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掌握这21种排列组合模型,再也不怕排列组合题的套路了!1相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参
与排列
例1.4,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在
A的右边,那么不同的排法种数有
A、60种
种
种
解析:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于
4人的全排列,4=24种,答案:D
2相离问题插空排
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全
排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和
两端
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同
的排法种数是
A、1440种
B、3600种
C、4820种
D、4800种
解析:除甲乙外,其余5个排列数为A种,再用甲乙去插6
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个空位有A种,不同的排法种数是A4=3600种,选B
A、6种
B、9种
C、11种D、2:3种
解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把
被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第
3.定序问题缩倍法
步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小
法,选B
倍数的方法.
例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边
5.有序分配问题逐分法
(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法
C、90种D、120种
例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人
解析:B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的
承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数
排法只是5个元素全排列数的一半,即24=0种,选B
是
A、1260种
025种
4标号排位问题分步法
解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人
把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步
中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙
再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成
项任务,不同的选法共有C1CC=2520种,选C.
例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调査,若每
每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法
路口4人,则不同的分配方案有
A、 CsCeC种B、3(C种
2(4种D、
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C4C-C4
额,有多少种不同分配方案?
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相
答案:
同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个
空位中插入6块木板,每一种插法
种分配方案,故共
6全员分配问题分组法
有不同的分配方案为(=84种
例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至
少去一名,则不同的保送方案有多少种?
8.限制条件的分配问题分类法
解析:把四名学生分成3组有C种方法,再把三组学生分配
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四
三所学校有4种,故共有CA=36种方法
城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不
说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先
到西宁,共有多少种不同派遣方案?
分组再分配
解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本
有以下四种情况
不同的分法种数为
①若甲乙都不参加,则有派遣方案4种;②若甲参加而乙不参
A、480种B、240种C、120种D、96种
加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A方法,所以
答案:B
共有34;③若乙参加而甲不参加同理也有3种;④若甲乙
都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到
7名额分配问题隔板法
另外两个城市有4种,共有7A方法所以共有不同的派遣方
例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名
法总数为+3A4+34+74=4088种
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9多元问题分类法
从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类
能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
解析:将={2,3…100}分成四个不相交的子集,能被4整除
情况分别计数,最后总计
例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位
的数集A={48、12∴…100};能被4除余1的数集
B={9…97},能被4除余2的数集C={2,6…,98},能被4
数,其中个位数字小于十位数字的共有
A、210种
B、300种C、464种D、600种
除余3的数集D={3,7,11…99,易见这四个集合中每一个有
25个元素:从A中任取两个数符合要:从B,D中各取一个数也
解析:按题意,个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情
符合要求:从C中任取两个数也符合要求:此外其它取法都不
况,分别有A3、A4A、A、用A和A4个,合并总计
符合要求:所以符合要求的取法共有C2+C2C23+C3种
300个,选B
(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们
10交叉问题集合法
的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
某些排列组合问题几部分之问有交集,可用集合中求元素个数
解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积
公式m(AUB)=(4)+m(B)-n(A∩B)
就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲
整除的数的集合记做A={71421…98共有14个元素,不能被
不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
7整除的数组成的集合记做94={2,34…,100共有86个元
解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第
素;由此可知,从A中任取2个元素的取法有C14,从A中任
棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的
公式得参赛方法共有
取一个,又从84中任取一个共有C4C6,两种情形共符合要求
的取法有C14+((=1295种
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(1)-m(A-R(B)+mA∩B)=4-A-A+42=252种
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2
个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
11定位问题优先法
解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再
有种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A种
排其它的元素。
其余5个元素任排5个位置上有A种,故共有A4A=5760种
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不
排法
站两端则有不同的排法有多少种?
解析:老师在中间三个位置上选一个有A种,4名同学在其余
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法
4个位置上有A种方法;所以共有4=72种
抽取两类混合元素不能分步抽
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要
12多排问题单排法
甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
A、140种B、80种C、70种D、35种
例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那
解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,
么不同的排法种数是
不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有C-C-C3=70
种
B、120种
C、720种
D、1440种
解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同
解析2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型
的元素排成一排,共4=720
1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有
种,选C
CC4+CC=70台,选C
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