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例题精讲

例题一：
在一幅比例尺为1:1000的平面图上，量得学校操场长9厘米，宽7厘米。学校操场实际面积是多少平方米？
〖难度〗：3 难度9个梯度，1-3为容易 4-6为中档 7-9为偏难
〖考点〗：比例尺
〖分析〗：根据这幅图的比例尺和图上距离，要先求出操场的实际长和宽，然后再求出操场的面积。
〖详解〗：解：设操场的实际长为x厘米。
X=1000x9=9000
9000厘米=90米设操场的实际宽为y厘米。
Y=1000×7=7000
7000厘米=70米，90X70=6300(平方米）
答：操场的实际面积为6300平方米。
〖举一反三〗求实际图形的面积，一定要先根据图上距离和比例尺求出实际图形的边长，然后再根据图形的面积公式，求出图形的实际面积。不能先求图上的面积，然后根据比例尺求出实际的面积。



例题二：用边长15厘米的方砖铺地需2000块，如改用边长30厘米的方3?—个长方形，长宽的比是4:3，长砖需多少块？（用比例解）
方形的周长280厘米，它的面积多少平方厘米？
〖难度〗：5
〖考点〗：比例应用
〖分析〗：四个数可以组成比例，但不知道a在什么位置，假设a是内项，有三种可能，分别是a和4做内项、a和5做内项、a和8做内项；如果假设a是外项，结果是一样的，所以只考虑其中一种就可以了。因为每一种可能写成比例有不同的写法，所以直接写成等式解答比较好。
〖详解〗：解：(1)4a=5X8，4a=40，a=10。
(2) 5a=4X8，5a=32,a=6.4
(3) 8a=4X5，8a=20,a=2.5
答：a的值可能是10，6.4或2.5。

例题三：
一辆汽车行驶的路与耗油量如下：
行驶路程（千米） 12 36 48 60
耗油量（升） 2 6 8 10
（1）汽车行驶路程与耗油量是 关系．
（2）绘制折线统计图．


〖难度〗：6
〖考点〗：正比例和反比例的意义；单式折线统计图．
〖分析〗：表中有两种相关联的量，行驶的路程和耗油量，耗油量随着行驶的路程变化而变化，且耗油量与行驶路程的比值是一定的，2：12=6：36=8：48=
10：60=
，符合正比例关系式x：y=k（一定），所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系．
〖详解〗：解：（1）因为从表中计算得知，耗油量：行驶路程=行驶每千米所需耗油量（一定），所以所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系．
答案为：正比例．
（2）

例题四：
设一个量x与另一个量y成正比例，已知当X=6时，y=4．
（1）写出y和x的关系式．
（2）求出当x=6.9时，y的值．


〖难度〗：5
〖考点〗：正比例和反比例的意义；解比例．
〖分析〗：（1）因为一个量x与另一个量y成正比例，所以x与y的比值一定，即x：y=6：4；
（2）把x=6.9代入（1）即可求出y的值．
〖详解〗：解：（1）因为一个量x与另一个量y成正比例，所以x与y的比值一定，即x：y=6：4；
（2）把x=6.9代入x：y=6：4，
即6.9：y=6：4，
6y=6.9×4，
6y=27.6，
y=4.6．

例题五：
同学们看同一本书，下表记录的是每人每天看的页数．
平均每天看的页数 20 24 30 40 60
看完全书所需天数 12
（1）请把上表补充完整．
（2）平均每天看的页数和看完全书所需天数成 比例关系．



（3）汪奶奶看完这本书用了16天，她平均每天看多少页？
〖难度〗：6
〖考点〗：正比例和反比例的意义；
〖分析〗：
（1） 先求出书的总页数，再除以每天看的页数，求出每天看的页数；
（2）每天看的页数和需要的天数的乘积一定，所以每天看的页数和需要的天数之间成反比例；
（3）用总页数除以看完这本书用的天数即可得平均每天看的页数．
〖详解〗：解：（1）20×12=240（页）
240÷24=10（天）
240÷30=8（天）
240÷40=6（天）

