资源简介

《解三角形》全章知识复习与巩固
【学习目标】
1.正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2.应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）；
（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．
（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
要点二：余弦定理
在△ABC中，
，，
变形为：
，，
要点诠释：
（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；
（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；
（3）正、余弦定理可以结合使用.
要点三：三角形的面积公式
(1) ，其中为边上的高
(2)
（3），其中
要点四：三角形形状的判定方法
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，
解斜三角形的主要依据是：
（1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a < b；
（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理
常用两种途径：
（1）由正余弦定理将边转化为角；
（2）由正余弦定理将角转化为边.
要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.
要点五：解三角形应用的分类
（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；
（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；
（3）角度问题；
（4）面积问题.
【典型例题】
类型一：正、余弦定理的基本应用
例1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．
(1)求cos B的值；
(2)若b2＝ac，求sin A sin C的值．
【思路点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b2＝ac”，如何求“sin A sin C”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.
【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以．
(2)解法一：由已知，及，
根据正弦定理得，
所以．
解法二：由已知，及，根据余弦定理得，
解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故．
【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.
举一反三：
【变式1】在△ABC中，a＝1，b＝2，，则c＝　　　；sinA＝　　．
【答案】∵在△ABC中，a＝1，b＝2，，
∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－1＝4，即c＝2；
∵，C为三角形内角，
∴
∴由正弦定理得：．
故答案为：2；
【变式2】在△ABC中,若,,,则___________.
【答案】在中,得用余弦定理
,化简得,与题目条件联立,可解得. 故答案为.
类型二：正、余弦定理的综合应用
例2. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知＝2，cosB＝，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．
【答案】(Ⅰ) a＝3，c＝2，(Ⅱ)．
【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)∵＝2，cosB＝，
∴c?acosB＝2，即ac＝6①，
∵b＝3，
∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋c2－4，
∴a2＋c2＝13②，
联立①②得：a＝3，c＝2；
(Ⅱ)在△ABC中，sinB＝，
由正弦定理得：sinC＝sinB＝，
∵a＝b＞c，∴C为锐角，
∴cosC＝，
则cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋．
【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.
举一反三：
【变式1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）
A．4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4
【答案】由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．
由余弦定理可得?
又3b=20acosA，可得
解得，故三边是6,5,4.
由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=6:5:4
【变式2】已知△ABC 中，试判断△ABC的形状.
【答案】方法一：用余弦定理化角为边的关系
由得，
整理得，
即，
当时，为等腰三角形；
当即时，则为直角三角形；
综上：为等腰或直角三角形。
方法二：用正弦定理化边为角的关系
由正弦定理得：
即，
∵，
∴
即
∵
∴或，即或
故为等腰三角形或直角三角形。
类型三：利用正、余弦定理解决实际问题
例3.（2017春 宜宾校级期中）一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（ ）
A．北偏东80°， B．北偏东65°，
C．北偏东65°， D．北偏东80°，
【答案】C
【思路点拨】在△ABC中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40，，故可由余弦定理求出边AC的长度，在△ABC中，可由正弦定理建立方程，求出∠CAB。
【解析】由题意，在△ABC中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40，
根据余弦定理得
∴。
根据正弦定理，∴∠CAB=45°，
∴此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65°、。
故选C。
【总结升华】
本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏东”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解．
举一反三：
【变式1】（2017 河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40 m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°。则塔高AB为（ ）m。

A．20 B． C． D．40
【答案】∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=45°，
在△BCD中，由正弦定理得：，即，
解得，
又，∴。
故选B。
【变式2】如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.
在中，，，，
∴，
由正弦定理知：，∴
∴
于是A到BC所在直线的距离为(海里)
它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.
类型四：解三角形与其他知识的交汇
例4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
(1)求证:
(2)若,求△ABC的面积.
【解析】(1)证明:由 及正弦定理得:
,
即
整理得:,所以,又
所以
(2) 由(1)及可得,又
所以,
所以三角形ABC的面积

【总结升华】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.
举一反三：
【变式1】在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
【答案】 (1)∵,∴,即.
由正弦定理,得,∴.
又∵,∴.∴即.
(2)∵ ,∴.∴.
∴,即.∴.
由 (1) ,得,解得.
∵,∴.∴.
【变式2】在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
【答案】 (1)∵,∴,即.
由正弦定理,得,∴.
又∵,∴.∴即.
(2)∵ ,∴.∴.
∴,即.∴.
由 (1) ,得,解得.
∵,∴.∴.
【巩固练习】
一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，c＝120°，则sin A＝( )
A． B． C． D．
2．设a、b、c为△ABC的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，则A的大小是( )
120° B．90° C．60° D．30°
3．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，，则△ABC外接圆的直径为( )
A． B．5 C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若∠C＝120°，，则( )
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
5． 已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a＝4，b+c＝5，tan B+tan C+，则△ABC的面积为( )
A． B． C． D．
6．（2017 长春四模）如图，从高为h的气体（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头B的俯角是α，桥头C的俯角是β，则该桥的长可表示为（ ）

