资源简介

·北京·
普 通 高 中 教 科 书 数学
必 修
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
编著
第一册
普通高中教科书? 数学? 必修? 第一册
人民教育出版社? 课程教材研究所??
中学数学课程教材研究开发中心
? 编著
出? ? 版? ??
? ? ? ? ? （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼? 邮编：100081）
网? ? 址? http://www.pep.com.cn
重? ? 印? ××× 出版社
发? ? 行? ××× 新华书店
印? ? 刷? ××× 印刷厂
版? ? 次? ? ? 年? 月第? 版? ?
印? ? 次? ? ? 年? 月第? 次印刷
开? ? 本? 890 毫米 ×1240 毫米? 1/16
印? ? 张? ?
插? ? 页
字? ? 数? ? ? 千字
印? ? 数? ? ? ? 册
书? ? 号? ISBN?978-7-107-? ? -?
定? ? 价? ? ? 元
定价批号：××号? ? 审图号：GS（××××）××××号
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主 编：章建跃 李增沪
副 主 编：李 勇 李海东 李龙才
本册主编：李海东 郭玉峰
编写人员：王 嵘 白 涛 刘长明 刘春艳 李柏青 宋莉莉 张劲松
周远方 赵 昕 胡永建 俞求是 郭玉峰 郭慧清 黄炳锋
章建跃 薛红霞
责任编辑：王 嵘
美术编辑：王俊宏
书
主编寄语
亲爱的同学，欢迎使用这套教科书，希望它能成为你学习数学的好帮手．在开始学习
前，我们想就数学学习中的一些问题与你做点交流．
首先，你想过为什么要学那么多数学吗？高中生应该认真思考这个问题了．其实道理
很明显，就是因为数学有用．数学不仅对社会发展和科技进步作用巨大，而且对你个人的
发展也很重要．努力学好数学对你的人生幸福意义重大，这个道理在你今后学习、工作和
生活中会逐步体会到．
第二，要采用多样化学习方式．高中数学内容的抽象程度提高了，要以更加积极主动
的态度、刻苦钻研的精神，采取阅读自学、独立思考、实践探究、合作交流等多种学习方
式，才能更好地掌握它．内容越抽象，就越需要静下心来，持之以恒地思考，然后才能有
所领悟、有所收获．
第三，注重基础，拾阶而上．数学的特点是逻辑严谨，从概念到性质再到应用环环相
扣，前面知识未理解，后续学习就必然会遇上实质性困难．学数学，既没有捷径，也没有
灵丹妙药，唯有按数学的方式，按部就班地学，循序渐进地想，在基础知识上下足功夫，
才能取得好成效．
第四，按学习规律办事．理解概念、熟练技能和准确表达是数学学习的 “三要素”，
做好这些的要诀是遵循学习规律，掌握学习节奏．概念是数学的精要所在，必须深刻理
解、牢固掌握，因此概念学习要 “慢慢来”．例如，函数是贯穿高中数学的一条主线，是
重中之重的内容，因为其抽象程度高而成为许多同学的学习难点．在起始阶段囫囵吞枣、
贪多求快，就会给后续学习埋下隐患．学好它的秘诀在于慢，慢下来，仔细阅读教科书，
用心揣摩每句话，搞懂每个例题，在探究、质疑、反思中逐渐领悟函数的概念及其蕴含的
数学思想和方法，并用简明扼要的语言概括出来，从而实现认识的升华．这个过程，貌似
慢而实为快，在反复推敲中悟出学习窍门，达到举一反三、触类旁通的效果，进而一通百
通，由慢转快．这样的快是真快，是无后顾之忧的快，是充满智慧的快．
第五，重视严格的数学训练，独立完成作业．做作业的目的是：加深理解知识，熟练
基本技能；学会思考，培养数学能力；查漏补缺，培养良好的学习习惯．本套书中的习题
是精心挑选的，看似不难但寓意深刻，要高度重视．完成作业，独立思考最重要，遇到困
难不能轻言放弃．有含金量的数学题往往要绞尽脑汁，一时做不出很正常，如果浅尝辄
止，急于 “刷题”看答案，这是自欺欺人，受害的是你自己．
最后，学习贵在创新．理解概念、学会证明、领会思想、掌握方法都是必备基础，还
要善于发现和提出问题，“凡事问个为什么”，这样才能学会学习．在这套教科书中，我们
注重在提问方面做出示范，期望你能 “看过问题三百个，不会解题也会问”．
学数学趁年轻．高中阶段是接受数学训练、打好数学基础的最佳时期．这个时期下功夫学
数学，将使你终生受益．期盼这套教科书能给你带来愉快，使你的数学素养得到大幅提升．

本书根据 《普通高中数学课程标准 （２０１７年版》编写，包括 “集合与常用逻辑用语”
“一元二次函数、方程和不等式”“函数的概念与性质”“指数函数与对数函数”“三角函
数”五章内容．
集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础；常用逻辑用语是数学语言的
重要组成部分，是数学表达和交流的工具．在 “集合与常用逻辑用语”的学习中，同学们
将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法；并学习用逻
辑用语表达数学对象、进行数学推理，为高中数学学习做准备．
相等关系和不等式关系是数学中最基本的数量关系．在 “一元二次函数、方程和不等
式”的学习中，同学们将类比等式学习不等式．通过梳理初中数学的相关内容，理解一元
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系，从函数观点认识方程与不等式，
感悟数学知识之间的关联，完成初高中数学学习的过渡．
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的
始终．在 “函数的概念与性质”中，同学们将在初中的基础上，进一步学习运用集合与对
应的语言刻画函数概念，学习函数的基本性质，并通过幂函数的学习感受如何研究一个函
数，如研究的内容、思路和方法，进一步感受函数的思想方法和广泛应用．
“指数爆炸”“对数增长”是生活中常见的变化现象．在 “指数函数与对数函数”中，
同学们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数与对数函数的概念、图象和性质．通过对
几类基本初等函数的变化差异的比较，体会如何根据变化差异选择合适的函数类型构建数
学模型，刻画现实问题的变化规律，解决简单的实际问题．
三角函数也是一类基本的、重要的函数，它是刻画现实世界中具有周期性变化现象的
数学模型．在 “三角函数”的学习中，同学们将学习借助单位圆建立一般三角函数的概
念，学习三角函数的图象和性质，探索和研究三角函数之间的一些恒等关系．通过建立三
角函数模型刻画周期变化现象，进一步体会函数的广泛应用．
祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核
心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的
认识．


第一章　集合与常用逻辑用语 １…………………………………………………………………
１．１　集合的概念 ２…………………………………………………………………………
１．２　集合间的基本关系 ７…………………………………………………………………
１．３　集合的基本运算 １０……………………………………………………………………
阅读与思考　集合中元素的个数 １５…………………………………………………
１．４　充分条件与必要条件 １７………………………………………………………………
１．５　全称量词与存在量词 ２４………………………………………………………………
阅读与思考　几何命题与充分条件、必要条件 ３１…………………………………
小结 ３３………………………………………………………………………………………
复习参考题１ ３４……………………………………………………………………………
第二章　一元二次函数、方程和不等式 ３６……………………………………………………
２．１　等式性质与不等式性质 ３７……………………………………………………………
２．２　基本不等式 ４４…………………………………………………………………………
２．３　二次函数与一元二次方程、不等式 ５０………………………………………………
小结 ５６………………………………………………………………………………………
复习参考题２ ５７……………………………………………………………………………
第三章　函数的概念与性质 ５９…………………………………………………………………
３．１　函数的概念及其表示 ６０………………………………………………………………
阅读与思考　函数概念的发展历程 ７５………………………………………………
３．２　函数的基本性质 ７６……………………………………………………………………
信息技术应用　用计算机绘制函数图象 ８７…………………………………………
３．３　幂函数 ８９………………………………………………………………………………
探究与发现　探究函数狔＝狓＋
１
狓
的图象与性质 ９２………………………………
３．４　函数的应用 （一） ９３…………………………………………………………………
文献阅读与数学写作?　函数的形成与发展 ９７…………………………………………
小结 ９９………………………………………………………………………………………
复习参考题３ １００……………………………………………………………………………
第四章　指数函数与对数函数 １０３………………………………………………………………
４．１　指数 １０４………………………………………………………………………………
４．２　指数函数 １１１…………………………………………………………………………
阅读与思考　放射性物质的衰减 １１５………………………………………………
信息技术应用　探究指数函数的性质 １２０…………………………………………
４．３　对数 １２２………………………………………………………………………………
阅读与思考　对数的发明 １２８………………………………………………………
４．４　对数函数 １３０…………………………………………………………………………
探究与发现　互为反函数的两个函数图象间的关系 １３５……………………………
４．５　函数的应用 （二） １４２………………………………………………………………
阅读与思考　中外历史上的方程求解 １４７…………………………………………
文献阅读与数学写作?　对数概念的形成与发展 １５７……………………………………
小结 １５８………………………………………………………………………………………
复习参考题４ １５９……………………………………………………………………………
数学建模　建立函数模型解决实际问题 １６２……………………………………………………
第五章　三角函数 １６７……………………………………………………………………………
５．１　任意角和弧度制 １６８…………………………………………………………………
５．２　三角函数的概念 １７７…………………………………………………………………
阅读与思考　三角学与天文学 １８６…………………………………………………
５．３　诱导公式 １８８…………………………………………………………………………
５．４　三角函数的图象与性质 １９６…………………………………………………………
探究与发现　函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）及函数狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ）的周期 ２０３……
探究与发现　利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质 ２０８…………
５．５　三角恒等变换 ２１５……………………………………………………………………
信息技术应用　利用信息技术制作三角函数表 ２２４………………………………
５．６　函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ） ２３１…………………………………………………………
５．７　三角函数的应用 ２４２…………………………………………………………………
阅读与思考　振幅、周期、频率、相位 ２５０………………………………………
小结 ２５１………………………………………………………………………………………
复习参考题５ ２５３……………………………………………………………………………
部分中英文词汇索引 ２５８…………………………………………………………………………
书
第一章
集合与常用逻辑用语
我们知道，方程狓２＝２在有理数范围内无解，但在实数范围
内有解．在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个
圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球
面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基
础．为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用
集合的语言和工具．事实上，集合的知识是现代数学的基础，也
是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它．
在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合
语言刻画一类事物的方法．
逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的
工具．学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、
合理论证数学结论、准确表达数学内容．逻辑用语也是日常交
往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位
公民应具备的基本素养．本章我们将通过常用逻辑用语的学习，
理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻
辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合
和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性．
第一章　集合与常用逻辑用语
１?１　集合的概念
在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然
数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集
合 （即圆）等．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一
步了解集合的有关知识．下面先从集合的含义开始．
看下面的例子：
（１）１～１０之间的所有偶数；
（２）立德中学今年入学的全体高一学生；
（３）所有的正方形；
（４）到直线犾的距离等于定长犱的所有点；
（５）方程狓２－３狓＋２＝０的所有实数根；
（６）地球上的四大洋．
例 （１）中，我们把１～１０之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集
合；同样地，例 （２）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的
全体也是一个集合．

