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求圆锥曲线方程 5 大类型

求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种：
①几何分析+方程思想； ②设而不求+韦达定理
③定义+数形结合； ④参数法+方程思想
类型 1——待定系数法
待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，
利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中
已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。
例 1.2014 年全国Ⅱ卷（理科 20）设 ????1 、 ????2 分别是椭圆 ????:
???? 2
????2
+ ????
2
????2
= 1(???? > ???? > 0) 的左、右
焦点，???? 是 ???? 上一点且 ????????2 与 ???? 轴垂直，直线 ????????1 与 ???? 的另一个交点为 ????．
Ⅰ 若直线 ???????? 的斜率为 3
4
，求 ???? 的离心率；
Ⅰ 若直线 ???????? 在 ???? 轴上的截距为 2，且 ∣ ???????? ∣= 5 ∣ ????1???? ∣，求 ????，????．
【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系，结合椭圆的几何性质和
方程思想，通过待定系数法进行求解。着重考查椭圆的几何性质，将几何特征转化为坐标
表示，突显数形结合的思想。

.
2
1∴.
2
1
02-32.,
4
3
2
1∴
4
3 22222
21
1
的离心率为解得
，联立整理得：且由题知，
Ce
eecba
ca
b
FF
MF
=
=++==?=?
72,7
.72,7.
,,1:4:)
2
3-(,
:.
2
3-,,
.4,
.422
222
1111
11
2
2
==
==+=
==+=+=
==
=?=
ba
bacba
a
ceNFMFceaNFecaMF
ccNM
mMFmNF
a
bMF
所以，
联立解得
，且
由焦半径公式可得两点横坐标分别为
可得由两直角三角形相似，由题可知设
，即知，由三角形中位线知识可
类型 2——相关点法求轨迹方程
动点 P(x，y)依赖与另一个动点 Q(x0，y0)变化而变化，并且动点 Q(x0，y0)又在另一
个已知曲线上，则可先用 x，y 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线，可得到所求动点的
轨迹方程。
例 2、2017 年全国Ⅱ 卷（理科 20）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：????
2
2
+ ????2 = 1 上，过 M
作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 ???????????? = √2?????????????．
（Ⅰ ） 求点 P 的轨迹方程；
（Ⅰ ） 设点 Q 在直线 ???? = ?3 上，且 ???????????? ? ???????????? = 1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C
的左焦点 F．
【解法分析】本例第Ⅰ小题充分利用主动点 M 在椭圆上，而从动点 N 与主动点 M 之间存在
横坐标相同，纵坐标有 倍的关系，可利用相关点法进行求解。
⑴设 ，易知 ( )P x y， ( 0)N x，
又 (0 )NP y?
????
， 1 0
2 2
yNM NP ? ?? ? ? ?
? ?
????? ????
，
∴ ，又 在椭圆上． 1
2
M x y? ?? ?
? ?
， M
∴ ，即 ．
2
2
12 2
yx ? ?? ?? ?
? ?
2 2 2x y? ?
⑵设点 ， ， ， ( 3 )QQ y? ， ( )P PP x y， ( 0)Qy ?
由已知： ， ( ) ( 3 ) 1P P P Q POP PQ x y y y y? ? ? ? ? ? ?
???? ????
， ，
， ? ? 2 1OP OQ OP OP OQ OP? ? ? ? ? ????? ???? ???? ???? ???? ????
∴ ，
2
1 3OP OQ OP? ? ? ?
???? ???? ????
∴ ． 3 3P Q P Q P P Qx x y y x y y? ? ? ? ? ?
设直线 ： ， OQ
3
Qyy x? ?
?
因为直线与 垂直． OQl
∴ 3l
Q
k
y
?
故直线方程为 ， 3 ( )P P
Q
y x x y
y
? ? ?
令 ，得 ， 0y ? 3( )P Q Py y x x? ? ?
， 1
3 P Q P
y y x x? ? ? ?
∴ ， 1
3 P Q P
x y y x? ? ? ?
∵ ， 3 3P Q Py y x? ?
∴ ， 1 (3 3 ) 1
3 P P
x x x? ? ? ? ? ?
若 ，则 ， ， ， 0Qy ? 3 3Px? ? 1Px ? ? 1Py ? ?
直线 方程为 ，直线方程为 ， OQ 0y ? 1x ? ?
直线过点 ，为椭圆 的左焦点． ( 1 0)? ， C
类型 3——定义法求轨迹方程
先根据条件确定动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线定义直接写出动点的轨迹方程。
例 3、2016 年全国Ⅰ卷（理科 20）设圆 ????2 + ????2 + 2???? ? 15 = 0 的圆心为 ????，直线 ???? 过点 ????(1,0)
且与 ???? 轴不重合，???? 交圆 ???? 于 ????，???? 两点，过 ???? 作 ???????? 的平行线交 ???????? 于点 ????．
Ⅰ 证明 ∣????????∣ + ∣????????∣ 为定值，并写出点 ???? 的轨迹方程；
Ⅰ 设点 ???? 的轨迹为曲线 ????1，直线 ???? 交 ????1 于 ????，???? 两点，过 ???? 且与 ???? 垂直的直线与圆 ????
交于 ????，???? 两点，求四边形 ???????????????? 面积的取值范围．

