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【基础】正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；
2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。
【要点梳理】
要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法
1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。
2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象。
3．五点法
先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是
要点诠释：
（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象。
（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到。
要点二：正弦曲线、余弦曲线
（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
（2）图象
要点诠释：
（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数。
要点三：函数图象的变换
图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
【典型例题】
类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象
例1．用五点法作出下列函数的图象。
（1），；
（2），。
【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）。（2）取上五个关键的点。
【解析】 （1）找出五点，列表如下：
x
0
0
1
0
－1
0
y=2－u
2
1
2
3
2
描点作图（如下图）。

（2）找出五点，列表如下：
0
x
y=cos u
1
0
－1
0
1
描点作图（如下图）。

【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。
举一反三：
【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y=－sin x（0≤x≤2π）；（2）y=1+cos x（0≤x≤2π）
【解析】
（1）列表：
x
0
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
描点作图，如图（1）：

（2）列表：
x
0
cos x
1
0
－1
0
1
1+cos x
2
1
0
1
2
描点作图，如图（2）。
类型二：利用图象变换作出函数的图象
例2．作函数的图象；
【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。
【解析】 将化为，其图象如下图。

【总结升华】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。
举一反三：
【变式1】（2018 福建台江区月考）已知函数，
画出函数的简图．
【解析】，
作出简图如下：
类型三：利用函数图象解简单的三角不等式
例3．画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出：
（1）时x的集合；
（2）时x的集合。
【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。
【解析】

（1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为。当x∈R时，若，则x的集合为。
（2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为
或
。
【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。
举一反三：
【变式1】（2017春 四川资阳月考）利用正弦函数图象解下列不等式：
（1）；
（2）
（3）；
（4）．
【解析】作出函数y=sin x的图象，如图所示：

由图可得：（1）时，，k∈Z，即原不等式的解集为，k∈Z；
（2）时，，k∈Z，即原不等式的解集为，k∈Z；
（3）时，，k∈Z，即，k∈Z，即原不等式的解集为，k∈Z；
（4）时，，k∈Z，即， k∈Z，即原不等式的解集为， k∈Z．
类型四：三角函数图象的应用
例4．（1）（2017春 陕西宝塔区月考）求在区间[－π，π]内解的个数．
（2）若，则与3的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．与的取值有关
【思路点拨】（1）作出函数y=sin x与的函数图象，观察图象交点个数．（2）作出与的函数图象，利用数形结合可得．
【答案】（1）4；（2）D
【解析】（1）函数y=sin x与的图象交点个数等于方程解的个数．

在同一坐标系内作出两个函数y=sin x，在[－π，π]内的图象，如图所示．由图象不难看出，它们有4个交点．
所以方程在[－π，π]内有4个解．
（2）作图（如下图），观察函数，在内的图象可知与的大小关系与的取值有关．
举一反三：
【变式1】下列各式中正确的为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【巩固练习】
1．以下对正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是（ ）
A．在x∈[2kπ，2kπ+2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y=1与直线y=－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
2．用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
3．函数在区间的简图是（ ）
4．y=cos x，x∈[0，2π]的图象与直线的交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内（ ）
A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
7．设函数，x∈R，对于以下三个结论：
①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，．
根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知k＜―4，则函数y=cos2x+k (cos x―1)的最小值是（ ）
A．1 B．―1 C．2k+1 D．―2k+1
9．函数y=cos x的图象可以通过将y=sin x的图象________而得到．
10．下列函数图象相同的序号是________．
①y=cos x与y=cos (π+x)；
②与；
③y=sin x与y=sin (－x)；
④y=sin (2π+x)与y=sin x．
11．若2sin x+3=a，则实数a的取值范围是________．
12．（2018 江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________．
13．（2017秋 山东潍坊期中）画出下列函数的简图：
（1）y=1－sin x，x∈[0，2π]；
（2）y=3cos x+1，x∈[0，2π]．
14．（2017 河北邢台月考）利用图象变换作出下列函数的简图：y=1－cosx．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由三角函数y=sin x的图象知，它不关于x轴对称．
2．【答案】B
【解析】2x分别取0，，π，，2π．
3．【答案】A
4．【答案】C
【解析】y=cos x，x∈[0，2π]的图象与直线的交点的个数，即方程在区间[0，2π]上的解的个数．
由在区间[0，2π]上的解为，或，
可得方程在区间[0，2π]上的解的个数为2，
故选：C．
5．【答案】C
【解析】求解方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内根的个数问题，可转化为求解函数和在（－∞，+∞）内的交点个数问题．和的图象如图所示，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
6．【答案】A
7．【答案】C
【解析】 作出正弦函数y=sin x，x∈R的图象（如下图），从图中可以看出①②正确，③错误．

8．【答案】A
【解析】 y=cos2x+k (cos x―1)=2cos2x+kcos x―(k+1)．令t=cos x（t∈[―1，1]），则y=2t2+kt―(k+1)，对称轴．∵k＜－4，∴，∴函数y=2t2+kt―(k+1)在[―1，1]内为单递减函数．当t=1，即cos x=1时，函数有最小值1．故选A．
9．【答案】向左平移个单位长度
【解析】因为，故
．
10．【答案】④
【解析】根据诱导公式，只有sin (2π+x)=sin x成立．
11．【答案】[1，5]
【解析】∵2sin x+3=a，
∴
∵sin x∈[－1，1]
∴，
解得1≤a≤5；
故实数a的取值范围为[1，5]，
故答案为：[1，5]．
12．【答案】7．
【解析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：

由图可知，共7个交点．
故答案为：7．
13．【解析】（1）列表如下：

画出图形，如图：

（2）列表为

函数图象如下：

14．【解析】先作出y=cosx的图象，然后利用对称作出y=－cosx的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．

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