上面的例 （３）到例 （６）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？
一般地，我们把研究对象统称为元素 （ｅｌｅｍｅｎｔ），把一些元素组成的总体叫做集合
（ｓｅｔ）（简称为集）．
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或
不在这个集合中就确定了．例如，“１～１０之间的所有偶数”构成一个集合，２，４，６，８，
１０是这个集合的元素，１，３，５，７，９，…不是它的元素； “较小的数”不能构成集合，
因为组成它的元素是不确定的．
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
我们通常用大写拉丁字母犃，犅，犆，…表示集合，用小写拉丁字母犪，犫，犮，…表
示集合中的元素．
如果犪是集合犃的元素，就说犪属于 （ｂｅｌｏｎｇｔｏ）集合犃，记作犪∈犃；如果犪不是
集合犃中的元素，就说犪不属于 （ｎｏｔｂｅｌｏｎｇｔｏ）集合犃，记作犪?犃．
２
第一章　集合与常用逻辑用语
例如，若用犃 表示前面例 （１）中 “１～１０之间的所有偶数”组成的集合，则有
４∈犃，３?犃，等等．
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集 （或自然数集），记作犖；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作犖?或犖＋；
全体整数组成的集合称为整数集，记作犣；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作犙；
全体实数组成的集合称为实数集，记作犚．
从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么
方式表示集合呢？
列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为 ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝；
“方程狓２－３狓＋２＝０的所有实数根”组成的集合可以表示为 ｛１，２｝．
像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛　｝”括起来表示集合的方
法叫做列举法．
例１　用列举法表示下列集合：
（１）小于１０的所有自然数组成的集合；
（２）方程狓２＝狓的所有实数根组成的集合．
解：（１）设小于１０的所有自然数组成的集合为犃，那么
犃＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝．
（２）设方程狓２＝狓的所有实数根组成的集合为犅，那么
犅＝｛０，１｝．
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同
的列举方法．例如，例１（１）的集合还可以写成
犃＝｛９，８，７，６，５，４，３，２，１，０｝
等．

（１）你能用自然语言描述集合 ｛０，３，６，９｝吗？
（２）你能用列举法表示不等式狓－７＜３的解集吗？
３
第一章　集合与常用逻辑用语
描述法
不等式狓－７＜３的解是狓＜１０，因为满足狓＜１０的实数有无数个，所以狓－７＜３的
解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：狓是实数，且
狓＜１０，把解集表示为
｛狓∈犚｜狓＜１０｝．
　　你能用这样的方法表
示偶数集吗？
又如，整数集犣可以分为奇数集和偶数集．对于每一个
狓∈犣，如果它能表示为狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形式，那么狓除
以２的余数为１，它是一个奇数；反之，如果狓是一个奇数，
那么狓除以２的余数为１，它能表示为狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形
式．所以，狓＝２犽＋１（犽∈犣）是所有奇数的一个共同特征，
于是奇数集可以表示为
｛狓∈犣｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝．
　　有时也用冒号或分号
代替竖线，写成
｛狓∈犃：犘（狓）｝
或
｛狓∈犃；犘（狓）｝．
一般地，设犃是一个集合，我们把集合犃 中所有具有
共同特征犘（狓）的元素狓所组成的集合表示为
｛狓∈犃｜犘（狓）｝，
这种表示集合的方法称为描述法．
例如，实数集犚中，有限小数和无限循环小数都具有
狇
狆
（狆，狇∈犣，狆≠０）的形式，这些数组成有理数集，我们将
它表示为
犙＝｛狓∈犚｜狓＝
狇
狆
，狆，狇∈犣，狆≠０｝．
其中，
狇
狆
（狆，狇∈犣，狆≠０）就是所有有理数具有的共同特征．
显然，对于任何狔∈｛狓∈犃｜犘（狓）｝，都有狔∈犃，且犘（狔）成立．
例２　试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（１）方程狓２－２＝０的所有实数根组成的集合犃；
（２）由大于１０且小于２０的所有整数组成的集合犅．
解：（１）设狓∈犃，则狓是一个实数，且狓２－２＝０．因此，用描述法表示为
犃＝狓∈犚狓２－２＝０｛ ｝．
方程狓２－２＝０有两个实数根槡２，－槡２，因此，用列举法表示为
犃＝｛槡２，－槡２｝．
（２）设狓∈犅，则狓是一个整数，即狓∈犣，且１０＜狓＜２０．因此，用描述法表示为
犅＝｛狓∈犣１０＜狓＜２０｝．
大于１０且小于２０的整数有１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，因此，用列举
法表示为
犅＝｛１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９｝．
４
第一章　集合与常用逻辑用语
我们约定，如果从上下文的关系看，狓∈犚，狓∈犣是明确的，那么狓∈犚，狓∈犣可
以省略，只写其元素狓．例如，集合犇＝｛狓∈犚｜狓＜１０｝也可表示为犇＝｛狓｜狓＜１０｝；集
合犈＝｛狓∈犣｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝也可表示为犈＝｛狓｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝．

举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点．

１．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（１）与定点犃，犅等距离的点；
（２）高中学生中的游泳能手．
２．用符号 “∈”或 “?”填空：
０　　犖；－３　　犖；０．５　　犣；槡２　　犣；
１
３
　　犙；π　　犚．
３．用适当的方法表示下列集合：
（１）由方程狓２－９＝０的所有实数根组成的集合；
（２）一次函数狔＝狓＋３与狔＝－２狓＋６图象的交点组成的集合；
（３）不等式４狓－５＜３的解集．

习题１．１
１．用符号 “∈”或 “?”填空：
（１）设犃 为所有亚洲国家组成的集合，则
中国　　　犃，美国　　　犃，印度　　　犃，英国　　　犃；
（２）若犃＝｛狓｜狓２＝狓｝，则－１　　　犃；
（３）若犅＝｛狓｜狓２＋狓－６＝０｝，则３　　　犃；
（４）若犆＝｛狓∈犖｜１≤狓≤１０｝，则８　　　犆，９．１　　　犆．
２．用列举法表示下列集合：
（１）大于１且小于６的整数；
（２）犃＝｛狓｜（狓－１）（狓＋２）＝０｝；
（３）犅＝｛狓∈犣｜－３＜２狓－１＜３｝．
５
第一章　集合与常用逻辑用语

３．把下列集合用另一种方法表示出来：
（１）｛２，４，６，８，１０｝；
（２）由１，２，３这三个数字抽出一部分或全部数字 （没有重复）所组成的一切自然数；
（３）｛狓∈犖｜３＜狓＜７｝；
（４）中国古代四大发明．
４．用适当的方法表示下列集合：
（１）二次函数狔＝狓２－４的函数值组成的集合；
（２）反比例函数狔＝
２
狓
的自变量组成的集合；
（３）不等式３狓≥４－２狓的解集．


康托尔 （ＧｅｏｒｇＣａｎｔｏｒ，
１８４５—１９１８）
５．集合论是德国数学家康托尔于１９世纪末创立的．当时，康托尔在解决
涉及无限量研究的数学问题时，越过 “数集”限制，提出了一般性的
“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为 “数学思想的惊人的产
物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为
“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简
短的报告阐述你对这些评价的认识．
６
第一章　集合与常用逻辑用语
１?２　集合间的基本关系
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如
５＝５，５＜７，５＞３，等等．两个集合之间是否也有类似的关
系呢？

