资源简介

普通高中
数学课程标准
（2017年版)
中华人民共和国教育部制定














前言
党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。”
基础教育课程承载着党的教育方针和教育思想，规定了教育目标和教育内容，是国家意志在教育领域的直接体现，在立德树人中发挥着关键作用。

2013年，教育部启动了普通高中课程修订工作。本次修订深入总结21世纪以来我国普通高中课程改革的宝贵经验，充分借鉴国际课程改革的优秀成果，努力将普通高中课程方案和课程标准修订成既符合我国实际情况，又具有国际视野的纲领性教学文件，构建具有中国特色的普通高中课程体系。
一、修订工作的指导思想和基本原则
（一）指导思想
以马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，深入贯彻党的十八大、十九大精神，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，以社会主义核心价值观统领课程改革，着力提升课程思想性、科学性、时代性、系統性、指导性，推动人才培养模式的改革创新，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。
（二）基本原则
1．坚持正确的政治方向。坚持党的领导，坚持社会主义办学方向，充分体现马克思主义的指导地位和基本立场，充分反映习近平新时代中国特色社会主义思想，有机融入坚持和发展中国特色社会主义、培育和践行社会主义核心价值观的基本内容和要求，继承和弘扬中华优秀传统文化、革命文化，发展社会主义先进文化，加强法治意识、国家安全、民族团结、生态文明和海洋权益等方面的教育，培养良好政治素质、道德品质和健全人格，使学生坚定中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信和文化自信，引导学生形成正确的世界观、人生观、价值观。
2．坚持反映时代要求。反映先进的教育思想和理念，关注信息化环境下的教学改革，关注学生个性化、多样化的学习和发展需求，促进人才培养模式的转变，着力发展学生的核心素养。根据经济社会发展新变化、科学技术进步新成果，及时更新教学内容和话语体系，反映新时代中国特色社会主义理论和建设新成就。
3．坚持科学论证。遵循教育教学规律和学生身心发展规律，贴近学生的思想、学习、生活实际，充分反映学生的成长需要，促进每个学生主动地、生动活泼地发展。加强调查研究和测试论证，广泛听取相关领域人员的意见建议，重大问题向权威部门、专业机构、知名专家学者咨询，求真务实，严谨认真，确保课程内容科学，表述规范。
4．坚持继承发展。对十余年普通高中课程改革实践进行系统梳理，总结提炼并继承已有经验和成功做法，确保课程改革的连续性。同时，发现并切实面对改革过程中存在的问题，有针对性地进行修订完善，在继承中前行，在改革中完善，使课程体系充满活力。
二、修订的主要内容和变化
（一）关于课程方案
1．进一步明确了普通高中教育的定位。我国普通高中教育是在义务教育基础上进一步提高国民素质、面向大众的基础教育，任务是促进学生全面而有个性的发展，为学生适应社会生活、高等教育和职业发展作准备，为学生的终身发展奠定基础。普通高中的培养目标是进一步提升学生综合素质，着力发展核心素养，使学生具有理想信念和社会责任感，具有科学文化素养和终身学习能力，具有发展能力和沟通合作能力。
2．进一步优化了课程结构。一是保留原有学习科目，调整外语规划语种，在英语、日语、俄语基础上，增加德语、法语和西班牙语。二是将课程类别调整为必修课程、选择性必修课程和选修课程。在保证共同基础的前提下，为不同发展方向的学生提供有选择的课程。三是进一步明确各类课程的功能定位，与高考综合改革相衔接：必修课程根据学生全面发展需要设置，全修全考；选择性必修课程根据学生个性发展和升学考试需要设置，选修选考；选修课程由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习，学而不考或学而备考，为学生就业和高校招生录取提供参考。四是合理确定各类课程学分比例，在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分，既保证基础性，又兼顾选择性。
3．强化了课程有效实施的制度建设。进一步明确课程实施环节的责任主体和要求，从课程标准、教材、课程规划、教学管理，以及评价、资源建设等方面，对国家、省（自治区、直辖市）、学校分别提出了要求。增设“条件保障”部分，从师资队伍建设、教学设施和经费保障等方面提出具体要求。增设“管理与监督”部分，强化各级教育行政部门和学校课程实施的责任。
（二）关于学科课程标准
1．凝练了学科核心素养。中国学生发展核心素养是党的教育方针的具体化、细化。为建立核心素养与课程教学的内在联系，充分挖掘各学科课程教学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人的根本任务、发展素质教育的独特育人价值，各学科基于学科本质凝练了本学科的核心素养，明确了学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力，对知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标进行了整合。课程标准还围绕核心素养的落实，精选、重组课程内容，明确内容要求，指导教学设计，提出考试评价和教材编写建议。
2．更新了教学内容。进一步精选了学科内容，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实。结合学生年龄特点和学科特征，课程内容落实习近平新时代中国特色社会主义思想，有机融入社会主义核心价值观，中华优秀传统文化、革命文化和社会主义先进文化教育内容，努力呈现经济、政治、文化、科技、社会、生态等发展的新成就、新成果，充实丰富培养学生社会责任感、创新精神、实践能力相关内容。
3．研制了学业质量标准。各学科明确学生完成本学科学习任务后，学科核心素养应该达到的水平，各水平的关键表现构成评价学业质量的标准。引导教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心素养，更加强调提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，帮助教师和学生把握教与学的深度和广度，为阶段性评价、学业水平考试和升学考试命题提供重要依据，促进教、学、考有机衔接，形成育人合力。
4．增强了指导性。本着为编写教材服务、为教学服务、为考试评价服务的原则，突出课程标准的可操作性，切实加强对教材编写、教学实施、考试评价的指导。课程标准通俗易懂，逻辑更清晰，原则上每个模块或主题由“内容要求”“教学提示”“学业要求”组成，大部分学科增加了教学与评价案例，同时依据学业质量标准细化评价目标，增强了对教学和评价的指导性。
本次修订是深化普通高中课程改革的重要环节，直接关系育人质量的提升。普通高中课程方案和课程标准必须在教育教学实践中接受检验，不断完善。可以预期，广大教育工作者将在过去十余年改革的基础上，在丰富而生动的教育教学实践中，不断提高课程实施水平，推动普通高中课程改革不断深化，共创普通高中教育的新辉煌，为实现国家教育现代化、建设教育强国作出新贡献。






目 录
一、课程性质与基本理念……………………………………………………1
（一）课程性质/1
（二）基本理念/1
二、学科核心素养与课程目标………………………………………………3
（一）学科核心素养/3
（二）课程目标/5
三、课程结构…………………………………………………………………6
（一）设计依据/6
（二）结构/6
（三）学分与选课/7
四、课程内容…………………………………………………………………8
（一）必修课程/8
（二）选择性必修课程/23
（三）选修课程/32
五、学业质量 ………………………………………………………………48
（一）学业质量内涵/48
（二）学业质量水平/48
（三）学业质量水平与考试评价的关系/51
六、实施建议…………………………………………………………………52
（一）教学与评价建议/52
（二）学业水平考试与高考命题建议/57
（三）教材编写建议/58
（四）地方与学校实施课程标准的建议/61
附录……………………………………………………………………………65
附录1 数学学科核心素养的水平划分/65
附录2 教学与评价案例/71








一、课程性质与基本理念
（一）课程性质
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学与人类生活和社会发展紧密关联。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面。随着现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到很大的提升，伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，这使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展。数学直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展。
