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2020年高中数学大一轮复习
考点与题型归纳（理）


TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc12623969" 第一章 集合与常用逻辑用语 11
HYPERLINK \l "_Toc12623970" 第一节 集 合 11
HYPERLINK \l "_Toc12623971" 考点一　集合的基本概念 12
HYPERLINK \l "_Toc12623972" 考点二　集合间的基本关系 13
HYPERLINK \l "_Toc12623973" 考点三　集合的基本运算 15
HYPERLINK \l "_Toc12623974" 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 20
HYPERLINK \l "_Toc12623975" 考点一　四种命题及其真假判断 21
HYPERLINK \l "_Toc12623976" 考点二　充分、必要条件的判断 22
HYPERLINK \l "_Toc12623977" 考点三　根据充分、必要条件求参数的范围 23
HYPERLINK \l "_Toc12623978" 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 28
HYPERLINK \l "_Toc12623979" 考点一　判断含有逻辑联结词命题的真假 29
HYPERLINK \l "_Toc12623980" 考点二　全称命题与特称命题 30
HYPERLINK \l "_Toc12623981" 考点三　根据命题的真假求参数的取值范围 31
HYPERLINK \l "_Toc12623982" 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 37
HYPERLINK \l "_Toc12623983" 第一节 函数及其表示 37
HYPERLINK \l "_Toc12623984" 考点一　函数的定义域 37
HYPERLINK \l "_Toc12623985" 考点二　求函数的解析式 39
HYPERLINK \l "_Toc12623986" 考点三　分段函数 41
HYPERLINK \l "_Toc12623987" 第二节 函数的单调性与最值 49
HYPERLINK \l "_Toc12623988" 考点一　确定函数的单调性?区间? 50
HYPERLINK \l "_Toc12623989" 考点二　求函数的值域?最值? 52
HYPERLINK \l "_Toc12623990" 考点三　函数单调性的应用 54
HYPERLINK \l "_Toc12623991" 第三节 函数的奇偶性与周期性 61
62
64
65
HYPERLINK \l "_Toc12623995" 第四节 函数性质的综合问题 72
72
73
HYPERLINK \l "_Toc12623998" 考点三　函数性质的综合应用 74
HYPERLINK \l "_Toc12623999" 第五节 函数的图象 82
83
85
87
HYPERLINK \l "_Toc12624003" 第六节 二次函数 94
95
97
HYPERLINK \l "_Toc12624006" 第七节 幂函数 105
105
107
HYPERLINK \l "_Toc12624009" 第八节 指数式、对数式的运算 111
112
114
HYPERLINK \l "_Toc12624012" 第九节 指数函数 118
119
120
HYPERLINK \l "_Toc12624015" 第十节 对数函数 127
128
129
HYPERLINK \l "_Toc12624018" 第十一节 函数与方程 135
136
138
HYPERLINK \l "_Toc12624021" 第十二节 函数模型及其应用 143
143
145
HYPERLINK \l "_Toc12624024" 第三章 导数及其应用 151
HYPERLINK \l "_Toc12624025" 第一节 导数的概念及运算、定积分 151
HYPERLINK \l "_Toc12624026" 考点一　导数的运算 153
HYPERLINK \l "_Toc12624027" 考点二　导数的几何意义及其应用 154
HYPERLINK \l "_Toc12624028" 考点三　定积分的运算及应用 157
HYPERLINK \l "_Toc12624029" 第二节 导数的简单应用 165
HYPERLINK \l "_Toc12624030" 第一课时　导数与函数的单调性 166
166
167
HYPERLINK \l "_Toc12624033" 第二课时　导数与函数的极值、最值 178
178
180
182
HYPERLINK \l "_Toc12624037" 第三节 导数的综合应用 191
HYPERLINK \l "_Toc12624038" 第一课时　利用导数解不等式 191
HYPERLINK \l "_Toc12624039" 考点一　f(x)与f′(x)共存的不等式问题 191
HYPERLINK \l "_Toc12624040" 考点二　不等式恒成立问题 194
HYPERLINK \l "_Toc12624041" 考点三　可化为不等式恒成立问题 196
HYPERLINK \l "_Toc12624042" 第二课时　利用导数证明不等式 202
HYPERLINK \l "_Toc12624043" 考点一　单变量不等式的证明 202
HYPERLINK \l "_Toc12624044" 考点二　双变量不等式的证明 205
HYPERLINK \l "_Toc12624045" 考点三　证明与数列有关的不等式 206
HYPERLINK \l "_Toc12624046" 第三课时　导数与函数的零点问题 211
HYPERLINK \l "_Toc12624047" 考点一　判断函数零点的个数 211
HYPERLINK \l "_Toc12624048" 考点二　由函数零点个数求参数 213
HYPERLINK \l "_Toc12624049" 第四节 导数压轴专项突破 219
HYPERLINK \l "_Toc12624050" 第一课时　分类讨论的“界点”确定 219
HYPERLINK \l "_Toc12624051" 考点一　根据二次项系数确定分类“界点” 219