观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集
合之间的关系吗？
（１）犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛１，２，３，４，５｝；
（２）犆为立德中学高一 （２）班全体女生组成的集合，犇 为这个班全体学生组成
的集合；
（３）犈＝｛狓｜狓是两条边相等的三角形｝，犉＝｛狓｜狓是等腰三角形｝．
可以发现，在 （１）中，集合犃的任何一个元素都是集合犅的元素．这时我们说集合
犃包含于集合犅，或集合犅包含集合犃． （２）中的集合犆与集合犇也有这种关系．
一般地，对于两个集合犃，犅，如果集合犃 中任意一
个元素都是集合犅中的元素，就称集合犃为集合犅的子集
（ｓｕｂｓｅｔ），记作 AB
图１．２?１
犃?犅 （或犅?犃），
读作 “犃包含于犅”（或 “犅包含犃”）．
　　请你举出几个具有包
含关系、相等关系的集合
实例．
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集
合，这种图称为犞犲狀狀图．这样，上述集合犃与集合犅的包
含关系，可以用图１．２?１表示．
在 （３）中，由于 “两条边相等的三角形”是等腰三角
形，因此，集合犈，犉都是由所有等腰三角形组成的集合．
即集合犈中任何一个元素都是集合犉中的元素，同时，集
　　与实数中的结论 “若
犪≥犫，且犫≥犪 ，则犪＝
犫”相 类 比，你 有 什 么
体会？
合犉中任何一个元素也都是集合犈 中的元素．这样，集合
犈的元素与集合犉的元素是一样的．
一般地，如果集合犃 的任何一个元素都是集合犅的元
素，同时集合犅的任何一个元素都是集合犃 的元素，那么
集合犃与集合犅相等，记作犃＝犅 ．
也就是说，若犃?犅，且犅?犃，则犃＝犅．
７
第一章　集合与常用逻辑用语
　　你能举出几个空集的
例子吗？
如果集合犃?犅，但存在元素狓∈犅，且狓?犃，就称
集合犃是集合犅的真子集 （ｐｒｏｐｅｒｓｕｂｓｅｔ），记作
犃?犅 （或犅?犃）．
例如，在 （１）中，犃?犅，但４∈犅，且４?犃，所以
集合犃是集合犅的真子集．
我们知道，方程狓２＋１＝０没有实数根，所以方程狓２＋
１＝０的实数根组成的集合中没有元素．
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 （ｅｍｐｔｙ
ｓｅｔ），记为?，并规定：空集是任何集合的子集．

包含关系｛犪｝?犃与属于关系犪∈犃有什么区别？试结合实例作出解释．
由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：
（１）任何一个集合是它本身的子集，即
犃?犃；
（２）对于集合犃，犅，犆，如果犃?犅，且犅?犆，那么犃?犆．
例１　写出集合 ｛犪，犫｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
解：集合 ｛犪，犫｝的所有子集为?，｛犪｝，｛犫｝，｛犪，犫｝．真子集为?，｛犪｝，｛犫｝．
例２　判断下列各题中集合犃是否为集合犅的子集，并说明理由：
（１）犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛狓｜狓是８的约数｝；
（２）犃＝狓｜狓是长方形｛ ｝，犅＝狓｜狓是两条对角线相等的平行四边形｛ ｝．
解：（１）因为３不是８的约数，所以集合犃不是集合犅的子集．
（２）因为若狓是长方形，则狓一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合犃是
集合犅的子集．

１．写出集合 ｛犪，犫，犮｝的所有子集．
２．用适当的符号填空：
（１）犪　　｛犪，犫，犮｝；　　　　　　　　　　　（２）０　　｛狓｜狓２＝０｝；
（３）?　　 ｛狓∈犚｜狓２＋１＝０｝； （４）｛０，１｝　　犖；
（５）｛０｝　　｛狓｜狓２＝狓｝； （６）｛２，１｝　　｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．
８
第一章　集合与常用逻辑用语
３．判断下列两个集合之间的关系：
（１）犃＝狓｜狓＜０｛ ｝，犅＝狓｜狓＜１｛ ｝；
（２）犃＝｛狓｜狓＝３犽，犽∈犖｝，犅＝｛狓｜狓＝６狕，狕∈犖｝；
（３）犃＝｛狓∈犖＋｜狓是４与１０的公倍数｝，犅＝｛狓｜狓＝２０犿，犿∈犖＋｝．

习题１．２
１．选用适当的符号填空：
（１）若集合犃＝｛狓｜２狓－３＜３狓｝，犅＝｛狓｜狓≥２｝，则
－４　　犅，－３　　犃，｛２｝　　犅，犅　　犃；
（２）若集合犃＝｛狓｜狓２－１＝０｝，则
１　　犃，｛－１｝　　犃，?　　犃，｛１，－１｝　　犃；
（３）｛狓｜狓是菱形｝　　 ｛狓｜狓是平行四边形｝；
｛狓｜狓是等腰三角形｝　　 ｛狓｜狓是等边三角形｝．
２．指出下列各集合之间的关系，并用Ｖｅｎｎ图表示：
犃＝｛狓｜狓是四边形｝，犅＝｛狓｜狓是平行四边形｝，犆＝｛狓｜狓是矩形｝，犇＝｛狓｜狓是正方形｝．

３．举出下列各集合的一个子集：
（１）犃＝｛狓｜狓是立德中学的学生｝；　　　　（２）犅＝｛狓｜狓是三角形｝；
（３）犆＝｛０｝；　　　　　　　　　　　 （４）犇＝｛狓∈犣｜３＜狓＜３０｝．
４．在平面直角坐标系中，集合犆＝｛（狓，狔）｜狔＝狓｝表示直线狔＝狓，从这个角度看，集合犇＝
（狓，狔）
２狓－狔＝１
狓＋４狔＝５
烅
烄
烆
烅
烄
烆
烍
烌
烎
表示什么？集合犆，犇之间有什么关系？


５． （１）设犪，犫∈犚，犘＝｛１，犪｝，犙＝｛－１，－犫｝，若犘＝犙，求犪－犫的值；
（２）已知集合犃＝｛狓｜０＜狓＜犪｝，犅＝｛狓｜１＜狓＜２｝，若犅?犃，求实数犪的取值范围．
９
第一章　集合与常用逻辑用语
１?３　集合的基本运算
我们知道，实数有加、减、乘、除等运算．集合是否也
有类似的运算呢？
并集

观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合犆与集合犃，犅之间的
关系吗？
（１）犃＝｛１，３，５｝，犅＝｛２，４，６｝，犆＝｛１，２，３，４，５，６｝；
（２）犃＝｛狓｜狓是有理数｝，犅＝｛狓｜狓是无理数｝，犆＝｛狓｜狓是实数｝．
A B
A B

图１．３?１
在上述两个问题中，集合犃，犅 与集合犆之间都具有
这样一种关系：集合犆是由所有属于集合犃 或属于集合犅
的元素组成的．
一般地，由所有属于集合犃或属于集合犅的元素组成
的集合，称为集合犃与犅的并集 （ｕｎｉｏｎｓｅｔ），记作犃∪犅
（读作 “犃并犅”），即
犃∪犅＝｛狓｜狓∈犃，或狓∈犅｝，
可用Ｖｅｎｎ图 （图１．３?１）表示．
这样，在问题 （１）（２）中，集合犃与犅的并集是犆，即
犃∪犅＝犆．
　　在求两个集合的并集
时，它们的公共元素在并
集中只能出现一次．如元
素５，８．
例１　设犃＝｛４，５，６，８｝，犅＝｛３，５，７，８｝，求犃∪犅．
解：犃∪犅＝｛４，５，６，８｝∪｛３，５，７，８｝
＝｛３，４，５，６，７，８｝．
例２　设集合犃＝｛狓｜－１＜狓＜２｝，集合犅＝｛狓｜１＜狓＜３｝，
求犃∪犅．
解：犃∪犅＝｛狓｜－１＜狓＜２｝∪｛狓｜１＜狓＜３｝
＝｛狓｜－１＜狓＜３｝．
如图１．３?２，还可以利用数轴直观表示例２中求并集
０１
第一章　集合与常用逻辑用语
犃∪犅的过程．
1 2 3 x0-1
图１．３?２

下列关系式成立吗？
（１）犃∪犃＝犃；（２）犃∪?＝犃．
交集

观察下面的集合，集合犃，犅与集合犆之间有什么关系？
（１）犃＝｛２，４，６，８，１０｝，犅＝｛３，５，８，１２｝，犆＝｛８｝；
（２）犃＝｛狓｜狓是立德中学今年在校的女同学｝，犅＝｛狓｜狓是立德中学今年在校
的高一年级同学｝，犆＝｛狓｜狓是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．
在上述两个问题中，集合犆是由所有既属于集合犃 又属于
集合犅的元素组成的．
A BA B


图１．３?３
一般地，由所有属于集合犃 且属于集合犅的元素组成的集
合，称为集合犃 与犅 的交集 （ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓｅｔ），记作犃∩犅
（读作 “犃交犅”），即
犃∩犅＝｛狓｜狓∈犃，且狓∈犅｝，
可用Ｖｅｎｎ图 （图１．３?３）表示．
这样，在上述问题（１）（２）中，犃∩犅＝犆．
例３　立德中学开运动会，设
犃＝｛狓｜狓是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，
犅＝｛狓｜狓是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，
求犃∩犅．
解：犃∩犅就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成
的集合．所以，
犃∩犅＝｛狓｜狓是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝．
１１
第一章　集合与常用逻辑用语
例４　设平面内直线犾１上点的集合为犔１，直线犾２上点的集合为犔２，试用集合的运算
表示犾１，犾２的位置关系．
解：平面内直线犾１，犾２可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．
（１）直线犾１，犾２相交于一点犘可表示为
犔１∩犔２＝｛点犘｝；
（２）直线犾１，犾２平行可表示为
犔１∩犔２＝?；
（３）直线犾１，犾２重合可表示为
犔１∩犔２＝犔１＝犔２．

