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数学课程实践与探索 1
教材研究JIAOCAIYANJIU
七年级下册第一章“整式的乘除”的设计思路与教学建议
《北师大版义务教育教科书·数学》（7～9年级）编写组 史炳星
随着2013年新春的到来，我们怀着好奇的心情，
迎来了北师大2012版教材初中数学七年级下册（简称
七下）的第一次使用。新一版七下教材的定位是什
么？与原来的相比有哪些变化？使用这一版的教材又
有什么需要特别注意的？
首先，我们面对的是第一章“整式的乘除”，就
让我们从这一章开始，谈谈上述的这些问题。
一、本章内容的定位
本章承接七年级上册“整式及其加减”的内容，
同时这部分内容还与后面的因式分解有密切关系。
单从标题看，本章的内容是否主要是一些式子
的运算呢？确实，代数式的运算属于数学的“双基”
内容，即基础知识和基本技能。我们知道，《义务
教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准
（2011年版）》），新增加了“运算能力”为十个核
心概念之一，显然通过本章的学习，学生应该能进行
简单的整式乘、除法运算，能推导整式乘法公式，并
能利用公式进行计算。
但除此之外，根据《标准（2011年版）》，本章
内容的定位还期望学生通过整式的运算，能够进一
步理解字母表示一般性的意义、发展符号意识，以
及进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考
与运算。还期望学生在学习代数式运算的过程中，能
够利用几何图形进行解释，将代数的抽象与几何的直
观结合起来。本章内容中包含了大量的探究性活动
和应用法则解决问题的活动，旨在学生能够理解整
式乘、除运算的算理，同时在活动的过程中逐渐
积累数学活动经验，发展勇于探究、质疑及合作
交流的精神。
二、本章内容的主要变化
本章内容有：
§1．同底数幂的乘法（1课时）
§2．幂的乘方与积的乘方（2课时）
§3．同底数幂的除法（2课时）
§4．整式的乘法（3课时）
§5．平方差公式（2课时）
§6．完全平方公式（2课时）
§7．整式的除法（2课时）
回顾与思考（2课时）
从结构上，原七下整式的加减移到七上，与合并
同类项整合，这主要是根据实验区教师的反馈，使相
近的内容相对集中，减少概念的重复，利于教师的使
用。这一变化可以从本册第一章的目录中看出。
从内容上，同底数幂运算的引入，所用情境多围
绕星体的相关计算，如求地球的体积，太阳、木星的
体积是地球的多少倍等。从方法上，都是从特殊到一
般，即从数的计算开始，再过渡到字母运算。
对于零指数和负整数指数的引入，安排了感受规
定“ a。=1（a≠0）,a-p=1/ap（a≠0，p是正整数）”的
合理性的活动，还在课后作业中增加了利用细胞分裂
体会上述规定合理性的习题。
在科学记数法一节，增加了主要体会百万分之一
这样数量级的小数的内容，如细胞的直径、一张纸的
厚度等，还增加了PM2.5的一些知识，使教材内容能够
与时俱进。
整式的乘法，包括单项式乘单项式、单项式乘多
项式、多项式乘多项式，都统一为先从计算矩形面积
入手，即从直观入手，感受计算的必要性和初步得到
法则，然后再依据乘法分配律通过运算（推理）最终
得到法则。
由于平方差公式和完全平方公式都是两个特殊
的多项式相乘，得到一个特殊的多项式，特别应引起
学生注意的是公式的形式。教科书先从简单的计算开
始，鼓励学生观察等式的特点，在学生活动的基础上
再明晰公式。同时教科书也给出了这两个公式的图形
表示，借助几何直观进一步体会公式的形式和特点。
教科书还包括了利用这两个公式进行推理的内容，如
发现计算中的规律等。
整式的除法，主要增加了具有实际背景的习题，
以增加学生数学学习的兴趣及应用意识。
三、本章内容的解析
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本章的知识内容可以用上面的框图。
从框图可以更清楚地看出，学习整式的乘、除
运算，我们需要首先学习同底数幂的乘法、幂的乘
方与积的乘方以及同底数幂的除法运算，为此教材
首先安排学习：同底数幂的乘法，幂的乘方与积的
乘方，同底数幂的除法，即前3节的内容。教科书在
这里的处理方法，总的来说是类比数的运算，从数
的运算开始，通过观察和进一步体会、运用幂的意
义，最终得到以字母为底数的幂的运算法则。教科
书还在得到这些运算法则的过程中，通过创设情境
问题、穿插应用问题等，使学生从不同角度体会这
些运算引入的意义，同时避免单纯代数式运算或许
给学习带来的枯燥感。
还需要说明的是，本章在第3节“同底数幂的除
法”中，引入了零指数和负整数指数幂的意义，并明
确指出它们是规定的，教科书所设计的猜想的过程，
实际上是用来体会规定的合理性。由于负整数指数
幂的引入，这里偶尔会有分式形式出现，但它是作
为同底数幂除法的一个自然延续，并不是作为知识
点出现，在八年级下册，我们有专门的章节研究分
式的问题。
在“同底数幂的除法”之后，本章安排了“科学
记数法”一节，主要是用科学记数法表示0到1之间的
数，是七上内容的延续。除用科学记数法进行表示之
外，教科书在此还安排了让学生体会“较小数”的活
动，把数的表示和具体数的实际意义结合起来，进一
步发展学生的数感。
本章的第4节，主要是探究整式乘法的法则，包
括单项式乘单项式、单项式乘多项式和多项式乘多项
式。教科书特别注重借助几何图形理解法则，同时进
一步强调代数式运算在解决“具有一般性”的问题中
的作用，进一步发展学生的符号意识。
第5、6两节的内容是“平方差公式”和“完全
平方公式”。它们实际上就是两种特殊的多项式乘多
项式，教科书在这里除继续注重借助几何图形理解法
则，还安排了利用乘法公式进行“从特殊到一般”的
推理的内容。
最后，第7节中，整式的除法运算是用整式乘法的
“逆运算”引入的。另外特别要注意的是本章只涉及
整式除以单项式结果仍为整式的除法。
这样，本章内容的设计注重代数推理与几何直观
两个方面的结合，注重学生对算理的理解和运算能力
的提高，注重学生数感、符号意识的发展，希望为后
续分式、方程、函数等内容的学习奠定坚实的基础。
四、本章内容教学建议
1．本章的主要内容是进行字母运算，教学中应充
整式的乘除
整式的乘法
整式的除法
同底数幂的乘法
幂的乘方、积的乘方
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
同底数幂的除法
单项式除以单项式
多项式除以多项式
平方差公式
完全平方公式
零指数幂
负整数指数幂
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分类比数的运算，使学生经历特殊到一般的过程。
如在推导字母为底的幂运算时，类比数的幂运算
的方法，一方面使学生感受知识的一致性、联贯性，
顺利地从数运算过渡到字母运算，另一方面也可以进
一步体会字母运算所代表的一般性。
2．本章内容包括极好的发展学生几何直观的素
材，应重视将代数推理与几何直观结合起来。
如在推导整式运算法则（包括乘法公式）时，在
代数推理的前或后，应利用几何直观作为辅助手段
进行解释、验证。几何直观可以帮助学生理解和记
忆代数结论的意义和结构，因为它具体、直观，从
而使得代数结论变得看得见、摸得着、易掌握，因
此几何直观在抽象的代数学习中，经常起着脚手架
的作用。
3．注重对运算法则的探索过程以及对算理的理
解，法则有条理的思考与表达的能力。
教科书为学生探索运算法则提供了较为丰富的素
材，教学中最好不简单要求学生记忆各种运算法则，
而要关注学生对法则的探索过程。同时，要重视学生
对算理的理解，让学生说所处每一步运算的道理，有
意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力。如单
项式乘多项式的法则依据的是乘法分配律，利用面积
相等只是一种直观上的解释。
4．注重在代数学习中发展学生的推理能力。
也许有人认为，平面几何对发展学生逻辑推理能
力有着重要作用，因此不重视代数对于学生推理能力
的培养。事实上，几何中的逻辑推理只是推理中的一
个方面，数学学习和研究还包括观察、实验、归纳、
类比等合情推理的另一个方面。即使是逻辑推理能力
的培养，也不应只限于平面几何，甚至并不只局限于
数学学科。总之，数学学习的各个领域，包括代数、
图形与几何、统计与概率等，都应该对全面发展学生
的推理能力起到应有的作用。
代数对培养学生推理能力的作用可以体现在