HYPERLINK \l "_Toc12624052" 考点二　根据判别式确定分类“界点” 220
HYPERLINK \l "_Toc12624053" 考点三　根据导函数零点的大小确定分类“界点” 220
HYPERLINK \l "_Toc12624054" 考点四　根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点” 221
HYPERLINK \l "_Toc12624055" 第二课时　有关x与ex，ln x的组合函数问题 223
HYPERLINK \l "_Toc12624056" 考点一　x与ln x的组合函数问题 223
HYPERLINK \l "_Toc12624057" 考点二　x与ex的组合函数问题 224
HYPERLINK \l "_Toc12624058" 考点三　x与ex，ln x的组合函数问题 226
HYPERLINK \l "_Toc12624059" 考点四　借助ex≥x＋1和ln x≤x－1进行放缩 228
HYPERLINK \l "_Toc12624060" 第三课时　极值点偏移问题 230
HYPERLINK \l "_Toc12624061" 考点一　对称变换 230
HYPERLINK \l "_Toc12624062" 考点二　消参减元 231
HYPERLINK \l "_Toc12624063" 考点三　比(差)值换元 233
HYPERLINK \l "_Toc12624064" 第四课时　导数零点不可求 235
HYPERLINK \l "_Toc12624065" 考点一　猜出方程f′(x)＝0的根 235
HYPERLINK \l "_Toc12624066" 考点二 隐零点代换 235
HYPERLINK \l "_Toc12624067" 考点三 证——证明方程f′(x)＝0无根 236
HYPERLINK \l "_Toc12624068" 第五课时　构造函数 238
HYPERLINK \l "_Toc12624069" 考点一 “比较法”构造函数证明不等式 238
HYPERLINK \l "_Toc12624070" 考点二 “拆分法”构造函数证明不等式 239
HYPERLINK \l "_Toc12624071" 考点三 “换元法”构造函数证明不等式 240
HYPERLINK \l "_Toc12624072" 考点四 “转化法”构造函数 241
HYPERLINK \l "_Toc12624073" 第六课时　“任意”与“存在”问题 242
HYPERLINK \l "_Toc12624074" 考点一 单一任意与存在问题 242
HYPERLINK \l "_Toc12624075" 考点二 双任意与存在相等问题 243
HYPERLINK \l "_Toc12624076" 考点三 双任意与双存在不等问题 244
HYPERLINK \l "_Toc12624077" 考点四 存在与任意嵌套不等问题 246
HYPERLINK \l "_Toc12624078" 第四章 三角函数、解三角形 252
HYPERLINK \l "_Toc12624079" 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 252
253
255
256
HYPERLINK \l "_Toc12624083" 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 262
263
HYPERLINK \l "_Toc12624085" 考点二　同角三角函数的基本关系及应用 264
HYPERLINK \l "_Toc12624086" 第三节 三角函数的图象与性质 272
HYPERLINK \l "_Toc12624087" 第一课时　三角函数的单调性 273
273
276
HYPERLINK \l "_Toc12624090" 考点三　根据三角函数单调性确定参数 277
HYPERLINK \l "_Toc12624091" 第二课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性 284
285
286
288
HYPERLINK \l "_Toc12624095" 第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 297
HYPERLINK \l "_Toc12624096" 考点一　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 298
HYPERLINK \l "_Toc12624097" 考点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换 300
302
HYPERLINK \l "_Toc12624099" 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 311
311
HYPERLINK \l "_Toc12624101" 考点二　三角函数公式的逆用与变形用 313
315
HYPERLINK \l "_Toc12624103" 第六节 简单的三角恒等变换 323
323
324
327
HYPERLINK \l "_Toc12624107" 第七节 正弦定理和余弦定理 335
HYPERLINK \l "_Toc12624108" 第一课时　正弦定理和余弦定理(一) 336
HYPERLINK \l "_Toc12624109" 考点一　利用正、余弦定理解三角形 336
338
HYPERLINK \l "_Toc12624111" 第二课时　正弦定理和余弦定理(二) 344
344
346
HYPERLINK \l "_Toc12624114" 考点三　三角形中的最值、范围问题 349
HYPERLINK \l "_Toc12624115" 考点四　解三角形与三角函数的综合应用 351
HYPERLINK \l "_Toc12624116" 第八节 解三角形的实际应用 359
359
361
362
HYPERLINK \l "_Toc12624120" 第五章 平面向量 366
HYPERLINK \l "_Toc12624121" 第一节 平面向量的概念及线性运算 366
368
370
371
HYPERLINK \l "_Toc12624125" 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 378
HYPERLINK \l "_Toc12624126" 考点一　平面向量基本定理及其应用 379
380
381