下列关系式成立吗？
（１）犃∩犃＝犃；（２）犃∩?＝?．

１．设犃＝｛３，５，６，８｝，犅＝｛４，５，７，８｝，求犃∩犅，犃∪犅．
２．设犃＝｛狓｜狓２－４狓－５＝０｝，犅＝｛狓｜狓２＝１｝，求犃∪犅，犃∩犅．
３．设犃＝｛狓｜狓是等腰三角形｝，犅＝｛狓｜狓是直角三角形｝，求犃∩犅，犃∪犅．
４．设犃＝｛狓｜狓是幸福农场的汽车｝，犅＝｛狓｜狓是幸福农场的拖拉机｝，求犃∪犅．
　　通常也把给定的集合
作为全集．
补集
在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．
例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到
正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到
实数．在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充．
在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果．例如
方程（狓－２）（狓２－３）＝０的解集，在有理数范围内只有一个
解２，即
｛狓∈犙｜（狓－２）（狓２－３）＝０｝＝｛２｝；
在实数范围内有三个解：２，槡３，－槡３，即
｛狓∈犚｜（狓－２）（狓２－３）＝０｝＝｛２，槡３，－槡３｝．
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元
素，那么就称这个集合为全集 （ｕｎｉｖｅｒｓｅｓｅｔ），通常记作犝．
２１
第一章　集合与常用逻辑用语
AU
A
图１．３?４
对于一个集合犃，由全集犝中不属于集合犃的所有元素组成
的集合称为集合犃 相对于全集犝 的补集 （ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｓｅｔ），
简称为集合犃的补集，记作瓓犝犃，即
瓓犝犃＝｛狓｜狓∈犝，且狓?犃｝，
可用Ｖｅｎｎ图 （图１．３?４）表示．
例５　设犝＝｛狓｜狓是小于９的正整数｝，犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛３，４，５，６｝，求瓓犝犃，
瓓犝犅．
解：根据题意可知，犝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，所以
瓓犝犃＝｛４，５，６，７，８｝，
瓓犝犅＝｛１，２，７，８｝．
例６　设全集犝＝｛狓｜狓是三角形｝，犃＝｛狓｜狓是锐角三角形｝，犅＝｛狓｜狓是钝角三
角形｝，求犃∩犅，瓓犝（犃∪犅）．
解：根据三角形的分类可知
犃∩犅＝?，
犃∪犅＝｛狓｜狓是锐角三角形或钝角三角形｝，
瓓犝（犃∪犅）＝｛狓｜狓是直角三角形｝．

１．已知犝＝｛１，２，３，４，５，６，７｝，犃＝｛２，４，５｝，犅＝｛１，３，５，７｝，求犃∩（瓓犝犅），（瓓犝犃）∩（瓓犝犅）．
２．设犛＝｛狓｜狓是平行四边形或梯形｝，犃＝｛狓｜狓是平行四边形｝，犅＝｛狓｜狓是菱形｝，犆＝｛狓｜狓是矩
形｝，求犅∩犆，瓓犛犅，瓓犛犃．
３．图中犝是全集，犃，犅是犝的两个子集，用阴影表示：
（１）（瓓犝犃）∩（瓓犝犅）；　　 （２）（瓓犝犃）∪（瓓犝犅）．
A B
8
A B
8
（１） （２）
（第３题）
３１
第一章　集合与常用逻辑用语

习题１．３
１．集合犃＝｛狓｜２≤狓＜４｝，犅＝｛狓｜３狓－７≥８－２狓｝，求犃∪犅，犃∩犅．
２．设犃＝｛狓｜狓是小于９的正整数｝，犅＝｛１，２，３｝，犆＝｛３，４，５，６｝．求犃∩犅，犃∩犆，
犃∩（犅∪犆），犃∪（犅∩犆）．
３．学校开运动会，设犃＝｛狓｜狓是参加１００ｍ跑的同学｝，犅＝｛狓｜狓是参加２００ｍ跑的同学｝，
犆＝｛狓｜狓是参加４００ｍ跑的同学｝，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比
赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
（１）犃∪犅；　　　　　　 （２）犃∩犆．

４．已知集合犃＝｛狓｜３≤狓＜７｝，犅＝｛狓｜２＜狓＜１０｝，求瓓犚（犃∪犅），瓓犚（犃∩犅），（瓓犚犃）∩犅，
犃∪（瓓犚犅）．
５．设集合犃＝｛狓｜（狓－３）（狓－犪）＝０，犪∈犚｝，犅＝｛狓｜（狓－４）（狓－１）＝０｝，求犃∪犅，犃∩犅．


６．已知全集犝＝犃∪犅＝｛狓∈犖｜０≤狓≤１０｝，犃∩（瓓犝犅）＝｛１，３，５，７｝，试求集合犅．
４１
第一章　集合与常用逻辑用语
 
集合中元素的个数
　　ｃａｒｄ是英文ｃａｒｄｉｎａｌ
（基数）的缩写．
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个
数问题．我们把含有限个元素的集合犃叫做有限集，
用ｃａｒｄ（犃）来表示有限集合犃 中元素的个数．例
如，犃＝｛犪，犫，犮｝，则ｃａｒｄ（犃）＝３．
看一个问题．某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔
记本、方便面、汽水共６种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共
４种，两次一共进了几种货？
回答两次一共进了１０（＝６＋４）种，显然是不对的．让我们试着从集合的角度
考虑这个问题．
用集合犃表示第一次进货的品种，用集合犅表示第二次进货的品种，就有
犃＝｛圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水｝，
犅＝｛圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面｝．
这里ｃａｒｄ（犃）＝６，ｃａｒｄ（犅）＝４．求两次一共进了几种货，这个问题指的是求
ｃａｒｄ（犃∪犅）．这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是
ｃａｒｄ（犃∩犅）．ｃａｒｄ（犃），ｃａｒｄ（犅），ｃａｒｄ（犃∪犅），ｃａｒｄ（犃∩犅）之间有什么关
系呢？
可以算出
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝８，
ｃａｒｄ（犃∩犅）＝２．
一般地，对任意两个有限集合犃，犅，有
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝ｃａｒｄ（犃）＋ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）．
再来看一个问题．学校先举办了一次田径运动会，某班有８名同学参赛，又
举办了一次球类运动会，这个班有１２名同学参赛，两次运动会都参赛的有３人．
两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
用集合犃 表示田径运动会参赛的学生，用集合犅表示球类运动会参赛的学
生，就有
犃＝｛狓｜狓是田径运动会参赛的学生｝，
犅＝｛狓｜狓是球类运动会参赛的学生｝，
那么
犃∩犅＝｛狓｜狓是两次运动会都参赛的学生｝，
犃∪犅＝｛狓｜狓是所有参赛的学生｝，
５１
第一章　集合与常用逻辑用语
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝ｃａｒｄ（犃）＋ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）
＝８＋１２－３＝１７．
所以，在两次运动会中，这个班共有１７名同学参赛．
我们也可以用Ｖｅｎｎ图来求解．
A BA B


(3) (9)(5)
　　?这里的３是表示元
素的个数，而不是元素．
图中我们特别加上括号，
另外两个数５，９也一样．
在上图中相应于犃∩犅的区域里先填上３?（ｃａｒｄ
（犃∩犅）＝３），再在犃中不包括犃∩犅的区域里填上
５（ｃａｒｄ（犃）－ｃａｒｄ（犃∩犅）＝５），在犅中不包括犃∩犅
的区域里填上９（ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）＝９）．最后把
这三个数加起来得１７，这就是ｃａｒｄ（犃∪犅）．
这种图解法对于解比较复杂的问题 （例如涉及三
个以上集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性．对于有限集合犃，犅，犆，
你能发现ｃａｒｄ（犃∪犅∪犆），ｃａｒｄ（犃），ｃａｒｄ（犅），ｃａｒｄ（犆），ｃａｒｄ（犃∩犅），ｃａｒｄ
（犅∩犆），ｃａｒｄ（犃∩犆），ｃａｒｄ（犃∩犅∩犆）之间的关系吗？通过一个具体的例子，
算一算．
有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来．而对于元素个数无限的集
合，如
犃＝｛１，２，３，４，…，狀，…｝，
犅＝｛２，４，６，８，…，２狀，…｝，
我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少．你
能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？
６１
第一章　集合与常用逻辑用语
１?４　充分条件与必要条件
在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，
我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述
句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句
是假命题．中学数学中的许多命题可以写成 “若狆，则狇”
“如果狆，那么狇”等形式．其中狆称为命题的条件，狇称
为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题．下面我们
将进一步考察 “若狆，则狇”形式的命题中狆和狇的关系，
学习数学中的三个常用的逻辑用语———充分条件、必要条
件和充要条件．
１?４?１! "#$%&'($%