数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养。
数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。
高中数学课程是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性、选择性和发展性。必修课程面向全体学生，构建共同基础；选择性必修课程、选修课程充分考虑学生的不同成长需求，提供多样性的课程供学生自主选择；高中数学课程为学生的可持续发展和终身学习创造条件。
（二）基本理念
1.学生发展为本，立德树人，提升素养
高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
2.优化课程结构，突出主线，精选内容
高中数学课程体现社会发展的需求、数学学科的特征和学生的认知规律，发展学生数学学科核心素养。优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择；突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法；精选课程内容，处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透。
3.把握数学本质，启发服考，改进教学
高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性。不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审关价值。
4.重视过程评价，聚焦素养，提高质量
高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，制定科学合理的学业质量要求，促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成。评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程。开发合理的评价工具，将知识技能的掌握与数学学科核心素养的达成有机结合，建立目标多元、方式多样、意视过程的评价体系。通过评价，提高学生学习兴趣，帮助学生认识自我，增强自信；帮助教师改进教学，提高质量。


















二、学科核心素养与课程目标
（一）学科核心素养
学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。学-科网
1.数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。
2.逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。
3.数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。
数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
4.直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。
5.数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。
数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。
数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
6.数据分析
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。
数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。
数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。
通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
（二）课程目标
通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。
通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。













三、课程结构
（一）设计依据
1．依据高中数学课程理念，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展。
2．依据高中课程方案，借鉴国际经验，体现课程改革成果，调整课程结构，改进学业质量评价。
3．依据高中数学课程性质，体现课程的基础性、选择性和发展性，为全体学生提供共同基础，为满足学生的不同志趣和发展提供丰富多样的课程。
4．依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化。
（二）结构
高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程。数学文化融入课程内容。高中数学课程结构如下：

说明：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。
（三）学分与选课
1．学分设置
必修课程8学分，选择性必修课程6学分，选修课程6?学分。
选修课程的分类、内容及学分如下。
A?类课程包括微积分、空间向量与代数、概率与统计三个专题，其中微积分2.5学分，空间向量与代数2学分，概率与统计1.5?学分。供有志于学习数理类(如数学、物理、计算机、精密仪器等)专业的学生选择。
B类课程包括微积分、空间向量与代数、应用统计、模型四个专题,其中微积分2学分，空间向量与代数1学分，应用统计2学分，模型1学分。供有志于学习经济、社会类(如数理经济、社会学等)和部分理工类(如化学、生物、机械等)?专业的学生选择。
C?类课程包括逻辑推理初步、数学模型、社会调查与数据分析三个专题，每个专题2学分。供有志于学习人文类(如语言、历史等)专业的学生选择。
D类课程包括美与数学、音乐中的数学、美术中的数学、体育运动中的数学四个专题，每个专题1学分。供有志于学习体育、艺术(包括音乐、美术)?类等专业的学生选择。
E?类课程包括拓展视野、日常生活、地方特色的数学课程，还包括大学数学先修课程等。大学数学先修课程包括三个专题:微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计，每个专题6?学分。
2．课理定位
必修课程为学生发展提供共同基础。是高中毕业的数学学业水平考试的内容要求，也是高考的内容要求。
选择性必修课程是供学生选择的课程，也是高考的内容要求。
选修课程为学生确定发展方向提供引导,为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择,为大学自主招生提供参考。
3．选课说明
如果学生以高中毕业为目标，可以只学习必修课程，参加高中毕业的数学学业水平考试。
如果学生计划通过参加高考进入高等学校学习，必须学习必修课程和选择性必修课程。参加数学高考。
如果学生在上述选择的基础上，还希望多学习一些数学课程，可以在选择性必修课程或选修课程中，根据自身未来发展的需求进行选择。
在选修课程中可以选择某一类课程，例如，A?类课程;?也可以选择某类课程中的某个专题，例如，E?类大学先修课程中的微积分;还可以选择某些专题的组合，例如，D?类课程中的美与数学、C类课程中的社会调查与数据分析等.
四、课程内容
（一）必修课程
必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容。
必修课程共8学分144课时，表1给出了课时分配建议，教材编写、教学实施时可以根据实际作适当调整。
表1　必修课程课时分配建议表
主题 单元 建议课时
主题一 预备知识 集合 18
常用逻辑用语
相等关系与不等关系
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
主题二 函数 函数概念与性质 52
幂函数、指数函数、对数函数
三角函数
函数应用
主题三 几何与代数 平面向量及其应用 42
复数
立体几何初步
主题四 概率与统计 概率 6
统计
主题五 数学建模活动与数学探究活动 数学建模活动与数学探究活动 6
机动 6

主题一　预备知识
以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。
【内容要求】
内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。
1．集合
在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。
（1）集合的概念与表示
①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。
②针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。
③在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（2）集合的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