HYPERLINK \l "_Toc12624129" 第三节 平面向量的数量积 386
388
391
HYPERLINK \l "_Toc12624132" 第四节 平面向量的综合应用 398
398
399
400
HYPERLINK \l "_Toc12624136" 第六章 数列 408
HYPERLINK \l "_Toc12624137" 第一节 数列的概念与简单表示 408
HYPERLINK \l "_Toc12624138" 考点一　由an与Sn的关系求通项an 409
HYPERLINK \l "_Toc12624139" 考点二　由递推关系式求数列的通项公式 410
412
HYPERLINK \l "_Toc12624141" 第二节 等差数列及其前n项和 419
420
421
422
HYPERLINK \l "_Toc12624145" 第三节 等比数列及其前n项和 429
430
431
433
HYPERLINK \l "_Toc12624149" 第四节 数列求和 439
HYPERLINK \l "_Toc12624150" 考点一 分组转化法求和 440
HYPERLINK \l "_Toc12624151" 考点二 裂项相消法求和 441
HYPERLINK \l "_Toc12624152" 考点三 错位相减法 443
HYPERLINK \l "_Toc12624153" 第五节 数列的综合应用 450
HYPERLINK \l "_Toc12624154" 考点一　数列在实际问题与数学文化问题中的应用 450
HYPERLINK \l "_Toc12624155" 考点二　等差数列与等比数列的综合计算 452
HYPERLINK \l "_Toc12624156" 第七章 不等式 461
HYPERLINK \l "_Toc12624157" 第一节 不等式的性质 461
462
463
HYPERLINK \l "_Toc12624160" 第二节 一元二次不等式及其解法 468
469
471
HYPERLINK \l "_Toc12624163" 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 478
HYPERLINK \l "_Toc12624164" 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 478
481
483
HYPERLINK \l "_Toc12624167" 第四节 基本不等式 491
491
494
HYPERLINK \l "_Toc12624170" 第八章 立体几何 500
HYPERLINK \l "_Toc12624171" 第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图 500
502
502
504
HYPERLINK \l "_Toc12624175" 第二节 空间几何体的表面积与体积 511
512
513
516
HYPERLINK \l "_Toc12624179" 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 524
525
526
HYPERLINK \l "_Toc12624182" 第四节 直线、平面平行的判定与性质 532
HYPERLINK \l "_Toc12624183" 考点一　直线与平面平行的判定与性质 533
HYPERLINK \l "_Toc12624184" 考点二　平面与平面平行的判定与性质 535
HYPERLINK \l "_Toc12624185" 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 543
HYPERLINK \l "_Toc12624186" 考点一　直线与平面垂直的判定与性质 544
546
HYPERLINK \l "_Toc12624188" 第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 553
553
555
HYPERLINK \l "_Toc12624191" 第七节 空间角 562
562
563
565
HYPERLINK \l "_Toc12624195" 第八节 空间向量的运算及应用 571
HYPERLINK \l "_Toc12624196" 考点一　空间向量的线性运算 573
HYPERLINK \l "_Toc12624197" 考点二　共线、共面向量定理的应用 574
HYPERLINK \l "_Toc12624198" 考点三　空间向量数量积及应用 575
HYPERLINK \l "_Toc12624199" 考点四　利用向量证明平行与垂直问题 577
HYPERLINK \l "_Toc12624200" 第九节 利用空间向量求空间角 585
586
588
eq \a\vs4\al(考点三　二面角) 590
HYPERLINK \l "_Toc12624204" 第十节 突破立体几何中的3大经典问题 603
603
607
611
HYPERLINK \l "_Toc12624208" 第九章 平面解析几何 623
HYPERLINK \l "_Toc12624209" 第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 623
624
625
627
HYPERLINK \l "_Toc12624213" 第二节 两直线的位置关系 632
633
634
636
HYPERLINK \l "_Toc12624217" 第三节 圆的方程 642
642
645
HYPERLINK \l "_Toc12624220" 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 652
652
655
HYPERLINK \l "_Toc12624223" 第五节 直线与圆的综合问题 662
662
664
HYPERLINK \l "_Toc12624226" 第六节 椭 圆 672
HYPERLINK \l "_Toc12624227" 第一课时　椭圆及其性质 673
673
675
676
HYPERLINK \l "_Toc12624231" 第二课时　直线与椭圆的综合问题 686
686
687
689
HYPERLINK \l "_Toc12624235" 第七节 双曲线 698
699
701
703
HYPERLINK \l "_Toc12624239" 第八节 抛物线 712
713
714
716
