资源简介

解三角形应用举例
【学习目标】
1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【学习策略】
解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.
【要点梳理】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
/
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点的方位角是。
/
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；
/
如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.
/
东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
/
要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高
【典型例题】
类型一：距离问题
例1．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？
(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)．
/
【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.
【思路点拨】
(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。
【解析】(1)设CD的长为x米，则tanα＝，tanβ＝，
∵，
∴tanα≥tan2β，
∴，
即，
解得0，
即CD的长至多为28.28米．
(2)设DB＝a，DA＝b，CD＝m，
则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°，
由正弦定理得，
即，
∴，
答：CD的长为26.93米．
【总结升华】
1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
举一反三：
【变式1】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝　　m．
/
【答案】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，
∴AC＝＝100．
△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，
即 ，解得AM＝100．
Rt△AMN中，MN＝AM?sin∠MAN＝100×sin60°＝150(m)，
故答案为：150．
　【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE的长.
【答案】在△ABC中，CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，
由余弦定理得
∴
∴
答：隧道长约为409.2m.
【变式3】（2017春 邢台校级期中）张晓华同学骑电动自行车以24 km／h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
【答案】如图，由已知可得，
在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°－75°=105°，∠ASB=45°
由正弦定理可得
故选B
/
类型二：测量高度问题
例2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.
【思路点拨】
画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。
【解析】由上图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在
.由正弦定理，得
∴
在中，
∴
在中，∴（米）
故所求塔高为米
【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.
举一反三：
【变式1】（2017 绵阳校级模拟）如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为________m。
/
【答案】在Rt△ABC中，∠ACB=∠DAC=45°，∠ABC=90°，AB=200，
∴，
∵∠MCN=60°，∴∠ACM=180°－∠MCN－∠ACN=75°，
∵∠MAC=15°+45°=60°，∴∠AMC=180°－∠MAC－∠ACM=45°。
在△MAC中，由正弦定理得，即
解得。
∵，
∴。
故答案为：300。
【变式2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
【答案】所求角，建筑物高度为15m。
类型三：方位角问题
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北的方向上,行驶后到达B处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,求此山的高度CD.
/
【思路点拨】
欲求出CD，只需在BCD中求出BD或BC，而在BCD中先求BC边比较适合；或设CD=x,列方程解答.
【解析】方法一：在ABC中, ，，,
根据正弦定理： = ,有，
∴ .
方法二：设CD=x，则，
根据正弦定理： = ,有，
∴，解得，即.
【总结升华】正确地画出其空间示意图是解题的关键.
举一反三：
【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为 ；
【答案】；
/
如图，，，。
【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ? )
/
A. ? B. C.? D.
【答案】B
类型四：航海问题
例4如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.
/
【思路点拨】这里必须弄清楚三个概念：
(1)方位角；
(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；
(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等，画出示意图，即可求出CD的方位角及由C到D所需航行的时间.
【解析】设缉私船追上走私船需，则，.
由余弦定理，得

，
由正弦定理，得，
∴，而，
∴
∴，.
∴，即，∴
答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形.
举一反三：
【变式1】如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间？
【答案】　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
∴DB
＝
＝
＝10 (海里)
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°
BC＝20海里
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)
答：救援船到达D点需要1小时．
【变式2】如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.
在中，，，，
∴，
由正弦定理知：，∴
∴
于是A到BC所在直线的距离为(海里)
它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.
【巩固练习】
选择题
1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A． m　　　　　　　　 B． m
C． m D. m
2．（2017春 孝感期中）如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ）
A．100米 B．米 C．米 D．米
3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(　　)
/
A．240(－1)m B． 180(－1)m C． 120(－1)m D． 30(＋1)m
4．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据(　　)
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
5.有一长为10m的斜坡，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为，则坡底要延长（ ）
A.5m B.10m C.m D.m
6.（2017 遂宁模拟改编）海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为（ ）小时。
A. B. C. D.1
填空题
7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离 ；
8. (2018 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m.
/
9. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　 　m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)
/
解答题
10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
/
11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值．
13. 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD=110°，又在B点测得∠ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)
14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
/
15. 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.
16. （2017 南通模拟）如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点D的正东方向千米处。
（1）游客甲沿CA从景点C出发行至景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；
（2）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米／小时，乙的速度为2千米／小时。若甲乙两人这间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）
/
【答案与解析】
1．答案：　A
解析：在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
∴∠ABC＝30°，由正弦定理：
∴AB＝＝m．故选A.
2. 答案：　D
解析：设AB=x m，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，
在Rt△ABC中，BC=AB=x，
在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，
∴，即，解得。
∴山AB的高度为米。
故选D。
3. 答案：C
解析：如图，
/
由图可知，∠DAB＝15°，
∵
在Rt△ADB中，又AD＝60，
∴DB＝AD?tan15°＝60×(2－)＝120－60．
在Rt△ADB中，∠DAC＝60°，AD＝60，
∴DC＝AD?tan60°＝60．
∴BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120()(m)．
∴河流的宽度BC等于120()m．
故选：C．
4. 答案：　C
解析：　由A与B不可到达，故不易测量α，β，故选C.
5. 答案：　C
解析：在△ABB’中由正弦定理,得
6. 答案：　B
解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，
/
如图，则由已知得△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，
由余弦定理得：(21x)2=100+(9x)2－2×10×9x×cos120°，
整理，得36x2―9x―10=0，
解得或（舍）。
∴海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时。
故选：B.
7. 答案：；
如图所示：
/
，，，
在中，根据正弦定理。
8. 答案：/.
解析：
在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°－30°=45°，
根据正弦定理知，，
即，
所以，故应填.
9. 答案：；
解析
过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m
∴．
又∵Rt△ABD中，∠ABD＝67°，可得
∴BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m
故答案为：60m
/
10.解析：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：
∴当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小
∴航行小时，两船之间距离最近．
11．解析：　如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
/
在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.
∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
12. 解析：如图所示，A、C分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x小时后在B处追上．
则AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°
由得x=2.
故AB=28，BC=20
即所需时间2小时，为.
13.
解析：在△ABD中，∠ADB=180°-110°-40°=30°，
由正弦定理得.
在Rt△ACD中，CD=ADtan25°≈480(m).
答：山高约为480m.
14、解析：在中， ，
根据余弦定理，

根据正弦定理, ，
有，
∵ ∴
所以 ，
答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行
15. 解析：设∠POB=，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos=5-4cos?
∴ｙ=Ｓ△OPC+Ｓ△PCD=+(5-4cos)
=2sin(-)+
∴当-=即=时，ｙmax=2+.
16. 解析：（1）在Rt△ABC中，AB=2，，∴∠C=30°
在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2－2BC·PC·cos30°=BP2，即
化简，得PC2－6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）
在△PBC中，由正弦定理得，即
∴。
（2）Rt△ABC中，BA=2，，
设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4－t
在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2－2BC·PC·cos30°=BP2，
即，化简得PC2－6PC+5=0
解得PC=1或PC=5（舍去）
①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t
在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=(4―t)2+(2t)2―2×2t(4－t)×cos60°=7t2－16t+16
令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2－16t+7＞0，解得或
∴
综上，当时，甲、乙间的距离大于3米。
又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时

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