2．常用逻辑用语
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
内容包括：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定。
（1）必要条件、充分条件、充要条件
①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
（2）全称量词与存在量词
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
（3）全称量词命题与存在量词命题的否定
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
3．相等关系与不等关系
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异,掌握基本不等式。
内容包括：等式与不等式的性质、基本不等式。
（1）等式与不等式的性质
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。
（2）基本不等式
理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。
4．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。
内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。
（1）从函数观点看一元二次方程
会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
（2）从函数观点看一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（参见案例1）。
【教学提示】
初中阶段数学知识相对具体，高中阶段数学知识相对抽象。教师应针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡，包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等方面。
在集合、常用逻辑用语的教学中，教师应创设合适的教学情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的相应数学内容。应引导学生理解属于关系是集合的基本关系，了解元素A与元素A组成的集合{A}的差异，即,A与{A}不相同。在梳理过程中，可以针对学生的实际布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。
在相等关系与不等关系的教学中，应引导学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一参探索等式与不等式的共性与差异。
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的教学中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，引导学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式概念；然后进一步引导学生探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序。
教学中，要根据内容的定位和教育价值，关注数学学科核心素养的培养。要让学生逐渐养成借助直观理解概念，进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习。
【学业要求】
能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。掌握集合的基本关系与基本运算。在数学表达中的作用。
能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟函数学知识之间的关联，认识函数的重要性。掌握等式与不等式的性质。
重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。
主题二　函数
函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。
【内容要求】
内容包括：函数概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用。
1．函数概念与性质
本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
内容包括：函数概念、函数性质、?*[1]函数的形成与发展。
（1）函数概念
①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
（2）函数性质
①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。
③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。
（3）*函数的形成与发展（[1]标有*的内容为选学内容，不作为考试要求。）
收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
2．幂函数、指数函数、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。
（1）幂函数
通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
（2）指数函数
①通过对有理指数幂 、实数指数幂（a>0,且，a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。
②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。
③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
（3)对数函数
①理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
②通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③知道对数函数与指数函数 互为反函数（a＞0，且a≠1）。　
④*收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明
的过程以及对数对简化运算的作用。
3．三角函数
三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。
内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
（1）角与弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（参见案例3）。
（2）三角函数概念和性质
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）。
②借助图象理解正弦函数在、余弦函数上、正切函数在 上的性质。
③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
（3）同角三角函数的基本关系式
理解同角三角函数的基本关系式。
（4）三角恒等变换
①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。
（5）三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型（参见案例4）。
4．函数应用
函数应用不仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决实际问题。本单元的学习，可以帮助学生掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。
内容包括：二分法与求方程近似解、函数与数学模型。
（1）二分法与求方程近似解
①结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系。
②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。
（2）函数与数学模型
①理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
②结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。
③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。
【教学提示】
教师应把本主题的内容视为一个整体，引导学生从变量之间依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数概念；通过梳理函数的单调性、周期性、奇偶性（对称性）、最大（小）值等，认识函数的整体性质；经历运用函数解决实际问题的全过程。
