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问题一：等差数列、等比数列的证明问题
1
问题二：数列中的最值问题
16
问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题
31
问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题
45
问题五：数列与不等式的相结合问题
60
问题六：数列中探索性问题
79
问题一：等差数列、等比数列的证明问题
翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.
题型一：利用等差（等比）数列的定义
用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．
【例1】【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在数列中，．
（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）根据已知等式结合等比数列的定义证明，从而求得；（Ⅱ）先求得的表达式，再用错位相减法求得．
【解析】（Ⅰ）由条件得，又时，，
故数列构成首项为1，公比为的等比数列．
从而，即．
（Ⅱ）由得，
两式相减得：，
所以．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【点评】证明数列成等比数列的关键是对已知条件两边同除以，构造.
【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列满足．
（1）求证：为等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，求的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
题型二：运用等差或等比中项性质
是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．[]
【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．
【证明】依题意，，且，
．
．
由此可得．即．
数列为等差数列．
【点评】本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．
【小试牛刀】设数列的前项为，已知，且其中为常数．
（Ⅰ）求与的值；
（Ⅱ）证明数列为等差数列．
【解析】（Ⅰ）由，得．
把分别代入
，得
解得，，．
题型三：反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：
【例3】设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．
【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性?．??
【小试牛刀】
设{an}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式；
（Ⅱ）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
【解析】（Ⅰ）设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
（Ⅱ）假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N
，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，
∴{an＋1}不是等比数列．
【点评】证明一个数列不是等差数列或等比数列，有时也可假设前三项成等差数列或等比数列，推出矛盾，
题型四：利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列
【例4】若是数列的前项和，,则是(
　　)
A．等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，而且也是等比数列
D.既非等数列又非等差数列
【分析】由知是的二次函数，并且缺少一次项和常数项，符合等差数列的求和公式的形式.
【答案】B
【解析】用到上述方法，一下子就知道答案为B，大大
节约了时间，同时大大提高了命中率．
【点评】若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列；若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式，则数列是等比数列．
若数列的前项和Sn能表示成
(a，b为常数)的形式，则数列等差数列；若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．
利用常规结论，证明或判断等差（等比）数列
若数列是公比为的等比数列，则
（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；
（2）若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；
（3）数列是公比为的等比数列；
（4）数列是公比为的等比数列；
（5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；
（6），，等都是等比数列；
（7）若成等差数列时，成等比数列；
（8）均不为零时，则成等比数列；[]
（9）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列．
若数列是公差为等差数列，则
（1）成等差数列，公差为（其中是实常数）；
（2），（为常数），仍成等差数列，其公差为；
（3）若都是等差数列，公差分别为，则是等差数列，公差为；
（4）当数列是各项均为正数的等比数列时，数列是公差为的等差数列；
（5）成等差数列时，成等差数列．
评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．
　　从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．
【小试牛刀】已知正数数列{an}对任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，则a9＝(　　)
A．6　　　　　　　　　B．9
C．18
D．20
【答案】B
【解析】∵a2＝a1＋1＝a1＋a1＝4，∴a1＝2，令p＝n，q＝1，所以an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝2，∴{an}是等差数列，且首项为2，公差为2，故a9＝2＋(9－1)×2＝18.
题型五：运用数学归纳法
【例5】数列的前项和记为，已知，．
证明：数列是等比数列．
【证明】由，，知，
，猜测是首项为1，公比为2的等比数列．
下面用数学归纳法证明：令.
(1)当时，，成立．
(2)当时，，成立．
假设时命题成立，即．
那么当时，，命题成立．
综上知是首项为1，公比为2的等比数列．
【点评】用数学归纳法证明的步骤：(1)证明当时命题成立；(2)假设当且时命题成立，证明当时命题成立.
由(1)，(2)可知，命题对一切正整数都成立.
【小试牛刀】已知数列满足.
（Ⅰ）写出，，，并推测的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明推测的结论.
【解析】（Ⅰ）由，当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
故推测.
[]
【迁移运用】
1.
已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2)2，则{an}为（
）数列．
A.
等差
B.等比
C.常数列
D.可能是等差数列也可能是等比数列
【答案】A
2.
等差数列的前项和为30，前项和为100则它的前项和为（　　）
A．130
B．170
C．210
D．260
【答案】C
【解析】由上面的性质得：成等比数列，
故，
，
．故选C．
3.
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N
，则(　　)
A．{an}是递增的等比数列
B．{an}是递增数列，但不是等比数列
C．{an}是递减的等比数列
D．{an}不是等比数列，也不单调
【答案】B
【解析】∵Sn＝3n－2，∴Sn－1＝3n－1－2，
∴an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，但a1＜a2＜a3＜….
4.
等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：
（1）成等差数列，也可能成等比数列；
（2）成等差数列，但不可能成等比数列；
（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；
（4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是
（
）
A.（1）（3）
B.（1）（4）
C.（2）（3）
D.（2）（4）
【答案】D
5.
已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当为何值时，数列为等差数列？并说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题设，，，
两式相减，得，
∵，∴；
（Ⅱ）由题设，，，可得，
由（1）知，，若数列为等差数列，则，解得，
故，由此可得是首项为，公差为的等差数列，，
是首项为，公差为的等差数列，，
∴，，
因此当时，数列是以为首项，为公差的等差数列.
6.
设数列的前项和为，已知，，其中.
（Ⅰ）求证:是等差数列；
（Ⅱ）求证:；
（Ⅲ）求证:.
【解析】（Ⅰ）当n≥2，n∈N
时，由已知Sn＝nan－n(n－1)得Sn－1＝(n－1)an－1－(n－1)(n－2).
两式相减得Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1).又Sn－Sn－1＝an，所以(n－1)an－(n－1)an－1＝2(n－1).
即an－an－1＝2(n≥2，n∈N
)，且a1＝1
所以{an}是以1为首项、2为公差的等差数列.
[]
7．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设数列满足：.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）或.
【解析】（Ⅰ）因为，
①
，
②
②①，得，即，又因为，所以.
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以.[]
由，可得.
由可得，所以.
