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北京市高考数学（理）考试要点总结
按照近五年的北京市高考理科数学出题的规律，一般来说，北京卷分为选择题和非选择
题两个部分。其中选择题部分包含 8 个选择题，每个 5 分，共计 40 分；非选择题部分包含
填空题和解答题，其中填空题 6 个，每个 5 分，共计 30 分；解答题共 6 题，分值在 12~14
分不等，共计 80 分。试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟。
不管何种试卷，选择填空题一直以来都是考试的一个重点项目，以数学为例，总分 150
分，选填分分值占 70 分，接近整张试卷分值的一半。而且历年来，选择填空考察的知识点
较多，但难度均为中等及简单题（除选择题填空题的最后一个），那么有一句话“得选择填
空者的天下”，这句话不错，如果选择填空题全对的话，那么后面大题目不管写的多差，总
分不会太低（除非你不写）。
至于解答题，按照北京卷的出题习惯，除最后一道压轴题外，剩余五道大题的出题模板
基本固定，考察的知识点也相对固定，一般来说掌握试卷的考察重点内容，对我们去完成一
份试卷是很有帮助的。
以下给出北京市高考理数的常考知识点（仅给出知识点，具体内容由老师和学生共同在
课堂上复述、整理）以及相关例题（例题节选自 14~18 年北京市高考数学（理科），其中以
17、18 年为主）、解析以及常规的一些做题思路；
一、选择填空
选择填空共计 14 题，考察知识点一般来说涵盖整个高三学习内容，数学想要取得高分，
一般来说，选择填空应该在 40~45 分之内全部写完，否则留给最后的解答题就没有多少时间
了。那么如何快速高效的写完填空题？积累大量的题型和知识点是必备的。分析往年的试卷，
不难看出，在选择填空部分，有以下几个知识点必考：
①集合、复数
本部分的内容，往往会考察集合的定义、运算、表示（如描述法、区间等）；复数常考
复数的表示、运算、模、共轭复数、复平面等概念。所以在针对这一考点的试题时，应重点
抓住上述提及的几个知识点。
【例 1】（2018 年·北京理）已知集合 A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．
【解答】解：A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，
则 A∩B＝{0，1}；故选：A
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较
基础．
【例 2】（2018 年·北京理）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：复数 ＝ ＝ ，
共轭复数对应点的坐标（ ，﹣ ）在第四象限；故选：D
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．
②程序框图
本部分的内容主要是程序框图的理解及运算，在这里要知道判断、赋值、计算、输出、
输入等框图的识别。其中这类题目计算量稍微有点大，还请同学们在计算时细心一点。
【例 1】（2018 年·北京理）执行如图所示的程序框图，输出的 s值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．
【解答】解：执行循环前：k＝1，S＝1．
在执行第一次循环时，S＝1﹣ ＝ ．
由于 k＝2≤3，
所以执行下一次循环．S＝ ，
k＝3，直接输出 S＝ ，故选：B
【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．
【例 2】（2017 年·北京理）执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计
算并输出变量 S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的
变化情况，可得答案．
【解答】解：
当 k＝0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝1，S＝2，
当 k＝1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝2，S＝ ，
当 k＝2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝3，S＝ ，
当 k＝3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为： ，故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟
③三视图
本知识点主要考察的是几何体的三视图与直观图的转化，以及空间集合体的表面积、体
积的求法；我们在这里需要掌握如何通过三视图转化成空间几何体的直观图，进而再去对集
合体的表面积、体积、棱长等相关问题求解。
【例 1】（2018 年·北京理）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角
形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面 ABCD，
AC＝ ，CD＝ ，
PC＝3，PD＝2 ，可得三角形 PCD不是直角三角形．
所以侧面中有 3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．
【例 2】（2017 年·北京理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为 PA，根
据勾股定理求出即可．
【解答】解：由三视图可得直观图，
再四棱锥 P﹣ABCD中，
最长的棱为 PA，即 PA＝ ＝ ＝2 ，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．
④在线性约束条件下的最优解
在解决这类问题的时候，首先要明确这个求范围的代数式符合哪一类型？线性、斜率、
距离？再根据约束条件画出可行域，结合上述的代数式分析何时取得符合条件的解。
【例 1】（2018 年·北京理）若 x，y满足 x+1≤y≤2x，则 2y﹣x的最小值是 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设 z＝2y﹣x，则 y＝ x+ z，
平移 y＝ x+ z，
由图象知当直线 y＝ x+ z经过点 A时，
直线的截距最小，此时 z最小，
由 得 ，即 A（1，2），
此时 z＝2×2﹣1＝3，
故答案为：3
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决
本题的关键．
【例 2】（2017 年·北京理）若 x，y满足 ，则 x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
【解答】解：x，y满足 的可行域如图：
由可行域可知目标函数 z＝x+2y经过可行域的 A时，取得最大值，由 ，可得 A（3，
3），
目标函数的最大值为：3+2×3＝9．故选：D
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关
键．
⑤极坐标系与参数方程
该类题目要求掌握极坐标系下圆的方程以及极坐标系和直角坐标系的互换、和直线、圆、
椭圆的参数方程，然后在平面直角坐标系中去求解一些解析几何问题。
【例 1】（2018 年·北京理）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ＝a（a＞0）与圆ρ＝2cosθ相
切，则 a＝ ．
【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线
的距离等于半径求出结果．
【解答】解：圆ρ＝2cosθ，
转化成：ρ2＝2ρcosθ，
