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高考数学(理)专题练习（一）
集合与常用逻辑用语
【易错雷区，步步为赢】
1．设集合，，则=( )
A． B． C． D．
2．设集合，则( )
A． B．
C． D．
3．设集合，为整数集，则中元素的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．设集合，则( )
A． B． C． D．
5．已知集合，则( )
A． B． C． D．
6．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
7．已知集合则=( )
A． B． C． D．
8．命题“，使得”的否定形式是( )
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
9．已知直线分别在两个不同的平面内．则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
易错起源1．集合的关系及运算
例1．
（1）已知集合，则等于( )
A． B．
C． D．
（2）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，空集?属于；②τ中任意多个元素的并集属于；③τ中任意多个元素的交集属于．则称是集合X上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④．
其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是__________．
【变式探究】
（1），集合，则为( )
A． B．
C． D．
（2）设集合，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是( )
A． B．
C． D．
易错起源2．四种命题与充要条件
例2．（1）下列命题：
①已知表示两条不同的直线表示两个不同的平面，并且，则“”是“”的必要不充分条件；②不存在，使不等式成立；③“若，则”的逆命题为真命题．
其中正确的命题序号是________．
（2）已知ξ服从正态分布，，则“”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【变式探究】
（1）下列四个结论中正确的个数是( )
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题：“”的否定是“”；
③“若，则”的逆命题为真命题；
④若是上的奇函数，则
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
易错起源3．逻辑联结词、量词
例3．
（1）已知命题：在△ABC中，“”是“”的充分不必要条件；命题“”是“”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )
A．p真q假 B．p假q真
C．“”为假 D．“”为真
（2）已知命题“”，命题“”．若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【变式探究】
（1）已知命题，使；命题，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为假
C．为真 D．为假
（2）若“，”为真命题，则实数m的最大值为________．
【易错练兵】
1．已知集合，则等于( )
A． B．
C． D．
2．已知集合，则等于( )
A． B．
C． D．
3．已知集合，，，则中所含元素的个数为( )
A．5 B．6 C．12 D．13
4．已知集合，，则等于( )
A． B．
C． D．
5．设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件
6．设命题函数的最小正周期为；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
7．已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．①命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；
②“”是“”的充要条件；
③若为假命题，则均为假命题；
④对于命题，，则綈，
上面四个命题中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
9．下列说法中，不正确的是( )
A．已知，命题“若，则”为真命题
B．命题“”的否定是：“”
C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题
D．“”是“”的充分不必要条件
10．已知，，若为假命题，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
11．下列选项错误的是( )
A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若“命题”，则“”
D．若“”为真命题，则p，q均为真命题
12．已知集合，若，，则实数a的取值范围是____________．
13．已知集合M为点集，记性质P为“对，均有”．给出下列集合：
①，②，③，④，
其中具有性质P的点集序号是________． 4 / 5

高考数学(理)专题练习（一）
集合与常用逻辑用语
答 案
【易错雷区，步步为赢】
1~5．DDCCC 6~10．CBDAC
易错起源1．集合的关系及运算
例1．
（1）C
（2）②④
【变式探究】
（1）C
（2）C
易错起源2．四种命题与充要条件
例2．
（1）①
（2）A
【变式探究】
（1）A
（2）A
易错起源3．逻辑联结词、量词
例3．
（1）C
（2）C
【变式探究】
（1）B
（2）0
【易错练兵】
1~5．ADDCC 6~10．CCCCA 11．D
12．
13．②④


高考数学（理）专题练习（一）
集合与常用逻辑用语
解 析
1．【解析】因为所以
故选D．
2．【解析】由解得或，所以，所以
，故选D．
3．【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C．
4．【解析】，，则，选C．
5．【解析】集合，而，所以，故选C．
6．【解析】由，得，故选C．
7．【解析】根据补集的运算得．故选B．
8．【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
9．【解析】直线a与直线b相交，则一定相交，若相交，则a，b可能相交，也可能平行，故选A．
10．【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C．
易错起源1．集合的关系及运算
例1．

【变式探究】（1）解析（1）因为A＝{y|y＝sinx，x∈R}＝－1，1]，
B＝{x|y＝lgx}＝(0，＋∞)．
所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)．
故答案为C．
（2）由已知，可得即0≤m≤，即≤n≤1，
取m的最小值0，n的最大值1，
可得M＝，N＝．
所以M∩N＝∩＝．
此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝．
故选C．
易错起源2．四种命题与充要条件
例2．

【变式探究】（1）解析（1）对于①，x2＋x－2>0?x>1或x<－2，故“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x＝，则tanx＝1”的逆命题为“若tanx＝1，则x＝”，∵tanx＝1推出的是x＝＋kπ，k∈Z．所以③错误．对于④，log32≠－log23，所以④错误．②正确．故选A．
（2）由<1，可得－1＝<0，
所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2．
易错起源3．逻辑联结词、量词
例3．解析（1）△ABC中，C>B?c>b?2RsinC>2RsinB(R为△ABC外接圆半径)，所以C>B?sinC>sinB．
故“C>B”是“sinC>sinB”的充要条件，命题p是假命题．
若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>b?ac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2?a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题，故选C．
（2）命题p为真时a≤1；“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2．(綈p)∧q为真命题，即(綈p)真且q真，即a>1．
【变式探究】

【易错练兵，虎口脱险】
1．解析A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，所以有(?RA)∩B＝{－2，－1}，故选A．
2．解析由M中不等式变形得：log2x<3＝log28，即0∵N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，∴M∩N＝{1，3，5，7}，故选D．
3．

4．解析　由>0得0故N＝{y|y≥2}，则(?RM)∩N＝{x|x≥2}．
5．解析由命题甲ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，可知a＝0时，原式＝1>0恒成立，
当a≠0时，解得0所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C．
6．解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
7．解析由p：<1，得<0，－18．

9．解析A正确，因为此时m2>0；B正确，特称命题的否定就是全称命题；C不正确，因为命题“p或q”为真命题，那么p，q有一个真，p或q就是真命题；D项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C．
10．解析∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．
由p：?x0∈R，mx＋2≤0为假命题，得綈p：?x∈R，mx2＋2>0为真命题，∴m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，得綈q：?x0∈R，x－2mx0＋1≤0为真命题，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1．②
由①和②得m≥1．故选A．
11．解析对于若“p∨q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题，∴D选项错误．故选D．
12．解析　∵集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，显然不成立，
当a>0时，原不等式可化为(x＋)<0，
若<，只需满足解得1≤a<；
若>，只需满足解得9当a<0时，不符合条件，
综上，答案为∪(9，25]．
13．解析对于①：取k＝，点(1，1)∈{(x，y)|x2≥y}，但(，)?{(x，y)|x2≥y}，故①是不具有性质P的点集．
对于②：?(x，y)∈{(x，y)|2x2＋y2<1}，则点(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1内部，所以对0对于③：(x＋)2＋(y＋1)2＝，点(，－)在此圆上，但点(，－)不在此圆上，故③是不具有性质P的点集．
对于④：?(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0，1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0?x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，
故④是具有性质P的点集．
综上，具有性质P的点集是②④．

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