HYPERLINK \l "_Toc12624243" 第九节 曲线与方程 724
HYPERLINK \l "_Toc12624244" 考点一　直接法求轨迹方程 725
HYPERLINK \l "_Toc12624245" 考点二　定义法求轨迹方程 725
HYPERLINK \l "_Toc12624246" 考点三 代入法(相关点)求轨迹方程 726
HYPERLINK \l "_Toc12624247" 第十节　解析几何常见突破口 736
HYPERLINK \l "_Toc12624248" 考点一 利用向量转化几何条件 736
HYPERLINK \l "_Toc12624249" 考点二 角平分线条件的转化 737
HYPERLINK \l "_Toc12624250" 考点三 弦长条件的转化 739
HYPERLINK \l "_Toc12624251" 考点四 面积条件的转化 741
HYPERLINK \l "_Toc12624252" 第十一节　解析几何计算处理技巧 747
HYPERLINK \l "_Toc12624253" 考点一 回归定义，以逸待劳 748
HYPERLINK \l "_Toc12624254" 考点二 设而不求，金蝉脱壳 749
HYPERLINK \l "_Toc12624255" 考点三 巧设参数，变换主元 751
HYPERLINK \l "_Toc12624256" 考点四 数形结合，偷梁换柱 753
HYPERLINK \l "_Toc12624257" 考点五 妙借向量，无中生有 754
HYPERLINK \l "_Toc12624258" 考点六 巧用“根与系数的关系” 756
HYPERLINK \l "_Toc12624259" 第十二节　解析几何综合3大考点 763
HYPERLINK \l "_Toc12624260" 考点一　定点、定值问题 763
HYPERLINK \l "_Toc12624261" 考点二　最值、范围问题 767
HYPERLINK \l "_Toc12624262" 考点三　证明、探索性问题 772
HYPERLINK \l "_Toc12624263" 第十章 统计与统计案例 781
HYPERLINK \l "_Toc12624264" 第一节 随机抽样 781
782
783
784
HYPERLINK \l "_Toc12624268" 第二节 用样本估计总体 790
791
792
794
HYPERLINK \l "_Toc12624272" 第三节 变量间的相关关系与统计案例 804
HYPERLINK \l "_Toc12624273" 考点一　回归分析 805
809
HYPERLINK \l "_Toc12624275" 第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 819
HYPERLINK \l "_Toc12624276" 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 819
HYPERLINK \l "_Toc12624277" 考点一 分类加法计数原理 819
HYPERLINK \l "_Toc12624278" 考点二 分步乘法计数原理 820
HYPERLINK \l "_Toc12624279" 第二节 排列与组合 827
HYPERLINK \l "_Toc12624280" 考点一 排列问题 827
HYPERLINK \l "_Toc12624281" 考点二 组合问题 829
HYPERLINK \l "_Toc12624282" 考点三 分组、分配问题 831
HYPERLINK \l "_Toc12624283" 考点四 排列、组合的综合问题 832
HYPERLINK \l "_Toc12624284" 第三节 二项式定理 838
838
841
843
HYPERLINK \l "_Toc12624288" 第四节 随机事件的概率 848
HYPERLINK \l "_Toc12624289" 考点一 随机事件的关系 850
HYPERLINK \l "_Toc12624290" 考点三 互斥事件、对立事件概率公式的应用 852
HYPERLINK \l "_Toc12624291" 第五节 古典概型与几何概型 860
861
862
HYPERLINK \l "_Toc12624294" 第六节 离散型随机变量及其分布列 871
HYPERLINK \l "_Toc12624295" 考点一 离散型随机变量的分布列的性质 872
HYPERLINK \l "_Toc12624296" 考点二 超几何分布 874
HYPERLINK \l "_Toc12624297" 考点三 求离散型随机变量的分布列 875
HYPERLINK \l "_Toc12624298" 第七节 n次独立重复试验及二项分布 882
883
884
886
HYPERLINK \l "_Toc12624302" 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 896
897
899
901
903
HYPERLINK \l "_Toc12624307" 第十二章复数、算法、推理与证明 914
HYPERLINK \l "_Toc12624308" 第一节 数系的扩充与复数的引入 914
915
916
918
HYPERLINK \l "_Toc12624312" 第二节 算法与程序框图 924
925
927
931
HYPERLINK \l "_Toc12624316" 第三节 合情推理与演绎推理 941
942
944
945
946
HYPERLINK \l "_Toc12624321" 第四节 直接证明与间接证明 952
953
954
HYPERLINK \l "_Toc12624324" 选修4－4 坐标系与参数方程 961
HYPERLINK \l "_Toc12624325" 第一节 坐标系 961
HYPERLINK \l "_Toc12624326" 考点一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换 962
963
965
HYPERLINK \l "_Toc12624329" 第二节 参数方程 971
972
973
975
HYPERLINK \l "_Toc12624333" 选修4－5 不等式选讲 982
HYPERLINK \l "_Toc12624334" 第一节 绝对值不等式 982
983
985
985
HYPERLINK \l "_Toc12624338" 第二节 不等式的证明 992
992
993
994



