资源简介

功和功率
1
功
　　(1)定义:一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生了一段位移,就说这个力对物体做了功。
(2)必要因素:①物体受力的作用。②物体在力的方向上发生了位移。
(3)物理意义:功是能量转化的量度。功只有大小,没有方向。
(4)计算公式
①恒力F的方向与位移l的方向一致时:W=Fl。
②恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时:W=Flcos α。
(5)功的性质
①功是过程量:做功必定对应一个过程(位移),应明确是哪个力在哪一过程中做的功。
②功是标量,没有方向,但有正负。其正负表示力在做功过程中所起的作用。正功表示动力做功(此力对物体的运动有推动作用),负功表示阻力做功。正负并不表示功的方向,也不是数量上的正与负。
(6)功的单位
在国际单位制中,功的单位是焦耳,简称焦,符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移所做的功,即1 J=1 N·m。
1.1(2019太原市第五中学模拟)(多选)物体静止在倾角为θ的斜面上,斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s,如图所示,物体相对斜面静止。则下列说法正确的是(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.重力对物体做正功 B.合力对物体做功为零
C.摩擦力对物体做负功 D.支持力对物体做正功
【答案】BCD
1.2(2018辽宁沈阳市第二中学模拟)如图所示的a、b、c、d中,质量为M的物体甲受到相同的恒力F的作用,在力F作用下使物体甲在水平方向移动相同的位移。μ表示物体甲与水平面间的动摩擦因数,乙是随物体甲一起运动的小物块,比较物体甲移动的过程中力F对物体甲所做的功的大小(　　)。
A.Wa最小 B.Wd最大
C.Wa>Wc D.四种情况一样大
【答案】D
2
功率
　　(1)定义:功与完成这些功所用时间的比值。
(2)公式
①P=Wt,P为时间t内物体做功的快慢。此为功率的定义式。
②P=Fv
若v为平均速度,则P为平均功率。
若v为瞬时速度,则P为瞬时功率。
当力F和速度v不在同一直线上时,可以将力F分解或者将速度v分解,即P=Fvcos θ。
(3)额定功率和实际功率
①额定功率是发动机在正常工作时的最大功率,通常都在铭牌上标明。额定功率是动力机器重要的性能指标,一个动力机器的额定功率是一定的。
②实际功率是发动机实际工作时输出的功率。机器工作时受额定功率的限制,发动机实际输出的功率(实际功率),可以小于或等于额定功率,有时实际功率也会略大于额定功率,但不允许长时间超过额定功率。
2.1(2019江苏南京开学月考)质量为2 kg的小铁球从某一高度由静止释放,经3 s到达地面,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。则(　　)。
A.2 s末重力的瞬时功率为200 W
B.2 s末重力的瞬时功率为400 W
C.2 s内重力的平均功率为100 W
D.2 s内重力的平均功率为400 W
【答案】B
2.2(2018湖北武汉12月模拟)(多选)一辆汽车在水平公路上行驶,设汽车在行驶过程中所受阻力不变,汽车的发动机始终以额定功率输出。关于牵引力和汽车速度,下列说法中正确的是(　　)。
A.汽车加速行驶时,牵引力不变,速度增大
B.汽车加速行驶时,牵引力增大,速度增大
C.汽车加速行驶时,牵引力减小,速度增大
D.当牵引力等于阻力时,速度达到最大值
【答案】CD
题型一
变力做功的计算
　　1.用微元法求变力做功
将物体的运动过程分割成许多小段,因每小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做的功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做的功的代数和。
2.化变力为恒力
变力做功直接求解时,往往都比较复杂,若通过转换研究对象,有时可以化为恒力,用W=Flcos α求解。此方法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
3.利用平均力求变力做功
在求解变力做功时,若物体受到的力的方向不变,而大小随位移呈线性变化,即力均匀变化时,则可以等效为物体受到一大小为F=F1+F22的恒力做功,F1、F2分别为物体初、末状态所受到的力,然后用公式W=Flcos α求此力所做的功。
4.利用F-x图象求变力做功
在F-x图象中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负。
5.利用W=Pt求变力做功
这是一种等效代换的观点,用W=Pt计算功时,必须满足变力的功率是一定的这一条件。