下列 “若狆，则狇”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（３）若狓２－４狓＋３＝０，则狓＝１；
（４）若平面内两条直线犪和犫均垂直于直线犾，则犪∥犫．
　　?此时，如果狇不成
立，则狆一定不成立．所
以，狇对于狆成立而言是
必要的．请举例说明．
在命题 （１）（４）中，由条件狆通过推理可以得出结论
狇，所以它们是真命题．在命题 （２）（３）中，由条件狆不能
得出结论狇，所以它们是假命题．
一般地，“若狆，则狇”为真命题，是指由狆通过推理
可以得出狇．这时，我们就说，由狆可以推出狇，记作
狆?狇，
并且说，狆是狇的充分条件 （ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ），狇是狆
的必要条件? （ｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．
如果 “若狆，则狇”为假命题，那么由条件狆不能推出
结论狇，记作狆?／狇．此时，我们就说狆不是狇的充分条件，
狇不是狆的必要条件．
上述命题 （１）（４）中的狆是狇的充分条件，狇是狆的必
７１
第一章　集合与常用逻辑用语
要条件，而命题 （２）（３）中的狆不是狇的充分条件，狇不是狆的必要条件．
例１　下列 “若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狆是狇的充分条件？
（１）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（２）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（３）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（４）若狓２＝１，则狓＝１；
（５）若犪＝犫，则犪犮＝犫犮；
（６）若狓，狔为无理数，则狓狔为无理数．
　　举反例是判断一个命
题是假命题的重要方法．
解：（１）这是一条平行四边形的判定定理，狆?狇，所
以狆是狇的充分条件．
（２）这是一条相似三角形的判定定理，狆?狇，所以狆
是狇的充分条件．
（３）这是一条菱形的性质定理，狆?狇，所以狆是狇的
充分条件．
（４）由于（－１）２＝１，但－１≠１，狆?／狇，所以狆不是狇
的充分条件．
（５）由等式的性质知，狆?狇，所以狆是狇的充分条件．
（６）槡２为无理数，但槡２×槡２＝２为有理数，狆?／狇，所
以狆不是狇的充分条件．

例１中命题 （１）给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件，即 “四边形
的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个
不同的充分条件吗？
我们说狆是狇的充分条件，是指由条件狆可以推出结论狇，但这并不意味着只能由这
个条件狆才能推出结论狇．一般来说，对给定结论狇，使得狇成立的条件狆是不唯一的．
例如，我们知道，下列命题均为真命题：
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形．
所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对
角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的充分条件．
事实上，例１中命题 （１）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理．所以，平
８１
第一章　集合与常用逻辑用语
行四边形的每一条判定定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条
件能充分保证四边形是平行四边形．类似地，平行线的每一条判定定理都给出了 “两直线
平行”的一个充分条件，例如 “内错角相等”这个条件就充分保证了 “两条直线平行”．
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
例２　下列 “若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狇是狆的必要条件？
（１）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（２）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（３）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（４）若狓＝１，则狓２＝１；
（５）若犪犮＝犫犮，则犪＝犫；
（６）若狓狔为无理数，则狓，狔为无理数．
解：（１）这是平行四边形的一条性质定理，狆?狇，所以，狇是狆的必要条件．
（２）这是三角形相似的一条性质定理，狆?狇，所以，狇是狆的必要条件．
A
B
C
D
图１．４?１
（３）如图１．４?１，四边形犃犅犆犇 的对角线互相垂直，
但它不是菱形，狆?／狇，所以，狇不是狆的必要条件．
（４）显然，狆?狇，所以，狇是狆的必要条件．
（５）由于（－１）×０＝１×０，但－１≠１，狆?／狇，所以，狇不
是狆的必要条件．
（６）由于１×槡２＝槡２为无理数，但１，槡２不全是无理
数，狆?／狇，所以，狇不是狆的必要条件．
一般地，要判断 “若狆，则狇”形式的命题中狇是否为狆的必要条件，只需判断是否
有 “狆?狇”，即 “若狆，则狇”是否为真命题．

例２中命题 （１）给出了 “四边形是平行四边形”的一个必要条件，即 “这个四
边形的两组对角分别相等”．这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出
“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？
我们说狇是狆的必要条件，是指以狆为条件可以推出结论狇，但这并不意味着由条件
狆只能推出结论狇．一般来说，给定条件狆，由狆可以推出的结论狇是不唯一的．例如，
下列命题都是真命题：
①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
９１
第一章　集合与常用逻辑用语
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分．
这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的
两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的必要条件．
我们知道，例２中命题（１）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理．所以，平行
四边形的每条性质定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个必要条件．类似地，平行线
的每条性质定理都给出了 “两直线平行”的一个必要条件，例如 “同位角相等”是 “两直
线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有 “两直线平行”．
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

１．下列 “若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狆是狇的充分条件？
（１）若平面内点犘在线段犃犅的垂直平分线上，则犘犃＝犘犅；
（２）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
a
2
1
3
4
b
l
（第３题）
（３）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方．
２．下列 “若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狇是狆的必要条件？
（１）若直线犾与⊙犗有且仅有一个交点，则犾为⊙犗的一条切线；
（２）若狓是无理数，则狓２也是无理数．
３．如图，直线犪与犫被直线犾所截，分别得到了∠１，∠２，∠３和∠４．请根
据这些信息，写出几个 “犪∥犫”的充分条件和必要条件．
１?４?２! "($%

下列 “若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（１）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（２）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（３）若一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个不相等的实数根，则犪犮＜０；
（４）若犃∪犅是空集，则犃与犅均是空集．
　　将命题 “若狆，则狇”
中的条件狆 和结论狇 互
换，就得到一个新的命题
“若狇，则狆”，称这个命
题为原命题的逆命题．
不难发现，上述命题中的命题 （１）（４）和它们的逆命题
都是真命题；命题 （２）是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题 （３）是假命题，但它的逆命题是真命题．
如果 “若狆，则狇”和它的逆命题 “若狇，则狆”均是
真命题，即既有狆?狇，又有狇?狆，就记作
狆?狇．
０２
第一章　集合与常用逻辑用语
此时，狆既是狇的充分条件，也是狇的必要条件，我们说狆是狇的充分必要条件，简称为
充要条件 （ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．显然，如果狆是狇的充要条件，那么狇也
是狆的充要条件．
概括地说，如果狆?狇，那么狆与狇互为充要条件．上述命题 （１）（４）中的狆与狇互
为充要条件．
例３　下列各题中，哪些狆是狇的充要条件？
（１）狆：四边形是正方形，狇：四边形的对角线互相垂直且平分；
（２）狆：两个三角形相似，狇：两个三角形三边成比例；
（３）狆：狓狔＞０，狇：狓＞０，狔＞０；
（４）狆：狓＝１是一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的一个根，狇：犪＋犫＋犮＝０（犪≠０）．
解： （１）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形 （为什么），所以
狇?／狆，所以狆不是狇的充要条件．
（２）因为 “若狆，则狇”是相似三角形的性质定理，“若狇，则狆”是相似三角形的判
定定理，所以它们均为真命题，即狆?狇，所以狆是狇的充要条件．
（３）因为狓狔＞０时，狓＞０，狔＞０不一定成立 （为什么），所以狆?／狇，所以狆不是狇
的充要条件．
（４）因为 “若狆，则狇”与 “若狇，则狆”均为真命题，即狆?狇，所以狆是狇的充要
条件．

通过上面的学习，你能给出 “四边形是平行四边形”的充要条件吗？
可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的
一组对边平行且相等”和 “四边形的对角线互相平分”既是 “四边形是平行四边形”的充
分条件，又是必要条件，所以它们都是 “四边形是平行四边形”的充要条件．
另外，我们再看平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，
它表明 “四边形的两组对边分别平行”也是 “四边形是平行四边形”的一个充要条件．
上面的这些充要条件从不同角度刻画了 “平行四边形”这个概念，据此我们可以给出
平行四边形的其他定义形式．例如：
两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；
对角线互相平分的四边形叫做平行四边形．
类似地，利用 “两个三角形全等”的充要条件，可以给出 “三角形全等”的其他定义
形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用 “两个三角形相似”的充要条件，可以给
出 “相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等等．
１２
第一章　集合与常用逻辑用语
例４　已知：⊙犗的半径为狉，圆心犗到直线犾的距离为犱．求证：犱＝狉是直线犾与
⊙犗相切的充要条件．
分析：设狆：犱＝狉，狇：直线犾与⊙犗相切．要证狆是狇的充要条件，只需分别证明
充分性 （狆?狇）和必要性 （狇?狆）即可．
O
P
l
图１．４?２
证明：设狆：犱＝狉，狇：直线犾与⊙犗相切．
（１）充分性 （狆?狇）：如图１．４?２，作犗犘⊥犾于点犘，则
犗犘＝犱．若犱＝狉，则点犘 在⊙犗 上．在直线犾上任取一点犙
（异于点犘），连接犗犙．在Ｒｔ△犗犘犙 中，犗犙＞犗犘＝狉．所以，
除点犘外直线犾上的点都在⊙犗的外部，即直线犾与⊙犗仅有
一个公共点犘．所以直线犾与⊙犗相切．
（２）必要性 （狇?狆）：若直线犾与⊙犗相切，不妨设切点
为犘，则犗犘⊥犾．因此，犱＝犗犘＝狉．
由 （１）（２）可得，犱＝狉是直线犾与⊙犗相切的充要条件．

１．下列各题中，哪些狆是狇的充要条件？
A
B C
D
（第３题）
（１）狆：三角形为等腰三角形，狇：三角形存在两角相等；
（２）狆：⊙犗内两条弦相等，狇：⊙犗内两条弦所对的圆周角相等；
（３）狆：犃∩犅为空集，狇：犃与犅之一为空集．
２．分别写出 “两个三角形全等”和 “两个三角形相似”的几个充要条件．
３．证明：如图，梯形犃犅犆犇为等腰梯形的充要条件为犃犆＝犅犇．