第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B(或B?A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A?B或B?A.
A?B?既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.
(3)集合相等：如果A?B，并且B?A，则A＝B.
两集合相等：A＝B?A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作?.
?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?UA.
二、常用结论
(1)子集的性质：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B.
(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.
(4)补集的性质：A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.
(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．
(6)等价关系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B.
考点一　集合的基本概念
[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　 　B．2
C．1 D．0
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
[解析]　(1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
(2)由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
[答案]　(1)B　(2)C
[提醒]　集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
[题组训练]
1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4?A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)
A. B.
C．0 D．0或
解析：选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的值为0或.
3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5答案：（5，6］
考点二　集合间的基本关系
[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B?A　　　　　　　　 　B．A＝B
C．A?B D．B?A
(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B?A的集合B的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
(3)已知集合A＝{x|－1[解析]　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知A?B，故选C.
(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0(3)当m≤0时，B＝?，显然B?A.
当m>0时，因为A＝{x|－1若B?A，在数轴上标出两集合，如图，

所以所以0综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
[答案]　(1)C　(2)C　(3)(－∞，1]
[变透练清]
1.若本例(2)中A不变，C＝{x|0A．1　　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选D　因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2.若本例(3)中，把条件“B?A”变为“A?B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：若A?B，由得m≥3，
∴m的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝?，则Δ＝m2－4<0，解得－2②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
答案：[－2,2)
考点三　集合的基本运算
考法(一)　集合的运算
[典例]　(1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{－1,1}　　　　　　　 　B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．
(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，
因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
[答案]　(1)C　(2)D
考法(二)　根据集合运算结果求参数
[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝(　　)
A．3 B．2
C．2或3 D．3或1
[解析]　(1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.
(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.
[答案]　(1)B　(2)A
[题组训练]

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C　因为集合B＝{x|－12．(2019·重庆六校联考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，则(?RA)∩B＝(　　)
A. B.
C. D．?
解析：选A　由题意得A＝，B＝(0,100)，则?RA＝(－∞，－1)∪，所以(?RA)∩B＝.

3．(2019·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：选A　因为A∩B≠?，
所以解得a≥1.

1．(2019·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1A．1　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选B　依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.
2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则?U(A∪B)＝(　　)
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
解析：选A　因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以?U(A∪B)＝{2,6}．
3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?RB)＝(　　)
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：选B　∵全集为R，B＝{x|x≥1}，
∴?RB＝{x|x＜1}．
∵集合A＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩(?RB)＝{x|0＜x＜1}．
4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M∩N＝M B．M∪(?RN)＝M
C．N∪(?RM)＝R D．M∪N＝M
解析：选D　由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.

5．设集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B为(　　)
A. B．[－1,0)
C. D．[－1,1]
解析：选A　∵≤2x<，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<，∴A＝.∵ln x≤0，即ln x≤ln 1，∴06．(2019·郑州质量测试)设集合A＝{x|1A．(－∞，2] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D　由A∩B＝A，可得A?B，又因为A＝{x|17．已知全集U＝A∪B中有m个元素，∪中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：选D　因为∪中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
8．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B　由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素．
9．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.
解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为
________．


解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴?UB＝{x|x≤1或x≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(?UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}．
答案：{x|－5≤x≤1}
11．若集合A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则集合A∩B中的元素个数为________．
解析：法一：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．
联立得方程组解得或
故A∩B＝，所以A∩B中含有2个元素．
法二：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．因为3x2－3x＋1＝x即3x2－4x＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A∩B中含有2个元素．
答案：2
12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围是__________．
解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，
即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，

由于A?B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.
答案：(4，＋∞)
13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2(1)分别求A∩B，A∪(?UB)；
(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2(2)由B∪C＝B，可知C?B，画出数轴(图略)，
易知2故实数a的取值范围是(2,3)．


第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础知识
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
　　　　　 　　　　　　 　　　　　
2．四种命题及其相互关系

3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件；
①A是B的充分不必要条件是指：A?B且BA；
②A的充分不必要条件是B是指：B?A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
(2)如果q?p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p?q，又有q?p，记作p?q，则p是q的充要条件．
充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
二、常用结论
1．四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．
考点一　四种命题及其真假判断
[典例]　(2019·菏泽模拟)有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中真命题是(　　)
A．①②　　　　　　　 　B．②③
C．④ D．①②③
[解析]　①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
[答案]　D
[题组训练]
1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D　命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，所以“若x2<1，则－12．已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C　因为P＝＝，Q＝，
所以P?Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