故有最大值，所以对任意，有，所以，
即.则，所以，，解得或，
所以的取值范围是
8.【2016届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n∈N
），b1=2，求数列{bn}的通项公式．
证明：（1）证：因为Sn=4an﹣p（n∈N
），则Sn﹣1=4an﹣1﹣p（n∈N
，n≥2），
所以当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1，整理得．
由Sn=4an﹣p，令n=1，得a1=4a1﹣p，解得．
所以an是首项为，公比为的等比数列．
（2）解：因为a1=1，则，
由bn+1=an+bn（n=1，2，），得，
当n≥2时，由累加得bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=，
9.【2016届山东省枣庄八中高三上12月月考】在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等差数列；
（3）设数列{cn}满足cn=an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an=（）n，n∈N
；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）在数列{an}中，∵，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
∴an=（）n，n∈N
．
（2）∵，
∴=3n﹣2．
∴b1=1，bn+1﹣bn=3，
∴数列{bn}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列．
10．【2016届宁夏石嘴山三中高三补习班上第三次适应性考试】设数列{an}满足当n＞1时，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．
【解析】（1）根据题意及递推关系有an≠0，因为，
取倒数得：，即
所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．
（2）由（1）得：，
又．
所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
11.【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知数列的前项和为,若（）,且．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设,数列的前项和为,证明:（）．
【解析】（Ⅰ）由题设,则，．
当时，,
两式相减得,
方法一：由，得，且．
则数列是常数列，即，也即
所以数列是首项为,公差为的等差数列
方法二：由，得，
两式相减得,且
所以数列等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,,,
当时,成立；
当时,
所以
12．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】已知数列的各项均不为0，其前n项和为，且满足，．
（1）求的值；
（2）求证是等差数列；
（3）若，求数列的通项公式，并求
【答案】（1）；（2）见解析；（3），．
【解析】（1）因为，所以，即，
因为，所以．
（3）由（2）都是公差为2的等差数列，
当时，，
所以，为偶数
当时，，
所以
当时，，
因为，所以，
问题二：数列中的最值问题
数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.
题型一：求数列的最大项
【例1】已知数列的通项公式为=，求的最大项．
【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足的的值.[]
【评注】这类问题一般是利用基本不等式求解或求满足的的值，从而找到最大项
【小试牛刀】【2015-2016学年湖南省常德石门一中高二上期中】已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_____．
【答案】4
【解析】∵，化为，令，，解得，，，的最大值为4．
题型二：的最值问题
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.
（Ⅰ）确定常数k，并求an；[]
(Ⅱ)求数列的前n项和Tn.
【分析】第（Ⅰ）问先根据n的二次函数求最值条件确定的值，并利用结论an＝求出通项即可；第(Ⅱ)问把第（Ⅰ）问的结果代入后错位相减求和．
【评注】
(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
【小试牛刀】【2016届河北省衡水中学高三上学期四调】设向量，（），若，设数列的前项和为，则的最小值为
．
【答案】
【解析】
题型三：求满足数列的特定条件的最值
【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（
）
A．17
B．16
C．15
D．14
【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.
【解析】∵数列的前n项和有最大值，∴数列为递减数列，又，
且，又，故当时，取得最小正值，故选C．
【小试牛刀】已知数列的前项和，数列{}满足，且．
（Ⅰ）求，；
(Ⅱ)设为数列{}的前项和，求，并求满足7时的最大值．
【解析】（Ⅰ）时，，
两式相减，得
，
当时，，又适合上式，.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，
…………①
…………②
①-②，得，
=
，
，
所以，，即递增数列
又
当时，的最大值为3.[]
题型四：求满足条件的参数的最值
【例4】
己知各项均不相等的等差数列的前四项和
，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ)设为
数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值．
【分析】（Ⅰ）求等差数列通项公式基本方法为待定系数法，即求出首项与公差即可，将题中两个条件：
前四项和，且，，成等比数列转化为关于首项与公差的方程组
解出即得，（Ⅱ）本题先求数列的前n项和，这可利用裂项相消法，得到…，然后对恒成立问题进行等价转化，即分离变量为对恒成立，所以，从而转化为求对应函数最值，因为
，所以
【评注】求解与参数有关的问题，一般是分离变量，再构造新函数求解.
【小试牛刀】已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为
.
【答案】5
【解析】要使恒成立，只需.
因
，
所以，
所以，所能取得的最大整数为5.
题型五：实际问题中的最值
【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．
（Ⅰ）求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；
（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．
【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n项和公式、不等式的解法等数学知识，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列，而乙方案能构成等差数列，利用等差等比数列的前n项和公式分别求和，再相加即可；第二问，利用第一问的结论，得出且，直接解不等式即可得到m的取值范围，并写出最小值.
（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标，则S(3)≥1000，
所以，
解得≥277.5.又，所以的最小值为278.
【小试牛刀】某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.
第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.
设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【迁移运用】
1.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)．
A.
B.
C．4
D．0
【答案】D
【解析】∵an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.
2.等差数列中，，是前n项和且，则当（
）时，最大.
A.12
B.13
C．12或13
D．13或14
【答案】D
【解析】（函数法）由，可知，整理得.
所以.
又因为，所以d<0，且n∈,
故当n=13或14时，最大.
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】
C　
【解析一】由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大．
【解析二】由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，
故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的性质，知当n＝7时，Sn最大．
【解析三】根据a1＝13，S3＝S11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．
4.数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1
025的最小n值是(　　)．
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1
025的最小n值是11.
5.在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是
(　　)
A．a1，a50
B．a1，a44
C．a45，a44
D．a45，a50
【答案】C
6.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．
由题意可得或
解得a=1或a=-4，
当a=-1时，，数列{an}不是等差数列；
当a=-4时，，，
，
当且仅当，即时取等号，
∵n为正数，故当n=3时原式取最小值，故选D．
7.在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．
【答案】12
8.
【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为
．
【答案】﹣49
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，
∴a1=﹣3，d=，
∴Sn=na1+d=n2﹣n，
∴nSn=n3﹣n2，令nSn=f（n），
∴f′（n）=n2﹣n，
∴当n=时，f（n）取得极值，当n＜时，f（n）递减；当n＞时，f（n）递增；
因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．
f（6）=﹣48，f（7）=﹣49，
故nSn的最小值为﹣49．
故答案为：﹣49．
9.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列满足，，则的最小值为
．
【答案】
10.已知等差数列满足：，且，，成等比数列.
[]
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最小值；
若不存在，说明理由.
【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有，
化简得，解得或.
当时，；
当时，，
从而得数列的通项公式为或.
11.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N
)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设Tn＝Sn－(n∈N
)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×＝(－1)n－1·.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1故0当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N
，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
12.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
【答案】（1）an=2n﹣1；（2）﹣25．
（2）∵bn=an﹣10=2n﹣11，
∴=2﹣11=﹣9，bn﹣bn﹣1=（2n﹣11）﹣[2（n﹣1）﹣11]=2，
∴数列{bn}是首项为﹣9，公差为2的等差数列，
Tn==n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25．
∴当n=5时，数列{bn}的前n项和Tn的最小值为﹣25．
13.【2015北京理20】已知数列满足：，，且
，记集合.[]
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素时3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
（3）由，，，可归纳证明.因为是正整数，，所以是2的倍数.
从而当时，是的倍数.
如果是3的倍数，由（2）知对所有正整数，是3的倍数，因此当时，，这时，中的元素的个数不超过5.如果不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数，不是3的倍数，因此当时，，这时的元素的个数不超过8.
当时，有8个元素.
综上可知，集合的元素个数的最大值为8.
14.【2015四川理16】设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值.
（2）由（1）可得，所以.
由，得，即.
因为，所以.
所以使成立的的最小值为.
问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题
递推公式是给出数列的一种重要方法，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等，构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项.
题型一：用累加法求数列的通项
【例1.】【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】在数列中，
，，则该数列的通项公式=
．
【分析】题目已知条件是，且）形式，用叠加原理求解.