A． B． C． D．
7．已知△ABC中，，那么△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
A． B． C． D．
二、填空题
9． 若△ABC中，已知，当时，△ABC的面积为　　 ．
10．在△ABC中，已知sin A:sin B＝，，则三内角A、B、C的度数依次是________．
11．（2017 衡阳一模）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km。

12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为　　．
三、解答题
13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a＋b＋c＝8．
(Ⅰ)若a＝2，b＝，求cosC的值；
(Ⅱ)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积SsinC，求a和b的值．
14. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
15. 设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边，并且．
(1)求角A的值；
(2)若，，求b，c(其中b＜c)．
16. （2017 南通模拟）如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3 km，km，∠AOB=90°。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场。为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网。
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？
【答案与解析】
1．【答案】　A
【解析】，或（舍去），又，
即，∴ ．
2．【答案】C
【解析】 ∵ △＝4(b2+C2)-4(a2+bc)＝0，∴ b2+c2-a2＝bc，∴ 2cosA＝1，∴ A＝60°．
3．【答案】C
【解析】 ∵ ，∴ ．
由余弦定理，得，
所以b＝5或b＝-5(舍去)．
由正弦定理，得(R为△ABC外接圆的半径)，故选C．
4．【答案】A
【解析】由余弦定理得，又∠C＝120°，，
∴ ，∴ ，∴ ，故选A．
5．【答案】C
【解析】∵ ，，
∴ ，∴ B+C＝120°，A＝60°．
∵ ，而，
∴ ，∴ 16＝25-2bc-2bc cos60°＝25-3bc，
∴ bc＝3．
∴ ．
6．【答案】A
【解析】 由∠EAB=α，得∠DBA=α，
在Rt△ADB中，∵AD=h，
∴，
又∠EAC=β，∴∠BAC=α－β。
在△ABC中，。
故选A。
7．【答案】D
【解析】 由已知条件及正弦定理得
，
∴
，
∴ sin2C＝sin2B．
又由题设可知，B≠C，．∴ 2C＝π－2B，
∴ ．
∴ △ABC为直角三角形．
8．【答案】A
【解析】由正弦定理得，将8b＝5c及C＝2B代入得，
化简得，则．
所以，故选A．
9．【答案】
【解析】△ABC中，∵·＝AB?AC?cosA＝tanA，∴当时，有 AB?AC?＝，解得AB?AC＝，
△ABC的面积为 AB?AC?sinA＝，
故答案为：．
10．【答案】 45°，30°，105°
【解析】 由已知条件可得，又
∵ ，
∴ ，又，
∴ ，A＝45°，，B＝30°，∴ C＝105°．
11．【答案】 7
【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2－2AB×BCcosB=89－80cosB，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2－2AD×CDcosD=34－30cosD，
∴89―80cosB=34―30cosD，
∵A+C=180°，∴cosB=－cosD，
∴，
∴。
∴AC=7。
故答案为7。
12. 【答案】－
【解析】在△ABC中，
∵b－c＝a ①，2sinB＝3sinC，
∴2b＝3c ②，
∴由①②可得a＝2c，b＝．
再由余弦定理可得 ，
故答案为：－．
13． 【解析】(Ⅰ)∵a＝2，b＝，且a＋b＋c＝8，
∴c＝8－(a＋b)＝，
∴由余弦定理得：；
(Ⅱ)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC可得：
sinA?＋sinB?＝2sinC，
整理得：sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC，
∵sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，
∴sinA＋sinB＝3sinC，
利用正弦定理化简得：a＋b＝3c，
∵a＋b＋c＝8，
∴a＋b＝6①，
∵S＝absinC＝sinC，
∴ab＝9②，
联立①②解得：a＝b＝3．
14. 【解析】 解法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
．
故当时，，
此时．
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
设小艇与轮船在C处相遇．
在Rt△OAC中，，
AC＝20 sin30°＝10．
又AC＝30t，OC＝vt．
此时，轮船航行时间．
．
即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
15．【解析 】(1)因为
，
所以．又因为△ABC为锐角三角形，所以．
(2)由可得．
由(1)知，所以cb＝24． ②
由余弦定理知，
将及①代入，得
， ③
③+②×2，得，
所以c+b＝10或c+b＝-10(舍去)．
因此，c，b是一元二次方程的两个根．
解此方程并由c＞b知c＝6，b＝4．
16. 【解析】（1）∵OA=3 km，，∠AOB=90°，∴A=60°，AB=6。
在△OAM中，由余弦定理得：OM2=OA2+AM2－2OA·AM·cosA=。
∴。
由正弦定理得：，即，
∴。∴A=30°。
∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°。
∴△OAN是等边三角形。
∴△OAN的周长C=3OA=9。
∴防护网的总长度为9 km。
（2）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），则∠AON=θ+30°，∠OMA=120°－θ，∠ONA=90°－θ。
在△OAM中，由正弦定理得，即。
∴，
在△AON中，由正弦定理得，即，
∴，
∴。
∴当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△OMN的面积最小值为km2。

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