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例谈简单不定方程（组）的计算机程序语句及其初等解法
湖南省衡阳市衡山县德华盛星源高级中学
高中数学教师欧阳文丰
（为纪念即将退出高中数学教材的《必修三第一章算法初步》而作）
摘 要：本文是以古代数学文化中的不定方程（组）问题的算法为例，引导学生利用发散式思维，通过一题多解方式拓展学生思考维度。从计算机程序语句方面来看，运用较复杂的循环语句来处理是学生不难理解和接受。尝试编写程序语句来求解，使学生感受到现代科技在数学上带来的革命。在引入欧几里德的辗转相除法和贝祖等式的前提下，适当采用初等数论知识进行转化，通过不等式约束条件等途径，从而寻求多种解决途径。总之，在强化学生的数学素养之际，同时赋予学生数学文化的薰陶。
关键词：不定方程（组）计算机程序语句初等解法
二十世纪中叶以来，由于计算机的发展和世界各国数学家的努力下，计算机成为数学的工具已达成共识。值得中国人骄傲的是， 1959年美藉华裔数学家王浩率先提出了“走向数学的机械化”口号。作为高中数学《必修三第一章算法初步》的课程设置正是“教育面向现代化、 面向世界、面向未来”的高瞻远瞩的重要举措。
毫无疑问，方程的思想是中学数学的重要思想。高中数学《必修三》教材恰巧在方程的思想基础上导入算法的基础知识。本文秉承古代算法的核心素养思想来诠释不定方程（组）及其解法，从而引导学生达到既能运用计算机程序语言处理，又能运用方程本身的转化思维的初等方法来解答简单不定方程（组）问题。下面通过几个例题加以说明：
例题1求方程的所有正整数解。
解法一：计算机程序解法；
由题意得，， 。具体计算机程序语句如下：
x=1
WHILE x<=40
y=1
WHILE y<=28
IF 7*x+10*y=280 THEN
PRINT x, y
END IF
y=y+1
WEND
x=x+1
WEND
END
解法二：辗转相除法和贝祖等式在解二元一次不定方程上的应用；
求的辗转相除法如下表
2
7
10
1

6
7
1
3
3
3
0
由贝祖等式可得：
所以，
则满足方程的一切整数解为：
，其中 t是整数。
由题意知，所以
解这个不等式组得：
解法三：转化约束条件的初等解法。
由原方程得: ，因为x和y都是正整数，所以：令, 则。
所以；解这个不等式组得： 。
即。
（1）；
（2）；
（3）。
例题2求不定方程 的正整数解。
解法一：转化为二元一次不定方程求解。
令， 则： .
由题意知， ; 则：
当时， , 而在正整数解的条件下是无解；
当时， ,的正整数解为： ;
当时，, 的正整数解为： 。
综上所述， 。
解法二：计算机程序解法；
x=1
WHILE x<=11
y=1
WHILE y<=7
z=1
WHILE z<=3
IF 2*x+3*y+7*z=23 THEN
PRINT x, y, z
END IF
z=z+1
WEND
y=y+1
WEND
x=x+1
WEND
END
例题3（中国古代《张邱建算经》里的百鸡百钱问题）今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱， 小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
解法一：转化约束条件的初等解法；
设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组
/
×3－②： ③
由③得： ; 令, 则： ；其中k为正整数。把， 代入②得： .
由题意可得， ；即： 解这个不等式组得：
, 即.
解法二：转化为辗转相除法和贝祖等式在解二元一次不定方程上的应用
③
求的辗转相除法如下表
1
7
4
1
4
3
3
3
1
3
0
由贝祖等式可得： ;
所以， ；
则满足方程的一切正整数解为：
，其中 t是正整数。
由题意知，，所以
解这个不等式组得： 。
解法三：计算机程序解法。
x=1
WHILE x<=20
y=1
WHILE y<=33
z=1
WHILE z<=100 AND z>=47
IF 5x+3y+1/3z=100 AND x+y+z=100 THEN
PRINT x,y,z
END IF
z=z+1
WEND
y=y+1
WEND
x=x+1
WEND
END
通过上面三个例题的学习，我们不难总结出其中的数学思想。计算机程序语句解答简单不定方程（组）的思路是通过多层循环结构语句，并同时嵌套条件结构语句来处理。其逻辑结构具有一定的复杂性，需要在加深理解的基础上，正确运用程序语句书写。简单不定方程（组）的初等解法是建立在化归的数学思想基础上，利用约束条件通过解不等式组来处理或者运用辗转相除法和贝祖等式的相关算法以及二元一次不定方程的通解来进行代数的计算。诚如前苏联国家元首加里宁说过: “数学是思维的体操。”?本文所示范的这些求解简单不定方程（组）的方法，都是操练学生数学思维的有利工具。
湖南省衡阳市衡山县德华盛星源高级中学
高中数学教师欧阳文丰撰写

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