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三　平行四边形、梯形和三角形
一、平行四边形
1.平行四边形的定义。
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
2.平行四边形的基本特征。
平行四边形的两组对边分别平行且相等。
3.长方形、正方形和平行四边形之间的关系。
长方形和正方形同平行四边形一样,都是两组对边分别平行且相等,长方形和正方形具有平行四边形的一切特征,所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形。正方形不仅具备长方形的所有特征,并且四条边都相等,所以正方形是特殊的长方形。
4.平行四边形的特性。
平行四边形具有不稳定性,容易变形。
5.平行四边形的面积。
(1)认识平行四边形的底和高。
从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线,这点到垂足间的线段叫作平行四边形的高,垂足所在的边叫作平行四边形的底。平行四边形有无数条高,一般能画出两种长度的高。
(2)平行四边形的面积。
通过剪拼发现:长方形的面积与平行四边形的面积相等,平行四边形的底等于长方形的长;平行四边形的高等于长方形的宽。
长方形的面积=长×宽
平行四边形的面积=底×高
如果用S表示平行四边形的面积,a和h分别表示平行四边形的底和高,那么平行四边形的面积的字母公式为S=ah。
二、梯形
1.梯形的定义。
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
2.平行四边形和梯形的异同点。
相同点:都是四边形;都有平行的对边。
不同点:平行四边形的两组对边分别平行且相等;梯形只有一组对边平行,且平行的这组对边不相等。
3.认识梯形各部分的名称。
在梯形中,互相平行的一组对边分别叫作梯形的上底和下底;不平行的一组对边叫作梯形的腰。从上底的任意一点向下底引垂线,这点到垂足间的线段叫作梯形的高。
4.认识直角梯形和等腰梯形。
(1)直角梯形。
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。
(2)等腰梯形。
两腰相等的梯形叫作等腰梯形。
等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴;直角梯形不是轴对称图形。
5.梯形的面积。
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于梯形的上、下底之和,高等于梯形的高。每个梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。
平行四边形的面积=(上底+下底)×高,所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。
如果用a、b、h、S分别表示上底、下底、高和面积,则S=(a+b)×h÷2。
6.梯形面积计算公式的应用。
(1)已知梯形的上底、下底和高,可以直接运用梯形的面积公式来计算,即梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。
(2)高=面积×2÷(上底+下底)
上底+下底=面积×2÷高
三、三角形
1.三角形的含义和各部分的名称。
(1)三角形的含义。
由三条线段顺次首尾相接组成的图形叫作三角形。
(2)三角形各部分的名称。
三角形有三条边、三个顶点和三个角。
(3)三角形的特性。
三角形具有稳定性,不易变形。
(4)三角形三条边之间的关系。
三角形任意两边的和大于第三边。
2.三角形的分类。
(1)三角形按角分类:
锐角三角形:三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。
直角三角形:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。
钝角三角形:有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。
(2)三角形按边分类。
不等边三角形:三条边都不相等的三角形叫作不等边三角形。
等腰三角形:有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。
等边三角形:三条边都相等的三角形叫作等边三角形。
(3)等边三角形的三个角都是60°。等边三角形和等腰三角形都是轴对称图形。
(4)拓展提高。
在一个三角形中,相等的边所对的角一定相等;反之,如果两个角相等,那么它们所对的边一定也相等。
3.三角形的内角和。
(1)三角形的内角和定理。
通过观察发现:锐角三角形和钝角三角形各自拼成了一个平角。直角三角形的两个锐角拼起来和它的直角相等,三个角的度数相加的和是180°。
(2)三角形的内角和定理的应用。
已知三角形两个内角的度数,根据三角形的内角和等于180°,用内角和180°连续减去已知的两个角的度数,即可求出第三个角的度数。
在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以直接用90°减去已知锐角的度数,即可求出另一个锐角的度数。
4.三角形的面积。
(1)三角形的底和高。
从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线,顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高,垂足所在的边叫作三角形的底。
任意一个三角形都有三条高。
(2)三角形面积公式的推导。
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
平行四边形的底=三角形的底
平行四边形的高=三角形的高
平行四边形的面积=底×高
三角形的面积=底×高÷2
用S表示三角形的面积,a表示底,h表示高,则S=ah÷2。
(3)三角形面积公式的应用。
三角形的高h=2S÷a　 三角形的底a=2S÷h
四、组合图形
1.认识组合图形。
组合图形是由简单图形组合而成的。
2.组合图形的面积。
计算组合图形的面积时,要根据已知条件对图形进行分解,先转化成已学过的简单图形,分别计算出它们的面积,再求和或求差。
五、千米2和公顷
1.认识千米2和公顷。
(1)千米2和公顷是常用的测量较大土地面积的计量单位。
(2)边长是100米的正方形的面积是1公顷;边长是1千米(1000米)的正方形的面积是1千米2。
2.公顷和千米2之间的进率。
1公顷=10000米2　1千米2=100公顷=1000000米2
3. 千米2、公顷、米2之间的换算方法。
千米2换算成公顷,把小数点向右移动两位,反之,向左移动两位;公顷换算成米2,把小数点向右移动四位,反之,向左移动四位;千米2换算成米2,把小数点向右移动六位,反之,向左移动六位。
重点提示:
在拉动长方形的过程中,长方形的形状改变,但两组对边的长度不变。
易错题:
平行四边形的对边一定相等,邻边一定不相等。( ??)
错解分析:此题错在对平行四边形的特征理解不准确,平行四边形一定具备对边相等的特征,但对邻边没有要求,所以平行四边形的邻边也可以相等。
正确答案:?