函数概念的引入，可以用学生熟悉的例子为背景进行抽象。例如，可以从学生已知的、基于变量关系的函数定义入手，引导学生通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次。
函数单调性的教学，要引导学生正确地使用符号语言刻画函数最本质的性质———单调性（参见案例5）。在函数定义域、值域以及函数性质的教学过程中，应避免编制偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练。
指数函数的教学，应关注指数函数的运算法则和变化规律，引导学生经历从整数指数到有理指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律。
对数函数的教学，应通过比较同底数的指数函数和对数函数（例如和），认识它们互为反函数。
三角函数的教学，应发挥单位圆的作用，引导学生结合实际情境，借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质（参见案例6）。在三角恒等变换的教学中，可以采用不同的方式得到三角恒等变换基本公式；也可以在向量的学习中，引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
函数应用的教学，要引导学生理解如何用函数描述客观世界事物的变化规律，体会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数与现实世界的密切联系（参见案例7）。
鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等（参见案例8）。
可以组织学生收集、阅读函数的形成与发展的历史资料，结合内容撰写报告，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【学业要求】
能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度，理解函数的意义与数学表达；理解函数符号表达与抽象定义之间的关联，知道函数抽象概念的意义。
能够理解函数的单调性、最大（小）值，了解函数的奇偶性、周期性；掌握一些基本函数类（一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的背景、概念和性质。
能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题；能够从函数的观点认识方程，并运用函数的性质求方程的近似解；能够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不等式。
重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。
主题三　几何与代数
几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
【内容标准】
内容包括：平面向量及其应用、复数、立体几何初步。
1．平面向量及应用
向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。
内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用。
（1）向量概念
①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。
②理解平面向量的几何表示和基本要素。
（2）向量运算
①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）。
⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（3）向量基本定理及坐标表示
①理解平面向量基本定理及其意义。
②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。
④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。
⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。
（4）向量应用与解三角形
①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。
②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。
③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
2．复数
复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用。本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。
内容包括：复数的概念、复数的运算、*复数的三角表示。
（1）复数的概念
①通过方程的解，认识复数。
②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。
（2）复数的运算
掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。
（3）*复数的三角表示
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。
3．立体几何初步
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。
内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展。
（1）基本立体图形
①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。
（2）基本图形位置关系
①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理。
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。
◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
◆两个平面平行，若果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。
◆若果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。
（3）*几何学的发展
收集、阅读几何发展的历史资料，撰写小论文，论述几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【教学提示】
在平面向量及其应用的教学活动中，应从力、速度、加速度等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异，可以通过力的分解引出向量基本定理，建立基底的概念和向量的坐标表示；可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所作的功，利用向量解决与平面内两条直线平行或垂直有关的问题等。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。
在复数的教学中，应注重对复数的表示及几何意义的理解，避免繁琐的计算与技巧训练。对于有余力的学生，可以安排一些引申内容，如复数的三角表示等。可以适当地融入数学文化，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用（参见案例10）。
立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。通过对图形的观察和操作，引导学生发现和提出描述基本图形平行、垂直关系的命题，逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，直观解释命题的含义和表述证明的思路，并证明其中一些命题，对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选择性必修课程中将用向量方法对这些定理加以论证。
可以使用信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）提供直观。教师可以指导和帮助学生选择一些立体几何问题作为数学探究活动的课题（参见案例11）。
可以组织学生收集、阅读几何学发展的历史资料，结合内容撰写报告，论述几何学发展过程中的重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【学业要求】
能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系。
能够理解复数的概念，掌握复数代数表示式的四则运算。
能够通过直观图理解空间图形，掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简单的实际问题。能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果。能够证明简单的几何命题（平行、垂直的性质定理），并会进行简单应用。