【点评】当，且）满足一定条件时，可用…来求通项，这种方法通常叫累加法.
本题用到裂项相消求和，相消时应注意消去的项规律，及消去哪些项，保留哪些项，于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误，认为或是常数，实际上或是个变量，变化随之改变.
【小试牛刀】在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求数列的通项公式；
【解析】∵an＝an－1＋2n－1(n≥2)．
∴an－an－1＝2n－1(n≥2)．
则有
上述n－1个式子的等号两端分别相加可得：an－a1＝n2－1，
∴an＝n2.
又∵a1也满足上式，所以an＝n2.
题型二：利用累乘法求数列的通项
【例2】设是首项为1的正项数列，且，则
.
【分析】观察已知的递推式，用十字交叉法分解因式，可求得与的关系式，再用累乘法求解.
【点评】形如型的递推公式常用累乘法.当为常数且不等于0时，数列为等比数列，；当为函数时，
.
本题可思考为常数数列.
【小试牛刀】在数列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式为
．
【答案】(n∈N
)
【解析】an＝···…···a1＝×××…×××1＝，
又∵a1也满足上式，∴an＝(n∈N
)．
题型三：用构造法求数列的通项
【例3】【2016届宁夏六盘山高中高三上学期第二次月考】已知数列满足，且=2，则=__________．
【分析】变形为，构造新数列求解.
【解析】，，即数列是以3为首项、3为公比的等比数列，则，即；故填．
【点评】数列是一种特殊的函数，通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时，要验证通项的正确性.
易出现的错误是只考虑了前3项，就猜想出.用构造法求数列的通项，要仔细观察递推等式，选准要构造的新数列的形式，再确定系数.
【小试牛刀】【2016届云南师范大附中高考适应性月考】已知数列满足，，，，则
．
【答案】．
【解析】且，，又，，是首项为，公差为的等差数列，，，．故应填．
题型四．利用与的关系求数列的通项
【例4】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N
.
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
【分析】
第1步
赋值n＝1，可求a1；第2步
当时，由，，
找出与的关系式；第3步
变形．
【评析】（Ⅰ）有的考生思维定势，只会使用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，未想到Sn＝Tn－Tn－1(n≥2)致使出错；
（Ⅱ）在使用an＝Sn－Sn－1求an时，不少考生漏掉了n≥2这一前提条件，有的对n＝1的情况也没有验证，应引起注意．
【小试牛刀】【2016届贵州市兴义市八中高三上第四次月考】已知数列的前项和满足，则__________．
【答案】
【解析】由条件，得，所以．又满足，所以．
题型5
：递推公式为（其中，均为常数）.
解法一（待定系数——迭加法）:
【例5.】数列：，
，求数列的通项公式.
【分析一】解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足.
【分析二】(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程.
若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）.
【解法一】（待定系数——迭加法）:
由，得
，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是.
把代入，得
，，，，.
把以上各式相加，得。
。
【解法二】（特征根法）：数列：，
的特征方程是：。,。
又由，于是
故.
例:
已知数列中，,,，求.
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），
则是以首项为，公比为的等比数列.
所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以.
【小试牛刀】已知数列满足
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；[]
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列
（Ⅰ）【证明】
是以为首项，2为公比的等比数列
（Ⅱ）【解析】由（Ⅰ）得
　　
[]
【迁移运用】
1.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N
)，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．2n－1
B.
C．n2
D．n
【答案】D
【解法一】(构造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝，∴数列是常数列．
且＝＝1，∴an＝n.
【解法二】(累乘法)：n≥2时，＝，＝.
…
＝，＝，
两边分别相乘得＝n，又因为a1＝1，∴an＝n.
2.
【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】数列中，，，（，），则
．
【答案】
【解析】因为，，所以，，，，……，所以数列是以6为周期的周期数列，所以．
3.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
A．0　　　　　　B．3
C．8
D．11
【答案】B
【解析】由已知得bn＝2n－8，an＋1－an＝2n－8，
所以a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，
由累加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，
所以a8＝a1＝3.
4.正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N
，n≥2)，则a7＝________.
【答案】
5.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则{an}的通项公式为
．
【答案】
【解析】∵an＝an－1＋(n≥2)，
∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)．
又a1＋2＝3，故数列{an＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．
∴an＋2＝3n，即an＝3n－2.
6.
已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则其通项公式为________．
【答案】
【解析】两边取倒数，得＝＝2＋，故有－＝2.
故数列是首项为＝，公差为2的等差数列，
所以＝＋2(n－1)＝，故an＝.[]
7．已知数列{an}满足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】n×2
8.在数列中，，
则数列的通项通项
．[]
【答案】
【解析】∵
∴，
两式相减得：，∴，
又，，
∴（），
又当时，，故
.
9．【2016届重庆市第一中学高三12月月考】已知数列的前n项和为，且．
（1）求出数列的通项公式；
（2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，令可得，又，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以．
（2）由已知可求得，，所以，则．
10．【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月测】已知{an}的前n项和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=，求{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）an=2n+1；
（2）．
【解析】（1）证明：∵3+4Sn=an2+2an，3+4Sn+1=an+12+2an+1，
两式相减整理可得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，
∵n≥1时，an＞0，
∴an+1﹣an﹣2=0，
∴an+1﹣an=2，
n=1时，a1=﹣1（舍去），a1=3
∴{an}成等差数列，首项为3，公差为2，
∴an=2n+1
（2）∵bn=，
∴bn==[]
∴{bn}的前n项和Tn=[+…+]=[]=
11．【2016届河南省信阳高中高三上第八次月考】已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=n（2﹣Sn），n∈N
，若bn≤λ，n∈N
恒成立，求实数λ的取值范围．
（3）设Cn=，Tn是数列{Cn}的前n项和，证明≤Tn＜1．
【答案】（1）；
（2）λ≥2．
（3）．
【解析】（1）由已知得，其中n∈N
∴数列是公比为的等比数列，
又首项，则，∴
（2）由（1）知[]
∴
两式相减得：，
∴，∴
∵bn=n（2﹣Sn），∴，
∴
则当n=1，b2﹣b1＞0，即b2＞b1，
当n≥2，bn+1﹣bn＜0，即bn+1＜bn，b2是最大项且b2=2，
∴λ≥2．
证明：（3）由（1）得，，
∴=
又令f（n）=，显然f（n）在n∈N
时单调递减，
∴0＜f（n）≤f（1）=，
故
12．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，
所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①-②有，
解得：．
13.【2015湖南文19】设数列的前项和为，已知，，
且.
（1）证明：；
（2）求.
（2）由（I）知，，所以，于是数列是首项，公比为的等比数列，数列是首项，公比为的等比数列，所以，（于是
从而，
综上所述，.
14.【2015浙江文17】已知数列和满足，
.
(1)求与;
(2)记数列的前项和为，求.
问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题
数列求和数历年高考命题的热点，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等成数列或等比数列的求和问题进行求解.
一、公式法
公式法是数列求和的最基本的方法．也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式,当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．
【例1】设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．
【分析】利用等差数列的求和找、的等式，解出、，判断数列的类型，在用公式求解.
