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一　大数知多少——万以上数的认识
　一、万以上数的认识
1. 按照我国的计数习惯,从右边起,每4个数位是一级。
(1)个级包括个位、十位、百位、千位,个级表示多少个“一”; 万级包括万位、十万位、百万位、千万位,万级表示多少个“万”; 亿级包括亿位、十亿位、百亿位、千亿位,亿级表示多少个“亿”。
(2) 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
(3)每相邻两个计数单位间的进率都是10,这种计数方法叫作十进制计数法。
2. 数位顺序表。
数级
……
亿级
万级
个级
数位
……
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个
位
计数
单位
……
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一
(个)
　　3. 十进制计数法。
10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单位间的进率都是10,这种计数方法叫作十进制计数法。　
4. 数位。
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫作数位。
二、万以上数的读写
1. 万以上数的读法。
先把数分级,再从最高位读起,一级一级地读。读亿级或万级时,先按照个级的读法来读,再在后面添一个“亿”字或“万”字。每一级的首位或中间有一个0或连续几个0,都只读一个“零”,每一级末尾不管有几个0,都不读出来。
2. 万以上数的写法。
从最高位写起,先写亿级,再写万级,最后写个级。哪一位上是几,就在那一位上写几;哪一位上一个计数单位也没有,就在那一位上写0占位。
三、万以上数的大小比较
两个数的大小比较的方法。　
1. 如果位数不同,位数多的那个数就大,位数少的那个数就小;
2. 如果位数相同,就从最高位开始比较,最高位上的数字大的那个数就大;如果最高位上的数字相同,就比较下一位上的数字,直到比较出大小为止。
四、整万、整亿数的改写
1. 把整万数改写成用“万”作单位的数,把万位后面的4个0去掉,同时在后面添上一个“万”字即可。　
2. 把整亿数改写成用“亿”作单位的数,把亿位后面的8个0去掉,同时在后面添上一个“亿”字即可。
五、近似数与精确数　　
1. 有些数的前面有一个“约”字,它们不是精确数,但与精确数接近,像这样的数我们称为“近似数”。　
2. “四舍五入法”:在取近似数的时候,按要求保留到哪一位,这一位后面的数称为“尾数”。如果尾数的最高位上的数字小于5,就把尾数直接舍去。如果尾数的最高位上的数字大于或等于5,就把尾数舍去并向它的前一位进“1”,这种取近似数的方法叫作“四舍五入法”。
3. 省略万位或亿位后面的尾数求近似数,就是用“四舍五入法”,把一个数精确(保留)到万位或亿位,求它的近似数。
4. (1)把非整万的数改写成用“万”作单位的近似数,就看千位上的数是几,再决定是“四舍”还是“五入”。　
(2)把非整亿的数改写成用“亿”作单位的近似数,就看千万位上的数是几,再决定是“四舍”还是“五入”。　
(3)不管是改写成用“万”还是用“亿”作单位的近似数,写近似数时都要用约等号(≈)连接,末尾还要添上“万”字或“亿”字。　
5. 求近似数和数的改写的异同。
相同点:求近似数和数的改写都是把一个较大的数表示成整万或整亿的数,后面都要添一个“万”字或“亿”字。　
不同点:求近似数是把一个数变成一个近似数,数的大小发生了变化;而数的改写只是把一个大数写成了用“万”或“亿”作单位的数,数的大小没有发生变化。
六、数字编码
1. 数不仅可以用来表示数量和顺序,还可以用来编码。编码中的数字代表着一定的意义。编码具有有序性。
2. 身份证号码的意义。
第一、二位省、自治区、直辖市代码;
第三、四位地级市、盟、自治州代码;
第五、六位县、县级市、区代码;
第七至十四位出生年月日,比如19670401代表1967年4月1日出生;
第十五至十七位为顺序号,其中第十七位(倒数第二位)男为单数,女为双数;