重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和教学抽象素养。
主题四 概率与统计
概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。统计的研究对象是数据，核心是数据分析。概率为统计的发展提供理论基础。
【内容要求】
内容包括：概率、统计。
1．概率
本单元的学习，可以帮助学生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解。
内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性。
（1）随机事件与概率
①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系（参见案例12）。了解随机事伴的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算。
②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中筒单随机事件的概率。
③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。
④结合实例，会用频率估计概率。
（2）随机事件的独立性
结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型，利用独立性计算概率。
2．统计
本单元的学习，可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法，通过具体实例，感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验。
内容包括：获取数据的基本途径及相关概念、抽样、统计图表、用样本估计总体。
（1）获取数据的基本途径及相关概念
①知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等。
②了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性。
（2）抽样
①简单随机抽样
通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法。会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系。
②分层随机抽样
通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法。结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差（参见案例13）。
③抽样方法的选择
在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题。
（3）统计图表
如根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性。
（4）用样本估计总体
①结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义。
⑦结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义。
③结合实例，能用样本估计总体的取值规律。
④结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义（参见案例14）。
【教学提示】
在概率的教学中，应引导学生通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义。在随机事件和样本空间的教学中，应引导学生通过古典概型，认识样本空间，理解随机事件发生的含义；理解古典概型的特征，试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，知道只有在这种特征下，才能定义出古典概型中随机事件发生的概率。教学中要适当介绍基本计数方法（如树状图、列表等），计算古典概率中随机事件发生的概率。
在统计的教学中，应引导学生根据实际问题的需求，选择不同的抽样方法获取数据，理解数据蕴含的信息，根据数据分析的需求，选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取需要的数字特征，估计总体的统计规律，解决相应的实际问题．对统计中的基本概念（如总体、样本、样本量等），应结合具体问题进行描述性说明，在此基础上适当引入严格的定义，并利用数字特征（平均值、方差等）和数据直观图表（直方图、散点图等）进行数据据分析。
统计学的教学活动应通过典型案例进行。教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，在此过程中学习数据分析的方法，理解数据分析的思路，运用所学知识和方法解决实际问题。
可以鼓励学生尽可能运用计算器、计算机进行模拟活动，处理数据，更好地体会概率的意义和统计思想。例如，利用计算器产生随机数来模拟掷硬币试验等，利用计算机来计算样本量较大的数据的样本均值、样本方差等。
【学业要求】
能够掌握古典概率的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题。能够借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件，以及随机事件的概率。
能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，并从中提取需要的数字特征推断总体，能够正确运用数据分析的方法解决简单的实际问题。
能够区别统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异。能够结合具体问题，理解统计推断结果的或然性，正确运用统计结果解释实际问题。
重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。
主题五 数学建模活动与数学探究活动
【内容要求】
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建摸活动是基本数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。
数学建模活动的基本过程如下：

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容。
数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展，在必修课程中，要求学生完成其中的一个课题研究．
【教学提示】
课题可以由教师给定，也可以由学生与教师协商确定，课题研究的过程包括选题、开题，做题、结题四个环节。学生需要撰写开题报告，教师要组织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等。做题是解决问题的过程，包括描述问题、教学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等。结题包括撰写研究报告和报告研究结果，由教师组织学生开展结题答辩。根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式（参见案例15）
在数学建模活动与数学探究活动中，鼓励学生使用信息技术。
【学业要求】
经历数学建模活动与数学探究活动的全过程，整理资料，撰写研究报告或小论文，并进行报告、交流。对于研究报告或小论文的评价，教师应组织评价小组，可以邀请校外专家、社会人士、家长等参与评价，也可以组织学生互评。教师要引导学生遵循学术规范，坚守诚信底线。研究报告或小论文及其评价应存入学生个人学习档案，为大学招生提供参考和依据。学生可以采取独立完成或者小组合作（2~3人为宜）的方式，完成课题研究（参见案例19）。
重点提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观形象素养。
（二）选择性必修课程
选择性必修课程包括四个主题，分别是函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容。
选择性必修课程共6学分108课时，表2给出了课时分配建议，教材编写、教学实施时可以根据实际作适当调整。
表2 选择性必修课程课时分配表
主题 单元 建议课时
主题一 函数 数列 30
一元函数导数及其应用
主题二 几何与代数 空间向量与立体几何 44
平面解析几何
主题三 概率与统计 计数原理 26
概率
统计
主题四 数学建模活动 与数学探究活动 数学建模活动 与数学探究活动 4
机动 4

主题一 函数
在必修课程中，学生学习了函数的概念和性质，总结了研究函数的整本方法，掌握了一些具体的基本函数类，探索了函数的应用。在本主题中，学生将学习数列和一元函数导数及其应用。数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想，导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具。