考点二　充分、必要条件的判断
[典例]　(1)(2019·湖北八校联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件　　 　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)定义法
当a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.
(2)集合法
由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“＜”?“x3＜1”；
由x3＜1，得x＜1，
当x≤0时，≥，
即“x3＜1” “＜”．
所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
(3)等价转化法
因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以非p：x＋y＝－2，非q：x＝－1且y＝－1，

因为非q?非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
[答案]　(1)B　(2)A　(3)A

[提醒]　判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．

[题组训练]
1.已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　若x2<1，则－12.(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos θ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．
3.“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，
则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.
可知非q?非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．
故p是q的充分不必要条件，
即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．
考点三　根据充分、必要条件求参数的范围
[典例]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．
[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[答案]　[0,3]

[变透练清]
1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以解得
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2.若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵非P是非S的必要不充分条件，
∴S是P的必要不充分条件，∴P?S且SP.
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]．
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．


1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)
A．逆命题　　　　　　 　B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选B　命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：选C　根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真　　　　　　 　B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选B　当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．
4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．
5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是(　　)
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：选A　本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，
所以a·b＝0，能推出a⊥b.
由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，
能推出|a－3b|＝|3a＋b|，
所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．
7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C?D，所以B?A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
8．(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．m> B．0C．m>0 D．m>1
解析：选C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.
9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0答案：充要
10．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.
故实数m的取值范围为[3,8)．
答案：[3,8)
12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：
①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；
②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
以上说法正确的是________(填序号)．
解析：对于①，“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C?b>c?B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．


第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础知识
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”?叫做逻辑联结词．
①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；
②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；
③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.?
?“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.

?“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．
(2)命题真值表：

p q p∧q p∨q 非p
真 真 真
假 真 真
真 假 真
假 假 假

命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.

2．全称量词与存在量词

量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ?
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ?
3.全称命题与特称命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ?x∈M，p(x)
特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ?x0∈M，p(x0)

4．全称命题与特称命题的否定

命题 命题的否定
?x∈M，p(x) ?x0∈M，非p(x0)
?x0∈M，p(x0) ?x∈M，非p(x)

二、常用结论

含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真?p，q至少一个真?(非p)∧(非q)假．
(2)p∨q假?p，q均假?(非p)∧(非q)真．
(3)p∧q真?p，q均真?(非p)∨(非q)假．
(4)p∧q假?p，q至少一个假?(非p)∨(非q)真．
考点一　判断含有逻辑联结词命题的真假

[典例]　(1)(2017·山东高考)已知命题p：?x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q　　　　　　　　 B．p∧非q
C．非p∧q D．非p∧非q
(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是(　　)
A．p∧(非q) B．(非p)∧q
C．p∧q D．(非p)∨q
[解析]　(1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧ (非q)为真命题，故选A.
[答案]　(1)B　(2)A


[题组训练]
1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B　充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．
2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是(　　)
A．p∨(非q) B．p∨q
C．p∧q D．(非p)∧(非q)
解析：选B　若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．
考点二　全称命题与特称命题
[典例]　(1)命题?x∈R，ex－x－1≥0的否定是(　　)
A．?x∈R，ex－x－1≤0　　
B．?x∈R，ex－x－1≥0
C．?x0∈R，ex0－x0－1≤0
D．?x0∈R，ex0－x0－1<0
(2)对命题?x0>0，x>2x0，下列说法正确的是(　　)
A．真命题，其否定是?x0≤0，x≤2x0
B．假命题，其否定是?x>0，x2≤2x
C．真命题，其否定是?x>0，x2≤2x
D．真命题，其否定是?x≤0，x2≤2x
[解析]　(1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.
(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是?x>0，x2≤2x.故选C.
[答案]　(1)D　(2)C

[题组训练]
1．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N*，使得n>x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n>x2
C．?x0∈R，?n∈N*，使得n>x
D．?x0∈R，?n∈N*，使得n>x
解析：选D　?改写为?，?改写为?，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“?x0∈R，?n∈N*，使得n>x”．
2．已知命题p：?n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(非p)∧q
C．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)
解析：选C　当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.

考点三　根据命题的真假求参数的取值范围

[典例]　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．
[解]　依题意知p，q均为假命题，
当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2因此由p，q均为假命题得即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

[变透练清]
1.若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．
解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；
当q是真命题时，有－2由可得－2所以m的取值范围为(－2,0)．
答案：(－2,0)
2.若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．
解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．
当p真q假时所以m≤－2；
当p假q真时所以0≤m<2.
所以m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．
答案：(－∞，－2]∪[0,2)
3.若本例将条件q变为：存在x0∈R，x＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．
解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，
所以m>2或m<－2.由得0≤m≤2，
所以m的取值范围为[0,2]．
答案：[0,2]