6.利用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动;既适用于求恒力做功,也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功,是求变力做功的一种方法。
【例1】轻质弹簧右端固定在墙上,左端与一质量m=0.5 kg的物块相连,如图甲所示,弹簧处于原长状态,物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ=0.2。以物块所在处为原点,以水平向右为正方向建立x轴,现对物块施加水平向右的外力F,F随x轴坐标变化的情况如图乙所示,物块运动至x=0.4 m处时速度为零,则此时弹簧的弹性势能为(重力加速度g=10 m/s2)(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3.1 J B.3.5 J C.1.8 J D.2.0 J
【解析】物块与水平面间的摩擦力Ff=μmg=1N。现对物块施加水平向右的外力F,由F-x图线与x轴所围“面积”表示功可知F做功W=3.5J,克服摩擦力做功Wf=Ffx=0.4J。由于物块运动至x=0.4m处时,速度为0,由功能关系可知,W-Wf=Ep,此时弹簧的弹性势能Ep=3.1J,A项正确。
【答案】A
　　计算变力做功的方法选取
“微元法”在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。“化变力为恒力”的方法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。“图象法”只适用于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。用平均力求变力的功只适用于力是线性变化的问题。
　　【变式训练1】(2019河南省扶沟县高中模拟)如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2,图中AB=BC,则(　　)。
A.W1>W2
B.W1C.W1=W2
D.无法确定W1和W2的大小关系
【解析】拉力F为恒力,W=F·Δl,Δl为绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移,大小等于滑轮左侧绳长的缩短量,由图可知,ΔlAB>ΔlBC,故W1>W2,A项正确。
【答案】A
【变式训练2】(2018浙江宁波10月模拟)(多选)如图所示,摆球质量为m,悬线长为L,把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变,则下列说法正确的是(　　)。
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力F阻做功为-mgL
D.空气阻力F阻做功为-12F阻πL
【解析】由重力做功特点可知重力做功WG=mgL,A项正确;悬线的拉力始终与摆球的运动方向垂直,不做功,B项正确;由微元法可得空气阻力做功WF阻=-12F阻πL,D项正确。
【答案】ABD
题型二
机车启动问题
　　1.两种启动方式的比较
两种
方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t图象和v-t图象
OA
段
过程
分析
v↑?F=Pv↓?a=F-F阻m↓
a=F-F阻m不变?F不变?v↑P=Fv↑直到P额=Fv1
运动
性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动,维持时间t0=v1a
AB
段
过程
分析
F=F阻?a=0?vm=PF阻
v↑?F=P额v↓?a=F-F阻m↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F=F阻?a=0?以vm=P额F阻做匀速运动
　　2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=PF阻。
(2)机车以恒定加速度启动时,匀加速过程结束后功率最大,速度不是最大,即v=PF(3)机车以恒定功率运行时,牵引力做的功W=Pt,由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk,此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。
【例2】质量为1.0×103 kg的汽车,沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动,汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2000 N,汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W,开始时汽车以a=1 m/s2的加速度做匀加速运动。(重力加速度g=10 m/s2)
(1)求汽车做匀加速运动的时间t1。
(2)求汽车所能达到的最大速率。
(3)若斜坡长143.5 m,且认为汽车到达坡顶时恰好达到最大速率,则汽车从坡底到坡顶需多长时间?
