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北师版七下数学第一章《整式的乘除》幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究
学习幂的运算性质应注意的几个问题
幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．在学习中应注意以下问题．
　　1．注意符号问题
　　例1 判断下列等式是否成立：
　　 ①(-x)2＝-x2，
　　 ②(-x3)＝-(-x)3，
　　 ③(x-y)2＝(y-x)2，
　　 ④(x-y)3＝(y-x)3，
　　 ⑤x-a-b＝x-(a+b)，
　　 ⑥x+a-b＝x-(b-a)．
　　解：③⑤⑥成立．
　　以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚．所有这些问题的解决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义．
　　2．注意幂的性质的混淆
　　 例如：(a5)2＝a7，a5·a2＝a10．
　　产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆．只一般地纠正错误是不能彻底解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，找出产生错误的根源．
　　3．注意幂的运算性质的逆用
　　四个运算性质反过来也是成立的．有创新精神的学生在解题时逆用性质，但大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带来很大的帮助．
　　例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．
　　 解：103m+2n＝(10m)3×(10n)2＝43×52＝1600．
　　例3 试比较355，444，533的大小．
　　解：∵355＝(35)11＝24311，
　　 444＝(44)11＝25611，
　　 533＝(53)11＝12511，
　　 而125＜243＜256，
　　 ∴533＜355＜444．
　　4．注意幂的意义与幂的运算性质的混淆
　　 例如：比较234与243的大小．
　　 错解：∵234＝212，243＝212，∴234＝243．
　　产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要弄清幂的意义．并与幂的性质进行比较．
　　例4 已知a＝234，b＝243，c＝324，d＝432，e＝423，则a、b、c、d、e的大小关系是( )
　　(A)a＝b＝d＝e＜c．
　　(B)a＝b＝d＝e＞c．
　　(C)e＜d＜c＜b＜a．
　　(D)e＜c＜d＜b＜a．
　　 解：a＝234＝281，b＝243＝264，c＝324＝316，d＝432＝49＝218，e＝423＝48＝216．
　　 而216＜218＜316＜264＜281．
　　 ∴e＜d＜c＜b＜a．
　　 故应选(C)．
你会巧用幂的运算法则吗？
幂的运算法则是进行整式乘除的基础，在应用中，如能注意以下技巧，常可获得妙解．
　　一、化成同底数幂进行计算
　　例1 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．
　　解：∵2m＝x-1，
　　 ∴ y＝3+4m
　　 ＝3+22m．
　　 ＝3+(2m)2
　　 ＝3+(x-1)2
　　 ＝x2-2x+4．
　　二、化成同指数幂进行计算
　　例2 比较3555、4444、5333的大小；
　　解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，
　　4444＝44×111＝(44)111＝256111，
　　5333＝53×111＝(53)111＝125111，
　　 又256＞243＞125，
　　 ∴5333＜3555＜4444．
　　例3 如果a≠0，b≠0且，(a+b)x＝(a-b)y，(a+b)y＝(a-b)x成立，那么x+y的值是_____．
　　(A)0． (B)1． (C)2． (D)不能确定．
　　解：将已知两等式相乘有
　　(a+b)x+y＝(a-b)x+y．
　　 又a≠0，b≠0，
　　 ∴a+b≠a-b，
　　 要使(a+b)x+y＝(a-b)x+y成立，只有x+y＝0，所以选(A)．
　　三、化成已知幂的形式进行计算
　　
　　　
　　 ∴53x+2y
　　 ＝53x·52y
　　 ＝(5x)3·(5y)2
　 　　
　 　　
　　
比 较 大 小
A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
B＝19981998
试比较A与B的大小．
分析：
　　(1)把A化简成B．∵1998+1997×1998＝1998×(1+1997)＝19982，这样反用乘法分配律，使1998的指数逐次增加1，和后面再反用乘法分配律，最后就化简成B．
　　(2)把B化成A
　　∵19981998＝1998×19981997
　　＝(1+1997)×19981997
　　＝19981997+1997×19981997
　　这是仅用同底数幂的性质，应用乘法分配律，把此过程继续下去就可由B得到A．
解：方法一
　　A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+19981996+1997×19981997
　　＝1998(1+1997)+1997×19982+ …+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19982(1+1997)+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19983+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝……
　　＝19981996+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19981996(1+1997)+1997×19981997
　　＝19981997+1997×19981997
　　＝19981997(1+1997)
　　＝19981998
　　∴A＝B
方法二
　　B＝19981998
　　＝1998×19981997
　　＝(1+1997)×19981997
　　＝19981997+1997×19981997
　　＝1998×19981996+1997×19981997
　　＝(1+1997)×19981996+1997×19981997
　　＝19981996+1997×19981996+1997×19981997
　　＝……
　　＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝1998×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝(1+1997)×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　∴A＝B
求 值
已知：3a·5b·7c·19d+1＝1996，其中a，b，c，d都是自然数，
计算：(a+b-c-d)1996之值．
分析：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996
∴3a·5b·7c·19d＝1995．
因为3、5、7、19是互质数，所以a、b、c、d的值是唯一确定的，只须把1995分解质因数．
1995＝3×5×7×19
∴a＝b＝c＝d＝1．此题可解
解：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996
∴3a·5b·7c·19d＝1995
∵1995＝3×5×7×19
∴a＝b＝c＝d＝1
∴ (a+b-c-d)1996
＝(1+1-1-1)1996
＝01996
＝0
在“整式乘除”教学中培养学生逆向思维
义务教育数学教学大纲明确指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心”在初中数学教学中主要是发展学生的逻辑思维能力，包括培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质．本文仅就在“整式乘除”一章的教学谈谈自己培养学生逆向思维的点滴做法，不妥之处请专家同行指正．
　　在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式计算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算正确．如果把公式反过来使用，就会化繁为简、化难为易．
　　一、在幂的运算性质教学中培养学生逆向思维
　　1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算．
　　例1 与anb2的积为3a2n+1b2n+1的单项式是______．
例2 如果M÷3xy＝－xn+1＋，则M＝ ．
　　例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆来解答．
　　例3 已知2a＝3，2b＝5，求2a+b．
　　本题如果想先求出a、b的值，再代入2a+b中求值，是很难办到的，初一学生无法进行，但若将同底数幂乘法的性质反过来用，就得到2a+b＝2a·2b，这样问题就迎刃而解了．
　　2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用．
　　例4 计算（－3）1995×（）1997
观察两个幂的底数，－3和呈互为负倒数关系，积为－1，于是可联想到将积的乘方的性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法性质逆用一次，得到（－3）1995×（）1995×（）2，这样问题就解决了．　　
　　该题在学习整式除法这一内容后，还可将负指数幂的性质逆用，也可得解．
　　　　
　　 ＝-31995·(3-1)1997
　　 ＝-31995·3-1997
　　 ＝-3-2
　　
　　 　
平方差公式与完全平方公式
公式透析
平方差公式：特点是相乘的两个二项式中，a表示的是完全相同的项，+b和-b表示的是互为相反数的两项。所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
完全平方公式：注意不要漏掉2ab项
典例解析
例1：下列各式可以用平方差公式的是（ ）
例2:如何用公式计算

例3：已知
综合应用
1.按图中所示的方式分割正方形，你能得到什么结论

b a x y







2.观察下列各式,你会发现什么规律,用只含一个字母n的式子表示出来.


3).

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