两个方面：意识在用符号表示数量关系或变化规
律之前，我们需要对事物之间的数量关系或变化
规律进行分析，归纳与概括，发现隐含在其中的
量与量之间的关系，并将这个关系用符号一般性
地表示出来，在这个过程中需要学生经历观察、
归纳等探索过程；二是运用符号间的运算证明猜
想或解决问题，在这个过程中培养学生的逻辑推
理能力。
教学中，教师应有意识地培养学生的推理能力，
鼓励学生通过合情推理进行大胆推测，利用符号间的
运算验证猜想或解决问题，同时鼓励学生有条理地表
达自己的思考过程。
5．注重发展学生的运算能力，但又要避免繁杂的
运算。
符号运算对于数学来说是必不可少的，基本运算
技能是学生学习本章内容的一个重要目标，因此，数
学中必须要适当地、分阶段地提供一些必要的训练，
使学生能准确地进行基本的符号运算，并能明白每一
步的算理。
教学中要避免过多、繁琐的运算，如在多项式相
乘中仅要求一次式相乘，不宜再做扩展，这一方面是
因为计算机的介入使得一些繁杂的运算没有必要了，
更重要的是绝大多数的学生在今后的生活、学习和工
作中并不需要繁杂的运算，而对它的学习却要花费学
生相当多的时间和精力，甚至会影响他们学习数学的
兴趣和信心。
建议在教学中，若需要补充习题，请多在数学理解、
问题解决、联系拓展方面多下功夫，增加一些习题。
七年级下册第二章“相交线与平行线”的
设计思路与教学建议
《北师大版义务教育教科书·数学》（7～9年级）编写组 刘德华
一、本章内容定位
相交线、平行线在现实生活中随处可见，同时，
它们又构成同一平面内两条直线位置的基本关系。
虽然学生在在小学阶段学习了一些简单的图形，在
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七上进一步认识基本平面图形，但是，均未系统学
习图形与几何，因此本章的内容实际上是图形与几
何的入门。
在入门阶段，既要学习一些最基本、最简单的
几何图形及其有关知识，也要开始进一步培养学生的
空间观念和推理能力（含合情推理能力与演绎推理能
力，主要是培养合情推理能力）。
基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》
（以下简称《标准（2011年版）》）的要求和学生的
实际，本章内容与要求的定位是：在生动的问题情境
和丰富的数学活动中，探索相交线、平行线的有关事
实；以直观认识为基础进行简单的说理，将几何直观
与简单推理相结合，发展空间观念和推理能力；借助
平行的有关结论解决一些简单的实际问题。
二、本章内容有哪些变化
修改后的平行线与相交线在教材中所处的位置没有
变化，仍作为七下第二章，全章仍安排4节，具体如下：
第1节 两条直线的位置关系（2课时）
第2节 探索直线平行的条件（3课时）
第3节 平行线的性质（2课时）
第4节 用尺规作角（1课时）
总体来说，本章在结构上未作大的调整，只将原教
材七上第四章“平面图形及其位置关系”中的第5节“平
行”、第6节“垂直”、以及原七下第二章第1节“余角
与补角”整合为本章第1节“两条直线的位置关系”， 内
容包括：相交线、平行线的概念，对顶角、余角、补角
的概念与性质，两条直线垂直的定义与性质。
此外，将原教材第4节中“用尺规作线段和角”中
的用尺规作线段整合到七上“平面图形”，在本章保
留用尺规作角，并单独成节。
就具体内容而言，主要有以下几点：
1.问题的设置更加有利于拓展学生空间观念的培
养，更具开放性。
如借助三角尺画平行线，原教材（七下P64）
是“你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行
线吗？”，现在修改为“你能借助三角板画平行线
吗？”，拓展了学生发展思维的空间；
再比如，在方格纸上只用直尺画互相垂直的直
线，原教材在提出问题后即给出两种情况（其中一条
是水平的，一条是倾斜的）下两条直线位置的图（七
上P157图-24），修改时则将给出的这两条直线都删
除，而将这两种情况给学生自己去思考，以期培养学
生的空间观念和分类的数学思想。
2.关于归纳推理的理由的表述。
如，原教材P67，“三个相同的三角尺拼接成一
个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理
由。”原教材安排了两种说明理由的方法，现在将用
箭头表示的方法删除，主要是考虑教材使用过程发现
学生对用箭头说理的表达方式掌握有困难。
再如P71，一束平行光线被一平面镜反射问题的说
理，也删除了箭头说理方式，改用文字表述，这样的
修改，一方面是降低学生学习难度，另一方面也是为
后面演绎推理的表述做铺垫。
3.适当增加了习题训练。
一是原来没有安排“随堂练习”的这次安排了，二
是增加习题课，如第2节“探索直线平行的条件”、第3
节“平行线的特征”均分别增加1课时，作为习题课，以
利于学生及时用于巩固。
4.尽可能提供学生动手操作的机会。
如在画两条直线垂直的内容中，教材在“做一
做”栏目中的安排是：先在方格纸中画两条互相垂直
的直线，随后提出“你能用折纸的方法折出两条互相
垂直的直线吗？”
三、本章内容阐述
教科书安排了4节内容：
第1节“两条直线的位置关系”。 首先从反映生活
中存在的两条直线位置关系的图片的观察入手，提出
两条直线的两种位置关系（相交与平行），接着介绍
对顶角的概念及其性质，继而通过七巧板所拼成的正
方形的观察，创设了有利于学习补角、余角的问题情
境，使学生在直观、有趣的情景中，认识相交线所成
的角及其基本结论。
第2节“探索直线平行的条件”、第3节“平行线
的性质”。教科书通过设置观察、操作等探究活动，按
照“先探索直线平行的条件，再探索直线平行的特征”
顺序呈现、展开平行线的有关内容，其中，在探索直线
平行的条件中自然引入“三线八角”，并试图在探索性
质和解决问题的过程中，加深对直线平行的理解，进一
步发展学生的空间观念。
第4节，“用尺规作角”。在学生七上学习“用尺
规作一条线段等于已知线段”的基础上，学习“用尺
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规作一个角等于已知角”，并用规范的尺规作图语言
加以叙述，给出了尺规作图的范例。
在内容的呈现方式上，综合考虑学生年龄状况、
认知特点，以及培养几何直观、数学推理能力的需
要，教材力求为学生提供生动有趣的问题情景，提供
观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动平台。
四、本章内容解析
1.关于直线位置与角的相关内容。
相交与平行，是平面内两条直线的两种位置关系，
本章学习的重点内容是相交线和平行线，但是，对直线
的相交与平行的研究都是通过对角的学习、研究进行
的。因此，角，是本章学习的一个重要内容，无论是学
习相交线，还是学习平行线，都离不开对角的研究。
研究相交线，主要是研究直线相交所成角：两
条直线相交，研究对顶角；研究平行线的判定与性
质，则通过研究两条直线被第三条直线所截而成的
同位角、内错角和同旁内角。至于角的互余、互
补，则是两角的数量关系，与角的位置无关，在本
章研究余角、补角，是在研究两条直线相交过程
中，在研究对顶角的过程中提出，并不表示与两角
的位置有关。
既然本章有关角的内容，是为研究两条直线的位
置关系服务的，是研究两条直线位置关系的工具，因
此，关于角的内容的学习又要有度，不可喧宾夺主。
关于对顶角的研究与学习，应该以两条直线相交
为前提，突出两条直线相交是产生对顶角的关键，至
于“有公共顶点”、“两边互为反向延长线”，我们
认为是对对顶角特征的一种直观的描述，而非概念的
本质，不必为此花费时间和精力。
同样道理，学习同位角、内错角和同旁内角，是
为研究平行线的判定与性质而引入，也不必人为编造
一些训练题进行专项的识别。
2.关于数学推理能力。
数学推理能力的培养，从本章正式开始要求了。
数学推理包括合情推理和演绎推理两方面，根据
《标准（2011年版）》的要求和学生生理、心理的发
展阶段，本章侧重于合情推理能力的培养与运用。为
此，有必要了解本套教科书关于这方面的总体安排。
本套教科书就发展学生数学推理能力，分两个阶
段：八上“平行线的证明”之前为第一阶段，侧重于
合情推理能力的培养，即凭借经验和直觉，通过归纳
和类比等推断图形的某些性质等，同时渗透演绎推理
的有关思想；在八上从“平行线的证明”到“三角形
的证明”，正式学习证明的必要性、证明的形式化表
述，并对在此之前得到的有关图形（如平行线、三角