进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，
把直线ρ（cosθ+sinθ）＝a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a＝0．
由于直线和圆相切，
所以：利用圆心到直线的距离等于半径．
则： ＝1，
解得：a＝1± ．a＞0
则负值舍去．
故：a＝1+ ．
故答案为：1+ ．
【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充
要条件的应用．
【例 2】（2017 年·北京理）在极坐标系中，点 A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0上，点 P
的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 1 ．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点 P
的距离的最小值．
【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0 为圆 C，将圆 C的极坐标方程化为：x2+y2
﹣2x﹣4y+4＝0，
再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1；
如图，当 A在 CP与⊙C的交点 Q处时，|AP|最小为：
|AP|min＝|CP|﹣rC＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不
大．
⑥数列
数列在选择填空中，一般来说都会考察等差数列或者等比数列的一些性质，以及其前 n
项和的性质。当然也会考察一些数列的通项公式和前 n 项和的求法。
【例 1】（2018 年·北京理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方
法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程
分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个
单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（ ）
A． f B． f C． f D． f
【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．
若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为： ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
【例 2】（2017 年·北京理）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，
则 ＝ ．
【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．
【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，
设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q．
可得：8＝﹣1+3d，d＝3，a2＝2；
8＝﹣q3，解得 q＝﹣2，∴b2＝2．
可得 ＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．
⑦函数相关
选填部分考察函数相关内容，相比于后面的解答题，考察的知识点比较杂，例如函数的
性质（单调性、周期性、对称性、奇偶性）、函数的解析式（尤其是分段函数）、基本初等
函数（指数函数、幂函数、对数函数、三角函数，其中以三角函数居多）、导数相关（极值、
切线、定积分和微积分）；考察知识点很多，难度跨度也很大，所以同学在针对这一方面的
题目，多加练习。以下仅给出部分例题及剖析。
【例 1】（2018 年·北京理）设函数 f（x）＝cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若 f（x）≤f（ ）
对任意的实数 x都成立，则ω的最小值为 ．
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】解：函数 f（x）＝cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若 f（x）≤f（ ）对任意的实
数 x都成立，
可得： ，k∈Z，解得ω＝ ，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
【例 2】（2017 年·北京理）已知函数 f（x）＝3x﹣（ ）x，则 f（x）（ ）
A．是奇函数，且在 R 上是增函数
B．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数
D．是偶函数，且在 R 上是减函数
【分析】由已知得 f（﹣x）＝﹣f（x），即函数 f（x）为奇函数，由函数 y＝3x为增函数，
y＝（ ）x为减函数，结合“增”﹣“减”＝“增”可得答案．
【解答】解：f（x）＝3x﹣（ ）x＝3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），
即函数 f（x）为奇函数，
又由函数 y＝3x为增函数，y＝（ ）x为减函数，
故函数 f（x）＝3x﹣（ ）x为增函数，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合
应用，难度不大，属于基础题．
【例 3】（2016 年·北京理）设函数 f（x）＝ ．
①若 a＝0，则 f（x）的最大值为 ；
②若 f（x）无最大值，则实数 a的取值范围是 ．
【分析】①将 a＝0 代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当 x＝﹣1 时，f
（x）的最大值为 2；
②若 f（x）无最大值，则 ，或 ，解得答案．
【解答】解：①若 a＝0，则 f（x）＝ ，
则 f′（x）＝ ，
当 x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当 x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当 x＝﹣1时，f（x）的最大值为 2；
②f′（x）＝ ，
令 f′（x）＝0，则 x＝±1，
若 f（x）无最大值，则 ，或 ，
解得：a∈（﹣∞，﹣1）．
故答案为：2，（﹣∞，﹣1）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．
⑧平面解析几何相关
平面解析几何指的是利用平面直角坐标系，采用函数的思想，将平面几何图形表示出来，
通过研究函数的性质进而研究平面几何图形的性质。在平面解析几何考点内，常考直线、圆
锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）、向量等。与函数考点类似，题型较多，难度跨度较
大，主要围绕平面解析几何的一般方法去入手，如圆锥曲线的离心率、直线的方程、斜率、
两点间的距离向量的运算。
【例 1】（2018 年·北京理）已知椭圆 M： + ＝1（a＞b＞0），双曲线 N： ﹣
＝1．若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六
边形的顶点，则椭圆 M的离心率为 ；双曲线 N的离心率为 ．
【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；
利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：椭圆 M： + ＝1（a＞b＞0），双曲线 N： ﹣ ＝1．若双曲线 N