【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：
等差数列前项和公式：??
．[]
等比数列前项和公式：
．
自然数方幂和公式：
[]
【小试牛刀】【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
二、分组法
将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.
“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简.
【例2】
【
2016届河北省衡水中学高三二调】已知数列中，，且，则数列的前项和为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】分偶数项与奇数项分别求和
【解析】由题易知数列奇数项与偶数项分别组成一1,1为首项，公差为1的等差数列，所以不难得到前100项的和．
，故选A．
【评注】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
【小试牛刀】已知数列的通项公式为，数列是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.[]
三、裂项相消法
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：余下的项前后的位置前后是对称的．余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项公式：[]
【
例3】已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列满足，求证：．
【分析】（Ⅰ）根据成等差数列，可得，
当时，得到，
当时，由，得到
，知数列是首项为，公比为2的等比数列.（Ⅱ）由于
利用“裂项相消法”求和
“放缩”即得.
（Ⅱ）
，
=.
【评注】在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．常用的裂项公式：
．
！=！！
【小试牛刀】【2016届湖南省长沙明德中学高三上第三次月考】数列1，，，…，的前项和
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，故应选．
四、错位相减法
若数列是等差数列，数列是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列，当求数列的前项和时，常常采用将各项乘以的公比，并向后错一项与原的同次项对应相减的方法.错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
注意：
要考虑
当公比为1时为特殊情况
，
错位相减时要注意末项.
【例4】
已知数列，满足，,，
.
（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列的前项和.
【分析】（Ⅰ）由，得，数列是等差数列.（Ⅱ）用错位相减法求解.
【解析】∵，∴，由，
∴，化简得：，∵，
∴，即，
而，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴，即，∴.
【评注】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．
【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，
所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①-②有，
解得：．
五.
数列{|an|}的前n项和问题
【例5】在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(Ⅰ)求d，an；
（Ⅱ）若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
【评注】
(Ⅰ)本题求解用了分类讨论思想，求数列{|an|}的和时，因为an有正有负，所以应分两类分别求和．
（Ⅱ）常出现的错误：①当n≤11时，求{|an|}的和，有的学生认为就是S11＝110；②当n≥12时，求{|an|}的和，有的学生不能转化为2(a1＋a2＋…＋a11)－(a1＋a2＋…＋an)，导致出错．
求数列{|an|}的前n项和一般步骤如下：
第一步：求数列{an}的前n项和；
第二步：令an≤0(或an≥0)确定分类标准；
第三步：分两类分别求前n项和；
第四步：用分段函数形式下结论；
第五步：反思回顾：查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结果．
【牛刀小试】【2016届浙江宁波效实中学高三上期中考试】数列的前项和为，则
；数列的前10项和
．
【答案】，．
【解析】当时，，当时，，
∴，∴．
【迁移运用】
1.【
2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】已知数列满足：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以
，所以，故应选．
2.
【2014年杭州模拟】已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列的前n项和为Sn，则S2
014的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
3.
已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（
）
A．0
B．100
C．－100
D．10
200
【答案】B
【解析】由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－1＋101＝100.故选B.
4.【2016届学年江西省新余一中等校高三联考模拟】已知数列的前n项和为，令，记数列的前n项为
，则
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意有，所以有，所以，故选D．
5.【2016届学年江西省新余一中等校高三联考模拟】数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为
A．
B．
C．200
D．100
【答案】D
【解析】根据题意有，故选D．
6.
设f(x)＝，若S＝f()＋f()＋…＋f()，则S＝________.
【答案】1
007
【解析】∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.
S＝f()＋f()＋…＋f()，
①
S＝f()＋f()＋…＋f()，
②
①＋②得，2S＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝2
014，
∴S＝＝1
007.
7.【2016届甘肃省兰州一中高三12月月考】数列的通项为，前项和为，则=
．
【答案】200
．
8.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N
)，则S2
012
。
【答案】
【解析】a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.
∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2
012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2
011＋a2
012
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2
011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2
012)
＝＋＝3·21
006－3.
9.【2016届云南省玉溪市一中高三上学期期中】数列的通项，其前项和为，则为
．
【答案】470．
【解析】
，
故答案应填：470．
10.数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．
【答案】1830
11．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N＋，则：
(Ⅰ)a3＝________；
（Ⅱ）S1＋S2＋…＋S100＝________.
【答案】(Ⅰ)－　（Ⅱ）
【解析】∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋.
当n为偶数时，an－1＝－，
当n为奇数时，2an＋an－1＝，
∴当n＝4时，a3＝－＝－.
根据以上{an}的关系式及递推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝.
∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝.
12.
【2016届福建省上杭县一中高三12月考】已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，且数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意，得，即，得．
，．∴数列的通项公式．
（2），
．
，，故，又为单调递增，所以当时，取最小值，故．
13.
直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N＋.数列{an}满足：a1＝1，
an＋1＝|AnBn|2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(Ⅰ)由题意，知圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝，半径rn＝，
所以an＋1＝(|AnBn|)2＝r－d＝(2an＋n)－n＝2an.
又a1＝1，所以an＝2n－1.
（Ⅱ）当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1)
＝＋＝＋(2n－1)．
当n为奇数时，n＋1为偶数，
Tn＋1＝＋(2n＋1－1)＝＋(2n＋1－1)．
而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n，所以Tn＝＋(2n－2)．
所以Tn＝
14.(山东省青岛市高三3月统一质量检测考试2)在数列中，其前项和为，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设（为正整数）,求数列的前项和.
【解析】(Ⅰ)由题设得:,所以，
所以
,
当时，,数列是为首项、公差为的等差数列，
故.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知:
,
，
，
，
设，
则，
两式相减得：，
整理得：
,[]
所以
.
15.
在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.
（Ⅱ）∵bn＝log2an＝7－n，则数列{bn}的前n项和为Tn＝，
∴当1≤n≤7时，bn≥0，∴Sn＝.
当n≥8时，bn<0，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋b7－(b8＋b9＋…＋bn)
＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b7)
＝－＋2×＝.
∴Sn＝
问题五：数列与不等式的相结合问题
数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型.
对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.
近年数列与不等式交汇题考查点：
1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.
2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.
3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.[]
题型一：最值问题
求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.
【例1】设等差数列的前项和为，若，，
则的最大值为______.
【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项与公差的不等式，然后利用此不等关系确定公差的范围，由此可确定的最大值.
【解析】因为等差数列的前项和为，且，，
所以，即，
所以，
所以，则，即.
所以，
故的最大值为4.
【评注】本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.
【小试牛刀】【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联】已知等差数列的等差，且，，
成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（
）
A．4
B．
3
C．
D．
【答案】A．
题型二:恒成立问题
求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.
【例2】已知正项数列的首项，前项和满足．
（Ⅰ）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，不等式4恒成立，求实数的取值范围．
【分析】本题考查等差数列的判断，裂项相消法求数列的前项和，利用不等式恒成立求参数的范围.