形及全等三角形）的结论或明确为“基本事实”，或
给以严格的推理证明；在此之后，八下学习四边形内
容时，则合情推理与演绎推理并举，对四边形图形性
质、判定，先用合情推理方法归纳猜想出结论，在用
演绎推理对猜想的结论进行严格的证明，此时，证明
作为探索活动的自然延续和必要发展，学生对数学推
理的理解和运用就更加全面、深刻，推理能力得到全
面发展。
基于以上安排，对于《标准（2011年版）》要求
的有关相交线、平行线的基本事实、判定定理、性质
定理，教科书在本章均没有明确标明，更没有给出定
理的证明，仅将其作为合情推理得出的结论，而一律
以黑体字呈现。到八上，教材对上述内容的要求和学
生的学习方完全达到《标准（2011年版）》要求的终
极目标。
虽然现阶段以培养合情推理能力为主，但是，合
情推理与演绎推理毕竟是有联系的，本章内容在编排
时也充分考虑到二者的联系：在用合情推理方法得到
相关结论之后，安排 “说理” 要求，在“说理” 过程
中渗透演绎推理能力的培养。至于说理方式，教科书
在肯定和鼓励学生用自己的方式的前提下，采用文字
表述为主，一方面是降低学生学习难度，另一方面也
是为后面学习演绎推理的形式化表述做铺垫。
五、本章教学建议
1.认真研读《标准（2011年版）》，领会教科书的
编写意图，正确把握和落实教学目标。
《标准（2011年版）》总结十多年课改的经验和
教训，为我们进一步深化数学课程改革不仅提出了方
向性的要求，而且提出了很多有意义的教学建议，在
教学前必须反复地认真研读。
教科书是为实现《标准（2011年版）》的要求编
写的，是“实现数学课程目标、实施数学教学的重要
资源”，领会教科书的编写意图是用好这个资源的重
要环节。
围绕本章相交线和平行线的内容，我们建议：
（1）认真学习《标准（2011年版）》关于空间观
念、几何直观等核心思想的表述，始终注重学生空间
观念、几何直观的发展。
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发展空间观念，必须以学生自己的空间感觉和体
验为基础。教师应立足于学生的生活经验和已有的数学
活动经验，充分挖掘和利用现实生活中与相交线、平行
线密切相关的现实背景，尽可能从学生感兴趣的话题出
发，创设有利于发展学生空间观念的学习情境。
问题情境的创设，既要注意从现实情景抽象出平行
线、相交线的模型（即平行线、相交线是对现实生活中
大量现象的一种刻画），也要注意借助几何直观发展空
间观念。问题情境的选材，既可以充分利用教科书中的
题材，也可以创设更符合本地学生的现实的、有趣的情
境，还可以让学生自己从生活中寻找素材。
发展空间观念，需要学生亲自经历观察、操作、
想像、推理与交流等数学活动，教师要给学生留有充
分探索和交流的空间，鼓励学生运用多种方法进行探
索，并尽可能多的发现有关图形的事实。特别地，教
师应重视学生的动手操作以及在操作过程中的思考。
发展学生空间观念的基本途径多种多样。培养
空间观念需要大量的实践活动，学生要有充分的时间
和空间观察、测量、动手操作，对周围环境和实物产
生直接感知，这些都不仅需要自主探索、亲身实践，
更离不开大家一起动手、共同参与。观察、操作、归
纳、类比、猜测、变换、直观思考等对形成空间观念
有重要作用的手段，只有在大家共同探讨、合作解决
问题的过程中才能不断生成和发展，并得到提升。通
过合作交流可以更清楚地明确自己对空间的看法，并
有机会分享各自的想法。大家的共同感受对促进空间
观念的发展具有重要意义。
（2）要全面理解数学推理能力，努力把握培养学
生推理能力的阶段性要求。
根据教科书的整体安排，现阶段关于推理能力的
培养以合情推理能力为主。教师要在数学活动中借助
几何直观培养学生归纳、类比、联想。
要有意识地逐步培养学生有条理的思考、表达和交
流，引导学生在活动中自觉地进行思考，自觉地用自己
的语言说明操作的过程，并尝试解释其中的理由。
对于“说理”的学习，应循序渐进，注意控制难
度。说理要求基本控制为一步，同时鼓励学生运用自
己的语言清晰地表达自己的发现或说明理由。
在书写格式上对“说理”不作统一要求，既可以
用自然语言，也可以结合在图中标示进行说明，学生
如果采用其他的方法，只要能说清楚均可。
不要急于要求学生进行书写，特别是不要急于要
求学生进行形式化的表述。
需要说明的是，有关两条直线平行的判断和平行
线特征的例题，教材给出的解答主要提供学生阅读理
解，为今后培养推理能力作铺垫，而不是要求学生现
在就按照例题解答的格式书写，这一点在教学中要注
意把握，不可操之过急。
数学语言的学习对数学思维能力的培养具有十分
重要的意义。数学语言及其使用，是数学表达和进行
数学思考的重要形式。
几何学习的难度不仅仅在演绎推理有一定难度，
而且在于数学语言三种形式（文字语言、图形语言和
符号语言）的转换，在开始学习“图形与几何”就要
重视三种形式的数学语言的转换，这不仅是学习演绎
推理时要注意，在学习尺规作图时也要注意。
2.重视学生的主体地位，引导学生积极参与、经
历教学活动过程，在活动过程中感悟数学思想，积累
数学活动经验。
（1）体现学生的主体地位，首先爱护、信任、尊
重学生，以平等、民主的态度对待他们。
要使学生积极、主动地探索求知，必须在民主、
平等、友好合作师生关系基础上，创设愉悦和谐的学
习气氛。教师应鼓励学生大胆地提出自己的见解，即
使有时学生说得不准确、不完整，也要让他们把话说
完，保护学生的积极性。
本章内容是“图形与几何”的入门，就知识点
而言，学生的起点是相同的，但是就数学思维能力、
学生学习习惯等方面的发展就不可能整齐划一了，因
此差异是存在的，必须正视，必须及早关注。不仅要
关注基础知识、基本能力的差异，而且要关注学生情
感态度的发展，既要注意正确维护他们的自尊心，鼓
励、增强他们的自信心，同时耐心而恰当地进行养成
教育。
（2）让学生多观察、多思考、多讨论，增加参与机会。
教师在教学设计时，应当给学生留有足够的时间
和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等
活动过程。
教师要主动把课堂教学活动的时间多分给学生
使用，把课堂教学活动的内容多留些给学生处理解
决，教师做好组织、设计、指导和点拨。这样，不
仅学生的主体地位得到了落实，而且让学生有充分
的时间积极地学习数学，这是培养学生自主学习能
力的保障。
数学课程实践与探索 7
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逐步培养学生质疑问难的能力，是发挥学生主体
作用的重要措施。留给学生质疑的空间，使其养成多
思善问的习惯。可以激发学生主动探究的意识，提高
学习的兴趣和效率。全方位、多渠道培养学生的质疑
能力，能使学生从被动学习变为主动学习，进而达到
拓展学生思维的目的。
引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学
生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数
学思想和方法，获得基本的数学活动经验。
七年级下册第三章“三角形”的设计思路与教学建议
《北师大版义务教育教科书·数学》（7～9年级）编写组 刘德华
一、本章内容定位
三角形是最简单、最基本的几何图形，在生产实
践、科学研究和社会生活中随处可见。它不仅是研究其
他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。
因此，探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世
界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。
学生在前面学习“相交线和平行线”的过程中，
积累了一些初步的数学活动经验，空间观念、几何直
观与推理能力（主要是合情推理）得到了初步的培
养，这都为三角形的学习提供了有利的条件。
基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以
下简称《标准（2011年版）》）的要求、学生的基础
和本书的总体设计，本章内容与要求的定位是：在生动
的问题情境和丰富的数学活动中，理解三角形的有关概
念；在动手、动脑的数学活动过程中，探索三角形全等
的条件，感悟数学的分类思想；以直观认识为基础进行
简单的说理，将几何直观与简单推理相结合，逐步而又
恰当地提高学生数学推理能力；借助三角形和全等三角
形的有关结论解决一些简单的实际问题。