类型 4——参数法求曲线方程
当动点 P(x，y)坐标之间的关系较探寻时，可考虑 x，y 之间用同一个变量表示，得
E D
C
A O B x
y
到参数方程， 再消去参数即可，但要注意参数的取值范围。
例 4、2016 全国Ⅲ卷（文科 20） 已知抛物线 ????: ????2 = 2???? 的焦点为 ????，平行于 ???? 轴的两条直
线 ????1，????2 分别交 ???? 于 ????，???? 两点，交 ???? 的准线于 ????，???? 两点．
Ⅰ 若 ???? 在线段 ???????? 上，???? 是 ???????? 的中点，证明 ????????∥????????；
Ⅰ 若 △???????????? 的面积是 △???????????? 的面积的两倍，求 ???????? 中点的轨迹方程．
【解法分析】本例的第Ⅱ小题以两条直线与抛物线的交点的坐标为参数，利用
面积是 面积的两倍，得到直线 AB 与 x 轴交点 N 的坐标，再进一步利用点差
法求得 AB 中点的轨迹方程。着重考查了设而不求的思想方法。
由 AP=AF，BQ=BF及 AP//BQ，

∴AR//FQ．
(Ⅱ)设 ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y

，准线为 ，
1( ,0)
2
F 1
2
x ? ?
， 1 2
1 1
2 2PQF
S PQ y y? ? ? ?
设直线 与 轴交点为 ， AB x N
， 1 2
1
2ABF
S FN y y? ? ?
∵ ，∴ ，∴ ，即 ． 2PQF ABFS S? ?? 2 1FN ? 1Nx ? (1,0)N
设 中点为 ，由 得 ， AB ( , )M x y
2
1 1
2
2 2
2
2
y x
y x
? ??
?
???
2 2
1 2 1 22( )y y x x? ? ?
又 ， 1 2
1 2 1
y y y
x x x
?
?
? ?
∴ ，即 ．
1
1
y
x y
?
?
2 1y x? ?
∴ 中点轨迹方程为 ． AB 2 1y x? ?
类型 5——直译法求轨迹方程
例 5、2014 年湖北（理科 21）在平面直角坐标系 ???????????? 中，点 ???? 到点 ????(1,0) 的距离比它到
???? 轴的距离多 1，记点 ???? 的轨迹为 ????．
Ⅰ 求轨迹为 ???? 的方程；
Ⅰ 设斜率为 ???? 的直线 ???? 过定点 ????(?2,1)，求直线 ???? 与轨迹 ???? 恰好有一个公共点，两个公共
点，三个公共点时 ???? 的相应取值范围．

（Ⅰ）设点 ，依题意得 ，即 ， ( , )M x y | | | | 1MF x? ? 2 2( 1) | | 1x y x? ? ? ?
化简整理得 . 2 2(| | )y x x? ?
故点 M的轨迹 C的方程为 2
4 , 0,
0, 0.
x x
y
x
??
? ? ??
（Ⅱ）在点 M的轨迹 C中，记 ， . 1 :C
2 4y x? 2 :C 0 ( 0)y x? ?
依题意，可设直线 的方程为 l 1 ( 2).y k x? ? ?
由方程组 可得 ① 2
1 ( 2),
4 ,
y k x
y x
? ? ??
?
??
2 4 4(2 1) 0.ky y k? ? ? ?
（1）当 时，此时 把 代入轨迹 C的方程，得 . 0k ? 1.y ? 1y ? 1
4
x ?
故此时直线 与轨迹 恰好有一个公共点 . : 1l y ? C 1( , 1)
4
（2）当 时，方程①的判别式为 . ② 0k ? 216(2 1)k k? ? ? ? ?
设直线 与 轴的交点为 ，则 l x 0( , 0)x
由 ，令 ，得 . ③ 1 ( 2)y k x? ? ? 0y ? 0
2 1kx
k
?
? ?
（ⅰ）若 由②③解得 ，或 .
0
0,
0,x
? ??
? ??
1k ? ? 1
2
k ?
即当 时，直线 与 没有公共点，与 有一个公共点，
1( , 1) ( , )
2
k ? ?? ? ? ?? l 1C 2C
故此时直线 与轨迹 恰好有一个公共点. l C
（ⅱ）若 或 由②③解得 ，或 .
0
0,
0,x
? ??
? ?? 0
0,
0,x
? ??
? ??
1{ 1, }
2
k ? ? 1 0
2
k? ? ?
即当 时，直线 与 只有一个公共点，与 有一个公共点.
1{ 1, }
2
k ? ? l 1C 2C
当 时，直线 与 有两个公共点，与 没有公共点.
1[ , 0)
2
k ? ? l 1C 2C
故当 时，直线 与轨迹 恰好有两个公共点.
1 1[ , 0) { 1, }
2 2
k ? ? ?? l C
（ⅲ）若 由②③解得 ，或 .
0
0,
0,x
? ??
? ??
11
2
k? ? ? ? 10
2
k? ?
即当 时，直线 与 有两个公共点，与 有一个公共点，
1 1( 1, ) (0, )
2 2
k ? ? ? ? l 1C 2C
故此时直线 与轨迹 恰好有三个公共点. l C
综合（1）（2）可知，当 时，直线 与轨迹 恰好有一个公
1( , 1) ( , ) {0}
2
k ? ?? ? ? ?? ? l C
共 点 ； 当 时 ， 直 线 与 轨 迹 恰 好 有 两 个 公 共 点 ； 当
1 1[ , 0) { 1, }
2 2
k ? ? ?? l C
时，直线 与轨迹 恰好有三个公共点.
1 1( 1, ) (0, )
2 2
k ? ? ? ? l C
【解法分析】本题第Ⅰ小题根据题目条件，设出动点的坐标，建立动点 M 到定点 F 的距离
等于动点到 y 轴的距离加 1 的等式，化简求得。当然，本题出可以用定义法进行求解。

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