（Ⅰ）由代入，变形整理得出数列是等差数列，从而可求出；（Ⅱ）先用裂项相消法求数列的前项和为，再求的取值范围，最后根据不等式4恒成立，求出实数的取值范围．
【评注】数列中与的关系的运用一定要注意题目的条件，有时变形为与的关系，也有时变形为与的关系.
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
【小试牛刀】【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为(
)
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
【答案】C
【解析】
由上述可知对任意正整数，都有，，故答案选
题型三：证明问题
此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.
【例3】设数列满足，，其中为实数.
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
(Ⅱ)设，证明：；
（Ⅲ）设，证明：.
【分析】第（Ⅰ）小题可考虑用数学归纳法证明；
第
(Ⅱ)小题可利用综合法结合不等关系的迭代；
第
（Ⅲ）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前项和求和，再进行适当放缩.
【解析】（Ⅰ）必要性：∵，，
又∵，∴，即，
充分性：设，对用数学归纳法证明.
（1）当时，.
（2）假设当时成立，
则，且，
∴，这就是说时，.[]
由（1）、（2）知，当时，知对所有成立.
综上所述，对任意成立的充分必要条件是.
（Ⅱ）设，当时，，结论成立.
当时，由，∴，
∵，由(Ⅰ)知，所以，且，
∴，
∴，
∴.
(Ⅲ)设，当时，，结论成立.
当时，由（Ⅱ）知，
∴，
∴
.
∴，不等式恒成立.
【评注】本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地.应用放缩法证明不等式的关键.
其一，选择适当的放缩因子（即放缩的对象），其二，放大或缩小的幅度，这时幅度要合适，且力求计算量不要太大.
【小试牛刀】【2015届江苏省盐城中学高三上学期12月月考】已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，且数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
题型四：探索性问题
数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.
【例4】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
【分析】（Ⅰ）设数列的公差为，根据成等比数列求得的值，从而求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的，根据等差数列的求和公式求出，解不等式求出满足条件的的.
【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，
故有，
化简得，解得或.
当时，；[]
当时，，
从而得数列的通项公式为或.
【评注】本题的表示式有两种，需要对着两种情况讨论，再确定是否存在满足题意的.
解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．
与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.
【小试牛刀】是否存在一个等比数列同时满足下列三个条件：
①且；
②；
③至少存在一个，使得，，依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由.
题型五:新定义题型
【例5】【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试】对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．
（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则t的最大值为
；
（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a的取值范围是
．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)
所以数列是递增数列
即
因为，所以上式化简为，得
故的最大值
（2）由已知条件得
所以数列是递增数列
即
因为，所以上式化简为，
令
由三次函数的图像性质可知为或或或
，，，
所以
所以
故的取值范围为
评注：高考数学创新题型是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，
解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.
创新题型大致有结构形式新、问题情境新、表达方式新、设问角度新、思维方式新、知识交汇新等.
新颖的题目难度在“新”上，只要心态平和认真读题，按题目要求，运用所学知识分析问题、解决问题，应该能顺利完成.
【小试牛刀】若有穷数列（是正整数），满足，即
（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”.
（Ⅰ）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项.
（Ⅱ）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（Ⅲ）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和.
【解析】（1）设的公差为，则，解得
，
数列为．
（Ⅱ），
[]
，
当时，取得最大值．的最大值为626．
（Ⅲ）所有可能的“对称数列”是：
①
；
②
；
③
；
④
．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
【迁移运用】
1.
【2015浙江理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
2.【2015北京理6】设是等差数列，下列结论中正确的是（
）.
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】C
3.设数列是等比数列，则“”是数列是递增数列的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设数列的公比为，因为，所以，解得，且，
所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，
所以，即.
故“”是
是数列是递增数列的充要条件，选C.
4.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（
）
A.若，则数列有最大项
B.若数列有最大项，则
C.若数列是递增数列，则对任意，均有
D.
若对任意，均有，则数列是递增数列
【答案】C
【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S
n}是递增数列，但是S
n＞0不成立．故选C.
5．【2016届福建省上杭县一中高三12月】函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，是递增数列，所以函数为增函数，需满足三个条件
，解不等式组得实数的取值范围是，选C．
6．【2015-2016学年辽宁省鞍山市一中等校高二上期末】设各项均为正数的数列的前项之积为，若，则的最小值为（
）．
A．7
B．8
C．
D．
【答案】A
7.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知数列满足：，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，
，故选B．
8．【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，，且，则下列结论成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令可得：，因为当时，，所以，所以，所以．当时，，，所以．
设，且，则，所以，所以
，即，所以是上单调递减函数．因为，所以，所以+，即，而，即，这表明出数列为单调递减，所以，，，，而是上单调递减函数，所以，，，，故应选．
9．【2016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是
（
）
A．>
B．<
C．=
D．与n的取值有关
【答案】B
【解析】，所以，故选B．
10.【2015届江苏省泰兴市高三上学期期中考试】已知，设为数列的最大项，则
．
【答案】8
【解析】因为
，所以当时，；当时，，所以为数列的最大项，
8
11.已知数列和满足，若为
等比数列，且.
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为
()求；
()求正整数，使得对任意，均有.
【解析】（Ⅰ）由题意知，，
所以，
又由得公比（舍去），
所以数列的通项公式为，
所以，
故数列的通项公式为.
12.在平面上有一点列，，…，，…，对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形.
（Ⅰ）求点的纵坐标的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数，以，，为边长能构成一个三角形，求的取值范围；
（Ⅲ）设.若取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数.
【解析】（Ⅰ）由题意，，∴．
（Ⅱ）∵函数递减，
∴对每个自然数，有，
则以，，为边长能构成一个三角形的充要条件是，
即，
解得或，
∴．
（Ⅲ）∵，
∴，．
数列是一个递减的正数数列.对每个自然数，．
于是当时，，当时，，
因此，数列的最大项的项数满足不等式且.
由，得，∴.
13.设（，），（，）是函数的图象上的任意两点．
（1）当时，求+的值；
（2）设，其中，求
（3）对应（2）中，已知，其中，设为数列的前项和，求证.
【解析】（1)
且，
，
，
，
，
[]
，解得，
，
，
，是单调递减数列，
，
又
，
综上所述：．
14.【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知数列中，函数．
（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；
（2）若正项数列满足（n∈N
），数列的前项和为Tn，且，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题意，
，，
，由此归纳得出：
；
证明如下：
∵，∴，∴，
∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，
∴，∴；
问题六：数列中探索性问题
近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.