二、本章内容有哪些变化
修改后的“三角形”仍安排在七下，在教材中
的位置由第五章调整为第三章，由原来的7节调整为5
节，调整后的安排如下：
第1节 认识三角形（4课时）
第2节 图形的全等（1课时）
第3节 探索三角形全等的条件（3课时）
第4节 用尺规作三角形（1课时）
第5节 利用三角形全等测距离（1课时）
结构上的修改主要有：将原第2节“图形的全等”
和第3节“全等三角形”整合成“图形的全等”，仍作
为第2节“图形的全等”；删除原教材第7节“探索直
角三角形全等的条件”；原教材第5节的标题改为“用
尺规作三角形”，使得标题与内容更加贴切。
（1）在得出“三角形两边之和大于第三边”结
论之后，将原来先安排“做一做”，再提出问题“计
算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你
能得到什么结论？”修改为先提出问题：“在一个三
角形中，任意两边之差与第三边的长度有怎样的关
系呢？”，这样的修改，一是考虑到让学生带着问题
做，做的目标明确，且一边做、一边思考，二也是为
了使前后体例保持一致和连贯性。
（2）增加了问题情境的设置。
主要有：关于三角形中线概念的提出，将原习题
“联系拓广”中的铅笔支起纸片的问题设置为本节课
的情境，继而提出问题“你知道怎样确定这个点的位置
吗？”，改变了原来直接给出概念的做法，主要考虑全
书体例的一致（能设置问题情境的内容尽可能从问题情
境入手）。
另外，在探究三角形三条中线交于一点的结论
后，给出了三角形重心的概念，且回应本节课开始的
问题，明确指出三角形重心就是用铅笔支起三角形纸
让学生从事观察、测量、拼摆、折叠、画图等活
动，要帮助他们有意识地积累数学活动经验，获得成
功的体验，例如在“探索平行线的特征”时，教科书
只提供了运用测量进行探索的活动，教师还可以鼓励
学生利用其他的方法进行探索，如可以剪下一组同位
角中的一个，把它贴在另一个上面观察两个角是否重
合，在此基础上，教师还可以安排“你还能探索出平
行线的哪些特征”的实践活动，鼓励感兴趣的学生积
极参与。
数学课程实践与探索8
教材研究 JIAOCAIYANJIU
片的支点。但是不涉及三角形重心的性质。
再如，三角形高的概念，也是从观察房梁立柱与
横梁的位置关系入手。
以上这些情境的设置，一方面是学习的需要，另
一方面也是保持和发扬被十年教改实验肯定的北师大
版初中数学教材的传统。
（3）在整合“图形的全等”和“全等三角形”提
出全等三角形概念之后增加一幅表示两个全等三角形
重合的图。
（4）修改了关于运用三角形全等的判定和性质内
容的归纳推理的表述形式，将原来的箭头表示统一修
改成自然语言表述，一是降低学生表述推理理由的难
度，同时也为后面形式化表述作适当的铺垫。
（5）适当增加训练量，一是原来有的课时没有
“随堂练习”的，这次补上了，二是在习题中调换、
增加了一部分习题。
三、本章内容阐述
教科书安排了5节内容：
第1节“认识三角形”。 介绍三角形的有关概念、
符号表示、三角形的重要线段，以及三角形三边之间
的关系、内角和等基本性质。
第2节“图形的全等”、第3节“探索三角形全等
的条件”。在认识全等图形的基础上，理解全等三角
形的概念和性质，接着从全等三角形的定义出发，提
出判定三角形全等的条件至少需要几个的问题，在学
生猜想的基础上，通过所设计的一系列的实践活动，
逐步由少到多地分类探索三角形全等的条件。
第4节“用尺规作三角形”、第5节“利用三角形
全等测距离”。 教科书以用尺规作三角形和利用三角
形全等测距离，体现全等三角形的应用。
四、本章内容解析
1.关于操作活动。
综合考虑学生年龄状况、认知特点，以及培养几
何直观、数学推理能力的需要，教科书在为学生提供
生动有趣的问题情景的同时，设计了测量、拼图、折
纸等多种形式的活动，提供学生观察、操作、推理、
交流等丰富的数学活动平台，给学生充分实践和探索
的空间，目的是使学生通过自己的探索和与同伴的交
流发现三角形的有关结论，解决一些实际问题，为学
生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发
展提供机会。同时，生动有趣的三角形应用的例子贯
穿于整章内容中。
需要指出的是，在探索三角形全等条件时，教科
书安排了较为充分的操作活动，其意义不仅仅在通过
这些活动探索的，而且一是有助于学习主体——学生
积累数学活动经验；二是要及时提升学生数学思维能
力，主要是空间观念和几何直观，而不能停留在操作
层面，即说，操作活动是手段，积累数学活动经验、
发展几何直观和空间观念才是目的。
2.关于数学推理能力。
根据整套教材的设计，本章在直观操作的基础上，
将几何直观与简单推理相结合，更多地注重学生推理意
识的建立和对推理过程的理解，注重学生运用自己的方
式有条理地表达推理过程，这是第三学段“图形与几
何”内容中发展推理和论证能力的第一阶段。
教科书关于推理过程的表述，采用文字加符号的
方式，一方面是降低学生学习难度，另一方面也是为
八上学习“平行线的证明”（开始学习演绎推理的形
式化表述）做铺垫。
对于《标准（2011年版）》要求的有关三角形和
全等三角形的基本事实、判定定理、性质定理，教科
书均没有明确标明，更没有给出定理的证明。上述内
容，在现阶段教科书仅将其作为合情推理得出的结
论，而一律以黑体字呈现。
通过本章内容的学习，学生推理意识的树立以及推
理经验的积累，为以后学习证明打下基础。在以后的学
习中，学生将在直观认识和简单说明理由的基础上，学
习从几个基本事实出发，进行比较严格地证明。
五、本章教学建议
1.认真学习《标准（2011年版）》关于空间观
念、几何直观等核心思想的表述。领会教科书的编写
意图。始终注重学生空间观念、几何直观的发展。正
确把握和落实教学目标。
发展空间观念、几何直观，必须以学生自己的
空间感觉和体验为基础。探究能力的培养与空间观
念、几何直观的发展，需要学生在经历观察、操作、
想像、推理与交流等数学活动过程中逐步培养，没有
学生对这些活动过程的参与，教学效果会大打折扣。
在本章内容的教学中，教师应充分利用教材提供的素
材和设计的活动，鼓励学生积极参与观察、操作、推
理、想像等活动过程，运用多种方式探索三角形的有
关性质和三角形全等的条件。
例如，在探索三角形全等的条件时，按照教材
数学课程实践与探索 9
教材研究JIAOCAIYANJIU
的安排，先提出“已知两个三角形的哪些边或角的条
件，就能保证这两个三角形全等？”“知道的条件能
尽可能少吗？”等问题，然后鼓励学生通过画图、观
察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐
步探索出最后的结论。在这个过程中，学生不仅得到
了两个三角形全等的条件，同时体会了分析问题的一
种方法，感悟分类的数学思想方法，积累了数学活动
的经验。
反之，若直接给出“SAS” “ASA”和“SSS”等
条件，让学生分别作出符合条件的三角形，经过比较
确认这几个条件，则只是进行了知识的传授，而在分
析问题能力的培养、数学活动经验的积累方面，失去
了由此很好的机会，久而久之，对学生数学思维能力
乃至学习能力的培养都是不利的，因此，这样的教学
设计是我们不赞成的。
在本章三角形相关内容的学习中，观察、测量、
动手操作等活动是重要的，它的重要性不仅仅在于发
现三角形的有关性质，不仅仅在于探索到三角形全等
的条件，更重要的是要通过这些活动发展学生的空间
观念、几何直观，积累数学活动经验。感性认识是重
要的，但是人的认识不能停留在感性认识阶段，而应
该上升到理性认识，即从直观感知发展空间观念、几
何直观，因此，我们在设计数学活动的同时要始终关
注学生空间观念的发展，数学思维能力的发展，不失
时机地利用直观感知发展空间观念。各种操作活动，
不是学习目的，而是发展学生空间观念、数学思维能
力的一种手段，一种方法，不能为活动而活动。
发展学生空间观念，观察、操作、归纳、类比、
猜测、变换、直观思考等对空间观念的形成、发展具
有重要作用，不仅需要自主探索、亲身实践等活动，
更离不开大家一起动手、共同参与。这个作用在大家
共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发
展，并得到提升。通过合作交流可以更清楚地明确自
己对空间的看法，并有机会分享各自的想法。大家的
共同感受对促进空间观念的发展具有重要意义。
2.加强直观性。注意直观操作与简单推理的结
合。注意推理意识的建立和对推理过程的理解。努力