习题１．４
１．举例说明：
（１）狆是狇的充分不必要条件；
（２）狆是狇的必要不充分条件；
（３）狆是狇的充要条件．
２．在下列各题中，判断狆是狇的什么条件 （请用 “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要
条件”“既不充分又不必要条件”回答）：
（１）狆：三角形是等腰三角形，狇：三角形是等边三角形；
（２）狆：一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有实数根，狇：犫２－４犪犮≥０；
（３）狆：犪∈犘∩犙，狇：犪∈犘；
（４）狆：犪∈犘∪犙，狇：犪∈犘；
（５）狆：狓＞狔，狇：狓２＞狔２．
２２
第一章　集合与常用逻辑用语
３．判断下列命题的真假：
（１）点犘到圆心犗的距离大于圆的半径是点犘在⊙犗 外的充要条件；
（２）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
（３）犃∪犅＝犃是犅?犃的必要不充分条件；
（４）狓或狔为有理数是狓狔为有理数的既不充分又不必要条件．

４．已知犃＝｛狓｜狓满足条件狆｝，犅＝｛狓｜狓满足条件狇｝，
（１）如果犃?犅，那么狆是狇的什么条件？
（２）如果犅?犃，那么狆是狇的什么条件？
（３）如果犃＝犅，那么狆是狇的什么条件？
５．设犪，犫，犮∈犚．证明：犪２＋犫２＋犮２＝犪犫＋犪犮＋犫犮的充要条件是犪＝犫＝犮．


６．设犪，犫，犮分别是△犃犅犆的三条边，且犪≤犫≤犮．我们知道，如果△犃犅犆为直角三角形，那
么犪２＋犫２＝犮２ （勾股定理）．反过来，如果犪２＋犫２＝犮２，那么△犃犅犆为直角三角形 （勾股定理
的逆定理）．由此可知，△犃犅犆为直角三角形的充要条件是犪２＋犫２＝犮２．
请利用边长犪，犫，犮分别给出△犃犅犆为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明．
３２
第一章　集合与常用逻辑用语
１?５　全称量词与存在量词
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，
有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什
么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原
语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就
可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．本
节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个
量词的命题进行否定．
１?５?１! )*+,&-.+,

下列语句是命题吗？比较 （１）和 （３），（２）和 （４），它们之间有什么关系？
（１）狓＞３；
（２）２狓＋１是整数；
（３）对所有的狓∈犚，狓＞３；
（４）对任意一个狓∈犣，２狓＋１是整数．
语句 （１）（２）中含有变量狓，由于不知道变量狓代表什么数，无法判断它们的真假，
所以它们不是命题．语句 （３）在 （１）的基础上，用短语 “所有的”对变量狓进行限定；
语句 （４）在 （２）的基础上，用短语 “任意一个”对变量狓进行限定，从而使 （３）（４）
成为可以判断真假的语句，因此语句 （３）（４）是命题．
　　常见的全称量词还有
“一切” “每一个” “任
给”等．
短语 “所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量
词 （ｕｎｉｖｅｒｓａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），并用符号 “?”表示．含有全称
量词的命题，叫做全称量词命题 （ｕｎｉｖｅｒｓａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．
例如，命题 “对任意的狀∈犣，２狀＋１是奇数”“所有的正方
形都是矩形”都是全称量词命题．
通常，将含有变量狓的语句用狆（狓），狇（狓），狉（狓），…
表示，变量狓的取值范围用犕 表示．那么，全称量词命题
“对犕 中任意一个狓，狆（狓）成立”可用符号简记为
?狓∈犕，狆（狓）．
４２
书
第一章　集合与常用逻辑用语
　　?如果一个大于１的
整数，除１和自身外无其
他正因数，则称这个正整
数为素数．
例１　判断下列全称量词命题的真假：
（１）所有的素数?都是奇数；
（２）?狓∈犚，｜狓｜＋１≥１；
（３）对任意一个无理数狓，狓２也是无理数．
分析：要判定全称量词命题 “?狓∈犕，狆（狓）”是真命
题，需要对集合犕 中每个元素狓，证明狆（狓）成立；如果在
　　?这个方法就是 “举
反例”．
集合犕 中找到一个元素狓０，使狆（狓０）不成立，那么这个全
称量词命题就是假命题．?
解：（１）２是素数，但２不是奇数．所以，全称量词命
题 “所有的素数是奇数”是假命题．
（２）?狓∈犚，总有｜狓｜≥０，因而｜狓｜＋１≥１．所以，全
称量词命题 “?狓∈犚，｜狓｜＋１≥１”是真命题．
（３）槡２是无理数，但 （槡２）２＝２是有理数．所以，全称
量词命题 “对每一个无理数狓，狓２也是无理数”是假命题．

下列语句是命题吗？比较 （１）和 （３），（２）和 （４），它们之间有什么关系？
（１）２狓＋１＝３；
（２）狓能被２和３整除；
（３）存在一个狓∈犚，使２狓＋１＝３；
（４）至少有一个狓∈犣，狓能被２和３整除．
　　常见的存在量词还有
“有些” “有一个” “对某
些”“有的”等．
容易判断，（１）（２）不是命题．语句 （３）在 （１）的基
础上，用短语 “存在一个”对变量狓的取值进行限定；语句
（４）在 （２）的基础上，用 “至少有一个”对变量狓的取值
进行限定，从而使 （３）（４）变成了可以判断真假的陈述句，
因此 （３）（４）是命题．
短语 “存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在
量词（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），并用符号 “?”表示．含有存在
量词的命题，叫做存在量词命题（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．
例如，命题 “有的平行四边形是菱形”“有一个素数不
是奇数”都是存在量词命题．
存在量词命题 “存在犕 中的元素狓，狆（狓）成立”可用
符号简记为
?狓∈犕，狆（狓）．
５２
第一章　集合与常用逻辑用语
例２　判断下列存在量词命题的真假：
（１）有一个实数狓，使狓２＋２狓＋３＝０；
（２）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（３）有些平行四边形是菱形．
分析：要判定存在量词命题 “?狓∈犕，狆（狓）”是真命题，只需在集合犕 中找到一
个元素狓，使狆（狓）成立即可；如果在集合犕 中，使狆（狓）成立的元素狓不存在，那么这
个存在量词命题是假命题．
解：（１）由于Δ＝２２－４×３＝－８＜０，因此一元二次方程狓２＋２狓＋３＝０无实根．所
以，存在量词命题 “有一个实数狓，使狓２＋２狓＋３＝０”是假命题．
（２）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条
相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题 “平面内存在两条相交直线垂直于同一
条直线”是假命题．
（３）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题 “有些平行四边形是菱
形”是真命题．

１．判断下列全称量词命题的真假：
（１）每个四边形的内角和都是３６０°；
（２）任何实数都有算术平方根；
（３）?狓∈｛狔｜狔是无理数｝，狓３是无理数．
２．判断下列存在量词命题的真假：
（１）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（２）至少有一个整数狀，使得狀２＋狀为奇数；
（３）?狓∈｛狔｜狔是无理数｝，狓２是无理数．
１?５?２! )*+,/01-.+,/0234
　　一个命题和它的否定
不能同时为真命题，也不
能同时为假命题，只能一
真一假．
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命
题，这一新命题称为原命题的否定．例如，“５６是７的倍数”
的否定为 “５６不是７的倍数”，“空集是集合犃＝｛１，２，３｝
的真子集”的否定为 “空集不是集合犃＝｛１，２，３｝的真子
集”．下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否
定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定．
６２
第一章　集合与常用逻辑用语

写出下列命题的否定：
（１）所有的矩形都是平行四边形；
（２）每一个素数都是奇数；
（３）?狓∈犚，狓＋｜狓｜≥０．
它们与原命题在形式上有什么变化？
上面三个命题都是全称量词命题，即具有 “?狓∈犕，狆（狓）”的形式．其中命题 （１）
的否定是 “并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，
存在一个矩形不是平行四边形；
命题 （２）的否定是 “并非每一个素数都是奇数”，也就是说，
存在一个素数不是奇数；
命题 （３）的否定是 “并非所有的狓∈犚，狓＋｜狓｜≥０”，也就是说，
?狓∈犚，狓＋｜狓｜＜０．
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把 “所有的”“任意
一个”等全称量词，变成 “并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定
全称量词命题为 “?狓∈犕，狆（狓）”，则它的否定为 “并非?狓∈犕，狆（狓）”，也就是
“?狓∈犕，狆（狓）不成立”．通常，用符号 “狆（狓）”表示 “狆（狓）不成立”．
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题：
?狓∈犕，狆（狓），
它的否定：
?狓∈犕， 狆（狓）．
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．
例３　写出下列全称量词命题的否定：
（１）所有能被３整除的整数都是奇数；
（２）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（３）对任意狓∈犣，狓２的个位数字不等于３．
解：（１）该命题的否定：存在一个能被３整除的整数不是奇数．
（２）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
（３）该命题的否定：?狓∈犣，狓２的个位数字等于３．
７２
第一章　集合与常用逻辑用语