第十八位为校验码,0-9和X。作为尾号的校验码,是由把前十七位数字带入统一的公式计算出来的,计算的结果是0-10,如果某人的尾号是0-9,都不会出现X,但如果尾号是10,那么就得用X来代替,因为如果用10做尾号,那么此人的身份证号码就变成了十九位。X是罗马数字的10,用X来代替10。
3. 我国邮政编码的编码规则。
我国采用四级六位编码制,前两位表示省、直辖市、自治区;前三位代表邮区;前四位代表县、市;最后两位代表投递邮局,代表从这个城市哪个投递区投递的,即投递区的位置。
4. 用数字编码时要把所提供的信息读明白再完成,如某学校四年级八班学号为12号的学生的编号为40812,请你为五年级二班学号为9号的学生设计编码(50209),不要写成(5209)。
七、典例讲解
1. 下面算盘上拨出的数是多少?写一写,读一读。
//
思路分析:看清算盘的个位是哪一位,每一位上分别有几个上珠,几个下珠,一个上珠表示5,一个下珠表示1。
答案:
250781369　 二亿五千零七十八万一千三百六十九　　
73062000305　 七百三十亿六千二百万零三百零五
2. 2013年年初以来,我国发生大范围持续雾霾天气,通过四舍五入估计约有6亿人受影响。受影响的最多有(　　　　　)人,最少有(　　　　　　　　　 )人。
思路分析:如果是通过“四舍”得到的6亿,那么这个数千万位上的数是0、1、2、3、4中的一个,把这个数舍去尾数后是6亿,原数就比6亿大;如果是通过“五入”得到的,那么这个数千万位上的数是5、6、7、8、9中的一个,这个数是5亿多。而6亿多比5亿多大,因此,要求的最大数是通过“四舍法”求得近似数的,那么这个数千万位上最大是4,其他数位上最大都是9,那么这个数最大是649999999;要求的最小数是通过“五入法”求得近似数的,那么这个数千万位上最小是5,其他数位上最小都是0,那么这个数最小是550000000。
答案:649999999　 550000000
3. 用0、0、0、0、1、3、5、8、9这9个数字,按要求组成九位数。
(1)约等于10亿的最小九位数(　　　　　　　　　　)。
(2)约等于9亿的最大九位数(　　　　　　　　　　 )。
思路分析:(1)约等于10亿的最小九位数,要最小,说明这个九位数用“五入法”求近似数约是10亿,这个数的最高位上是9,千万位上的数大于或等于5,要最小,应该是5,1、3、8按照从小到大的顺序分别写在百位、十位和个位上,其他各位上都是0,这个数是950000138。(2)约等于9亿的最大九位数,要最大,说明这个九位数用“四舍法”求近似数约是9亿,这个数的最高位上是9,千万位上的数小于5,且是1、3中最大的,只能是3,接下来三位上分别是8、5、1,其他各位上都是0,这个数是938510000。
答案:(1)950000138　　(2)938510000
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10个十万是一百万,10个一百万是一千万,10个一千万是一亿。整数没有最大的计数单位。
计数单位与数位的区别:
计数单位是指计算物体个数的单位;数位是指一个数中每个数字所占的位置。
易错点:
计数单位之间的进率都是10,这是不对的,一定要注意“相邻”二字。
读数方法可以概括为一句话:
“一画二看三说四读”。
“一画”是指从右边起,按每四位一级画虚线;“二看”是指看这个数包含哪几级;“三说”是指说出最高位上是几;“四读”是指读出这个数。
读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。如97000000读作:九千七百万,而不是9千7百万。
大数比较数位数,位数相同看首位;首位相同比下位。
数的改写不改变数的大小。
“≈”是约等号,读作“约等于”。
在取近似数的时候,按要求保留到哪一位,这一位后面的数称为“尾数”。
易错点:
只有整亿的数改写成用“亿”作单位的数时,才可以用“=”连接,而非整亿的数改写后是一个近似数,要用“≈”连接。
编码都是有规律的。
数不仅可以用来表示数量和顺序,还可以用来编码。
编码中的数字代表着一定的意义。
注意身份证号码的位数是十八位。
　　
　
例如:邮政编码“130021”中“13”代表吉林省,“00”代表省会长春,“21”代表所在投递区。
用算盘记数的方法:
先找出个位,根据一个上珠表示5,一个下珠表示1进行读数。
