为此我们着手进行了研究。
要研究这类循环小数，有一个前提就是要求出一系列简约分数的循环小数情况，方可供我们进一步的研究。所以我们小组的全体成员进行了分工，分别去求解1-110以内的简约分数的循环小数，每位同学分工5个。这些简约分数有的分母依次是：3、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109，共26个。
然而在计算中，我们发现，手工求解时，对第一循环节长度较短的简约分数，如1/3、1/7、1/37等，是不成问题的，但有些简约分数的第一循环节长度较短实在很长，求解起来又是费时，又容易出错，这样就对后面的研究产生了很大的影响。由于这个困难，我们几乎要选择放弃了！但指导老师对我们进行了指点，希望我们能通过手工计算循环小数的过程细节中，找到一种可在小型计算器上进行演算的算法，这对我们的研究起了明灯的作用。
通过小组几位同学的仔细研究，我们在一周之后，初步设计出了一个可行的用小型计算器求解长循环节小数的算法，得到了指导师的肯定，并由他适当修改后，变得更为简便可行。（详见中期汇报的小论文）。
即使这样，我们还是感觉在求解一些较长的循环小数是，工作量很大，这就促使我们去思考能否利用计算机编制程序的方式，来快速求解？答案是肯定的！计算机求解的程序，与手工计算的程序或小型计算器的求解程序在原理上是一致的，但我们编程序的知识却几乎是空白的。为此，我们与指导老师一起探讨，在老师的指导下，我们试用了EXCEL电子表格，但由于其中的一些函数功能不熟悉，困难很多，通过老师的指导，整整花了两周的时间，我们终于见到了梦寐以求的求解程序。应用它，只要输入一个分母，就可以立即求出他的循环小数。（详见小文章：用EXCEL电子表格求解循环小数的快速方法）
附表1是用EXCEL电子表格求解的1-110以内的简约分数的循环小数。
有了这些数据，我们的研究工作就有了起色。
首先，我们研究了简约分数循环节的位数情况，我们发现，一个简约分数分母为N，其循环节的位数最大为N-1位，如7、17、19、23、29等为分母的情况；位数如果比N-1少的，一般也是（N-1）的一个因数，而且多数是（N-1）/2，如13、31、43等为分母的情况；但也不绝对，如11为分母时，其循环节的位数为2，是11-1=10的一个因数，再如37、41等为分母时，其位数分别为3和5位。
在表中，最大的分母是109，其第一循环节的位数为108，仍然符合“循环节的位数为N-1的一个因数”的特点。
由此，我们认为：
（1）简约分数1/N的循环小数第一循环节的位数长度一定比N位小；
（2）而且这个位数就是（N-1）的一个因数。
对（1），我们可以证明。比如分母是7，在求解循环小数中，每求出一位，就会有一个余数，这个余数只可能比7小，是“1、2、3、4、5、6”这6个数中的数，一旦余数有两次相同，那么就开始出现循环的情况了！因此，简约分数1/N的循环小数第一循环节的位数长度一定比N位小；
但对（2），我们只能是看到了这个特点，限于自身知识水平不足，却无法给以证明！
其次，我们发现，在简约分数中，第一循环节的位数等于（N-1）的循环小数，其第一循环节的数字中存在一个我们称之为“半节和九规律”的现象。
如1/7=0.142857142857……,第一循环节是“142857”，其循环节前一半数字依次是“142”，后一半数字依次是“857”，而142 + 857 = 999；让我们再来看另一个简约分数，如1/23=0.043478260869565217391304347826……，其第一循环节是“0434782608695652173913”，其循环节前一半数字依次是“04347826086”，后一半数字依次是“95652173913”，而04347826086+95652173913=99999999999；由此我们才取了个“半节和九规律”。这个规律对一些第一循环节的位数等于偶数的简约分数，可能也是成立的！
这个特点的发现，使我们感到非常有成就感！当然，我们仍然不能证明它！
此外，由于在与老师的讨论中，我们觉得有必要突出对第一循环节的位数为（N-1）的简约分数1/N作进一步的研究。这种简约分数，我们给它们起了个名称，叫“完全简约分数”，意思是求解它的每一位小数时，将会使1至（N-1）的所有余数全部出现。
对完全简约分数的平方、立方、……，也可以做一些研究，我们先选择了“1/7”、“1/49”（即1/72）、“1/343”（即1/73）进行比较，如下：
1/7=0.142857142857……
1/72=0.02040816326530612244897959183673469387755102041632653……
“1/73”的第一循环节如下表：
　 10位 20位 30位 40位 50位
0. 0029154518 9504373177 8425655976 6763848396 5014577259
50位 4752186588 9212827988 3381924198 2507288629 7376093294
100位 4606413994 1690962099 1253644314 8688046647 2303206997
150位 0845481049 5626822157 4344023323 6151603498 5422740524
200位 7813411078 7172011661 8075801749 2711370262 3906705539
250位 3586005830 9037900874 6355685131 1953352769 6793002915
300位 4518950437 3177842565 5976676384 8396501457 7259475218