【内容要求】
内容包括：数列、一元函数导数及其应用。
1．数列
本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式：能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性。
内容包括，数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法。
（1）数列概念
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
（2）等差数列
①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情填中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
④体会等差数列与一元一次函数的关系。
（3）等比数列
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
（4）*数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。
2.一元函数导数及其应用
本单元的学习，可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念，希握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题。
内容包括：导数概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用、*微积分的创立与发展。
（1）导数概念及其意义
①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。
②体会极限思想。
③通过函数图象直观理解导数的几何意义。
（2）导数运算
①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数。
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。
②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。
（4）*微积分的创立与发展
收集、阅读对最积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些量要历史人物（牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）和事件，采取独立完成或者小组合作的方式。完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告。
【教学提示】
在数列的教学中，应引导学生通过具体实例（如购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），理解等差数列、等比数列的概念、性质和应用，引导学生掌握数列中各个量之间的基本关系。应特别强调数列作为一类特殊的函数在解决实际问题中的作用，突出等差数列、等比数列的本质，引导学生通过类比的方法探索等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，加深对数列及函数概念的理解。
在教学中可以组织学生收集、阅读数列方面的研究成果，特别是我国古代的优秀研究成果，如“杨辉三角”、《四元玉鉴》等，撰写小论文，论述数列发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献，感悟我国古代数学的辉煌成就。
在一元函数导数及其应用的教学中，应通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念，例如斜率、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等，应引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数是如何刻画瞬时变化率的，感悟极限的思想；应引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义。学生对导数概念的理解不可能一步到位，导数概念的学习应该贯穿在一元函数导数及其应用学习的始终。一般地，在高中阶段研究与导数有关的问题中，涉及的函数部是可导函数。
在教学中可以组织学生收集、阅读微积分创立与发展的历史资料，撰写小论文，论述微积分创立与发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【学业要求】
能够结合具体实例，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这类函数的解析表达式；通过等差数列和等比数列的研究，感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型。掌握通项公式与前n项和公式的关系；能够运用数列解决筒单的实际问题。
能够通过具体情境，直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思都是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质。理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求筒单函数和简单复合函数的导数。能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题。知道微积分创立过程，以及微积分对数学发展的作用。
重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养。
主题二 几何与代数
在必修课程学习平面向量的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系。解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础。本主题将学习平面解析几何，通过建立坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应方程；用代数方法研究它们的几何性质，体现形与数的结合。
【内容要求】
内容包括：空间向量与立体几有、平面解析几何。
1．空间向量与立体几何
本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用。
（1）空间直角坐标系
①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标。
探索并得出空间两点间的距离公式。
（2）空间向量及其运算
①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
（3）向量基本定理及坐标表示
①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）。
（4）空间向量的应用
①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。
④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题（参见案例16）和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
2．平面解析几何
本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、围、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。
（1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。
（3）圆锥曲线与方程
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。
（4）*平面解析几何的形成与发展
收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，撰写小论文、论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【教学提示】
本主题的研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法。
在空间向量与立体几何的教学中，应重视以下两方面；第一，引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广过程，探素空间向量与平面向量的共性和差异，引发学生思考维数增加所带来的影响：第二，鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法，从不同角度解决立体几何问题（如距离间题），通过对比体会向量方法的优势。在上述过程中，引导学生理解向量基本定理的本质，感悟“基”的思想，并运用它解决立体几何中的问题。
