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高二数学 选修2-1（理）
1.1.2四种命题及其关系
高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语

课题
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
复习引入
从构成来看，所有的命题都具有条件和结论两部分构成.
命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表
达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
定义的要点：能判断真假的陈述句．
记做：若p,则q.
答：若一个函数是正弦函数，则它是周期函数.
真命题
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
提出问题
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
即 原命题:若p,则q
逆命题:若q,则p
例如：命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是
“两直线平行，同位角相等”。
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
1.若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
3.若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.
原命题:若p,则q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”，读作“非Ｐ”“非q”。
否命题:若┐p,则┐q
互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
例如：命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是
“同位角不相等，两直线不平行”。
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
1.若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
4.若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
原命题: 若p, 则q
逆否命题: 若┐q, 则┐p
互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题
是 “两直线不平行，同位角不相等”。
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式）
2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
注意：三种命题中最难写 的是否命题。
若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p


湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否
命题。
(1)原命题： 若 ， 则
答:逆命题： 若 ， 则
否命题： 若 ， 则
逆否命题： 若 ，则
(2)原命题：若a，b都是偶数，则a+b是偶数
逆命题：若a+b是偶数，则a，b都是偶数；
否命题：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数；
逆否命题：若a+b不是偶数，则a，b不都是偶数。
练习1：
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
探究1：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？
例1.等边三角形的三个内角相等.
例2.若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数.
逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形.
逆命题:若f (x) 是周期函数,则f (x) 是正弦函数.
（真命题）
（真命题）
（假命题）
（真命题）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
探究问题1
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？
否命题:同位角不相等,两直线不平行.
例1.原命题:同位角相等,两直线平行.
例2.原命题:若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数
否命题:若f (x) 不是正弦函数,则f (x)不 是周期函数
（真命题）
（真命题）
（真命题）
（假命题）
原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.
探究问题2
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
探究3：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？
例1.原命题:同位角相等,两直线平行.
逆否命题:两条直线不平行,同位角不相等.
例2.原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。
若逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。
（真命题）
（真命题）
（假命题）
（假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.
原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。
探究问题3
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
四种命题之间的关系
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若﹁ p则﹁ q
逆否命题
若﹁ q则﹁p
互为逆否 同真同假
互为逆否 同真同假
四种命题之间的关系
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。
几条结论
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；
（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。
（对）
2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。
答：0个、2个、4个。
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。
（错）
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。
（错）
练习2
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
练习3. 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出
它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．

逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．

练习3
真命题
真命题
真命题
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题、
否命题、逆否命题，并判断它们的真假
解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 ，则 x + y = 5
真
否命题：若 x + y ? 5 ，则 x ? 3或y?2
逆否命题：若 x ? 3 或y?2 ，则 x + y ?5
真
假
练习4
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
事例:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。
解：张三走的原因是：“该来的没有来”，逆否命题是--
“来了的是不该来的！”从而导致张三认为自己是不该
来的。
李四走的原因是“不该走的又走了”，其逆否命题是 “没有走的是应该走的”，从而使李四觉得主人在赶自己走。
事例分析
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南
作业：
P8－A组2、3题
《空中课堂》课后训练1.1.2
湖南省汉寿县第三中学 制作人：艾镇南

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