用“四舍五入法”求亿以上数的近似数。用“五入法”可以找出最小的数,用“四舍法”可以找出最大的数。
解决此题运用亿以上数的近似数和亿以上数的大小比较的方法,结合给出的数字采取“四舍法”或“五入法”进行组数。
二　繁忙的工地——线和角
　一、线段、射线和直线
1. 认识线段、射线和直线。
(1)直线上两点间的一段叫作线段。线段是直线的一部分。
(2)把线段的一端无限延长,就得到一条射线。
2. 线段、射线和直线的特点。
(1)线段有两个端点,不能向两端无限延长,可以度量长度。
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读作 :线段AB或线段BA。
(2)射线有一个端点,可以向一端无限延长,不能度量长度,过一点可以画无数条射线。
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读作:射线AB(只有一种读法,从端点读起),不能度量。
(3)直线没有端点,可以向两端无限延长,不能度量长度。读作:直线AB或直线BA。
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3. 画直线的方法。
过一点可以画无数条直线(或射线或线段); 过两点只能画一条直线;过三点,如果三点不在一条线上,过三点不能画一条直线; 如果三点在同一条直线上,可以画出一条直线。
两点间的所有连线中,线段最短。
4. 数线段和射线的方法。
线段数=点数×(点数-1)÷2, 射线数=点数×2
二、角　
1. 角的定义。
从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这个点叫作角的顶点,这两条射线叫作角的边。角通常用符号“∠”来表示,不同的角加数字区分,如“∠1”读作:“角一”。
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2. 角的组成。
角是由1个顶点、2条边组成的,它的两条边都是射线。
3. 认识度。
把半圆平均分成180份,每一份所对的角就是1度的角,记作1°。
4. 认识量角器。
量角器是把半圆平均分成180份,一份表示1度。量角器上有中心点、0°刻度线、内圈刻度线和外圈刻度线。
5. 量角器的使用方法。
“两合一看”,“两合”是指中心点与角的顶点重合;0°刻度线与角的一条边重合。“一看”就是要看角的另一条边所对的量角器的刻度。看角的度数时要注意是看外圈刻度还是内圈刻度。
6. 用量角器画指定度数的角的方法。
画一条射线,中心点对准射线的端点,0°刻度线对准射线(两合),对准量角器相应的刻度点一个点(一看),连接点和射线的端点,然后标出角的度数。
7. 角的大小比较的方法
角的大小与角的两条边画出的长短没有关系。角的大小要看两条边张开的角度,张开得越大,角越大。　
8. 角的画法:一画线,二量角,三连线,四标注。 一副三角板可以画出的角的度数是15的倍数。
9. 角的测量方法。
量角时,要先把量角器的中心点与角的顶点重合,把量角器的0°刻度线与角的一条边重合,角的另一条边所对量角器的刻度,就是角的度数。　
10. 认识平角、周角。
平角:角的两边在同一直线上,平角等于180°,等于两个直角。
周角:角的两边重合,(像一条射线),周角等于360°,等于两个平角,四个直角。
11. 角的分类。　
(1)锐角:小于90°的角叫作锐角。
(2)直角:等于90°的角叫作直角。　
(3)钝角:大于90°而小于180°的角叫作钝角。　
(4)平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫作平角。平角等于180°。　
(5)周角:角的一边绕顶点旋转一周,与另一边重合。周角是360°。
12. 角之间的关系。
1平角=2直角　　　1周角=2平角=4直角
从大到小的顺序排列: 周角> 平角> 钝角 >直角>锐角。
13. 角的应用。
在钟面的整时中, 3时、9时时分针与时针组成的角是直角;6时时分针与时针组成的角是平角;12时时分针与时针组成的角是周角;1时、2时、10时、11时时分针与时针组成的角是锐角;4时、5时、7时、8时时分针与时针组成的角是钝角。
三、典例讲解
1. 数一数,下图中的直角、锐角和钝角各有多少个?