在平面解析几何的教学中，应引导学生经历以下过程：首先，通过实例了解几何图形的背景，例如，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用；进而，结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题，例如，两点决定一条直线，椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹等，再结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题。
应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。在教学中，可以组织学生收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
【学业要求】
能够理解空间向量的概念、运算、背景和作用；能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力；能够掌握空间向量基本定理，体会其作用，并能简单应用；能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的想路。
能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。
能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题。
重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
主题三　概率与统计
本主题是必修课程中概率与统计内容的延续，将学习计数原理、概率、统计的相关知识。计数原理的内容包括两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理。概率的内容包括随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布。统计的内容包括成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表。
【内容要求】
内容包括：计数原理、概率、统计。
1．计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理。本单元的学习，可以帮助学生理解两个基本计数原理，运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题。
内容包括：两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理。
（1）两个基本计数原理
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。
（2）排列与组合
通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。
（3）二项式定理
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（参见案例17，18），会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
2．概率
本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其与独立性的关系，能进行简单计算；感悟离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象；理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布；感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量；基于随机变量及其分布解决简单的实际问题。
内容包括，随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布。
（1）随机事件的条件概率
①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率。
②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系。
③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率。
④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率。*了解贝叶斯公式。
（2）离散型随机变量及其分布列
①通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）。
②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。
③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题。
（3）正态分布
①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例、借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征。
②了解正态分布的均值、方差及其含义。
3．统计
本单元的学习，可以帮助学生了解样本相关系数的统计含义，了解一元线性回归模型和2×2列联表，运用这些方法解决简单的实际问题。会利用统计软件进行数据分析。
内容包括：成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表。
（1）成对数据的统计相关性
①结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系。
②结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性。
（2）一元线性回归模型
①结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件。
②针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测。
（3）2×2列联表
①通过实例，理解2×2列联表的统计意义。
②通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用。
【教学提示】
教师应通过典型案例开展教学活动，案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的。在案例教学中要重视过程，层次清楚，从具体到抽象，从实际到理论。
在计数原理的教学中，应结合具体情境，引导学生理解许多计数问题可以归结为分类和分步两类问题，引导学生根据计数原理分析问题、解决问题。
在概率的教学中，应引导学生通过具体实例，理解可以用随机变量更好地刻画随机现象，感悟随机变量与随机事件的关系；理解随机事件独立性与条件概率之间的关系；通过二项分布、超几何分布、正态分布的学习，理解随机变量及其分布。在教学过程中，应在引导学生利用所学知识解决一些实际问题的基础上，适当进行严格、准确的描述。
在统计的教学中，应通过具体案例，引导学生理解两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析；理解利用一元线性回归模型可以研究变量之间的随机关系，进行预测；理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性。在教学过程中，应通过具体案例引导学生参与数据分析的全过程，并鼓励学生使用相应的统计软件。
【学业要求】
能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用，并能够运用这些原理解决简单的实际问题。
能够结合具体实例，理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题。
能够结合具体实例，理解随机事件的独立性和条件概率的关系，理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用，掌握两个基本概率模型及其应用，了解正态分布的作用，进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用。
能够解决成对数据统计相关性的简单实际问题。能够结合具体实例，掌握运用一元线性回归分析的方法。掌握运用2×2列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题。
重点提升数据分标、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。
主题四　数学建模活动与数学探究活动
【内容要求】
数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展。在选择性必修课程中，要求学生完成一个课题研究，可以是数学建模的课题研究，也可以是数学探究的课题研究。课题可以是学生在学习必修课程时已完成课题的延续，或者是新的课题。
【教学提示】