1．(2019·西安摸底)命题“?x>0，>0”的否定是(　　)
A．?x0≥0，≤0　　　 　B．?x0>0,0≤x0≤1
C．?x>0，≤0 D．?x<0,0≤x≤1
解析：选B　∵>0，∴x<0或x>1，∴>0的否定是0≤x≤1，
∴命题的否定是“?x0>0,0≤x0≤1”．
2．下列命题中，假命题的是(　　)
A．?x∈R,21－x>0
B．?a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称
C．函数y＝xa的图象经过第四象限
D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切
解析：选C　对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，命题成立．
3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(非p)∧(非q)
C．(非p)∧q D．p∧(非q)
解析：选D　由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题．
4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是(　　)
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题p：?x∈R,2x>0，则非p：?x0∈R,2x0<0
C．命题“若a>b>0，则<”的逆命题是真命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：选A　对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：?x∈R,2x>0的否定是非p：?x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若<，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.
5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：?x0∈R，|x0＋1|≤x0，则(　　)
A．(非p)∨q为真命题 B．p∧(非q)为假命题
C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题
解析：选D　由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q为假命题，所以p∨q为真命题．
6．下列说法错误的是(　　)
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：存在x0∈R，x＋x0＋1<0，则非p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：选D　由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥2?4xy≥(x＋y)2?4xy≥x2＋y2＋2xy?(x－y)2≤0?x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
7．(2019·长沙模拟)已知命题“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
解析：选C　当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
8．下列命题为假命题的是(　　)
A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0
B．“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件
C．?x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立
D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m?α，n?β且m∥β，n∥α，则α∥β
解析：选C　对于A选项，令x＝1，y＝，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m?α，n?β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.
9．若命题p的否定是“?x∈(0，＋∞)，＞x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则 x＝________.
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得x＝－2.
答案：－2
11．已知p：a<0，q：a2>a，则非p是非q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：由题意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}?{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：显然命题p为真命题，非p为假命题．
∵f(x)＝x2－x＝2－，
∴函数f(x)在区间上单调递增．
∴命题q为假命题，非q为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(非p)∧(非q)为假命题，(非p)∨q为假命题．
答案：②③④
13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：?x∈[1，＋∞)， －x≤4t2－1.
(1)当t＝1时，判断命题q的真假；
(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．
解：(1)当t＝1时，max＝0，－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．
(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．
当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1当q为真命题时，max≤4t2－1，即4t2－1≥0，
解得t≤－或t≥，
∴当q为假命题时，－∴t的取值范围是.


第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节 函数及其表示
一、基础知识
1．函数与映射的概念

2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．

考点一　函数的定义域
[典例]　(1)(2019·长春质检)函数y＝＋的定义域是(　　)
A．[－1,0)∪(0,1)　　　 　B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
[解析]　(1)由题意得解得－1所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
(2)令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1,0)，可知－1得－1[答案]　(1)D　(2)B
[解题技法]
1．使函数解析式有意义的一般准则
(1)分式中的分母不为0；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0要求x≠0；
(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；
(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；
(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
2．抽象函数的定义域问题
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

[题组训练]
1.函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
解析：选B　由得－12.若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝的定义域是________________．
解析：因为y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，
所以若g(x)有意义，应满足
所以0≤x≤2 018，且x≠1.
因此g(x)的定义域是{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
答案：{x|0≤x≤2 018，且x≠1}
考点二　求函数的解析式
[典例]　(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；
(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
[解]　(1)法一：待定系数法
因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：换元法
令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，
所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：配凑法
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

(2)解方程组法
由f(－x)＋2f(x)＝2x， ①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．
[解题技法]　求函数解析式的4种方法及适用条件
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．
(2)换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．
(3)配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(4)解方程组法
已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

[提醒]　由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．

[题组训练]
1.已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________________.
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
答案：x2＋x(x∈R)
2.已知f＝lg x，则f(x)＝________________.
解析：令＋1＝t，得x＝，则f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
答案：lg(x>1)
3.已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)

考点三　分段函数

考法(一)　求函数值
[典例]　(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝(0A．－2　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．－3
[解析]　由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
联立①②，结合0所以f(x)＝
则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
[答案]　B


[解题技法]　求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

考法(二)　求参数或自变量的值(或范围)
[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
[解析]　法一：分类讨论法
①当即x≤－1时，
f(x＋1)即－(x＋1)<－2x，解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1f(x＋1)因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)法二：数形结合法
∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)则需或
∴x<0，故选D.
[答案]　D

[解题技法]
已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法
(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
[题组训练]
1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C　当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
2．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________.
解析：由题意，得f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2，
∴f(f(3))＝f(2)＝2.
答案：2
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．
①当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
故－②当01，显然成立．
③当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，所求x的取值范围是.
答案：
4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是____________．
解析：若a<0，则f(a)<1?a－7<1?a<8，解得a>－3，故－3若a≥0，则f(a)<1?<1，解得a<1，故0≤a<1.
综上可得－3答案：(－3,1)