把握培养学生推理能力的阶段性要求。
要充分利用图形的直观性，利用图形直观，学生
的推理能力，培养学生有条理的思考和表达。
几何图形的直观性，是几何学习区别于代数学
习的重要的、有利的条件，在三角形有关内容的学习
中，我们要充分利用几何图形的直观性，逐步培养、
发展学生的数学推理能力，这里的推理能力既包含演
绎推理能力，也包含合情推理能力。
在探索三角形性质和三角形全等条件的过程中，
教材安排了大量的画图、折纸等直观操作活动，在操
作中思考，在思考中操作，将直观操作与简单推理紧
密结合起来。教师在教学中要增强学生推理意识的建
立，加强推理过程的理解，在操作活动中有意识地培
养学生自觉地进行思考、推理，在和同伴的交流中，
有条理的表述操作的过程，并尝试解释其中的理由。
例如，在探索“三角形内角和为180。”这个结论
时，学生在小学已经通过操作获得了这个结论，教师
此时应引导学生在操作中进行自觉地思考，思考能否
利用平行线的有关事实说明这个结论，将直观感知和
推理结合起来。
同前面“相交线、平行线”关于推理能力的要求
有所不同，从全等三角形内容的学习开始，教科书对
三角形全等条件的学习，虽然仍然以培养、发展合情
推理能力为主，但是已逐步地明显增加了演绎推理的
要求。
教师在数学活动中，既要借助几何直观培养学
生归纳、类比、联想等合情推理能力，也要注意对演
绎推理能力的培养和发展予以适当的关注，具体表现
在有关“说理”的学习要求方面。对“说理”的要求
应循序渐进，注意控制难度，基本控制为一步，对于
两步的“说理”，在书写上只要求学生能指出每一步
的理由。在“说理”的书写格式上，现阶段不作统一
要求，既可以用自然语言，也可以结合在图中标示进
行说明，学生如果采用其他的方法，只要能说清楚均
可，要鼓励学生运用自己的语言晰地表达自己的发现
或说明理由。不要急于要求学生进行形式化的表述。
需要说明的是，有关三角形全等的例题，教材给
出的解答主要提供学生阅读理解，为今后培养推理能力
作铺垫，而不是要求学生现在就按照例题解答的格式书
写，这一点在教学中要注意把握，不可操之过急。
《标准（2011年版）》指出，对于尺规作图，学生
不仅要知道作图的步骤，而且要“了解作图的道理”。
这个要求，对于我们全面认识尺规作图的数学价值，又
向前推进了一步，我们在教学中应努力落实。
例如，在利用尺规作出三角形之后，教师应引导
学生主动思考作图的合理性，如提出“大家画出的三角
形是否全等”的问题供学生讨论。除了利用将所作三角
数学课程实践与探索10
教材研究 JIAOCAIYANJIU
形进行比较看是否重合的办法外，还应继续引导学生应
用已有的结论（三角形全等条件）来说明，不仅使学生
意识到这两种方法的不同，而且发展了演绎推理能力。
3.重视学生的主体地位。及时了解、承认并尊重
学生的个体差异。满足多样化的学习需要。
重视学生的主体地位，首先要爱护、信任、尊重
学生，以平等、民主的态度对待他们；要主动把课堂
教学活动的时间多分给学生使用，把课堂教学活动的
内容多留些给学生处理解决，教师做好组织、设计、
指导和点拨；还要及时了解、承认并尊重学生的个体
差异，满足多样化的学习需要。教学中要鼓励与提倡
解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中
所表现出的不同水平。问题情境的设计、教学过程的
展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能积极
主动地参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生
在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动的
经验，提高思维水平。这样，不仅学生的主体地位得
到了落实，而且让学生有充分的时间积极地学习数
学，这是培养学生自主学习能力的保障。
例如，对于“三角形任意两 边之和大于第三
边”，可以由“两点间直线段最短”直接推出，还可
以用测量方法归纳得出，这样，既体现了个体差异的
尊重，也体现了学习的多样化。引导学生积极参与、
经历教学活动过程，在活动过程中感悟数学思想，积
累数学活动经验。
4.适当注意数学语言的学习。
几何学习的难度不仅仅在演绎推理对思维能力的
要求较高，有一定难度，而且在于数学语言三种形式
（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，这种语
言转换能力的高低，在一定程度上反映了数学思维能
力的强弱。
自本章开始，数学语言的三种形式及其相互转换
的力度在逐步加大，要求在逐步提高，特别是有关三
角形全等的判断，演绎推理的要求已经比之前学习平
行线判定时有显著提高，推理过程的语言表述要求也
随之提高（尽管目前对数学的形式化语言的表述未作
要求，但显然已在为这个要求做铺垫）。
例如，在用尺规作三角形时，表格“作法”栏
是采用文字语言表述，而“示范”栏则是以图形语言
表述，两种语言形式的转换对于理解尺规作三角形就
不仅是必要的，而且是必不可少的。再如，本章的例
题、习题中关于三角形全等的问题的已知条件，大部
分是以图形给出（实质是图形语言形式给出），而推
理过程的表述很多情况下是以符号语言呈现（有的也
直接在图上用不同标记标出，那是图形语言的一种运
用），将来会出现单纯文字语言描述的已知条件，就
要求学生首先根据文字语言画出图（实质教师将文字
语言转换为图形语言，而解答、证明的过程则是将文
字语言、图形语言转换为符号语言）。
因此，在增强学生演绎推理能力培养的同时，教
师有意识地加强数学语言三种形式转换的学习，增强
学生对数学语言的三种形式及其转换的认识、使用已
是十分迫切的了。
当然，本章对用形式化语言表述推理过程尚未达
到要求，因此，在教学中，对于数学符号语言的使用
及符号语言与图形语言、文字语言转换的度要注意把
握，要根据教材的安排适时、适度地推进。重视、增
强数学语言使用的意识，但不要超越阶段性。
七年级下册第四章“变量之间的关系”的
设计思路与教学建议
《北师大版义务教育教科书·数学》（7～9年级）编写组 史炳星
《北师大版义务教育教科书·数学》（7～9年
级）七年级下册属于数与代数领域的内容共有两章：
整式的乘除、变量之间的关系。现在我们来谈一谈
“变量之间的关系”这一章内容的定位与教学建议。
一、内容的定位
数学课程实践与探索 11
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我们知道，在数学发展的过程中，“到十六世
纪，对于运动的研究，变成了自然科学的中心问题。
实践的需要和各门科学的本身的全部发展使自然科学
转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的
量之间的依赖关系的研究。
作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系
的反映，在数学中产生了变量和函数的概念，而数学
对象的这种根本扩展就决定了向数学的新阶段——变
量的数学的过渡。”（亚历山大洛夫：数学——它的
内容、方法和意义）
函数是刻画变量间关系的重要数学模型，由于
变量之间关系的广泛存在性，以及学习“定量地刻
画变量之间的关系”的重要性，对函数的学习，不
可否认地是初中数学的一个重要内容。同时，又由
于函数内容的抽象性，有数学教育研究表明，对变
化规律的探索、描述应从低年级非正式地开始，学
生早期对函数的丰富经历是十分重要的。也就是
说，学生对函数相关内容的学习，应该分阶段地进
行，即使一个从非形式化、逐步地过渡到形式化的
过程。学生在非形式化阶段积累的丰富的对变量之
间关系探究的经验，将为他们一般性研究函数，包
括函数的概念、图象、性质、应用等奠定基础。因
此，本套教科书对函数内容的设计，本着循序渐
进、螺旋上升的原则，首先从学生熟悉的最普遍、
最常见的变量间关系开始，并紧密依托实际背景、
根据情景中的具体量（常量、变量），研究具体变
量之间的关系，如温度随时间的变化、三角形面积
随底边长的变化等，初步理解变量之间的关系并开
始熟悉用数学的方法刻画变量之间的关系等，再逐
步过渡到一般性地研究一次函数、二次函数、反比
例函数等内容。
其实，在七年级上学期中，教科书已经在代数式
求值、探索规律等地方渗透了变化的思想，而这里则
是在第三学段第一次较为系统、集中讨论变量之间的
关系，本章所设置的教学目标包括：
（1） 经历探索具体情境中两个变量之间关系的过