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思路分析:根据直角、锐角和钝角的意义数一数。根据图和直角的意义可数出:
(1)直角有5个;
(2)锐角有14个;
(3)钝角有4个。
答案:直角、锐角和钝角分别有5个、14个、4个。
2. 如下图,已知:∠1=30°,求∠2和∠3的度数。
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思路分析:根据直角的定义可求∠2的度数,明确直角等于90°,平角等于180°。
答案:∠2=90°-∠1=90-30°=60°
∠3=180°-∠2=180°-60°=120°
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线段、射线和直线的区别:线段有两个端点;射线只有一个端点;直线没有端点。
线段可以度量长度,直线和射线都不可以度量长度。如直线长4厘米是错误的,只有线段才能有具体的长度。
两点确定一条直线。
两点之间的距离,线段比曲线、折线要短。
组成角的两条射线有公共端点。
通常用“°”作为度量角的单位。
度量角的工具是量角器。　
角的开口向左看外圈刻度线,角的开口向右看内圈刻度线。
比较角的大小,开口大小是关键。
要画的角是30度、60度、90度、45度、75度、105度、135度、120度和150度,用三角板比较方便。
平角的两条边成一条直线,周角的两条边重合。
大于180°小于360°的角叫作优角。
周角最大,锐角最小。
工程师用的角尺、大吊车等都用到了角。
解决此类问题的根据是直角、锐角和钝角的定义,找出本题角的特征,数一数。
解决此类问题时,要利用平角、直角的定义及角与角之间的关系进行解答,如∠1和∠2组成一个直角;∠2和∠3组成一个平角。
三　保护大天鹅——三位数乘两位数
　一、整数乘法
1. 整百数乘整十数的口算。
先把0前面的数相乘,再看因数末尾一共有几个0,就在所得的积的末尾添几个0。
如600×30,先算6×3=18,再看因数中一共有3个0,就在18的后面添3个0,即600×30=18000。　
2. 几百几十数乘整十数的口算。
先把0前面的数相乘,再看因数末尾一共有几个0,就在所得的积的末尾添几个0。
如240×30,先算24×3=72,再看因数中一共有2个0,就在72的后面添2个0,即240×30=7200。　
3. 笔算三位数乘两位数的方法。
(1)用两位数个位上的数去乘三位数,乘得的积的末位和两位数的个位对齐;用两位数十位上的数去乘三位数,乘得的积的末位和两位数的十位对齐;把两次乘得的积加起来。
(2)因数末尾有0的乘法:写竖式时把0前面的数对齐,只乘0前面的数;两个因数末尾一共有几个0,就在所得的积的末尾添几个0。
(3)因数中间有0时,用0乘这一步可以省略。但要注意用因数哪一位上的数乘,乘得的积的末位就要和那一位对齐。
如
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4. 乘法的基本估算方法。
(1)把两个因数都看作与其接近的整十、整百数,再口算出结果。要根据实际,选择不同的估算方法。
(2)乘法估算的关键在于如何对两个因数进行估算。什么时候应该估大一点,什么时候应该估小一点,应该根据实际情况而定,不能机械地采用“四舍五入法”取近似值。　
(3)估算的方法及注意事项。
要将因数估成整十、整百或整千的数。估算时注意,要符合实际,结果要接近精确值。
(4)应用题中的估算。
在解决问题时,题目的条件常常会给估算带来限制,要分清什么时候只能估大,什么时候只能估小。
如四年级的同学去秋游。每套车票和门票49元,一共需要104套票。老师应该准备多少钱买票?　
