资源简介

北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全
活用乘法公式
　　乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．
　　一、对号a、b，正确运用
　　例1 计算(-2+3x)(-2-3x)．
　　分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．
　　解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．
　　二、适当变形，灵活运用
　　例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
　　分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．
　　解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕
　　 = (2x+5)2-(y-z)2
　　 = 4x2+20x+25-y2+2yz-z2．
　　三、分析情况，合理选用
　　例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．
　　分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．
　　解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕
　　 = (8a3+1)(8a3-1)=64a6-1
　　四、创造条件，巧妙应用
　　例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．
　　分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．
　　解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)
　　=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕
　　=(5a+2c)2-(3b-4c)2
　　=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2
　　=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．
　　五、避繁就简，逆向运用
　　例5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2
　　分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．
　　解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．
　　六、明确联系，综合运用
　　乘法公式的主要变式有：
　　①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；
　　②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；
　　③(a+b)2-(a-b)2=4ab；
　　④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
　　熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．
　　例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．
　　解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．
　　∵a+b=5，ab=2
　　∴(a-b)2=52-4×2=17．
逆用乘法公式解题
　 1 平方差公式
　　(a+b)(a-b)=a2-b2
　　2 完全平方公式
　　(a±b)2=a2±2ab+b2
　　3 立方和（差）公式
　　
　　它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的基础，所以，同学们不仅要会正向运用，还要熟练地逆向运用．
　　1．逆用平方差公式
　　
　　　
　　解 原式
　　　
　　　
　　
　　　
　　故选(D)
　　
　　解 对分母逆用平方差公式，得
　　分母=(100319912-1)+(199319932-1)
　　=19931992×19931990+19931994×19931992
　　=19931992×[(19931992-2)+(19931992+2)]
　　=2×199319922
　　
　　例3 计算
　　19902-19892+19882-19872+…+22-1
　　　解 原式
　　=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)
　　=(1990+1989)+(1988+1987)+…+(2+1)
　　=1990+1989+1988+1987+…+2+1
　　
　　　
　　=1981045
　　2．逆用完全平方公式
　　例4 计算
　　1.23452+0.76552+2.469×0.7655
　　解 原式
　　=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552
　　=(1.2345+0.7655)2
　　=22=4
　　 例5 已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值是_______．
　　解 逆用完全平方公式得
　　　
　　　
　　　
　　
　　　
　　3．逆用立方和（差）公式
　　例6 已知a+b=2，那么a3+6ab+b3=______　　
　　解 原式=a3+b3+6ab
　　 =(a+b)(a2-ab+b2)+6ab
　　 =2(a2-ab+b2)+6ab
　　 =2a2+4ab+b2
　　=2(a+b)2=2×22=8
　
　　　解 设a=11111，则
　　
　　
　　
　　　
　　4．逆用多个公式
　　例8 若a=19952+19952·19962+19962
　　求证：a是一个完全平方数．
　　证明 a=19952+19952×19962+19962
　　=19952×19962+19952-1+19962+1
　　=19952×19962+1996×1994+19962+1
　　=19952×19962+1996(1994+1996)+1
　　=(1995×1996)2+2·1995·1996+1
　　=(1995×1996+1)2
　　∴a是一个完全平方数
　　例9 已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个数是 [ ]
　　A．41,48 B．45,47
　　C．43,48 D．41,47
　　解 724-1
　　=(712+1)(76+1)(73+1)(73-1)
　　=(712+1)(76+1)(7+1)
　　(72-7+1)(7-1)(72+7+1)
　　=(712+1)(76+1)×8×43×6×57
　　=(712+1)(76+1)×43×48×57
　　故应选(C)
活用乘法公式的“八先”
　　运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简．
　　一、先结合后用公式
　　例1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)．
　　分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算．
　　解： 原式=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]
　　　　=(a-d)2 -(b-c)2
　　　　=a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2 ．
　　二、先活用运算律后用公式
　　
　　分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便．
　　
　　三、先逆用法则后用公式
　　例3 计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2 ．
　　分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =
　　a2 b2 c2 ，再利用平方差公式计算较简捷．
　　解： 原式=[(x-y)(x+y)(x2 +y2 )]2
　　　　=[(x2 -y2 )(x2 +y2 )]2
　　　　=(x4 -y4 )2
　　　　=x8-2x4 x4 +y8．
　　四、先拆项后用公式
　　例4 计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)．
　　分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见．
　　解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)
　　　　=[(5y+1)+(2x-4)][(5y+1)-(2x-4)]
　　　　=(5y+1)2 -(2x-4)2
　　　　=25y2 +10y-4x2 +16x-15．
　　五、先增添因式后用公式
　　例5 计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)．
　　分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算．
　　解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)
　　　　=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)
　　　　=(29-1)(218+29+1)
　　　　=22 7-1．
　　六、先换元后用公式
　　例6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．
　　分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．
　　解：原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]
　　　　=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)
　　设a=x2 +5x+5，则
　　原式=(a-1)(a+1)=a2 -1
　　　　=(x2 +5x+5)2 -1
　　　　=x4 +10x3 +35x2 +50x+24．
　　说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc．
　　七、先变换所求式后用公式
　　例7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca的值是______．
　　分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算．
　　解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则
　　　
　　
　　　
　　八、先添项后用公式
　　例8 若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．
　　分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2 中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]2 ，然后运用公式计算．
　　解：∵(z-x)2 -4(x-y)(y-z)
　　=[(z-y)+(y-z)]2 -4(z-y)(y-x)
　　=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2
　　=[(z-y)-(y-x)]2 =(x+z-2y)2 =0，
　　∴x+z-2y=0．
　　∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．

展开更多......

收起↑