题型一：条件探索性问题
对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．
【例1】【2016届江苏省扬州中学高三12月月考】已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等
比数列，且对任意的恒成立．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．
【分析】（Ⅰ）因为对任意的恒成立，所以取，又知为等差数列，为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由，得，设，则不等式等价于，问题转化为求的最小值，因，利用知单调递增，求的最小值，再根据求解；（Ⅲ）特殊情况时，成立，当d＞0时，，，由等比中项知，化简得，整理得：，由，所以，根据，故，从而，所以公差d的所有可能取值之和为．
法2：因为
①
对任意的恒成立
则（）
②
①②得，又，也符合上式，所以
由于为等差数列，令，则，
因为为等比数列，则（为常数），
即对于恒成立，
，所以．
又，所以，故．
（Ⅱ）由，得，
设，则不等式等价于．
∵，且，∴，数列单调递增．
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
①当为奇数时，得；
②
当为偶数时，得，即．
综上，，由是非零整数，可知存在满足条件．
（Ⅲ）易知d=0，成立．
当d＞0时，，
，
，
，
，
，
又，，
，，所以公差d的所有可能取值之和为．……16分
【评注】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差的要求，进而得到的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．
【小试牛刀】
数列满足：.
（Ⅰ）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；
（Ⅱ）求的取值范围，使数列是单调递增数列.
【解析】（Ⅰ）必要条件：当时，数列是单调递减数列。
充分条件：数列是单调递减数列，
得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。
题型二：结论探索性问题
探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．
【例2】【2016届江苏省清江中学高三上测评】已知数列中，（为非零常数），其前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，求的值；
（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？
若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)先由得，
，两式相减整理得，，
再相减化为，故是等差数列，；(2)先求出代入整理得，只有且，解得；(3)先排除的情况，再求得时有，再由对任意正数成立可得
，最后验证得．
【解析】（1）由已知，得，∴，
则有，∴，[]
即，，
两式相加，得，
即，
故数列是等差数列，
又，∴
（2）若，则，∴，
由，得，即，
∴．
∵43是质数，，，
∴，解得，
【评注】判定一个数列为等差数列的常见方法是：①验证时为同一常数；②验证时，恒成立；③验证；④验证．本题（1）运用了方法②．
【小试牛刀】从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.
（Ⅰ）写出数列的一个是等比数列的子列；
（Ⅱ）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列
为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.
【解析】（Ⅰ）（若只写出2,8,32三项也给满分）.
（Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为.因为，所以.
（1）当时，∈（0，1]，且数列是递减数列，
所以也为递减数列且∈（0，1]，,
令，得，
即存在使得，这与∈（0，1]矛盾.
综上，所以数列不存在是无穷等差数列的子列.
题型三：存在性探索问题
通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．
【例3】【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考试】设等差数列的前项和为，数列的前项和为满足
（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；[来源:学
科
网]
（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由
【分析】（Ⅰ）设数列的公差为,由又，解得,
由此即可求出数列的通项公式，即，所以，然后再利用裂项相消法即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，；当时，，所以，若是等比数列，则有而，所以矛盾，故数列不是等比数列．
（Ⅱ）因为
当时，；当时，．
所以，若是等比数列，则有而，所以矛盾，故数列不是等比数列．
【评注】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型,类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；②对数运算本身可以裂解；
【小试牛刀】在等差数列和等比数列中，，，是前项和．
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．[]
【解析】（Ⅰ）对等比数列，公比．
因为，所以．
解方程，
得或．
因为，所以．[]
（Ⅲ）由题意，因为在中，所以中至少存在一项在中，另一项不在中.
由得，
取得，即.
取4，得（舍负值）。此时.
当时，，，对任意，.
综上，取．
(此问答案不唯一，请参照给分)
【迁移运用】
1.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围_______.
【答案】
2.已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为
.
【答案】5
【解析】要使恒成立，只需.
因
，
所以，所以，所能取得的最大整数为5.
3.设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.
【答案】
【解析】设设等差数列中的任意两项，由已知得，，，则，设是数列中的第项，则有，即，，故的所有可能取值为，其和为．
4．【2016届江苏省南通市石庄高中高三上第三次调研】已知非零数列{an}满足a1=1，anan+1=an﹣2an+1（n∈N
）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若关于n的不等式＜m﹣3有解，求整数m的最小值；
（3）在数列中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：由anan+1=an﹣2an+1，
得，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，，
故，
设，
则，
所以f（n）单调递增，
则，于是，即，
故整数m的最小值为4；
（3）由上面得，，
设，
要使得b1，br，bs成等差数列，即b1+bs=2br，
即3+2s﹣（﹣1）s=2r+1﹣2（﹣1）r，
得2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3，
∵s≥r+1，∴（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≥0，
∴，
故s为偶数，r为偶数，
∵3≤s＜6，∴s=4，r=3或s=6，r=5．
5．【2015-2016学年山东省枣庄市三中10月学情调查】数列满足（）,
（1）证明为等差数列并求；
（2）设，数列的前n
项和为，求；
（3）设，，是否存在最小的正整数使对任意，有成立？设若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见答案；（2）；（3）
【解析】（1）证明：
即，为等差数列．
，，又由题知．
（2）解：，
，两式相减得
6．【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】已知等比数列的前项和为，成等差数列，且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求，并求满足的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
，满足的值为2．
【解析】（Ⅰ）依题意有
由于，故
，
又，从而，
由已知可得
，
故
，
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，所以
，
由
得
，
当为奇数时不满足，当为偶数时，递减，
所以满足的的值为，即满足的的值为．
7．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】已知数列
（1）若，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围
（2）求证：()
【答案】（1）；（2）详见解析．
【解析】（1）由题意得，令，
∴[]
，即单调递增，∴，故问题等价于
，又∵，，
且，∴的取值范围是；（2）∵，∴，
∴，，……，
，累加得：，
∴，
∴，
要证原不等式成立，只需证：，
，时显然成立，时，左边
，故原不等式成立．
8．【2016届山东师大附中高三上学期第三次模拟】已知数列的前项和，数列满足．
（1）求；
（2）设为数列的前项和，求，并求满足时的最大值．
【答案】（1），；（2），的最大值为3．
（2）由（1）知，
∴
①，
②，
①－②，得，
∴．
∵，
∴，即为递增数列．
又，，
∴时，的最大值为3．
9.在等差数列中，已知，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，设数列的前项和为，试比较与的大小．
10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．
（Ⅰ）设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】（Ⅰ）假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，
设＝q(n≥2)，即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)，
得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.
与已知an＋1＝an＋2an－1比较，得
解得λ＝1或λ＝－2.
所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．
当λ＝1时，q＝2，b1＝4，则数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列；
当λ＝－2时，q＝－1，b1＝1，则数列{bn}是首项为1，公比为－1的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＋1－2an＝(－1)n＋1(n≥1)，
所以－＝＝(n≥1)，
当n≥2时，＝＋
.
因为＝也适合上式，
所以n≥1)．
所以an＝[2n＋1＋(－1)n]．
则Sn＝[(22＋23＋…＋2n＋1)＋((－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n)]
.
11.等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即．
（Ⅰ）若数列,试找出一组满足条件的,使得：
；
（Ⅱ）试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；
（Ⅲ）若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．
【解析】（Ⅰ）则.