程，感受变量的思想、发展符号意识。
（2） 能发现实际情境中的变量及其相互关系，并
确定其中的自变量或因变量。
（3） 能从表格、图象中分析出某些变量之间的关
系，感受几何直观的作用，并能用自己的语言进行表
达，发展有条理地进行思考和表达的能力。
（4） 能根据具体问题，选取用表格和关系式表
示某些变量之间的关系，初步感受模型思想，并结合
对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的
预测。
（5） 体验从运动变化的角度认识数学对象的过
程，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的
能力。
（6） 在探究、学习变量之间关系的过程中，进一
步发展学习兴趣和增强学好数学的自信心。
二、内容的主要变化
与2001版教科书相比，本章内容从结构上没有变
化。但节标题有一些变化：
§1．用表格表示的变量间关系（1课时）
§2．用关系式表示的变量间关系（1课时）
§3．用图象表示的变量间关系（2课时）
回顾与思考（1课时）
一些具体变化如下：
第一节增加了“常量”的概念，还增加了习题，
并与时俱进地更新了世界人口总数。
第二节增加了“排碳计算公式”，从知识方面
说，增加了将语言表示的变量之间关系表示为关系
式。从态度情感方面说，增加了学生的社会责任感方
面的体验。
第三节、第四节分别增加了习题，其他没有变化。
三、对内容的解析
本章的知识内容可以用下面的框图表示：

从框图可以更清楚地看出：多种研究表明，为了
发展学生对函数思想的理解，必须使他们对函数的多
种表示——数值表示、解析表示、图象表示有相当
数学课程实践与探索12
教材研究 JIAOCAIYANJIU
丰富的经历。因此教科书首先在第1节通过探讨小
车下滑时间的活动，使学生初步体会变量之间的相
依关系，并用表格来表示变量之间的关系。然后，
借助人口统计表、土豆种植氮肥施用量表等素材，
使学生学习如何从表格中获取信息，发展他们通过
数据分析进行预测和解决问题的能力。在学生已经
计算一些图形的面积或体积的基础上，教科书在第
2节讨论由边长（或半径、高）的变化引起的面积
或体积的变化。然后运用形象的“机器输入输出
图”，渗透自变量和因变量值的对应思想，为以后
理解函数的概念做铺垫。“排碳计算公式”内容的
设计，是为了将生活中变量之间关系的表达，转化
为实现上的关系式表达。在第3节课中，通过学生
所熟悉的气温变化图，引入变量之间关系的第三种
表示方法——图象。图象以其直观性有着其他表示
方式所不能替代的作用。它是将关系式和数据转化
为图形形式，是“看见”相应的变化规律的途径之
一。因此，本章在第4节中特别又对图象所表示的
变量之间的关系进行了讨论，让学生用语言描述
图象所表示的变化过程，加强他们对图象表示的
理解，发展从图象中获得信息的能力及有条理地
进行语言表达的能力。
概括起来说：
研究小车下滑的时间，是本章的起始课，除给出
变量、常量的概念，还给出变量之间关系的第一种表
示方式——表格表示法。
通过研究变化中的三角形，给出变量之间关系的
第二种表示方式——关系式表示法。
通过研究温度的变化和速度的变化，给出变量之间
关系的第三种表示方式——图象表示法，并力图与表格
表示、关系式表示进行联系，但不要求学生画图象。
值得一提的是，《义务教育数学课程标准（2011
年版）》对函数内容的要求是学段目标，本章只是函
数内容的起始课，内容设计定位于对函数的初步感
受，对变量之间关系的讨论基本上是依托情境的、非
形式化的。本套教科书对函数内容的设计是逐步形式
化的，在学生学习了实数和平面直角坐标系的知识
后，教科书将给出函数的定义，并要求画出变量之间
关系的图象表示。
四、教学建议
1.创设丰富的现实情境。使学生在对变化规律的
丰富经历中理解变量之间的相依关系。
本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量，
讨论如何用数学的方法去理解、表示变量之间的关
系，并解决一些问题和进行预测。 因此在教学中，教
师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之
间相互依赖的关系，而不是形式地讨论函数的有关概
念。教师可以充分利用教科书中提供的问题，也可以
根据学生实际创设新的情境，或鼓励学生自己从生活
中寻找有关素材供课堂讨论。
2.注重使学生亲身经历探索现实世界变化规律的
过程。
运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画
现实世界中的变化规律，是本章学习的主要目标
之一。 而实现这一目标的重要途径是使学生亲身
经历探索现实世界变化规律的过程，在探索活动
中理解变量之间的相依关系，并尝试用语言和符
号去刻画。
例如，在探索小车下滑过程中下滑时间与支撑
物高度的关系时，教师应鼓励学生充分地从表格中获
取信息，运用自己的语言进行描述，并与同伴进行交
流。 有条件的地方，教师可以让学生亲自实践这个实
验或实践其他可操作性的实验，使他们获得变量之间
关系的直观体验，并体会收集数据、整理数据、由数
据进行推断的思考方式。
3.注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多
地获取信息，并运用语言进行表达。
前面已经提到，为了发展学生对函数思想的理
解，必须使他们对函数的各种表示——数值表示、
解析表示、图象表示有相当丰富的经历。 因此，
教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达
的变量之间关系的实例。 在学生讨论这些例子
时，教师要留给他们充分思考的时间，鼓励他们
从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，
并运用自己的语言进行表达。 当学生运用语言进
行表达时，教师不要苛求语言的统一性以及对关系
的精确描述，只要学生能大致描述出变量之间的关
系即可。
需要指出的是，教科书安排了表格、关系式、图
象等内容，目的是使学生体验多种形式表示下的变
量之间的关系，而不是对其本身的讨论。 因此，教
学时不要形式地对函数及函数的三种表达方式展开
讨论。
书
ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ 教材研究
七年级下册第五章 “生活中的轴对称”的
设计思路与教学建议
《北师大版义务教育教科书·数学》（７－９年级）编写组　史炳星
　　一、本章内容的定位
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，大
到雄伟的天安门城楼，小到一只精美的剪纸蝴蝶，
都引起人们深深的赞叹。轴对称图形又是几何图形
中极为重要的一种图形，如圆、矩形、筝形、等腰
三角形等。欣赏轴对称图形、学习轴对称的基本性
质、利用轴对称进行简单的图案设计，将使我们进
一步丰富自己的图形认识、几何直观和数学活动经
验，体会数学与现实世界的密切联系。
同时，轴对称也是探索图形的性质，以及认识、
描述图形形状和位置关系的必要手段之一。因此，
本章的内容是十分重要的。在后续的学习中，我们
还将用坐标的方法对轴对称进行刻画，这必将进一
步深化我们对轴对称的认识。
　　二、本章内容的主要变化
本章内容有：
§１　轴对称现象　　　　　１课时
§２　探索轴对称的性质　 １课时
§３　简单的轴对称图形　 ３课时
§４　利用轴对称进行设计　１课时
回顾与思考　 １课时
与２００１版教科书相比，本章内容的变化主要有
如下几点。
首先从结构方面看：
原§２“简单轴对称图形”与 §３“探索轴对称
的性质”调换了次序，即 “探索轴对称的性质”在
前，“简单轴对称图形”在后。一般地，我们都是
探索图形性质在前，研究具体的图形在后。
原 “简单轴对称图形”中，线段和角只用一课
时，现用两课时，原因是增加了尺规作图的内容。
对于尺规作图，按 《义务教育数学课程标准 （２０１１
年版）》（以下简称 《标准》），不要求写作法，但应
保留作图痕迹。
原 “利用轴对称进行设计”的部分内容 （简单
几何图形）移至 “探索轴对称的性质”一节，原
“剪纸与镶边”的主要内容放在 “利用轴对称进行
设计”一节，这节的设计主要是生活中的轴对称图
案。这样做，使得内容更紧凑、层次也更清楚。
去掉了原§５“镜子改变了什么”，因为依 《标
准》这个内容可以暂不做要求。
再从内容上方面看：
§１轴对称现象，定义中突出了轴对称图形首