的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（ ， ），可得： ，
可得 ，可得 e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），
解得 e＝ ．
同时，双曲线的渐近线的斜率为 ，即 ，
可得： ，即 ，
可得双曲线的离心率为 e＝ ＝2．
故答案为： ；2．
【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
【例 2】（2017 年·北京理）若双曲线 x2﹣ ＝1的离心率为 ，则实数 m＝ ．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解 m 即可．
【解答】解：双曲线 x2﹣ ＝1（m＞0）的离心率为 ，
可得： ，
解得 m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
【例 3】（2016 年·北京理）双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形 OABC
的边 OA，OC所在的直线，点 B为该双曲线的焦点．若正方形 OABC的边长为 2，则 a
＝ ．
【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲
线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形 OABC的边 OA，OC所在的直线，
∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为 y＝±x，
即 a＝b，
∵正方形 OABC的边长为 2，
∴OB＝2 ，即 c＝2 ，
则 a2+b2＝c2＝8，
即 2a2＝8，
则 a2＝4，a＝2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是
等轴双曲线是解决本题的关键．
⑨逻辑推理
逻辑推理是贯穿整个数学考试，甚至说是所有理科考试中。拥有好的逻辑推理能力，对
于题意的理解是很有帮助的。而很多学生说自己数学知识点都会，但就是考不了高分，为什
么？就是因为自己在逻辑推理能力方面比较差。所以说加强逻辑推理能力很有必要。一个好
的逻辑推理能力一般来说是从小学开始接触理科相关试题的时候就已经开始形成的，这是一
个后天因素而并非先天条件。所以在剩下来短短的不到一个月的时间，如何加强自己的逻辑
推理能力呢？说实话，多刷题吧，这是最直接有效的方法，不要想着有什么窍门，也别想着
那种市面上的健脑药品。
考试内容涉及到逻辑推理的，最典型的就是判断命题的真假和充分性必要性。
【例 1】（2018 年·北京理）设 ， 均为单位向量，则“| ﹣3 |＝|3 + |”是“ ⊥ ”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．
【解答】解：∵“| ﹣3 |＝|3 + |”
∴平方得| |2+9| |2﹣6 ? ＝9| |2+| |2+6 ? ，
即 1+9﹣6 ? ＝9+1+6 ? ，
即 12 ? ＝0，
则 ? ＝0，即 ⊥ ，
则“| ﹣3 |＝|3 + |”是“ ⊥ ”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是
解决本题的关键．
【例 2】（2017 年·北京理）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 ＝λ ”是“ ?
＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 ＝λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可
得 ? ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ? ＜0，而 ＝λ 不成立．即
可判断出结论．
【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 ＝λ ，则向量 ， 共线且方向相反，
可得 ? ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ? ＜0，而 ＝λ 不成立．
∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 ＝λ ”是 ? ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理
能力与计算能力，属于基础题．
【例 3】（2016 年·北京理）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是
三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，
就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，
则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放
入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．
【解答】解：取两个球共有 4种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加 1个；
②黑+黑，则丙盒中黑球数加 1个；
③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 1个；
④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 1个．
设一共有球 2a个，则 a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为 a，其中红球 x个，黑球 y
个，x+y＝a．
则乙中有 x个球，其中 k个红球，j个黑球，k+j＝x；
丙中有 y个球，其中 l个红球，i个黑球，i+l＝y；
黑球总数 a＝y+i+j，又 x+y＝a，故 x＝i+j
由于 x＝k+j，所以可得 i＝k，即乙中的红球等于丙中的黑球．
故选：B．
【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维
能力有一定要求，中档题
上述为历年来北京卷选择填空题常考的知识点，几乎每年必考，下面罗列一下不太常考
的知识点。虽然不常考，但不是不重要的。
①计数原理
计数原理主要考察的是分类加法和分步乘法的运用，以及排列组合的内容。在这类题型
中，分类的过程中要求不重不漏，分步的过程中要求步骤显然，按部就班。计数原理常用的
方法为 1）特殊位置特殊元素优先考虑 2）插空法 3）捆绑法 4）正难则反淘汰法
【例】（2014 年·北京理）把 5件不同产品摆成一排，若产品 A与产品 B相邻，且产品 A
与产品 C不相邻，则不同的摆法有 36 种．
【分析】分 3步进行分析：①用捆绑法分析 A、B，②计算其中 A、B相邻又满足 B、C
相邻的情况，即将 ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将 A、B相
邻又满足 A、C相邻的情况排除即可得答案．
【解答】解：先考虑产品 A与 B相邻，把 A、B作为一个元素有 种方法，而 A、B可
交换位置，所以有 2 ＝48种摆法，
又当 A、B相邻又满足 A、C相邻，有 2 ＝12种摆法，
故满足条件的摆法有 48﹣12＝36种．
故答案为：36．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的 A、B、
C．
②古典概型、几何概型、条件概率、相互独立事件
古典概型（传统概率）、其定义是一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单