（Ⅱ）记即,又由，,所以第二段可取3个数，；再由，即,因此第三段可取9个数，即，依次下去,
一般地:,，
所以，
，
则．
由此得证．
20090318数列版块
目录
TOC
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"1-3"
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问题一：等差数列、等比数列的证明问题
1
问题二：数列中的最值问题
16
问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题
31
问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题
45
问题五：数列与不等式的相结合问题
60
问题六：数列中探索性问题
79
问题一：等差数列、等比数列的证明问题
翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.
题型一：利用等差（等比）数列的定义
用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．
【例1】【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在数列中，．
（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列满足．
（1）求证：为等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，求的前n项和．
题型二：运用等差或等比中项性质
是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．[]
【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．
【小试牛刀】设数列的前项为，已知，且其中为常数．
（Ⅰ）求与的值；
（Ⅱ）证明数列为等差数列．
题型三：反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：
【例3】设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．
【小试牛刀】
设{an}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式；
（Ⅱ）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
题型四：利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列
【例4】若是数列的前项和，,则是(
　　)
A．等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，而且也是等比数列
D.既非等数列又非等差数列
【小试牛刀】已知正数数列{an}对任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，则a9＝(　　)
A．6　　　　　　　　　B．9
C．18
D．20
题型五：运用数学归纳法
【例5】数列的前项和记为，已知，．
证明：数列是等比数列．
【小试牛刀】已知数列满足.
（Ⅰ）写出，，，并推测的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明推测的结论.
【迁移运用】
1.
已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2)2，则{an}为（
）数列．
A.
等差
B.等比
C.常数列
D.可能是等差数列也可能是等比数列
2.
等差数列的前项和为30，前项和为100则它的前项和为（　　）
A．130
B．170
C．210
D．260
3.
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N
，则(　　)
A．{an}是递增的等比数列
B．{an}是递增数列，但不是等比数列
C．{an}是递减的等比数列
D．{an}不是等比数列，也不单调
4.
等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：
（1）成等差数列，也可能成等比数列；
（2）成等差数列，但不可能成等比数列；
（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；
（4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是
（
）
A.（1）（3）
B.（1）（4）
C.（2）（3）
D.（2）（4）
5.
已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当为何值时，数列为等差数列？并说明理由．
6.
设数列的前项和为，已知，，其中.
（Ⅰ）求证:是等差数列；
（Ⅱ）求证:；
（Ⅲ）求证:.
[]
7．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设数列满足：.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.
8.【2016届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n∈N
），b1=2，求数列{bn}的通项公式．
9.【2016届山东省枣庄八中高三上12月月考】在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等差数列；
（3）设数列{cn}满足cn=an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
10．【2016届宁夏石嘴山三中高三补习班上第三次适应性考试】设数列{an}满足当n＞1时，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．
11.【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知数列的前项和为,若（）,且．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设,数列的前项和为,证明:（）．
12．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】已知数列的各项均不为0，其前n项和为，且满足，．
（1）求的值；
（2）求证是等差数列；
（3）若，求数列的通项公式，并求
问题二：数列中的最值问题
数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.
题型一：求数列的最大项
【例1】已知数列的通项公式为=，求的最大项．
【小试牛刀】【2015-2016学年湖南省常德石门一中高二上期中】已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_____．
题型二：的最值问题
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.
（Ⅰ）确定常数k，并求an；[]
(Ⅱ)求数列的前n项和Tn.
【小试牛刀】【2016届河北省衡水中学高三上学期四调】设向量，（），若，设数列的前项和为，则的最小值为
．
题型三：求满足数列的特定条件的最值
【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（
）
A．17
B．16
C．15
D．14
【小试牛刀】已知数列的前项和，数列{}满足，且．
（Ⅰ）求，；
(Ⅱ)设为数列{}的前项和，求，并求满足7时的最大值．
题型四：求满足条件的参数的最值
【例4】
己知各项均不相等的等差数列的前四项和
，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ)设为
数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值．
【小试牛刀】已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为
.
题型五：实际问题中的最值
【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．
（Ⅰ）求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；
（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．
【小试牛刀】某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.
第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.
设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【迁移运用】
1.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)．
A.
B.
C．4
D．0
2.等差数列中，，是前n项和且，则当（
）时，最大.
A.12
B.13
C．12或13
D．13或14
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
4.数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1
025的最小n值是(　　)．
A．9
B．10
C．11
D．12
5.在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是
(　　)
A．a1，a50
B．a1，a44
C．a45，a44
D．a45，a50
6.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
7.在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．
8.
【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为
．
9.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列满足，，则的最小值为
．
10.已知等差数列满足：，且，，成等比数列.
[]
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最小值；
若不存在，说明理由.
11.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N
)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设Tn＝Sn－(n∈N
)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
12.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
13.【2015北京理20】已知数列满足：，，且
，记集合.[]
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素时3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
14.【2015四川理16】设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值.
问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题
递推公式是给出数列的一种重要方法，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等，构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项.
题型一：用累加法求数列的通项
【例1.】【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】在数列中，
，，则该数列的通项公式=
．
【小试牛刀】在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求数列的通项公式；
题型二：利用累乘法求数列的通项
【例2】设是首项为1的正项数列，且，则
.
题型三：用构造法求数列的通项
【例3】【2016届宁夏六盘山高中高三上学期第二次月考】已知数列满足，且=2，则=__________．
【小试牛刀】【2016届云南师范大附中高考适应性月考】已知数列满足，，，，则
．
题型四．利用与的关系求数列的通项
【例4】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N
.
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
【小试牛刀】【2016届贵州市兴义市八中高三上第四次月考】已知数列的前项和满足，则__________．
题型5
：递推公式为（其中，均为常数）.
解法一（待定系数——迭加法）:
【例5.】数列：，
，求数列的通项公式.
【小试牛刀】已知数列满足
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；[]
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列
[]
【迁移运用】
1.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N
)，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．2n－1
B.
C．n2
D．n
2.
【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】数列中，，，（，），则
．
3.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
A．0　　　　　　B．3
C．8
D．11
4.正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N
，n≥2)，则a7＝________.
5.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则{an}的通项公式为
．
6.
已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则其通项公式为________．
7．已知数列{an}满足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．
8.在数列中，，
则数列的通项通项
．[]
9．【2016届重庆市第一中学高三12月月考】已知数列的前n项和为，且．
（1）求出数列的通项公式；
（2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．
10．【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月测】已知{an}的前n项和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=，求{bn}的前n项和Tn．
11．【2016届河南省信阳高中高三上第八次月考】已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=n（2﹣Sn），n∈N
，若bn≤λ，n∈N
恒成立，求实数λ的取值范围．
（3）设Cn=，Tn是数列{Cn}的前n项和，证明≤Tn＜1．
12．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
14.【2015浙江文17】已知数列和满足，
.
(1)求与;
(2)记数列的前项和为，求.
问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题
数列求和数历年高考命题的热点，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等成数列或等比数列的求和问题进行求解.
一、公式法
公式法是数列求和的最基本的方法．也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式,当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．
【例1】设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．
【小试牛刀】【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、分组法
将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.
“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简.