因为是带钱买票的问题,所以钱一定要带够,只能估大。因为把49看成50已经很好算了,再把104估大差距就更大了,所以只把49看成50进行估算。　　
5. 积的变化规律。
在乘法中,一个因数不变,另一个因数乘(除以)几(0除外),得到的积就等于原来的积乘(除以)几。
二、典例讲解
1. 一个因数不变,另一个因数乘(除以)几(0除外),得到的积就等于原来的积乘(除以)几。
例1: 已知 A×B=215,则A×B×2=(　　)。
这是把B扩大到原来的2倍,而积也应扩大到原来的2倍,即215×2=430,所以A×B×2=(430)。
例2: 已知2×A×B=200,则A×B=(　　)。
这是A除以2,而积也应除以2,即200÷2=100,所以A×B=(100 )。
2. 一个因数乘(除以)一个数(0除外),另一个因数除以(乘)同一个数,积不变。
例3: 已知A×B=510,如果A乘5,B除以5,则积是( 510 )。
3. 一个因数乘m,另一个因数乘n, 则积乘m×n。
4. 一个因数除以m,另一个因数除以n(m、n都不为0), 则积除以m×n。
5. 一个因数乘m,另一个因数除以n(m、n都不为0), 如果m>n,则积乘(m÷n)。如果m/
口算时要特别注意因数末尾有0的算式,得数不要丢掉0。
计算三位数乘两位数还可以运用拆分法,把两位数拆分成两个一位数相乘的积。
计12×145时,先算145×10=1450,再算145×2=290,最后计算1450+290=1740。
估算时把握三个原则:①计算简便。②结果接近精确值。③如果是解决实际问题,还要注意结合实际考虑,同时一定注意用“≈”连接,估算结果不唯一。
提示:估算在应用题中的标志词是“大约”。
一个因数不变,另一个因数不断变大,积也不断变大。
一个因数不变,另一个因数不断变小,积也不断变小。
一个因数不变,另一个因数乘几,积也乘几。
一个因数不变,另一个因数除以几(0除外),积也除以几。
四　交通中的线——平行与相交
一、两条直线的位置关系
1. 同一平面内两条直线的位置关系有平行和相交两种。
2. 平行的定义。　
在同一平面内不相交的两条直线互相平行。直线a平行于直线b,直线b也平行于直线a。
　　 a　　　　　?
　　 b　　　　　?
3. 平行的性质。
过直线外一点只能画出一条直线与已知直线平行。
两条平行线之间的垂直线段有无数条,长度都相等。
4. 垂直的定义。
两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的垂线,两条直线的交点叫作垂足。
5. 垂直的性质。
过一点(直线上或直线外)只能画出一条直线与已知直线垂直。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,它的长度叫作点到直线的距离。
二、画图方法
1. 画垂线的方法。
(1)合——重合,三角板的一条直角边与已知直线重合;
(2)移——平移,将三角板沿着已知直线的方向向已知点平移,使三角板的另一条直角边经过该点;
(3)画——沿着另一条直角边过该点画直线;
(4)标——标出直角符号。
2. 画平行线的方法。
(1)合——重合,三角板的一条直角边(较长)与已知直线重合;
(2)靠——将直尺靠在三角板的另一条直角边(较短)上;
(3)移——平移,将三角板沿着直尺的方向向已知点平移,使直角边(较长)经过已知点;
(4)画——沿着三角板较长的直角边画直线,所画的直线就是已知直线的平行线。
3. 画图的题型。
(1)过直线上一点画已知直线的垂线。
(2)过直线外一点画已知直线的垂线和平行线。
(3)量一量点到直线的距离——先画出垂直线段,再测量长度。
(4)根据平行线的画法画平行四边形、长方形、正方形。
(5)根据生活实际画点到点的最短的路及点到直线的最近的路。
4. 平行与垂直的应用。
正方形有2组对边互相平行,相邻的两条边互相垂直。