位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就
叫古典概型。
几何概型是一种概率模型。在这个模型下，随机实验所有可能的结果是无限的，并且每
个基本结果发生的概率是相同的。例如一个人到单位的时间可能是 8:00~9:00之间的任意一
个时刻、往一个方格中投一个石子，石子落在方格中任何一点上……这些试验出现的结果都
是无限多个，属于几何概型。一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两
个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
对于古典概型，计算出这一随机试验所包含的所有基本事件的个数，然后符合条件的事
件个数与总个数的之比，即为古典概型。而几何概型往往在几何背景下，如面积、长度、体
积等，然后符合条件的区域的几何数值与总的几何数值之比即为几何概型。
条件概率是指在 A事件发生的前提下，B事件发生的概率为多少，一般利用公式
进行计算即可，该公式表达的是 B事件在 A事件发生的情况下的条件概率（P(B|A)），P(AB)
表示 A、B事件同时发生的概率，P(A)表示 A时间发生的概率。
相互独立事件，指的是 A事件发生的概率与 B时间发生是否无关，即 P(AB)=P(A)P(B)，
符合这一式子的即为相互独立事件。
该知识点在高考中的考察内容主要集中在后面的解答题，在选填部分遇到的可能性不大
（14~18年未出现），但不能忽视。
③二项式定理
该知识点主要考察二项式定理的展开，要求重点掌握二项式定理的展开式的通项，理解
并掌握二项式系数、项系数的概念，会求展开后的某一项（系数）、求特定的项系数、二项
式系数等。
【例】（2015年·北京理）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 40 （用数字作答）
【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用 x的指数为 3，求出 r，然后求解所求
数值．
【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1＝ 25﹣rxr，
所求 x3的系数为： ＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
④新概念题型
选择填空部分的新概念题型，与解答题的压轴题不同，一般是以函数或集合的运算举例，
定义一个新型的运算符号，然后去解决一些问题。这一类题型的做法，从题意入手，将
它所给的运算符号进行化简整理得到一个新函数或集合，然后根据函数或集合的性质去
解题。
【例】（2015年·北京理）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程，如
图
描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗 1升汽油，乙车最多可行驶 5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速 80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以 80千米/小时的速度行驶 1小时，消耗 10升汽油
【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确．
【解答】解：对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h时，乙车的燃油效率大于 5km/L，
∴当速度大于 40km/h时，消耗 1升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A错误；
对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升
汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B错误；
对于 C，由图象可知当速度小于 80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故 C正确；
对于 D，由图象可知当速度为 80km/h时，甲车的燃油效率为 10km/L，
即甲车行驶 10km时，耗油 1升，故行驶 1小时，路程为 80km，燃油为 8升，故 D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的意义，属于中档题．
二、解答题
解答题在北京卷所占分值为 80 分，难度系数普遍在 0.1~0.5 之间，极个别题目的难度为
0.7，所以就难度系数而言，解答题的难度偏大，所用到的知识点相对集中，但逻辑推理能
力要求较强，需要对题意理解的相对透彻。结合近五年来（14 年~18 年）的题目来看，题型
的设置基本固定，为 1）解三角形或三角函数 2）立体几何 3）概率、分布列 4）圆锥曲线 5）
导数 6）新概念压轴题。
①解三角形
对于解三角形的题目，常用正余弦定理、三角形面积公式，以及常见的三角函数的诱导
公式及恒等变换，然后结合方程的思想去进行求解，计算量稍大，一定要细心。我们经常对
题目所给的已知条件进行化简，比如角化边、边化角等。在解三角形内常用的两句话“大边
对大角”“三角形内角和为 180°（即 sin (A+B)=sin C）”，这两句话对我们进行化简或者对
多解的判断很有帮助。
母题模板：在△ABC 中，给你一些边角关系，求：
（1）三角形另外的边角关系
（2）三角形的面积
（3）某个边上的高、中线等
（4）判断三角形的形状
……………………
【例 1】（2018 年·北京理）在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝﹣ ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求 AC边上的高．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可．
（Ⅱ）利用余弦定理求出 c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即 A是锐角，
∵cosB＝﹣ ，∴sinB＝ ＝ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ 得 sinA＝ ＝ ＝ ，
则 A＝ ．
（Ⅱ）由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
即 64＝49+c2+2×7×c× ，
即 c2+2c﹣15＝0，
得（c﹣3）（c+5）＝0，
得 c＝3或 c＝﹣5（舍），
则 AC边上的高 h＝csinA＝3× ＝ ．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解
决本题的关键．
【例 2】（2017年·北京理）在△ABC中，∠A＝60°，c＝ a．
（1）求 sinC的值；
（2）若 a＝7，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，
（2）根据同角的三角函数的关系求出 cosC，再根据两角和正弦公式求出 sinB，根据面
积公式计算即可．
【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝ a，
由正弦定理可得 sinC＝ sinA＝ × ＝ ，
（2）a＝7，则 c＝3，
∴C＜A，
∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得 cosC＝ ，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝ × + × ＝ ，
∴S△ABC＝ acsinB＝ ×7×3× ＝6 ．