1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　)


A．1 　B．2
C．3 D．4
解析：选B　①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C　由题意得解得x≥0，且x≠2.
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
则4a－1＝6，解得a＝.
4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是(　　)
A．y＝ B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝
解析：选D　对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝＝1＋，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5．(2018·福建期末)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　)
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：选A　当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0,1]，则函数的定义域是(　　)
A．[1,2] B．(－1,1]
C. D．(－1,0)
解析：选D　由f(2x－1)的定义域是[0,1]，
得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，
∴f(x)的定义域是[－1,1]，
∴要使函数有意义，
需满足解得－17．下列函数中，不满足f(2 018x)＝2 018f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
解析：选C　若f(x)＝|x|，则f(2 018x)＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2 018x)＝2 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不满足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，则f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故选C.
8．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选B　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
9．(2019·青岛模拟)函数y＝ln＋的定义域为________．
解析：由??0所以该函数的定义域为(0,1]．
答案：(0,1]
10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f(x)＝则f(f(－9))＝________.
解析：∵函数f(x)＝∴f(－9)＝lg 10＝1，∴f(f(－9))＝f(1)＝－2.
答案：－2
11．(2018·张掖一诊)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：∵f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0.
依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
12．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，
故所求x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
13．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．

解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
解得所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．



第二节 函数的单调性与最值
一、基础知识
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

3．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、常用结论
在公共定义域内：
(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；
(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；
(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；
(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；
(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．


考点一　确定函数的单调性?区间?)
[典例]　(1)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解]　(1)易知f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)法一：定义法
设－1f(x)＝a＝a，
则f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
法二：导数法
f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

[解题技法]　判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
[题组训练]
1．下列函数中，满足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)
A．f(x)＝2x　　　　　　 　B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C　由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选D　令t＝x2－4，则y＝logt.因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
3．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设x1，x2是任意两个正数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．
当0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；
当≤x1a，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
考点二　求函数的值域?最值?)
[典例]　(1)(2019?深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
(2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
[解析]　(1)图象法
函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
(2)单调性法
∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
(3)当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值，且f(－2)＝4；当x>0时，f(x)＝sin x，此时f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.
[答案]　(1)[3，＋∞)　(2)1　　(3)4

[提醒]　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．

[题组训练]
1．函数f(x)＝的值域为________．
解析：当x>0时，f(x)＝x＋≥4，
当且仅当x＝2时取等号；
当x<0时，－x＋≥4，
即f(x)＝x＋≤－4，
当且仅当x＝－2取等号，
所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2．若x∈，则函数y＝4sin2x－12sin x－1的最大值为________，最小值为________．
解析：令t＝sin x，因为x∈，
所以t∈，y＝f(t)＝4t2－12t－1，
因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝，所以当t∈时，函数f(t)单调递减，
所以当t＝－时，ymax＝6；
当t＝1时，ymin＝－9.
答案：6　－9

3．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．
又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，
∴(－x2－2x)max＝－3，故a>－3，
又∵a≤1，∴－3答案：(－3,1]
考点三　函数单调性的应用
考法(一)　比较函数值的大小
[典例]　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)　
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)[解析]　因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．
[答案]　A
[解题技法]　比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考法(二)　解函数不等式
[典例]　设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　　　 　B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
[解析]　易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．
[答案]　B

[解题技法]　求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)
考法(三)　利用单调性求参数的范围(或值)
[典例]　 (2019?南京调研)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[解析]　设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
[答案]　[－1，＋∞)

[解题技法]
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[题组训练]
1．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选D　由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.
2．已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A. B.
C. D.
解析：选B　由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.
又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，
所以函数f(x)在R上单调递减，
故有即
所以a∈.

A级
1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　 　B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C　当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：选B　因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0.
而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.
因为a<0，所以g(x)在(－∞，2)上单调递增．
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C　由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当15．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)(　　)
A．(－1,2) B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：选D　由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－2]
C．[－3，－2] D．(－∞，0)
解析：选C　若f(x)是R上的增函数，则应满足解得－3≤a≤－2.
7．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
9．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]?(0，＋∞)，
∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案：4
10．(2019·甘肃会宁联考)若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.
答案：(－∞，3)
11．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解：(1)证明：任取x1＞x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
∵x1＞x2＞0，
∴x1－x2＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上是增函数，
∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，
解得a＝.
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.
任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，
所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.
所以0＜a≤1.
所以a的取值范围为(0,1]．
B级
1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0，＋∞) D．(0,1]
解析：选D　函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是(0,1]．
2．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，
所以解得－33.
又a>0，所以a>3.
答案：(3，＋∞)
3．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，　
所以函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．


第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知
1．函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)?，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)?，那么函数f(x)是奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1?f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1?f(x)为奇函数．

2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个

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