写出下列命题的否定：
（１）存在一个实数的绝对值是正数；
（２）有些平行四边形是菱形；
（３）?狓∈犚，狓２－２狓＋３＝０．
它们与原命题在形式上有什么变化？
这三个命题都是存在量词命题，即具有 “?狓∈犕，狆（狓）”的形式．其中命题 （１）
的否定是 “不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，
所有实数的绝对值都不是正数；
命题 （２）的否定是 “没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，
每一个平行四边形都不是菱形；
命题 （３）的否定是 “不存在狓∈犚，狓２－２狓＋３＝０”，也就是说，
?狓∈犚，狓２－２狓＋３≠０．
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把 “存在一个”“至
少有一个”“有些”等存在量词，变成 “不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是
说，假定存在量词命题为 “?狓∈犕，狆（狓）”，则它的否定为 “不存在狓∈犕，使狆（狓）成
立”，也就是 “?狓∈犕，狆（狓）不成立”．
对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题：
?狓∈犕，狆（狓），
它的否定：
?狓∈犕， 狆（狓）．
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．
例４　写出下列存在量词命题的否定：
（１）?狓∈犚，狓＋２≤０；
（２）有的三角形是等边三角形；
（３）有一个偶数是素数．
解：（１）该命题的否定：?狓∈犚，狓＋２＞０．
（２）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形．
（３）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数．
８２
第一章　集合与常用逻辑用语
例５　写出下列命题的否定，并判断真假：
（１）任意两个等边三角形都相似；
（２）?狓∈犚，狓２－狓＋１＝０．
解：（１）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角
形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．
（２）该命题的否定：?狓∈犚，狓２－狓＋１≠０．因为对任意狓∈犚，
狓２－狓＋１＝（狓－１
２
）２＋３
４
＞０，
所以这是一个真命题．

１．写出下列命题的否定：
（１）?狀∈犣，狀∈犙；
（２）任意奇数的平方还是奇数；
（３）每个平行四边形都是中心对称图形．
２．写出下列命题的否定：
（１）有些三角形是直角三角形；
（２）有些梯形是等腰梯形；
（３）存在一个实数，它的绝对值不是正数．

习题１．５
１．判断下列全称量词命题的真假：
（１）每一个末位是０的整数都是５的倍数；
（２）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（３）对任意负数狓，狓２的平方是正数；
（４）梯形的对角线相等．
２．判断下列存在量词命题的真假：
（１）有些实数是无限不循环小数；
（２）存在一个三角形不是等腰三角形；
（３）有些菱形是正方形；
（４）至少有一个整数狀，狀２＋１是４的倍数．
３．写出下列命题的否定：
（１）?狓∈犣，｜狓｜∈犖；
（２）所有可以被５整除的整数，末位数字都是０；
（３）?狓∈犚，狓＋１≥０；
９２
第一章　集合与常用逻辑用语
（４）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．

４．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（１）平面直角坐标系下每条直线都与狓轴相交；
（２）每个二次函数的图象都是轴对称图形；
（３）存在一个三角形，它的内角和小于１８０°；
（４）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
５．将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定：
（１）平行四边形的对角线互相平分；
（２）三个连续整数的乘积是６的倍数；
（３）三角形不都是中心对称图形；
（４）一元二次方程不总有实数根．


６．在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题
只能一真一假，不能同真或同假．
在数学中，有很多 “若狆，则狇”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：
① 若狓＞１，则２狓＋１＞５；（假命题）
② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．（真命题）
这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题．
（１）有人认为，①的否定是 “若狓＞１，则２狓＋１≤５”，②的否定是 “若四边形为等腰梯形，
则这个四边形的对角线不相等”．你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的
否定．
（２）请你列举几个 “若狆，则狇”形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定，
并判断真假．
０３
第一章　集合与常用逻辑用语
 
几何命题与充分条件、必要条件
通过前面的学习我们发现，对于一种几何图形或几何图形之间的关系，可以
通过充要条件给出它的等价定义，通过充分条件给出它的判定定理，通过必要条
件给出它的性质定理．利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题，可以促进
我们更深入地理解几何图形及其关系．下面以相似三角形为例进行说明．
为了方便，我们记狇：两个三角形相似．
１．相似三角形的定义
三角形的相似是三角形之间的一种关系，它的定义是：三个角分别相等、三
条边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
记狆：三个角分别相等且三条边成比例．因为狆?狇，狇?狆，所以狆是狇的
充要条件．
三条边、三个内角是三角形的六个要素，相似三角形的定义从两个三角形各
要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件．
２．相似三角形的判定
相似三角形的判定指出了 “满足什么条件的两个三角形相似”．初中学过如下
判定定理：
（１）三边成比例的两个三角形相似；
（２）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（３）两角分别相等的两个三角形相似．
记狆１：三边成比例，狆２：两边成比例且夹角相等，狆３：两角分别相等，我们
有狆１?狇，狆２?狇，狆３?狇，即狆１，狆２，狆３分别给出了狇的一个充分条件．
上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出
了相似三角形的充分条件．事实上，我们还可以给出相似三角形的其他充分条件，
例如 “相似于同一个三角形的两个三角形相似”（这表明，“相似”具有传递性）．
利用判定定理我们可以判定两个三角形是相似三角形．
想一想：（１）你能给出相似三角形的其他充分条件吗？（２）利用判定定理可
以判定两个三角形不是相似三角形吗？为什么？
３．相似三角形的性质
相似三角形的性质给出了两个三角形相似所必须满足的条件．换言之，如果
不满足这个条件，那么这两个三角形就一定不相似．在初中，我们学过的相似三
角形性质定理有：
（１）相似三角形对应线段的比都相等 （等于相似比），特别地，相似三角形的对
应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都相等 （等于相似比）；
１３
第一章　集合与常用逻辑用语
（２）相似三角形的对应角相等；
（３）相似三角形周长的比等于对应边之比 （相似比）；
（４）相似三角形面积的比等于对应边之比 （相似比的平方）．
记狉１：对应线段的比等于相似比，狉２：对应角相等，狉３：周长的比等于对应
边之比，狉４：面积的比等于对应边之比的平方，我们有狇?狉１，狇?狉２，狇?狉３，
狇?狉４，即狉１，狉２，狉３，狉４分别给出了狇的一个必要条件．例如，如果狉１不成立，
即对应线段的比不全相等，那么这两个三角形就一定不相似．因此，利用性质定
理可以判定两个三角形不是相似三角形．
想一想：利用性质定理可以判定两个三角形是相似三角形吗？为什么？
以上性质定理分别从三角形的要素、三角形中的重要线段及重要几何量等方
面给出了相似三角形的必要条件．你能给出相似三角形的其他必要条件吗？
分析上述命题，可以发现，有些条件是狇的充要条件，例如狆１（狉１），狆２，
狆３（狉２），据此可以构造出相似三角形的等价定义：
（１）三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；
（２）两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形；
（３）两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形．
由上述任意一个定义出发，我们也可以推出相似三角形的其他性质，你能试
一试吗？
请你仿照上述思路，对等腰三角形、直角三角形、平行四边形 （矩形、菱
形、正方形）等图形的知识进行梳理．
２３
第一章　集合与常用逻辑用语

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本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要
条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定．
这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础．
为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述
方式．为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性
和互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用
了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我
们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决
定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、
补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研
究对象的某些关系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，
这对提升我们的数学运算素养是很有意义的．在学习中，要注意 “集合的含义
与表示—集合的关系—集合的运算”这个研究路径．
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是
数学表达和交流的工具．结合初中学过的平面几何和代数知识，我们学习了常
用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表
达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理论证，可以大大提升表述的逻
辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养．
本章的学习不仅要为后续学习做好知识技能的准备，更重要的是要为整个
高中数学学习做好心理准备，初步形成适合高中数学学习的方式方法，使我们
能更好地适应高中数学学习．
３３
第一章　集合与常用逻辑用语
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！
１．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，你能结合例子说明这些特性吗？
２．你能用集合表示平面内线段犃犅的垂直平分线吗？结合集合的描述法谈
谈你的体会．
３．用联系的观点看问题，可以使我们更深刻地理解数学知识．本章中，我
们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算．你认为这样的类
比对发现和提出集合的问题有什么意义？你能类比数的减法运算给出集合的减
法运算吗？
４．对给定的狆和狇，如何判定狆是狇的充分不必要条件、必要不充分条件、
充要条件、既不充分也不必要条件？你能举例说明吗？
５．如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？

复习参考题１
１．用列举法表示下列集合：
（１）犃＝｛狓｜狓２＝９｝；　　　　　　 （２）犅＝｛狓∈犖｜１≤狓≤２｝；
（３）犆＝｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．
２．设犘表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（１）｛犘｜犘犃＝犘犅｝（犃，犅是两个不同定点）；
（２）｛犘｜犘犗＝３ｃｍ｝（犗是定点）．
３．设平面内有△犃犅犆，且犘表示这个平面内的动点，指出属于集合｛犘｜犘犃＝犘犅｝∩｛犘｜犘犃＝
犘犆｝的点是什么．
４．请用 “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：
（１）三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的　　　　　　　 ；
（２）狓∈犃是狓∈犃∪犅的　　　　　　　；
（３）狓∈犃是狓∈犃∩犅的　　　　　　　 ；
（４）狓，狔为无理数是狓＋狔为无理数的　　　　　　　 ．
５．已知犪，犫，犮是实数，判断下列命题的真假：
（１）“犪＞犫”是 “犪２＞犫２”的充分条件； （　　）
（２）“犪＞犫”是 “犪２＞犫２”的必要条件； （　　）
（３）“犪＞犫”是 “犪犮２＞犫犮２”的充分条件； （　　）
（４）“犪＞犫”是 “犪犮２＞犫犮２”的必要条件． （　　）
４３
第一章　集合与常用逻辑用语
６．用符号 “?”与 “?”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（１）任意实数的平方大于或等于０；
（２）对任意实数犪，二次函数狔＝狓２＋犪的图象关于狔轴对称；
（３）存在整数狓，狔，使得２狓＋４狔＝３；
（４）存在一个无理数，它的立方是有理数．
７．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（１）?犪∈犚，一元二次方程狓２－犪狓－１＝０有实根；
（２）每个正方形都是平行四边形；
（３）?犿∈犖， 犿２槡 ＋１∈犖；
（４）存在一个四边形犃犅犆犇，其内角和不等于３６０°．