【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题
②三角函数
若解答题考察三角函数的相关内容时，往往对三角函数恒等变换以及诱导公式考察
重点较深，我们利用恒等变化和诱导公式之后，会结合辅助角公式对题目所给的函数化
简成三角函数模型，然后去进行一些相关题目的求解。
母题：已知函数 f（x）=……………………，求：
（1）函数的周期
（2）函数的单调性
（3）函数在某个区间 D 的最值
（4）可能会和解三角形的内容结合在一起
……………………
【例 1】（2015 年·北京理）已知函数 f（x）＝ sin cos ﹣ ．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 f（x），再由正弦函数的周
期，即可得到所求；
（Ⅱ）由 x的范围，可得 x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝ sin cos ﹣
＝ sinx﹣ （1﹣cosx）
＝sinxcos +cosxsin ﹣
＝sin（x+ ）﹣ ，
则 f（x）的最小正周期为 2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣ ≤x+ ≤ ，
即有﹣1 ，
则当 x＝﹣ 时，sin（x+ ）取得最小值﹣1，
则有 f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣ ．
【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，
考查运算能力，属于中档题．
【例 2】（2016年·北京理）在△ABC中，a2+c2＝b2+ ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求 cosA+cosC的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得 cosB＝ ，进而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C＝ ﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得 cosA+cosC的
最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2＝b2+ ac．
∴a2+c2﹣b2＝ ac．
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
∴B＝
（Ⅱ）由（I）得：C＝ ﹣A，
∴ cosA+cosC＝ cosA+cos（ ﹣A）
＝ cosA﹣ cosA+ sinA
＝ cosA+ sinA
＝sin（A+ ）．
∵A∈（0， ），
∴A+ ∈（ ，π），
故当 A+ ＝ 时，sin（A+ ）取最大值 1，
即 cosA+cosC的最大值为 1．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度
中档．
③立体几何
空间立体集合是每年必考的题型之一，一般都是以一个空间几何体（可能规则可能不规
则）为基础，然后去判断空间中的点、线、面位置关系，以及角的大小（线线角、线面角、
二面角），有的题目可能会让你求点到平面的距离（转换成体积或者线面角去做），或者某
个几何体的体积。对于这一种题目，我们有两种方法，一种是纯几何的方法，通过做辅助线，
然后去根据点线面位置关系的判定定理或者性质定理去证明一些关系，然后通过做出平面角
去解出空间角。这种方法对学生的空间思维能力比较强，对于一些简单的题目可以采用上述
方法，但大部分学生更加倾向于使用第二种方法：空间向量。空间向量也有两种表达方式，
一种是纯向量，一种是用坐标表示，后者常用。对于用坐标表示空间向量，我们要建立合适
的坐标系（建系原则：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标面上），做出直线的方向向量和平
面的法向量去求解就可以了。偶尔最后一问可能会问是否存在一点使条件成立，对于坐标解
法来说，直接设出特征点的坐标，然后建立方程去求解即可。在解决空间几何体的时候，我
们一般采用分析法去寻求思路，即将题目要证明的结论当成已知条件，去逆向分析得到我们
的已知条件。
母题模板：在几何体（三棱锥、四棱锥、平面图形翻折后的图形等）中，给你一些点的
特点（例如中点，三等分点等）、一些线段的长度，求
（1）证明：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等；
（2）求：线面角、线线角、二面角的大小（余弦值、正弦值）；
（3）求：点到平面的距离，某个几何体的体积；
（4）是否存在一点使得····成立
……………………
【例 1】（2018年·北京理）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，D，E，
F，G分别为 AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝ ，AC＝AA1＝2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BEF；
（Ⅱ）求二面角 B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线 FG与平面 BCD相交．
【分析】（I）证明 AC⊥BE，AC⊥EF即可得出 AC⊥平面 BEF；
（II）建立坐标系，求出平面 BCD的法向量 ，通过计算 与 的夹角得出二面角的大
小；
（III）计算 与 的数量积即可得出结论．
【解答】（I）证明：∵E，F分别是 AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，
∵CC1⊥平面 ABC，∴EF⊥平面 ABC，
又 AC?平面 ABC，∴EF⊥AC，
∵AB＝BC，E是 AC的中点，
∴BE⊥AC，
又 BE∩EF＝E，BE?平面 BEF，EF?平面 BEF，
∴AC⊥平面 BEF．
（II）解：以 E为原点，以 EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则 B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），
∴ ＝（﹣2，1，0）， ＝（0，﹣2，1），
设平面 BCD的法向量为 ＝（x，y，z），则 ，即 ，
令 y＝2可得 ＝（1，2，4），又 EB⊥平面 ACC1A1，
∴ ＝（2，0，0）为平面 CD﹣C1的一个法向量，
∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ．
由图形可知二面角 B﹣CD﹣C1为钝二面角，
∴二面角 B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣ ．
（III）证明：F（0，0，2）， （2，0，1），∴ ＝（2，0，﹣1），
∴ ? ＝2+0﹣4＝﹣2≠0，
∴ 与 不垂直，
∴FG与平面 BCD不平行，又 FG?平面 BCD，
∴FG与平面 BCD相交．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．
【例 2】（2017 年·北京理）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面
PAD⊥平面 ABCD，点 M在线段 PB上，PD∥平面 MAC，PA＝PD＝ ，AB＝4．
（1）求证：M为 PB的中点；
（2）求二面角 B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值．
【分析】（1）设 AC∩BD＝O，则 O为 BD的中点，连接 OM，利用线面平行的性质证
明 OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得 M为 PB的中点；