我们可以进行这样的一个比较：
分数 分母 循环节长度 结果
1/7 7 6 （7-1）
1/72 49 42 7×（7－1）
1/73 343 294 7×7×（7－2）

是否我们可以猜测这样一个规律：对完全简约分数（如1/N）的K次方，即，它的第一循环节长度将是NK-1×(N－1)位！
对些，我们再验算了、、，结果仍然是符合上边的这一猜测的规律。这就更让我们相信，我们的猜测是正确的！下表是的结果，而太长（略）。
“1/529”的第一循环节（506位）
　 10位 20位 30位 40位 50位
0. 0018903591 6824196597 3534971644 6124763705 1039697542
50位 5330812854 4423440453 6862003780 7183364839 3194706994
100位 3289224952 7410207939 5085066162 5708884688 0907372400
150位 7561436672 9678638941 3988657844 9905482041 5879017013
200位 2325141776 9376181474 4801512287 3345935727 7882797731
250位 5689981096 4083175803 4026465028 3553875236 2948960302
300位 4574669187 1455576559 5463137996 2192816635 1606805293
350位 0056710775 0472589792 0604914933 8374291115 3119092627
400位 5992438563 3270321361 0586011342 1550094517 9584120982
450位 9867674858 2230623818 5255198487 7126654064 2722117202
500位 2684310018 9035916824 1965973534 9716446124 7637051039

这真是有趣的结果。由此，我们更深入体会到了“数学中数字这一美丽而和谐的天地！”
如果有兴趣进一步研究这些完全简约分数长循环节中的数字，比如每个数这出现的频度，我们还会发现一个重要的规律，那就是在1、2、3、4、5、6、7、8、9、0中，每个数字出现的频度几乎完全相等。例如，对1/23的结果进行统计，我们看到在“0434782608695652173913”中，各个数字出现频度如下表：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频度 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2

如果你有兴趣和时间，你还可以对上表中的“1/529”进行数字出现的频度进行统计，各个数字出现频度如下表：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频度 50 51 51 50 51 51 50 51 51 50

你会发现，506位中，每个数字或者出现50位，或者出现51位，而且如果数字A出现的频度是51，那么数字B（B=9－A）出现的频度也一定是51，这一点你可以通过“半节和九规律”推导得到！
也就是说，完全简约分数（如1/N）的K次方，其循环节中的数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0出现的频度几乎完全相等！之所以相差1，只是因为这个长循环节的位数不是10的整数倍的缘故。
循环小数存在着许许多多的有趣的规律和特点，只要认真研究，努力探索，这些规律和特点将为你所发现！通过这次的研究，我们找到了许多让自己感到快乐的东西，虽然许多结论只是我们的猜测，但我们很希望由于我们的“抛砖”，而能最终“引玉”。兴许将来，循环小数的领域，特别是完全简约分数的循环规律，会展现出它们的特殊价值和地位！


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