240÷60=4（天）
填表如下：
平均每天看的页数 20 24 30 40 60
看完全书所需天数 12 10 8 6 4
（2）每天看的页数×需要的天数=240，一定，
所以每天看的页数和需要的天数之间成反比例；
答案为：反；
（3）240÷16=15（页）．
答：她平均每天看15页．

例题六：
判断下面各题中的两个量是否成比例，成什么比例．
（1）小明从家去学校，他行走的时间与速度．
（2）车轮的直径一定，所行驶的路程与车轮的转数．
（3）3x= y，求x和y．
（4）圆的面积和半径．
（5）出油率一定，黄豆的质量与油的质量．
〖难度〗：6
〖考点〗：成正比例的量与成反比例的量．
〖分析〗：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
〖详解〗：解：（1）行走的速度与行走的时间是两种相关联的量，它们与小明从家里到学校的路程有下面的关系：
行走的速度×行走的时间=小明从家里到学校的路程（一定）；
已知小明从家里到学校的路程一定，也就是他行走的速度与行走的时间的乘积一定，所以行走的速度与行走的时间成反比例；



（2）因为车轮所行驶的路程=车轮的周长×车轮的转数，
即车轮所行驶的路程÷车轮的转数=车轮的周长，
又因为车轮的直径一定，所以车轮的周长一定，
所以车轮所行驶的路程÷车轮的转数=车轮的周长（一定），
所以车轮所行驶的路程与车轮的转数成正比例；

（3）3x= y，
所以x：y=2：15= （一定）
是比值一定，符合正比例的意义，
所以x和y成正比例；
（4）圆的面积公式s=πr2，
从这个公式可以看出：
s：r2=π（一定），
也就是圆的面积只是与半径的平方成正比例关系，和半径不成比例关系；
（5）因为油质量：黄豆质量=出油率（一定），
是对应的比值一定，
所以油质量与黄豆质量成正比例．



趣味数学

题目一：
李阿姨要把一只狗、一只鸡和一篮米从河的东岸带到西岸，但她的渡船太小，一次只能带一样东西过河．没有人的时候狗要咬鸡、鸡要吃米、李阿姨应该怎样安排才能让他们顺利过河？

答案：由于一次只能带一样东西过河且狗要咬鸡、鸡要吃米，因此可先带鸡过去，第二次将狗带过对岸，然后再将鸡带回去，把鸡放下，然后再将米带过对岸，最后回去将鸡到西岸．这样安排才能让他们顺利过河．

题目二：
你听过乌鸦喝水的故事吗？请你用所学到的知识解释一下，乌鸦为什么能喝到水？

原来瓶中水的体积较小，乌鸦喝不到水，当乌鸦将小石子不断的投入瓶中，
由于石头密度大，会下沉，而石头有体积，沉到底部，相当于增加水的体积，水的体积增大，而瓶子的容积不变，故水面上升，水上升到一定的位置时，乌鸦就喝到水了．



题目三
甲买了一套商品房，共用去16.5万元，住了一段时间觉得不满意，以17万元把房子卖出，可甲找不到其他中意的房子，只好又花18.5万元重新把那套房子买回来，住了半年甲因工作调动，又把房子以19万元卖出．甲在买卖房子的过程中赚了钱？还是亏了钱？请算出具体的得数．