８．已知集合犃＝｛（狓，狔）｜２狓－狔＝０｝，犅＝｛（狓，狔）｜３狓＋狔＝０｝，犆＝｛（狓，狔）｜２狓－狔＝３｝，求
犃∩犅，犃∩犆，并解释它们的几何意义．
９．已知集合犃＝｛１，３，犪２｝，犅＝｛１，犪＋２｝，是否存在实数犪，使得犃∪犅＝犃？若存在，试求
出实数犪的值；若不存在，请说明理由．
１０．把下列定理表示的命题写成含有量词的命题：
（１）勾股定理；
（２）三角形内角和定理．


１１．学校举办运动会时，高一 （１）班共有２８名同学参加比赛，有１５人参加游泳比赛，有８人参
加田径比赛，有１４人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有３人，同时参加游泳
比赛和球类比赛的有３人，没有人同时参加三项比赛．同时参加田径和球类比赛的有多少人？
只参加游泳一项比赛的有多少人？
A
B CD
F
E
O
（第１２（２）题）
１２．根据下述事实，分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：
（１）１＝１２，
１＋３＝２２，
１＋３＋５＝３２，
１＋３＋５＋７＝４２，
１＋３＋５＋７＋９＝５２，
……
（２）如图，在△犃犅犆中，犃犇，犅犈与犆犉分别为犅犆，犃犆与犃犅边上的高，则犃犇，犅犈与
犆犉所在的直线交于一点犗．
５３
第二章
一元二次函数、方程和不等式
相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系．我们可以
利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等
式解决数学内外的各种问题．在初中，我们已学过一次函数与方
程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程 （组）、
不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一
起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现．
本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认
识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，
通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的
不等式———基本不等式；通过从实际情境中抽象一元二次不等式
的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式
的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次
不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一
元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程
和不等式的数学思想方法．
第二章　一元二次函数、方程和不等式
２?１　等式性质与不等式性质
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等
关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快
与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的
问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表
示，不等用不等式表示．
　　?你能写出其他的可
能情况吗？
问题１　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不
等关系吗？
（１）某路段限速４０ｋｍ／ｈ；
（２）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量犳
应不少于２．５％，蛋白质的含量狆应不少于２．３％；
（３）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第
三边；
（４）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线
段最短．
对于 （１），设在该路段行驶的汽车的速度为狏ｋｍ／ｈ，“限
速４０ｋｍ／ｈ”就是狏的大小不能超过４０，于是０＜狏≤４０．
对于 （２），由题意，得
犳≥２．５％，
狆≥２．３％．
烅
烄
烆
对于 （３），设△犃犅犆的三条边为犪，犫，犮，则犪＋犫＞
犮，犪－犫＜犮．?
BA DE
C
图２．１?１
对于 （４），如图２．１?１，设犆 是线段犃犅 外的任意一
点，犆犇垂直于犃犅，垂足为犇，犈 是线段犃犅 上不同于犇
的任意一点，则犆犇＜犆犈．
以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．
接着，就可以用不等式研究相应的问题了．
问题２　某种杂志原以每本２．５元的价格销售，可以售出８万本．据市场调查，杂志
的单价每提高０．１元，销售量就可能减少２０００本．如何定价才能使提价后的销售总收入
不低于２０万元？
７３
第二章　一元二次函数、方程和不等式
设提价后每本杂志的定价为狓元，则销售总收入为（８－狓－２．５
０．１
×０．２）狓万元．于是，
不等关系 “销售总收入不低于２０万元”可以用不等式表示为
（８－狓－２．５
０．１
×０．２）狓≥２０． ①
求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．
如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为
此，我们需要先研究不等式的性质．
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质
为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系
的基本事实．
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大
小关系：如图２．１?２，设犪，犫是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是犃，犅．那
么，当点犃在点犅的左边时，犪＜犫；当点犃在点犅的右边时，犪＞犫．
A B
a b
a b
x
AB
ab
a b
x



图２．１?２
关于实数犪，犫大小的比较，有以下基本事实：
如果犪－犫是正数，那么犪＞犫；如果犪－犫等于０，那么犪＝犫；如果犪－犫是负数，
那么犪＜犫．反过来也对．
这个基本事实可以表示为
犪＞犫?犪－犫＞０；
犪＝犫?犪－犫＝０；
犪＜犫?犪－犫＜０．
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与０的
大小．
　　０是正数与负数的分
界点，它为实数比较大小
提供了 “标杆”．
例１　比较（狓＋２）（狓＋３）和（狓＋１）（狓＋４）的大小．
分析：通过考察这两个多项式的差与０的大小关系，可
以得出它们的大小关系．
解：因为
　（狓＋２）（狓＋３）－（狓＋１）（狓＋４）
＝（狓２＋５狓＋６）－（狓２＋５狓＋４）
＝２＞０，
所以
（狓＋２）（狓＋３）＞（狓＋１）（狓＋４）．
８３
第二章　一元二次函数、方程和不等式
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于０的数 （式）．这是解决不等
式问题的常用方法．

图２．１?３
图２．１?３是在北京召开的第２４届国际数学家大会的会标，会
标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看
上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一
些相等关系和不等关系吗？
A
B
C
D
E
FG
H
a
b
a2+b2
图２．１?４
将图２．１?３中的 “风车”抽象成图２．１?４．在正方形犃犅犆犇 中
有４个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为犪，
犫 （犪≠犫），那么正方形的边长为 犪２＋犫槡 ２．这样，４个直角三角形
的面积和为２犪犫，正方形的面积为犪２＋犫２．由于正方形犃犅犆犇 的面
积大于４个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式
犪２＋犫２＞２犪犫．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即犪＝犫时，正方形
犈犉犌犎 缩为一个点，这时有
犪２＋犫２＝２犪犫．
于是就有犪２＋犫２≥２犪犫．
一般地，?犪，犫∈犚，有
犪２＋犫２≥２犪犫，
当且仅当犪＝犫时，等号成立．
事实上，利用完全平方差公式，得
犪２＋犫２－２犪犫＝（犪－犫）２．
因为?犪，犫∈犚，（犪－犫）２≥０，当且仅当犪＝犫时，等号成立，
所以犪２＋犫２－２犪犫≥０．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得
犪２＋犫２≥２犪犫，当且仅当犪＝犫时，等号成立．

5 m 5 m
5
m
5
m


（第１（３）题）
１．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
（１）某高速公路规定通过车辆的车货总高度犺从地面算起不能超过４ｍ；
（２）犪与犫的和是非负实数；
（３）如图，在一个面积小于３５０ｍ２的矩形地基的中心位置上建造一
个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长犔大于宽犠 的４倍．
９３
第二章　一元二次函数、方程和不等式
２．比较（狓＋３）（狓＋７）和（狓＋４）（狓＋６）的大小．
３．已知犪＞犫，证明犪＞
犪＋犫
２
＞犫．
关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到
底有哪些性质呢？
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研
究方法中获得启发．

请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性
质的方法吗？
等式有下面的基本性质：
性质１　如果犪＝犫，那么犫＝犪；
性质２　如果犪＝犫，犫＝犮，那么犪＝犮；
性质３　如果犪＝犫，那么犪±犮＝犫±犮；
性质４　如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮；
　　运算中的不变性就是
性质．
性质５　如果犪＝犫，犮≠０，那么
犪
犮
＝
犫
犮
．
可以发现，性质１，２反映了相等关系自身的特性，性
质３，４，５是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保
持的不变性．

类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？
类比等式的性质１，２，可以猜想不等式有如下性质：
性质１　如果犪＞犫，那么犫＜犪；如果犫＜犪，那么犪＞犫．即
犪＞犫?犫＜犪．
性质２　如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮．即
犪＞犫，犫＞犮?犪＞犮．
我们来证明性质２：
０４
第二章　一元二次函数、方程和不等式
由两个实数大小关系的基本事实知
犪＞犫?犪－犫＞０
犫＞犮?犫－犮＞０
烍
烌
烎
?犪－犫（ ）＋犫－犮（ ）＞０
?犪－犮＞０?犪＞犮．
　　从不同角度表述不等
式的性质，可以加深理解．
对其他不等式的性质，你
能用文字语言表述吗？
类比等式的性质３～５，可以猜想不等式还有如下性质：
性质３　如果犪＞犫，那么犪＋犮＞犫＋犮．
这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等
式与原不等式同向．
如图２．１?５，把数轴上的两个点犃 与犅 同时沿相同方
向移动相等的距离，得到另两个点犃１与犅１，犃 与犅和犃１
与犅１的左右位置关系不会改变．用不等式的语言表示，就
是上述性质３．
A BA1 B1
a a+c b b+c
A BA1 B1
aa+c bb+c
图２．１?５
由性质３可得，
犪＋犫＞犮?犪＋犫＋（－犫）＞犮＋（－犫）
?犪＞犮－犫．
这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边．
性质４　如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞

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