（2）取 AD中点 G，可得 PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得 PG⊥平面 ABCD，则 PG
⊥AD，连接 OG，则 PG⊥OG，再证明 OG⊥AD．以 G为坐标原点，分别以 GD、GO、
GP所在直线为 x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD与平面 PAD的一个法向
量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B﹣PD﹣A的大小；
（3）求出 的坐标，由 与平面 PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线 MC
与平面 BDP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，设 AC∩BD＝O，
∵ABCD为正方形，∴O为 BD的中点，连接 OM，
∵PD∥平面 MAC，PD?平面 PBD，平面 PBD∩平面 AMC＝OM，
∴PD∥OM，则 ，即 M为 PB的中点；
（2）解：取 AD中点 G，
∵PA＝PD，∴PG⊥AD，
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
∴PG⊥平面 ABCD，则 PG⊥AD，连接 OG，则 PG⊥OG，
由 G是 AD的中点，O是 AC的中点，可得 OG∥DC，则 OG⊥AD．
以 G为坐标原点，分别以 GD、GO、GP所在直线为 x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由 PA＝PD＝ ，AB＝4，得 D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，
4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ），
， ．
设平面 PBD的一个法向量为 ，
则由 ，得 ，取 z＝ ，得 ．
取平面 PAD的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞＝ ＝ ．
∴二面角 B﹣PD﹣A的大小为 60°；
（3）解： ，平面 BDP的一个法向量为 ．
∴直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 |cos＜ ＞ |＝ | |＝
| |＝ ．
【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．
④概率、分布列
这类题目一般考察概率和离散型随机变量的分布列及其数字特征。通常给你一个题目背
景，比如某次调查结果，某次比赛结果，某次考试成绩等，然后让你去求某一事件的概率，
或者直接从题干信息分析出一些简单的结果；其次会给你一个随机变量代表的事件，让你写
出它的分布列。这种我们首先要判断这个随机变量的取值，然后判断这个随机变量符合哪一
种分布（两点分布、二项分布、超几何分布等），根据概率公式去计算得到每一具体取值的
随机变量的概率，列出分布列即可（一定要保证概率之和为 1，这个条件可以用来检验最后
的结果是否出错）；关于随机变量的数字特征，在高中阶段重点强调期望和方差的算法，我
们根据公式可以算出来期望和方差（期望就是均值，方差就是数值的离散程度），询问数字
特征的题目一般接在分布列后面，或者直接单独作为最后一个问。当作为最后一个问的时候，
一般要求只写结论，我们只需要进行理性分析即可。
这道题的母题模板不给出，因为这种题目的题干条件不像其他几种题目给的那么固定，
具有一定的可变性，所以不太好给出具体的模板，下面直接以例题讲解；
【例 1】（2018年·北京理）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的
概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有 1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”
表示第 k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第 k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，
3，4，5，6）．写出方差 Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【分析】（Ⅰ）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概
型概率计算公式直接求解．
（Ⅱ）设事件 B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，恰有 1部获得好
评”，第四类获得好评的有 50部，第五类获得好评的有 160部，由此能求出从第四类电
影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有 1部获得好评的概率．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk＝ ，则ξk
服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差 Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，
Dξ5，Dξ6的大小关系．
【解答】解：（Ⅰ）设事件 A表示“从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电
影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为 140+50+300+200+800+510＝2000部，
第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25＝50部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率
为：
P（A）＝ ＝0.025．
（Ⅱ）设事件 B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，恰有 1部获得好
评”，
第四类获得好评的有：200×0.25＝50部，
第五类获得好评的有：800×0.2＝160部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有 1部获得好评的概率：
P（B）＝ ＝0.35．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
ξk＝ ，
则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
ξ1 1 0
P 0.4 0.6
E（ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，
D（ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24．
第二类电影：
ξ2 1 0
P 0.2 0.8
E（ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，
D（ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．
第三类电影：
ξ3 1 0
P 0.15 0.85
E（ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，
D（ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275．
第四类电影：
ξ4 1 0
P 0.25 0.75