【解析】(1)由牛顿第二定律得
F-mgsin30°-Ff=ma
设匀加速过程的末速度为v,则有P=Fv
v=at1
解得t1=7s。
(2)当达到最大速度vm时,a=0,则有
P=(mgsin30°+Ff)vm
解得vm=8m/s。
(3)汽车做匀加速运动的位移x1=12at12
在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2-(mgsin30°+Ff)x2=12mvm2-12mv2
又x=x1+x2
解得t2≈15s
故汽车运动的总时间t=t1+t2=22s。
【答案】(1)7s　(2)8m/s　(3)22s
　　解决机车启动问题的3个注意:
(1)在机车功率P=Fv中,F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力,所以P=Ffvm只体现了一种数量关系,即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
　　(2)以恒定功率启动的过程一定不是匀加速运动,匀变速直线运动的公式不再适用,启动过程发动机做的功可用W=Pt计算,不能用W=Fl计算(因为F为变力)。
(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间,之后又要经历非匀变速直线运动,所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间,切不可生搬硬套。
【变式训练3】(2018河北威县一中开学月考)(多选)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动,最后做匀速直线运动的过程中,其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象,其中正确的是(　　)。
【解析】汽车从静止开始匀加速启动,由公式P=Fv及题意知,当力恒定时,随着速度的增加功率P增大,当P=P额时,功率不再增加,此时牵引力F大于阻力f,速度继续增加,牵引力减小,此后汽车做加速度逐渐减小的加速运动,当F=f时,速度达最大,加速度为零,做匀速直线运动,B项错误,A、C、D三项正确。
【答案】ACD
1.(2018河南商丘市统考)图甲为一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼,图乙为一男士站立在履带式自动扶梯上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功的情况判断正确的是(　　)。
甲　　　　　　　　乙
A.甲图和乙图中支持力都对人做正功
B.甲图和乙图中摩擦力对人做负功
C.甲图和乙图中重力对人不做功
D.甲图和乙图中人所受的合力都不做功
【解析】根据做功的两因素,力和在力的方向上的位移,甲图中支持力方向竖直向上且在竖直方向上有位移,所以支持力做了正功,乙图中在支持力方向上没有位移,因此支持力没有做功,A项错误;甲图中人没有受到摩擦力,因此没有摩擦力做功,乙图中摩擦力对人做正功,B项错误;两人的重力与位移之间的夹角大于90°,所以都做负功,C项错误;甲图和乙图中人都匀速运动,合力不做功,D项正确。
【答案】D
2.(2018四川成都12月月考)一个质量为m的小球做自由落体运动,那么,在前t秒内重力对它做功的平均功率P?及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为(t秒末小球未着地)(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.P?=mg2t2,P=12mg2t2 B.P?=mg2t2,P=mg2t2
C.P?=12mg2t,P=mg2t D.P?=mg2t,P=2mg2t
【解析】前t秒内重力做功的平均功率P?=Wt=mg·12gt2t=12mg2t;t秒末重力做功的瞬时功率P=Fv=mg·gt=mg2t,故C项正确。
【答案】C
3.(2018贵州遵义高三模拟)提高物体(例如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设阻力与物体运动速率的平方成正比,即Ff=kv2,k是阻力因数)。当发动机的额定功率为P0时,物体运动的最大速率为vm,如果要使物体运动的速率增大到2vm,则下列办法可行的是(　　)。
A.阻力因数不变,使发动机额定功率增大到2P0
B.发动机额定功率不变,使阻力因数减小到k4
C.阻力因数不变,使发动机额定功率增大到8P0
D.发动机额定功率不变,使阻力因数减小到k16
【解析】物体匀速运动时,牵引力与阻力相等,有P=Fvm=Ffvm=kvm3,要使物体运动的速率增大到2vm,阻力因数不变时,需要使发动机额定功率增大到8P0,A项错误,C项正确;发动机额定功率不变时,需要使阻力因数减小到k8,B、D两项错误。
【答案】C
4.(2019江西南昌1月模拟)(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上,从t=0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示,力的方向保持不变,则(　　)。
A.3t0时刻的瞬时功率为5F02t0m
B.3t0时刻的瞬时功率为15F02t0m
C.在0~3t0这段时间内,水平力的平均功率为23F02t04m
D.在0~3t0这段时间内,水平力的平均功率为25F02t06m
【解析】根据F-t图线可知,在0~2t0时间内的加速度a1=F0m,2t0时刻的速度v2=a1·2t0=2F0mt0,0~2t0时间内位移x1=v22·2t0=2F0mt02,故0~2t0时间内水平力做的功W1=F0x1=2F02mt02;在2t0~3t0时间内的加速度a2=3F0m,3t0时刻的速度v3=v2+a2t0=5F0mt0,故3t0时刻的瞬时功率P3=3F0v3=15F02t0m,在2t0~3t0时间内位移x2=v2+v32·t0=7F0t022m,故2t0~3t0时间内水平力做的功W2=3F0x2=21F02t022m,因此在0~3t0时间内的平均功率P=W1+W23t0=25F02t06m,B、D两项正确。