重点提示:
平行四边形的底和高是一组相互依存且对应的概念(底边上的高,高所对应的底)。
易错题:周长相等的两个平行四边形,面积也相等。(√)
错解分析:平行四边形的面积是由底和高共同决定的,两个平行四边形的周长相等,它们的底和高的乘积却不一定相等,因此面积不一定相等。
正确答案:?
　　
　　易错题:有一组对边平行的四边形是梯形。(√)
错解分析:此题错在没有掌握梯形的特征。“有一组对边平行”和“只有一组对边平行”要注意区分,题中没有强调“只有一组对边平行”,所以是错的。
正确答案:?
重点提示:
一个直角梯形有两个直角。
要点提示:
等腰梯形的两腰相等,两个底角也相等。
易错题:
两个面积相等的梯形一定可以拼成一个平行四边形。(√)
错解分析:两个梯形面积相等,上底、下底和高不一定相等,所以面积相等的梯形不一定能拼成平行四边形。完全相同的两个梯形才能拼成一个平行四边形。
正确答案:?
　　
易错题:由三条线段组成的图形叫作三角形。(√)
错解分析:由三条线段组成的图形不一定都是三角形,由三条线段顺次首尾相接组成的封闭图形才是三角形。
正确答案:?
重点提示:
在一个三角形中至少有两个角是锐角。
易错提示:
等边三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形。
易错题:
三角形中两个锐角的度数和一定大于90°。(√)
错解分析:这个结论只适用于锐角三角形,在直角三角形和钝角三角形中不成立。
正确答案:?

点拨:
钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°,直角三角形中两个锐角的度数和等于90°。
画法提示:
画高时必须由顶点向它的对边画垂线,当对边不够长时,可以画虚线将对边延长。所画的高用虚线表示,并标上直角符号。
易错题:
三角形的面积等于平行四边形面积的一半。(√)
错解分析:此题错在没有强调三角形与平行四边形等底等高这一条件。
正确答案:?
　　
提示:
计算每个简单图形的面积时,要找准对应的数据。
　　
　　方法提示:
由高级单位换算成低级单位,要乘进率;由低级单位换算成高级单位,要除以进率。

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