先是平面图形。由于操作性的原因，去掉了 “滴墨
迹”的活动。
§２探索轴对称的性质，增加了画图形 （简单
几何图形）“另一半”的活动 “做一做”，习题也相
应增加。
§３简单的轴对称图形，共用三个课时。
第一课时等腰三角形的轴对称性，去掉了 “三
角形中等角对等边及等边对等角”的结论，增加了
“如何获得等腰三角形”的活动 （不是尺规作图），
积累活动经验。
第二课时线段的轴对称性，增加了用尺规作
“线段的垂直平分线”和作图之前的探究性活动，
相应增加了作图的活动和习题。
第三课时角的轴对称性，增加了用尺规作 “角
平分线”和作图之前的探究性活动，相应增加了作
图的活动和习题。
§４利用轴对称进行设计，主要设计生活中的
轴对称图案。
　　三、本章内容的解析
本章的知识内容可以用下面的框图表示：
数学课程实际与探索 １
教材研究 ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ
本章内容主要分为四个部分：轴对称现象、探
索轴对称的性质、简单的轴对称图形和利用轴对称
进行设计。
轴对称现象，立足于学生已有的生活经验和初
步的数学活动经历，从观察现实生活中的轴对称现
象以及简单的轴对称图形开始，力图使学生能够从
广阔的视角直观认识并描述轴对称的概念。
探索轴对称的性质，通过学生活动，发现和概
括轴对称的基本性质，并利用轴对称画简单图形。
在探索出轴对称的性质后，通过逐步分析等腰
三角形、线段、角等简单的轴对称图形，引导学生
进一步了解和认识轴对称图形及轴对称图形的性质。
将简单轴对称图形的学习顺序安排为等腰三角形、
线段、角，是考虑了等腰三角形的轴对称性是最直
观、最易于被认知的。
简单的图案设计活动，使学生进一步体会轴对
称的应用价值和丰富内涵，发展应用意识和创新
能力。
本章所涉及的学习素材首先包含大量的与轴对
称有关的现象和实际问题，其次包括常见的简单轴
对称图形，如等腰三角形、线段、角等。本章的每
节内容都为学生提供了生动有趣的现实情境，并通
过观察、折纸、扎眼、简单图案设计、艺术作品欣
赏等活动，进一步丰富学生对轴对称的直观体验，
发展几何直观和积累数学活动经验。
　　四、本章内容教学建议
１．充分挖掘和利用现实生活中大量存在的轴对
称现象进行教学
本章内容具有丰富的实际背景，在现实世界中
有着极其广泛的应用，因此教师要充分利用现实生
活中大量存在的轴对称现象进行教学，所挖掘的素
材不仅应包括人们所习惯的标准的几何图形，而且
更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形
（如徽标、枫叶、雪花、建筑物、昆虫、飞机），使
学生能够用轴对称的观点来解释现实世界中与图形
有关的现象，同时能够欣赏现实世界中蕴涵的有关
轴对称的图案。
需要注意的是，处理这部分内容时不能照搬变
换几何的理论，而应注重以变换的观点欣赏和分析
生活中的现象和简单的几何图形，而不是刻意追求
对变换性质的研究，尤其是不刻意追求对变换性质
的严格证明。
２．注重使学生经历探索轴对称性质和图案设计
等实践活动
本章内容的学习，包括观察并分析生活中的轴
对称现象，探索轴对称的性质和利用轴对称设计图
案等大量实践活动，学生空间观念的培养、推理能
力的发展，对图形美的感受等都是在这些实践活动
中逐渐发展的。因此，教学中应充分利用这部分内
容的特点，将观察、操作等实践活动以及实践活动
数学课程实际与探索２
ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ 教材研究
中的思考与交流贯穿于教学过程的始终。使学生体
会所学内容与现实世界的广泛联系，体验轴对称的
数学内涵和文化价值，积累丰富的数学活动经验，
发展良好的空间观念和一定的创新意识。
３．有意识地满足学生多样化的学习需求，为学
生提供个性化学习的时间和空间
本章内容中有许多需要发挥学生想像和个性的
活动，如欣赏轴对称现象、图案设计，镶边与剪纸
等，在这些内容的教学中，教师应有意识地满足学
生多样化的学习需求，并真正为学生提供个性化学
习的时间和空间。例如，当学生设计轴对称图案时，
可能会有不同的创意，也许还会选择扎眼、印墨迹、
折叠，剪纸、画图等不同办法完成自已的创意，教
师应鼓励他们大胆想像并展示自己的作品，教师也
不能用惟一的标准衡量全体同学的设计活动和结果。
一方面只要能设计出符合要求的图案就应给予肯定，
另一方面对具有创造性的设计也给予充分的赞扬，
有条件的地区，教师还可以鼓励学生利用计箅机进
行图案设计。
七年级下册第六章 “概率”的设计思路与教学建议
南京邮电大学继续教育学院 （２１０００３）　张新华
在广泛吸收一线教师的意见、认真学习 《义务
教育数学课程标准 （２０１１年版）》 （以下简称 《标
准》）的基础上，本着更好地凸显概率的课程目标，
更好地方便一线教师教学，更好地与小学教材对接，
我们对教材进行了认真的自我审查，并作出了重新
设计。现将新版教材七年级下册第六章概率部分的
特点作一些介绍。
　　一、本章内容定位
通过本章的学习，使学生认识到现实世界广泛
存在的随机性，形成初步的随机观念。知道通过大
量地重复试验，可以用频率来估计概率。了解两类
事件 （古典概型和可化为古典概型的几何概型）发
生的概率，能进行简单的计算。通过认识随机事件
及其发生的概率，能对现实世界中一些简单的随机
现象作出解释，利用随机观念作出自己的决策。在
探究频率与概率的过程中，进一步体会数学的价值
及发展合作意识。
在现代社会里，人们面临着更多的机会和选择，
常常需要在不确定的情境中作出合理的决策。概率
论就是研究随机现象及其规律的数学学科。在自然
界和人类社会中，确定性的现象十分有限，不确定
性的现象 （也称为随机现象）却是大量存在的，而
概率正是对随机现象的数学描述，它能帮助人们作
出合理的决策，因而具有学习与研究的必要性。
概率可以帮助学生更好地认识世界，让学生认
识到许多偶然现象中所包含的必然规律，发展学生
的随机观念和辩证思维。
虽然不能在试验之前预知试验的确切结果，只
能知道每个结果发生的概率；虽然确定的理论概率
也不能给人们提供绝对无误的行为判断，但仍然可
以指导我们的实践，并且在这样的实践中，提高自
身的辩证思维能力。
例如：明天的降水概率为１０％，后天是９０％，
这一信息，可以指导我们的行动：可能我们明天出
门不带雨衣，后天会带雨衣。当然，现实也可能和
我们开个玩笑，说不定明天下了雨，而后天却没有
下雨，我们固然可以抱怨天气预报出现了一些问题，
但我们总不会因为这件事情，以后天气预报降水概
率９０％的那天我们就不带雨伞，而降水概率为１０％
的那天带雨伞。这就是概率不确定性思维的特点，
可以很好地发展学生的随机意识和辩证思维。
对随机现象本体的认识，又可细分为这样几个
层次：
（１）理解确定事件和不确定事件的基本概念，
能够辨别一个事件是否是确定事件。例如：知道
“随意抛掷一枚硬币，落地后国徽朝上”这一事件
是不确定事件，在抛掷之前无法保证它是否一定发
生，再如 “摸彩中奖”、“明天下雨”等大量生活中
事件都是不确定事件。
（２）粗略地感知某一事件发生的可能性。这是
数学课程实际与探索 ３
教材研究 ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ
（１）的必然发展，在定性地知道了某一事件有时发
生、有时不发生的情况下，自然希望知道这一事件
发生的可能性大还是不发生的可能性大，并对这些
事件发生的可能性有个直觉的估计。
（３）用数量较为精确地刻画具体某一事件发生
的可能性。这是 （２）的数量化，因而要求学生能
用各种方式进行计算，这里的计算有理论计算和试
验估算两种方式。
（４）理解某一事件发生的试验频率与理论概率
存在偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的。虽
然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不
排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率
的一个近似值，两者存在着一定的偏差，而且偏差
的存在是正常的、经常的。例如理论上事件 “随意
抛掷一枚硬币，落地后国徽朝上”发生的概率为
１／２，但试验１００次，并不能保证恰好５０次国徽朝
上，５０国徽朝下。只要学生真正动手做试验，必能
体会到这一点，事实上，做１００次掷币试验恰好５０
次国徽朝上，５０次国徽朝下的可能性仅为 ８
!