长方形有2组对边互相平行,相邻的两条边互相垂直。
三、典例讲解
A、B两村位于河的两岸(如图),两村决定修建一座桥,为了使从A村到B村的路程最短,桥应修在何处?请画图表示出来。
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思路分析:根据“两点之间线段最短”,将点A沿垂直河流的方向平移(平移的距离等于河宽)到C点,连接BC,交A点的河岸于E点,过E点画一条垂直于河岸的线段就可以了。
答案:
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平行线间的垂直线段处处相等。
原理是:两点之间线段最短;点到线的距离,垂直线段最短。
画垂线的方法一合,二移,三画,四标。
画平行线的方法一合,二靠,三移,四画。
必须用直尺和三角板画。
平行线间的两条垂直线段长度相等。
此题属于最短线路问题,运用垂直的知识,要使用三角板和直尺进行画图。
五　收获的季节——除数是两位数的除法
一、口算除法　
1. 口算的方法。
根据乘除法的关系想乘法算除法。
如60÷30=(　　),就可以想 (2)×30=60;还可以根据表内除法计算。如60÷30就是指60里面有几个30, 这也是除法的真正含义。
2. 估算的方法。
(1)用“四舍五入法”把被除数看作与它接近的整百数或几百几十数,把除数看作与它接近的整十数,再把两个近似数相除直接口算出商。(2)直接口算得出与除数相乘最接近被除数的整数。
如478÷81,可以将478看作480,将81看作80,因此最后答案就是478÷81≈480÷80=6。
二、笔算方法
1. 笔算方法:除数是两位数的除法,先看被除数的前两位,前两位不够除,看被除数的前三位,除到被除数的哪一位,就将商写在那一位的上面。余数要小于除数。　
2. 商是一位数。
(1)除数是整十数:这个试商可以根据口算的方法进行试商。
(2)除数接近整十数:试商方法是用“四舍五入法”把除数看作与它接近的整十数来试商,直接口算出商几。　
(3)除数不接近整十数(即接近几十五):试商方法是将除数看作与它接近的几十五来试商,接着直接口算出商几。
3. 商是两位数。
重点在于如何试商,明确商应该写在哪一位上面,余数应该跟在谁的下面。
有些除法算式可以利用商不变的性质进行简单的竖式计算:如计算320÷80就可以化成32÷8进行竖式计算,重点在于商的位置和余数的位置。
三、商不变的性质
1. 在除法中,被除数和除数同时乘(除以)相同的数(0除外),商不变。m≠0,a÷b=(a×m) ÷(b×m)=(a÷m) ÷(b÷m)。推广:被除数乘(除以)几(0除外),除数不变,商也乘(除以)几。　
2. 被除数不变,除数乘(除以)几(0除外),商反而除以(乘)几。
3. 利用积的变化规律和商不变的性质可以使一些计算简便。但在有余数的除法中要注意余数的变化。如计算8500÷200=(　　)时,可以把被除数和除数同时除以100来除,即85÷2=(　　) ,商不变,但此时的余数1是除以100后得到的,所以还原成原来的余数应该是100。
4. 除法中的数量关系。
被除数÷除数=商……余数　
由于除法和乘法互逆,可以互相转换,所以还主要具有以下几个数量关系:
被除数=除数×商+余数　　除数=(被除数-余数)÷商
商=(被除数-余数)÷除数　　余数=被除数-除数×商
5. 列式计算时注意区别“除”和“除以”。
28除952,商是多少?列式为 952÷28=34。
952除以28,商是多少?列式为 952÷28=34。
四、除法的运算性质　
1. 一个数连续除以两个数,等于这个数除以这两个数的积, 即a÷b÷c=a÷(b×c)。
2. 一个数连续除以两个数,可以先除以第二个除数,再除以第一个除数,即a÷b÷c=a÷c÷b。
五、典例讲解　
1. □38÷53,要使商是一位数或两位数,□里可以填几?