【例2】
【
2016届河北省衡水中学高三二调】已知数列中，，且，则数列的前项和为（
）
A．
B．
C．
D．
【小试牛刀】已知数列的通项公式为，数列是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.[]
三、裂项相消法
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：余下的项前后的位置前后是对称的．余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项公式：[]
【
例3】已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列满足，求证：．
【小试牛刀】【2016届湖南省长沙明德中学高三上第三次月考】数列1，，，…，的前项和
（
）
A．
B．
C．
D．
四、错位相减法
若数列是等差数列，数列是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列，当求数列的前项和时，常常采用将各项乘以的公比，并向后错一项与原的同次项对应相减的方法.错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
注意：
要考虑
当公比为1时为特殊情况
，
错位相减时要注意末项.
【例4】
已知数列，满足，,，
.
（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列的前项和.
【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
五.
数列{|an|}的前n项和问题
【例5】在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(Ⅰ)求d，an；
（Ⅱ）若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
【牛刀小试】【2016届浙江宁波效实中学高三上期中考试】数列的前项和为，则
；数列的前10项和
．
【迁移运用】
1.【
2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】已知数列满足：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2.
【2014年杭州模拟】已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列的前n项和为Sn，则S2
014的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
3.
已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（
）
A．0
B．100
C．－100
D．10
200
4.【2016届学年江西省新余一中等校高三联考模拟】已知数列的前n项和为，令，记数列的前n项为
，则
）
A．
B．
C．
D．
5.【2016届学年江西省新余一中等校高三联考模拟】数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为
A．
B．
C．200
D．100
6.
设f(x)＝，若S＝f()＋f()＋…＋f()，则S＝________.
7.【2016届甘肃省兰州一中高三12月月考】数列的通项为，前项和为，则=
．
8.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N
)，则S2
012
。
9.【2016届云南省玉溪市一中高三上学期期中】数列的通项，其前项和为，则为
．
10.数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．
11．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N＋，则：
(Ⅰ)a3＝________；
（Ⅱ）S1＋S2＋…＋S100＝________.
12.
【2016届福建省上杭县一中高三12月考】已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，且数列的前项和为，证明：．
13.
直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N＋.数列{an}满足：a1＝1，
an＋1＝|AnBn|2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.
14.(山东省青岛市高三3月统一质量检测考试2)在数列中，其前项和为，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设（为正整数）,求数列的前项和.
15.
在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.
问题五：数列与不等式的相结合问题
数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型.
对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.
近年数列与不等式交汇题考查点：
1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.
2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.
3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.[]
题型一：最值问题
求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.
【例1】设等差数列的前项和为，若，，
则的最大值为______.
【小试牛刀】【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联】已知等差数列的等差，且，，
成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（
）
A．4
B．
3
C．
D．
题型二:恒成立问题
求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.
【例2】已知正项数列的首项，前项和满足．
（Ⅰ）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【小试牛刀】【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为(
)
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
题型三：证明问题
此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.
【例3】设数列满足，，其中为实数.
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
(Ⅱ)设，证明：；
（Ⅲ）设，证明：.
【小试牛刀】【2015届江苏省盐城中学高三上学期12月月考】已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，且数列的前项和为，证明：．
题型四：探索性问题
数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.
【例4】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
【小试牛刀】是否存在一个等比数列同时满足下列三个条件：
①且；
②；
③至少存在一个，使得，，依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由.
题型五:新定义题型
【例5】【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试】对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．
（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则t的最大值为
；
（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a的取值范围是
．
【小试牛刀】若有穷数列（是正整数），满足，即
（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”.
（Ⅰ）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项.
（Ⅱ）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（Ⅲ）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和.
【迁移运用】
1.
【2015浙江理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（
）．
A.
B.
C.
D.
2.【2015北京理6】设是等差数列，下列结论中正确的是（
）.
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
3.设数列是等比数列，则“”是数列是递增数列的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.充要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（
）
A.若，则数列有最大项
B.若数列有最大项，则
C.若数列是递增数列，则对任意，均有
D.
若对任意，均有，则数列是递增数列
5．【2016届福建省上杭县一中高三12月】函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．【2015-2016学年辽宁省鞍山市一中等校高二上期末】设各项均为正数的数列的前项之积为，若，则的最小值为（
）．
A．7
B．8
C．
D．
7.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知数列满足：，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，，且，则下列结论成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．【2016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是
（
）
A．>
B．<
C．=
D．与n的取值有关
10.【2015届江苏省泰兴市高三上学期期中考试】已知，设为数列的最大项，则
．
11.已知数列和满足，若为
等比数列，且.
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为
()求；
()求正整数，使得对任意，均有.
12.在平面上有一点列，，…，，…，对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形.
（Ⅰ）求点的纵坐标的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数，以，，为边长能构成一个三角形，求的取值范围；
（Ⅲ）设.若取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数.
13.设（，），（，）是函数的图象上的任意两点．
（1）当时，求+的值；
（2）设，其中，求
（3）对应（2）中，已知，其中，设为数列的前项和，求证.
14.【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知数列中，函数．
（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；
（2）若正项数列满足（n∈N
），数列的前项和为Tn，且，求证：．
问题六：数列中探索性问题
近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.
题型一：条件探索性问题
对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．
【例1】【2016届江苏省扬州中学高三12月月考】已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等
比数列，且对任意的恒成立．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．
【小试牛刀】
数列满足：.
（Ⅰ）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；
（Ⅱ）求的取值范围，使数列是单调递增数列.
题型二：结论探索性问题
探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．
【例2】【2016届江苏省清江中学高三上测评】已知数列中，（为非零常数），其前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，求的值；
（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？
若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．
【小试牛刀】从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.
（Ⅰ）写出数列的一个是等比数列的子列；
（Ⅱ）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列
为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.
题型三：存在性探索问题
通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．
【例3】【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考试】设等差数列的前项和为，数列的前项和为满足
（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；[来源:学
科
网]
（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由
【小试牛刀】在等差数列和等比数列中，，，是前项和．
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．[]
【迁移运用】
1.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围_______.
2.已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为
.
3.设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.
4．【2016届江苏省南通市石庄高中高三上第三次调研】已知非零数列{an}满足a1=1，anan+1=an﹣2an+1（n∈N
）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若关于n的不等式＜m﹣3有解，求整数m的最小值；
（3）在数列中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．
5．【2015-2016学年山东省枣庄市三中10月学情调查】数列满足（）,
（1）证明为等差数列并求；
（2）设，数列的前n
项和为，求；
（3）设，，是否存在最小的正整数使对任意，有成立？设若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
6．【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】已知等比数列的前项和为，成等差数列，且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求，并求满足的值．
7．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】已知数列
（1）若，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围
（2）求证：()
8．【2016届山东师大附中高三上学期第三次模拟】已知数列的前项和，数列满足．
（1）求；
（2）设为数列的前项和，求，并求满足时的最大值．
9.在等差数列中，已知，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，设数列的前项和为，试比较与的大小．
10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．
（Ⅰ）设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.
11.等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即．
（Ⅰ）若数列,试找出一组满足条件的,使得：
；
（Ⅱ）试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；
（Ⅲ）若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．

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