答案：题目过程叙述较复杂，很易迷惑人，我们可以把问题简单化：把支出记为负，收入记为正，然后按正负数的计算来解答就比较容易，据此解答．
解答：解：假设支出为负，收入为正，
-16.5+17-18.5+19=1（万元），
1万元为正数，
所以，甲在买卖房子的过程中赚了1万元．
数学小故事：
电线杆和树为什么是圆柱体
世界上所有的生物为了生存，总是朝着对环境最有适应性的方面发展，植物也是如此，树干圆柱形是自身生长繁衍的需要。
圆形面积最大
在周长相同的情况下，圆形具有最大的面积。几何学告诉我们，这时圆的面积比其他任何形状的面积都来得大，因此圆形树干、树枝中导管和筛管的分布数量要比其他形状的多得多，这样，圆形树干输送水分和养料的能力就要大，更有利于树木的生长。如果有相同数量的材料希望做成容积最大的东西，当然圆形是最合适的了。自来水管、煤气管等，就是对这一自然现象的仿造。
支撑力最大
　　截面积大了，圆柱体的支撑力也就大了。树木高大的树冠的重量全靠一根主干支撑，特别是硕果累累的果树，挂上成百上千的果实，须有强有力的树干支撑，才能维持生存。
防止外来伤害
　 我们知道，树木的皮层是树木输送营养物质的通道，皮层一旦中断，树木就会死亡。树木是多年生的植物，它的一生难免要遭受很多外来的伤害，特别是自然灾害的袭击。如果树干是方形、扁形或有其他棱角的，更容易受到外界的冲击伤害。圆形的树干就不同了，狂风吹打时，不论风卷着尘砂杂物从哪个方向来，都容易沿着表面的切线方向掠过，受影响的只是极少部分。因此，树干的形状，是树木对自然环境适应的结果。



知识浓缩
1、 概念
（1）正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k（一定）
（2）反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k（一定）
（3）比例尺：
在绘制地图或其他平面图时，常常需要把实际距离缩小或扩大若干倍画在图纸上。图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺
二、性质
1、如果这两种量正比例，那么他们的比值一定；如果这两种量反比例，那么他们的积一定
2、图形的放大与缩小
图形的放大与缩小是按照一定的比例把物体或图形放大或缩小，然后画在图纸上。图形放大时.放大的比例是一个后项为1的比，如放大3倍，就是按3:1放大;图形缩小时，缩小的比例是一个前项为1的比，如缩小3倍，就是按1:3缩小。
三、运用
比例尺的表示方法：
数字 比例尺 1:5000000 图上1厘米表示实际5000000厘米（50千米）
线段 比例尺 050100千米 图上1厘米表示实际50千米

2、比例尺的类别
前项为1，如1:8，表示把实际距离缩小8倍画在图上。
后项为1，如8:1，表示把实际距离扩大8倍画在图上。
3、比例尺的数量关系
图上距离：实际距离=比例尺实际距离=图上距离÷比例尺
图上距离=实际距离×比例或=比例尺
4、判断两种量成不成比例，成什么比 例的方法：
（1）、两种量必须是相关联的量；
（2）、看两个变化的量是比值（商）一定还是乘积一定，如果是比值（商）一定，就是成正比例的量，如果是乘积一定，就是成反比例的量。
5、为按比例分配：
把一个数量按照一定的比分配，这种分配方法通常称为按比例分配。这类题目的基本特征是：①被分配的总量；②一个比。如把100本书按2:3分配给一、二年级同学，两个年级各分多少本？其中100本书是总量，2:3是按这个比分配。 关系式：总数量×某项份数 总份数 =某项的数量[来源:学科网]
6、解答按比例分配问题的方法
⑴先找出按比例分配的总量。（上例中的100本书）
⑵再找出分配的比.并求出各个部分占总数的几分之几。(一年级占总量的2/(3+2);二年级占总量的3/(3+2))
⑶用总量乘部分量占总量的几分之几，得到各部分的量。(一年级100X2/(3+2)=40本二年级100X3/(3+2)=60本）
四、规律总结
1、图形的放大与缩小的比例同样是对于距离(或长度）而言，并不是表示图形的面积的放大与缩小。如把一个长方形按2:1放大，表示把这个长方形的长和宽分别扩大2倍，并不是面积扩大2倍，实际上面积扩大了4倍。
2、比和比例的联系与区别
（1）联系：比例是由两个相等的比组成的，如果两个比的比值相等，就可以组成比例；组成比例的两个比的比值一定相等。
（2）区别：比表示两个数相除.只有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。

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