解答:要使商是一位数,说明被除数的前两位不够除,即“□3<53”,□里可以填1~4;要使商是两位数,说明被除数的前两位够除,即“□3≥53”,□里可以填5~9。
2. 如果一个数除以42,商是24,而且有余数,那么这个数最大是多少?最小是多少?　
思路分析:
(1)题意分析:除数是两位数的除法。
(2)解题思路:根据余数必须比除数小可知,因为除数是42,所以余数最大是41,最小是1。
(3) 解答过程:
42×24+41=1049　42×24+1=1009
答:这个数最大是1049,最小是1009。　
/
口算时可以将被除数和除数同时去掉相同个数的0。
可以根据被除数和除数的关系进行估算,结果一般为整数。
记忆:三位数除以两位数,先看被除数的前两位; 前两位不够看三位, 除到哪位商写在那位上面;不够商1用0占位,每次除后要比较, 余数要比除数小,最后验算不能少。
被除数和除数同时乘或除以一个数(0除外),商不变,余数也会乘或除以相同的数。
当被除数的前两位小于除数时,商是一位数;当被除数的前两位大于或等于除数时,商是两位数。
应用运算性质,可以使计算简便。
解题后的思考:
在计算过程中一定要除一步检查一步,看余数是否比除数小。
六　快捷的物流运输——解决问题
一、速度、时间和路程的关系
速度×时间=路程　　　　路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
二、相遇问题的数量关系　
总路程=甲走的路程+乙走的路程 　相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和　速度和=相遇路程÷相遇时间
三、追及问题　
速度差×追及时间=相差路程
四、火车过桥问题　
桥长+车长=路程　　　　　速度×过桥时间=路程
五、行程问题常用的解题方法
1. 公式法。
根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件。
2. 图示法。
在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具。图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点。
3. 分段法。
在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不适用,这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,再把结果结合起来。
4. 方程法。
在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。
六、典例讲解
甲、乙两辆汽车从两地相向而行,甲车每小时行85千米,乙车每小时行76千米,甲车开出2小时后,乙车才开出,又过了4小时两车相遇,两地间的距离是多少千米?
思路分析:根据路程=速度×时间,先求出甲车2小时行的路程,再求出又过4小时甲、乙两车行的路程和,最后根据总路程=甲先行的路程+甲、乙一块行的路程解答。
答案:　85×2+(85+76)×4
=170+644
=814(千米)
答:两地间的距离是814千米。
/
解决相遇问题的方法:
(1)相遇问题要分析题意,试着画线段图,真正弄清楚是不是两个物体、两个地方、同时、相对(同向)而行、最后相遇(相距),再确定计算方法。　
(2)相向而行要先求速度和,再求路程和;同向而行:要先求速度差,再求路程差。
使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式。
图示法包括线段图和折线图。在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法。
用方程解决问题,可以根据数量关系式,把未知量用??代替,参与列式。这种方法比较简便。
本题根据基本数量关系:路程=速度×时间,再根据题意代入即可。
解决问题的关键是理解甲车行的时间。
七　小小志愿者——混合运算
　一、单价、数量和总价的关系
单价×数量 =总价　总价÷数量=单价　
总价÷单价=数量
二、整数混合运算的运算顺序
1. 没有括号的混合运算。
(1)在一个算式里,只含有加减法或只含有乘除法,就按从左往右的顺序依次计算。
(2)在一个算式里,既有加减法,又有乘除法,要先算乘除法,再算加减法。
2. 有括号的混合运算:在一个算式里,既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
三、倍数问题的解题技巧　
例题:4箱蜜蜂一年可以酿300千克蜂蜜。小林家养了这样的蜜蜂12箱,一年可以酿多少千克蜂蜜?　