E（ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，
D（ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875．
第五类电影：
ξ5 1 0
P 0.2 0.8
E（ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，
D（ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．
第六类电影：
ξ6 1 0
P 0.1 0.9
E（ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，
D（ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09．
∴方差 Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两
点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
【例 2】（2017年·北京理）为了研究一种新药的疗效，选 100名患者随机分成两组，每组
各 50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和 y的
数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的 50名患者中随机选出一人，求此人指标 y的值小于 60的概率；
（2）从图中 A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标 x的值大于 1.7
的人数，求ξ的分布列和数学期望 E（ξ）；
（3）试判断这 100名患者中服药者指标 y数据的方差与未服药者指标 y数据的方差的大
小．（只需写出结论）
【分析】（1）由图求出在 50名服药患者中，有 15名患者指标 y的值小于 60，由此能求
出从服药的 50名患者中随机选出一人，此人指标小于 60的概率．
（2）由图知：A、C两人指标 x的值大于 1.7，而 B、D两人则小于 1.7，可知在四人中
随机选项出的 2 人中指标 x的值大于 1.7的人数ξ的可能取值为 0，1，2，分别求出相应
的概率，由此能求出ξ的分布列和 E（ξ）．
（3）由图知 100名患者中服药者指标 y数据的方差比未服药者指标 y数据的方差大．
【解答】解：（1）由图知：在 50名服药患者中，有 15名患者指标 y的值小于 60，
答：从服药的 50名患者中随机选出一人，此人指标小于 60的概率为：
p＝ ＝ ．
（2）由图知：A、C两人指标 x的值大于 1.7，而 B、D两人则小于 1.7，
可知在四人中随机选项出的 2人中指标 x的值大于 1.7的人数ξ的可能取值为 0，1，2，
P（ξ＝0）＝ ，
P（ξ＝1）＝ ＝ ，
P（ξ＝2）＝ ＝ ，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
答：E（ξ）＝ ＝1．
（3）答：由图知 100名患者中服药者指标 y数据的方差比未服药者指标 y数据的方差大．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础
知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与
转化思想，是中档题．
⑤平面解析几何
平面解析几何主要是通过几何图形所对应的函数解析式，利用研究函数的性质，反映出
平面几何图形的性质的一种方法，高考必考题型之一，具有灵活性强，计算量大等特点，常
作为次压轴题，现在高考常一圆锥曲线和直线去出题。
在解决这一类问题的时候，常用的一步就是将我们的圆锥曲线和直线方程去联立，然后
化简得出韦达定理。这一步的计算量稍大，所以在做题的时候需要细心。其次我们会把题目
中的图形画出来，结合图像可以更好的理解题意。
对于固定的题目，常考察圆锥曲线的一些基本性质，例如椭圆的离心率、长轴、短轴、
焦点等；双曲线的离心率、渐近线、焦点等；抛物线的准线、焦点等。对于第二问或者第三
问，往往是圆锥曲线和直线的相关问题，对于这种题目我们一般的方法是顺着题意来，例如
一条直线与椭圆相交于两点 A、B，过 B点的直线······，若····（某一关系式）
成立，求证：····（例如定值问题、定点问题、三点共线等）。我们一般从让我们证明
的结论入手，以证明三点共线为例，要证明三点共线，那么我们可以采用直线的斜率，或者
平面共线向量的方法去做，那么紧接着就想到要去求出点的坐标。那么点的坐标怎么求呢？
通过题目条件可以得到该点是由直线形成的，所以我们对这个直线去入手，建立直线的方程，
有的时候我们还可以再往前去看看，这个直线是由其他动点形成的，还是题目中原本存在的
直线，那么我们的题目就很容易去求解了。如果后面建立的等式关系化简起来特别的麻烦，
那么返回我们的题目条件去看，是不是有某个条件我们还没有用上，一般来说，这个没有用
上的条件就是我们化简代数式的关键。对于直线的设法，我们要考虑这个直线的斜率是否存
在，如果有斜率不存在的情况，那么我们会优先对这种特殊情况进行求解，去进行证明，如
果是定值问题，这个值往往就是我们最后要证明的结果，所以在一般情况，化简结果可以向
特殊情况的结果去。
除了上述的一般套路之外，我们还要掌握一些圆锥曲线的特殊方法，例如求弦长的弦长
公式、焦点三角形的面积公式、椭圆和双曲线的点差法等。
母题模板：已知椭圆（双曲线、抛物线），符合某个条件，曲线上有几个特征点，或者
某一条直线与圆锥曲线相交，求
（1）圆锥曲线的方程、离心率、参数的值（a，b，c）、某些点的坐标等；
（2）过定点问题、定值问题、三点共线问题、直线与其他曲线的位置关系等；
【例 1】（2018年·北京理）已知抛物线 C：y2＝2px经过点 P（1，2），过点 Q（0，1）
的直线 l与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA交 y轴于 M，直线 PB交 y轴于
N．
（Ⅰ）求直线 l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O为原点， ＝λ ， ＝μ ，求证： + 为定值．
【分析】（Ⅰ）将 P代入抛物线方程，即可求得 p的值，设直线 AB的方程，代入椭圆
方程，由△＞0，即可求得 k的取值范围；
（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直线 PA的方程，令 x＝
0，求得 M点坐标，同理求得 N点坐标，根据韦达定理即可求得 + 为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线 C：y2＝2px经过点
P（1，2），∴4＝2p，解得 p＝2，
设过点（0，1）的直线方程为 y＝kx+1，
设 A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得 ，
消 y可得 k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且 k≠0解得 k＜1，
且 k≠0，x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ，
又∵PA、PB要与 y轴相交，∴直线 l不能经过点（1，﹣2），即 k≠﹣3，
故直线 l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点 M（0，yM），N（0，yN），
则 ＝（0，yM﹣1）， ＝（0，﹣1）
因为 ＝λ ，所以 yM﹣1＝﹣yM﹣1，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣yN，
直线 PA的方程为 y﹣2＝ （x﹣1）＝ （x﹣1）＝ （x﹣1），
令 x＝0，得 yM＝ ，同理可得 yN＝ ，
因 为 + ＝ + ＝ + ＝ ＝
＝ ＝ ＝