【答案】BD
5.(2018安徽太和县第二中学高三模拟)(多选)高速公路上的下坡路段刹车失灵时车辆可以驶离行车道,转入行车道外侧增设的安全减速专用斜坡避险车道(如图甲所示),某避险车道的斜坡与水平面的夹角为37°,斜坡长50 m,某汽车进入该避险车道入口时速度为 90 km/h,假设汽车动力为零,所受摩擦阻力为车重的310,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则(　　)。
甲
A.该车上滑到速度为零所用的时间为10 s
B.无论该车的质量如何,汽车上滑至速度为零所用的时间都相同
C.该车上滑到速度为零的过程中,重力的平均功率为摩擦阻力的平均功率的2倍
D.若该车进入斜坡时的速度为108 km/h,则汽车恰好可到达斜坡顶端
【解析】该汽车的初速度v0=90km/h=25m/s,受力分析如图乙所示,由受力分析得mgsin37°+0.3mg=ma,解得a=9m/s2,根据公式v=v0-at得t=259s,A项错误。由受力分析可知,无论该车的质量如何,加速度都相同,所以上滑至速度为零所用的时间都相同,B项正确。由受力分析可知,在车上滑过程中重力沿斜面的分力为摩擦阻力的2倍,做功也为摩擦阻力的2倍,所以重力的平均功率为摩擦阻力的平均功率的2倍,C项正确。v0'=108km/h=30m/s,由公式2ax=v0'2-v2可得该汽车速度减为零时x=50m,D项正确。
乙
【答案】BCD
6.(2018湖南岳阳11月质检)如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块的质量为m,滑轮O到竖直杆的距离为d,∠OAO'=37°,∠OCO'=53°,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)拉力F的大小。
(2)滑块由A到C过程中拉力F做的功。
【解析】(1)对滑块进行受力分析,其到C点时速度最大,则其所受合力为零,根据共点力的平衡条件,有
Fcos53°=mg
解得F=53mg。
(2)由能量的转化与守恒可知,拉力F对绳端点做的功就等于绳的拉力F对滑块做的功
滑轮与A点间绳长L1=dsin37°
滑轮与C点间绳长L2=dsin53°
滑轮右侧绳子增大的长度
ΔL=L1-L2=dsin37°-dsin53°=5d12
拉力做功W=FΔL=2536mgd。
【答案】(1)53mg　(2)2536mgd
1.(2018全国卷Ⅲ,19)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程,(　　)。
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
【解析】由图线①知,上升总高度h=v02·2t0=v0t0。由图线②知,加速阶段和减速阶段上升高度和h1=v022·t02+t02=14v0t0,匀速阶段有h-h1=12v0·t',解得t'=32t0。故第②次提升过程所用时间为t02+32t0+t02=52t0,两次上升所用时间之比为2t0∶52t0=4∶5,A项正确。由于加速阶段加速度相同,故加速时牵引力相同,B项错误。在加速上升阶段,由牛顿第二定律知,F-mg=ma,F=m(g+a)。第①次在t0时刻,功率P1=F·v0,第②次在t02时刻,功率P2=F·v02,第②次在匀速阶段P2'=F'·v02=mg·v02【答案】AC
2.(2017全国卷Ⅱ,14)如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环,小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力(　　)。
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心
【解析】因大圆环光滑,它对小环没有摩擦力,只有相互作用的弹力,而弹力总跟接触面垂直,且小环的速度总是沿大圆环的切线方向,故弹力一直不做功,A项正确,B项错误;当小环位于圆心上方时,FN沿半径向外,当小环位于圆心下方时,FN沿半径向里,故C、D两项错误。
【答案】A
3.(2016全国卷Ⅱ,19)(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成,甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落,假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比,与球的速率无关。若它们下落相同的距离,则(　　)。
A.甲球用的时间比乙球用的时间长
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
【解析】设f=kR,则由牛顿第二定律得F合=mg-f=ma,又m=43πR3ρ,故a=g-k43πR2ρ,由m甲>m乙、ρ甲=ρ乙可知R甲>R乙,则a甲>a乙,故C项错误;因甲、乙位移相同,由v2=2ax可知,v甲>v乙,B项正确;由x=12at2可知,t甲f乙,则W甲克服>W乙克服,D项正确。
【答案】BD
4.(2015全国卷Ⅱ,17)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时,发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中,可能正确的是(　　)。
【解析】0~t1时间内,功率P1不变,这一段时间如果汽车做匀速运动,那么速度v1=P1f,在 t1时刻功率突然变大,则牵引力突然变大,牵引力大于阻力,则汽车的速度增加,由P2=Fv可知,v增加时F减小,故汽车应做加速度减小的加速运动直至匀速,C项错误;如果0~t1时间内汽车加速,由P1=Fv可知0~t1时间内汽车应做加速度减小的加速运动直至匀速,故A项正确,B、D两项错误。
【答案】A

展开更多......

收起↑