解法一: 可以先算出每一箱蜜蜂一年可以酿多少蜂蜜(即求出1倍的量);列式为300÷4=75(千克);再算12箱蜜蜂一年可以酿多少蜂蜜,列式为75×12=900(千克)。
解法二: 也可以算12箱是4箱的几倍,列式为12÷4=3,倍数作为单位不用写出来;再算出同样时间内蜜蜂能酿出多少蜂蜜,列式为300×3=900(千克)　
四、最优方案(用同样的钱买最多的商品)　　
解决方法:先看哪种方案更优,尽量使用这种方案来买,如果有剩余,再考虑其他方案。
例1: 商场卖衬衫,一件29元,两件49元,王老师有185元,最多可以买多少件?还剩多少元?
思路分析:比较两种方案,发现“两件49元”的更便宜(一件只需要不到25元),所以先尽量用“两件49元”的方法买,可以买3套(共6件),算式为185÷49=3(套)……38(元),2×3=6(件),发现最后的余数还可以买一件29元的,还剩38-29=9(元),最多可以买6+1=7(件)。所以最多可以买7件,还剩9元。　
答案:　
185÷49=3(套)……38(元)　38-29=9(元)
3×2+1=7(件)
答:最多可以买7件,还剩9元。
例2: 星期天爸爸带小明去买书。书店进行促销活动,一套故事书36 元,买两套只需65元,爸爸带了380元,最多可以买几套故事书?　
思路分析:先两套两套地买,剩下的钱不够买两套时,再单买一套。
答案:380÷65=5……55(元)　5×2=10(套)
55÷36=1(套)……19(元) 　10+1=11(套)
答:最多可以买11套故事书。　
/
应用数量关系式可以解决实际问题。
计算过程中可以应用运算律使计算简便。
解决问题时先根据已知条件和所求问题确定属于哪一类问题,再根据数量关系解决问题。
解决倍数问题可以用归一问题的解法,先求出一倍的数,再求出几倍的数;解决倍数问题,也可以用倍比的方法,先求出数量间的倍数关系。
解题后的思考:买东西遵循多买便宜的原则,购票遵循团体便宜的原则。
以两套书一起买为原则,剩余的钱不够买两套,再买一套。
八　新校服——条形统计图
一、条形统计图的特点
用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。
二、条形统计图的优点　　
能直观地看出各种数量的多少,便于比较。
三、在绘制条形统计图时,条形图一格表示几,要根据具体情况来确定　
1. 给出的数在10以内,一般用1格表示1;
2. 给出的数在20左右,一般用1格表示2;
3. 给出的数在50左右,一般用1格表示5;
4. 给出的数在100左右,一般用1格表示10;
5. 给出的数在1000左右,一般用1格表示100。
取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定。
四、制作条形统计图的一般步骤
1. 根据图纸的大小,画出两条互相垂直的线,作为纵轴和横轴。
2. 在横轴上适当分配条形的位置,确定直条的宽度和间隔。
3. 在纵轴上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。
4. 按照数据的大小画出长短不同的直条,并注明数量。
五、典例讲解
康泰药厂2016年上半年产量统计表如下:
月份
1
2
3
4
5
6
产量(吨)
12
17
19
24
22
26
　　根据上表中的信息,请用合适的统计图表示。
康泰药厂2016年上半年产量统计图
2016年7月　　　　　　
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思路分析:因为从条形统计图中很容易看出各种数量的多少,条形统计图是用条形的长短来代表数量的多少,便于比较,因此应制成条形统计图。根据上表中的信息,为了反映康泰药厂2016年上半年的产量情况,制作条形统计图比较合适。用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直条按一定的顺序排列起来。
康泰药厂2016年上半年产量统计图
2016年7月　　　　　　
/
/
注意:画条形统计图时,直条的宽窄必须相同。
一般要表示的数据越大,一个单位长度表示的数值就越大。
画条形统计图时横轴和纵轴一定要互相垂直。
因为从条形统计图中很容易看出各种数量的多少,条形统计图是用直条的长短来代表数量的多少,便于比较,因此应制成条形统计图。
从条形统计图中可以看出6月份的产量最高,1月份的产量最低。康泰药厂上半年的产量从1月份到6月份大致呈上升趋势。

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