＝2，
∴ + ＝2，∴ + 为定值．
【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考
查转化思想，计算能力，属于中档题．
【例 2】（2017年·北京理）已知抛物线 C：y2＝2px过点 P（1，1）．过点（0， ）作直
线 l与抛物线 C交于不同的两点 M，N，过点 M作 x轴的垂线分别与直线 OP、ON交于
点 A，B，其中 O为原点．
（1）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段 BM的中点．
【分析】（1）根据抛物线过点 P（1，1）．代值求出 p，即可求出抛物线 C的方程，焦
点坐标和准线方程；
（2）设过点（0， ）的直线方程为 y＝kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达
定理得到 x1+x2＝ ，x1x2＝ ，根据中点的定义即可证明．
【解答】解：（1）∵y2＝2px过点 P（1，1），
∴1＝2p，解得 p＝ ，
∴y2＝x，
∴焦点坐标为（ ，0），准线为 x＝﹣ ，
（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为
y＝kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴直线 OP为 y＝x，直线 ON为：y＝ x，
由题意知 A（x1，x1），B（x1， ），
由 ，可得 k2x2+（k﹣1）x+ ＝0，
∴x1+x2＝ ，x1x2＝
∴y1+ ＝kx1+ + ＝2kx1+ ＝2kx1+ ＝2kx1+（1﹣
k）?2x1＝2x1，
∴A为线段 BM的中点．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理
和中点的定义，属于中档题．
⑥导数
导数题目和圆锥曲线的地位一样，两者轮流做次压轴题的位置。一般导数所给的函数都
是含参函数，所以我们在解决这一类题目的时候需要对参数进行讨论，那么讨论的依据是什
么？主要就是对我们最后的求解形式，例如我求导之后解导函数等于零的根，如果根含有参
数，那么我们就要对这含参的跟与另一个跟比较大小关系，其次还要考虑这个含参的根是否
在我们的定义域内。
导数题的第一问难度不大，主要将参数赋予一个值，讨论函数的单调性或者极值，又或
者求斜线相关的内容。第二问难度较大，常涉及到不等式的恒成立问题，函数的零点问题等；
对于不等式恒成立，常转化为最值问题，利用 f（x）或者证明不等式 f（x）0，
由此转化成求 h（x）最小值问题；零点问题也有类似的解法，不过我们需要通过求导判断
出函数的草图，然后利用图像法去解决零点问题。
上述两个问题的关键是构造函数，我们有移项构造，即将（不）等式的左边移到右边或
者除到右边（做除法的时候要注意除数是否为 0，对于不等式做除法的时候还要考虑变号的
问题）。第二种方法为参变分析，即将含有参数的放在一边，不含参数（含有变量）的放在
另一边，例如 19年西城一模的导数题，将 的零点情况转化成了 ，
这样就转化成一条平行与 x轴的直线和曲线相交的问题。
不是所有的函数都能用参变分离，如果参变分离后的新函数，求导解决一系列问题反而
变得复杂了，那么我们就不考虑使用参变分离这种方法。
母体模板：已知函数：f（x）＝········
（1）求在点（x0，f（x0））的切线方程
（2）讨论函数的单调性（极值、在某个区间上的最值等）
（3）若函数满足某一条件，求 a的取值范围；
……………………
【例 1】（2018年·北京理）设函数 f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与 x轴平行，求 a；
（Ⅱ）若 f（x）在 x＝2处取得极小值，求 a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得 f（x）的导数，由导数的几何意义可得 f′（1）＝0，解方程可得 a
的值；
（Ⅱ）求得 f（x）的导数，注意分解因式，讨论 a＝0，a＝ ，a＞ ，0＜a＜ ，a＜0，
由极小值的定义，即可得到所求 a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为
f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
由题意可得曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为 0，
可得（a﹣2a﹣1+2）e＝0，且 f（1）＝3e≠0，
解得 a＝1；
（Ⅱ）f（x）的导数为 f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若 a＝0则 x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x＝2处 f（x）取得极大值，不符题意；
若 a＞0，且 a＝ ，则 f′（x）＝ （x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若 a＞ ，则 ＜2，f（x）在（ ，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞， ）递增，
可得 f（x）在 x＝2处取得极小值；
若 0＜a＜ ，则 ＞2，f（x）在（2， ）递减；在（ ，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得 f（x）在 x＝2处取得极大值，不符题意；
若 a＜0，则 ＜2，f（x）在（ ，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞， ）递减，
可得 f（x）在 x＝2处取得极大值，不符题意．
综上可得，a的范围是（ ，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运
算能力，属于中档题．
【例 2】（2017年·北京理）已知函数 f（x）＝excosx﹣x．
（1）求曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求
方程；
（2）求出 f（x）的导数，再令 g（x）＝f′（x），求出 g（x）的导数，可得 g（x）在
区间[0， ]的单调性，即可得到 f（x）的单调性，进而得到 f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数 f（x）＝excosx﹣x的导数为 f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为 k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝1；
（2）函数 f（x）＝excosx﹣x的导数为 f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令 g（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则 g（x）的导数为 g′（x）＝ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）＝﹣2ex?sinx，
当 x∈[0， ]，可得 g′（x）＝﹣2ex?sinx≤0，
即有 g（x）在[0， ]递减，可得 g（x）≤g（0）＝0，
则 f（x）在[0， ]递减，
即有函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值为 f（0）＝e0cos0﹣0＝1；
最小值为 f（ ）＝ cos ﹣ ＝﹣ ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算
能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．