左
右。只有学生认识到这一点，才算对某一事件发生
的概率的较为全面的理解，初步形成随机观念。
　　二、本章内容有哪些变化
１．适度整合有关内容，加强与小学的对接
原来教材，考虑到小学阶段的实际情况，设计
了较多的概率基础知识。现在的初中生，小学阶段
都已经使用了课程标准实验教材，已经有了相关的
知识基础和活动经验，这些是初中概率统计学习重
要的基础。但考虑到各个版本小学教材这部分内容
设计的时间不同，学生经过几年的学习，也难免有
所遗忘，因此，对于与小学重复的内容，不是简单
的删减，而是设计了几个活动，通过活动对这部分
内容进行简单的回顾，力图调动学生的知识基础和
活动经验，从而顺利过渡到初中的学习。具体地，
本章第１课时，就是通过一个活动，以回顾确定事
件与随机事件，必然事件与不可能事件等概念，并
感受随机事件发生的可能性有大有小等。
２．关注概率意义理解，进一步凸显过程
教科书设计了大量的试验活动，通过不同类型
的模型，感受随机性，加深对概率意义的理解。很
多教科书一开始就呈现古典概型问题，这些随机现
象具有先天的等可能性，这样的设计容易误导学生，
误认为所有的随机现象都有等可能的基础，也容易
误解某些背景中的等可能基础。为此，我们首先呈
现的随机现象，并不是古典概型，只能通过试验频
率估计其发生的可能性，接着再呈现具有等可能性
的随机现象，通过试验活动感受其等可能后，才上
升到一般的古典概型。这样做，希望引导学生，概
率问题的等可能基础是有条件的，并不能想当然地
认可所谓的等可能基础。
３．关注变式，尝试适度的问题提出
提出问题的能力，是 《标准》中新增的要求，
为此，本次修订也凸显了这一点。如在掷骰子试验
中，要求学生思考：在这个试验中还有哪些随机现
象？你还能求哪些概率？与同伴交流。力图通过这
些活动，引导学生自主地提出问题，发展学生自主
学习能力。
４．关注运用，力图在解决问题过程中发展学生
的应用意识和能力
概率的学习，由于初中阶段学生的能力限制，
概率模型要求尽可能简单，基本上都具有先天的等
可能性，因此，教科书中的概率模型基本都是什么
硬币、骰子游戏之类的；另外，课程标准仅仅要求
认识概率，实际上，仅仅认识概率还不能做出行为
判断，更需要利用概率做出判断。因此，我们继续
遵循原有教材的特色，９年级下册设计了 “哪种方
式更合算”，通过转盘摇奖中平均收益这一类问题
的研究，进一步感受概率的应用。
５．进一步关注情境的现实性、趣味性，及时调
整了一些情境
认识到情境的重要性，创设了丰富的现实情境，
既引发了学生的生活经验，又揭示了新知学习的必要
性。同时，很多情境设计中注意研究学生的认知心
理，借助认知冲突，激发学生学习兴趣。借这次教材
大规模修订，增补了部分更具有生活气息的情境，如
扫雷游戏、红绿灯等。但需要说明的是，教材是静态
的，教学是动态的，在教材真正使用的时候，老师们
可以根据当地的实际情况进行情境的更换。
　　三、本章内容安排
第一节：在具体游戏活动的基础上，回顾小学
关于随机事件的有关概念、感受随机事件发生的可
能性是有大有小的。
现实生活中存在着大量的随机事件，教科书先
数学课程实际与探索４
ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ 教材研究
以学生喜闻乐见的掷骰子游戏为背景，经历猜测、
试验、收集试验数据、分析试验结果等活动过程，
让学生体验生活中有许多事件的发生是不确定的，
加深对确定事件与随机事件，必然事件与不可能事
件等概念的理解，并感受随机事件发生的可能性有
大有小。同时，初步体会人们一般通过重复多次试
验来估计事件发生的可能性大小。
本节是这次修改教材新增内容，目的是承上启
下，使学生体会不确定性事件发生可能性的大小和
利用可能性的大小做一些简单的决策。
第二节：通过抛掷图钉和抛掷均匀的硬币的试
验，让学生感受到频率的稳定性，并得出概率的统
计定义，即用事件发生的频率的稳定值作为该事件
发生的概率。本章内容设计时，先给出概率的统计
定义，是基于下面几点考虑：首先，可以更深刻地
理解概率的意义。我们说一个事件发生的概率为
３０％，它的意义就是在大量的重复试验中，该事件
发生的频率稳定在３０％。其次，相对于概率的古典
定义，概率的统计定义更具普遍性和一般性。概率
的古典定义是在等可能假设下的一种理想模型，事
实上，现实世界存在大量的非古典概型，所涉及的
事件的概率都不能用古典概率的公式计算，而只要
条件允许，我们总可以通过大量的重复试验，用频
率来估计它。最后，在用试验的方法探究概率的过
程中，可以培养学生的动手能力，处理数据的能力，
增强学生的统计意识，培养学生实事求是的态度、
勇于探索的精神和交流协作的精神。
在本节最后，通过对特殊例子中频率稳定值的
反思，得出在一些特定的例子中存在等可能的现象，
为下一节古典概型中理论概率的计算作铺垫。
本节从原教材七年级下册第四章第一节第２课
时修改而来，主要不同有两点：
（１）两个课时分别由抛图钉 （非等可能）和均
匀的硬币 （等可能）的活动开始，统计针尖朝上或
正面朝上的次数和频率；
（２）明晰频率的稳定性，并从中理解概率的统
计学定义，以及据此估计某些随机事件发生的概率。
第三节：用事件发生的频率来估计该事件发生
的概率，虽然具有普遍性，但这种方法需要进行大
量的重复试验，而且得到的往往只是概率的估计值，
所以教科书从具体的摸球游戏出发，了解古典概型
的特点和概率计算公式，并利用古典概型的概率计
算公式计算一些事件发生的概率。进一步通过例子，
让学生能利用简单的一步试验的概率解决简单的问
题，作出决策。这里关注了问题的变式，关注了概
率模型的设计以及一些不同概率问题的等价性。
本节比原来增加了一个课时，主要是通过试验
与设计游戏的活动使学生理解结果等可能的意义。
第四节：对几何背景进行适度的分析，将有关
问题转化为具有等可能基础的、可能情况有限的古
典概型，也就是说研究可转化为古典概型的几何概
型。通过对停留在黑砖上的概率的讨论，对可转化
为古典概型的几何概型发生的概率进行简单的理论
计算，并设计符合要求的简单概率模型，进一步加
深对概率意义的理解。
本节也比原来增加了一个课时，主要是增加一
些活动，目的是进一步熟悉几何概型的意义和概率
计算。
　　四、本章教学建议
１．注重学生数据分析观念的培养与发展。对于
随机现象，学生一般都有一些朴素的想法，这些想
法，有的是正确的，有的是错误的，在教学过程中
应及时了解并加以引导和纠正。一方面，要让学生
亲自经历对随机现象的探索过程，亲自经历猜测、
试验、收集试验数据、分析试验结果等活动过程，
以获得事件发生的概率；另一方面，引导学生从现
实生活中熟悉和感兴趣的问题中体会随机事件发生
的概率。了解随机现象的特点，了解概率的意义，
树立一定的随机观念，是教学的重点和难点。
２．注重引导学生积极参与试验过程，亲自动手
进行试验，经历猜测、试验、收集试验数据、设计
试验、分析试验结果等活动过程，并在活动过程中
体验如何与他人合作交流。
３．注意从不同角度了解概率意义 （统计定义，
古典概型），体会模型思想。如古典概型就是一个
理想化的概率模型，只要符合古典概型的特征，在
计算时就可以利用古典概型的概率计算公式进行。
４．引导学生从身边的点点滴滴 （如：天气预报
中的降水概率，商场摸奖时中奖的概率等等）去观
察和体会随机现象及其规律性，通过身边大量的实例
让学生对概率形成正确的认识，注重让学生了解概率
在日常生活和生产实践中的应用，进一步体会 “数
学就在我们身边”，发展 “用数学”的意识与能力。
数学课程实际与探索 ５

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