选题可以在教师的指导下，自主选题，也可以在必修课程中数学建模活动或数学探究活动的研究基础上继续进行深入探究。类似必修课程的要求，课题研究应经历选题、开题、做题、结题四个环节。如果选题不变，需要在研究报告中说明与必修课程中研究的差异，深入研究的新思路、新方法，得到的新结果。根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式。
【学业要求】
参考必修课程的主题五。
（三）选修课程
选修课程是由学校根据自身情况选择设置的课程，供学生依据个人志趣自主选择，分为A,B,C,D,E五类。
这些课程为学生确定发展方向提供引导，为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考。学生可以根据自己的志向和大学专业的要求选择学习其中的某些课程。
A类课程是供有志于学习数理类（如数学、物理、计算机、精密仪器等）学生选择的课程。
B类课程是供有志于学习经济、社会类（如数理经济、社会学等）和部分理工类（如化学、生物、机械等）学生可以选择的课程。
C类课程是供有志于学习人文类（如语言、历史等）学生选择的课程。
D类课程是供有志于学习体育、艺术（包括音乐、美术）类学生选择的课程。
E?类课程包括拓展视好、日常生活、地方特色的数学课程，还包括大学数学的先修课程等。大学数学先修课程包括:?微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计。
数学建模活动、数学探究活动、数学文化融入课程内容。
选修课程的修习情况应列为综合素质评价的内容。不同高等院校、不同专业的招生，根据需要可以对选修课程中某些内容提出要求。国家、地方政府、社会权威机构可以组织命题考试。考试成绩应存入学生个人学习档案，供高等院校自主招生参考。
A类课程
A类课程包括微积分、空间向量与代数、概率与统计三个专题，其中微积分2.5学分，空间向量与代数2学分，概率与统计1.5学分。
微积分
本专题在数列极限的基础上建立函数极限和连续的概念；在具体的情境中用极限刻画导数，给出借助导数研究函数性质的一般方法；通过极限建立微分和积分的概念，阐述微分和积分的关系（微积分基本定理）及其应用。本专题要考虑高中学生的接受能力，重视课程内容的实际背景，关注数学内容的直观理解，培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模和逻辑推理素养，为进一步学习大学数学课程奠定基础。
内容包括：数列极限、函数极限、连续函数、导数与微分、定积分。
1．数列极限
（1）通过典型收敛数列的极限过程（当时，，，），建立并理解数列极限的定义。
（2）探索并证明基本性质：收敛数列是有界数列。
（3）通过典型单调有界数列的收敛过程，理解基本事实：单调有界数列必有极限。
（4）掌握数列极限的四则运算法则。
（5）通过典型数列的收敛性，理解e的意义。
2．函数极限
（1）通过典型函数的极限过程（当时，；当时，；当时，，且），理解函数极限的ε-δ定义。
（2）掌握基本初等函数极限的四则运算。
（3）掌握两个重要函数极限：，并会求其简单变形的极限。
3．连续函数
（1）理解连续函数的定义。
（2）了解闭区间上连续函数的有界性、介值性及其简单应用（例如，用二分法求方程近似解）。
4．导数与微分
（1）借助物理背景与几何背景理解导数的意义，并能给出导数的严格数学定义。
（2）通过导函数的概念，掌握二阶导数的概念，了解二阶导数的物理意义与几何意义。
（3）了解复合函数的求导公式。
（4）理解并证明拉格朗日中值定理，并能用其讨论函数的单调性。
（5）会利用拉格朗日中值定理，证明一些函数不等式（例如，当时，有，）。
（6）会利用导数讨论函数的极值问题，利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件（不要求数学证明）。
（7）了解微分的概念及其实际意义，并会用符号表示。
5．定积分
（1）通过等分区间求特殊曲边梯形面积的极限过程，理解定积分的概念及其几何意义与物理意义。
（2）在单调函数定积分的计算过程中，通过微分感悟积分与导数的关系，理解并掌握牛顿-莱布尼茨公式。
（3）会利用导数表和牛顿-莱布尼茨公式，求一些简单函数的定积分。
（4）会利用定积分计算某些封闭图形的面积，计算球、圆锥、圆台和某些三棱锥、三棱台的体积；能利用定积分解决简单的作功问题和重心问题。
空间向量与代数
本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上，通过系统学习三维空间的向量代数，表述各种运算的几何背景，实现几何与代数的融合。引入矩阵与行列式的概念，利用矩阵理论解三元一次方程组；利用向量代数，讨论三维空间中点、直线、平面的位置关系与度量；利用直观想象建立平面和空间的等距变换理论。将空间几何与线性代数融合在一起，把握问题的本质，为代数理论提供几何背景，用代数方法解决几何问题，进而解决实际问题，为大学线性代数课程的学习奠定直观基础。
内容包括：空间向量代数、三阶矩阵与行列式、三元一次方程组、空间中的平面与直线、等距变换。
1．空间向量代数
（1）通过几何直观，理解向量运算的几何意义。
（2）探索并解释空间向量的内积与外积及其几何意义。
（3）理解向量的投影与分解及其几何意义，并会应用。
（4）掌握向量组的线性相关性，并能加以判断。
（5）掌握向量的线性运算，理解向量空间与子空间的概念。
2．三阶矩阵与行列式
（1）通过几何直观引入矩阵概念，掌握矩阵的三种基本运算及其性质。
（2）了解正交矩阵及其基本性质，能用代数方法解决几何问题。
（3）掌握行列式定义与性质，会计算行列式。
3．三元一次方程组
（1）通过实例，探索三元一次方程组的求解过程，理解三元一次方程组的常用解法（高斯消元法），会用矩阵表示三元一次方程组。
（2）掌握三元齐次线性方程组的解法，会表示一般解。
（3）掌握非齐次线性方程组有解的判定，建立线性方程组的理论基础。
（4）探索三元一次方程组解的结构，会表示一般解。
（5）理解克拉默（Cramer）法则，会用克拉默法则求解三元一次方程组。
4．空间中的平面与直线
（1）通过向量的坐标表示，建立空间平面的方程。
（2）掌握空间直线方程的含义，会用方程表示空间直线。
（3）理解空间点、直线、平面的位置关系，会用代数方法判断空间点、直线、平面的位置关系，会求点到直线（平面）的距离。
5．等距变换
（1）了解平面变换的含义，理解平面的等距变换，特别是三种基本等距变换：直线反射、平移、旋转。
（2）了解平面对称图形及变换群概念。
（3）掌握常见平面等距变换及其矩阵表示。
（4）了解空间变换的含义，理解空间的等距变换，特别是三种常见等距变换：平面反射、平移、旋转。
（5）了解空间对称图形及变换群。
（6）掌握常见空间等距变换及其矩阵表示。
概率与统计
本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上展开。在概率方面，通过具体实例，进一步学习连续型随机变量及其概率分布，二维随机向量及其联合分布，并运用这些数学模型，解决一些简单的实际问题。在统计方面，结合一些具体任务，学习参数估计、假设检验，并运用这些方法解决一些简单的实际问题；在一元线性回归分析的基础上，结合具体实例，进一步学习二元线性回归分析的方法，解决一些简单的实际问题。在教学活动中，要重视课程内容的实际背景，关注学生对数学内容的直观理解；要充分考虑高中学生接受能力，更要注重学生数学学科核心素养的提升。
内容包括：连续型随机变量及其分布、二维随机变量及其联合分布、参数估计、假设检验、二元线性回归模型。
1．连续型随机变量及其分布
（1）借助具体实例，了解连续型随机变量及其分布，体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异。
（2）结合生活中的实例，了解几个重要连续型随机变量的分布：均匀分布、正态分布、卡方分布、t-分布，理解这些分布中参数的意义，能进行简单应用。
（3）了解连续型随机变量的均值和方差，知道均匀分布、正态分布、卡方分布、t-分布的均值和方差及其意义。
2．二维随机变量及其联合分布
（1）在学习一维离散型随机变量的基础上，通过实例，了解二维离散型随机变量概念及其分布列、数字特征（均值、方差、协方差、相关系数），并能解决简单的实际问题。了解两个随机变量的独立性。
（2）在学习一维正态随机变量的基础上，通过具体实例，了解二维正态随机变量及其联合分布，以及联合分布中参数的统计含义。
3．参数估计
借助对具体实际问题的分析，知道矩估计和极大似然估计这两种参数估计方法，了解参数估计原理，能解决一些简单的实际问题。
4．假设检验
（1）了解假设检验的统计思想和基本概念。
（2）借助具体实例，了解正态总体均值和方差检验的方法，了解两个正态总体的均值比较的方法。
（3）结合具体实例，了解总体分布的拟合优度检验。
5．二元线性回归模型
（1）了解二维正态分布及其参数的意义。
（2）了解二元线性回归模型，会用最小二乘原理对模型中的参数进行估计。
（3）运用二元线性回归模型解决简单的实际问题。
B类课程
B类课程包括微积分、空间向量与代数、应用统计、模型四个专题，其中微积分2学分，空间向量与代数1学分，应用统计2学分，模型1学分。
微积分
本专题在数列极限的基础上建立函数极限的概念；在具体的情境中用极限刻画导数，给出借助导数研究函数性质的一般方法；通过极限建立微分和积分的概念，阐述微分和积分的关系（微积分基本定理）及其应用。在学习一元函数的基础上，了解二元函数及其偏导数的概念。本专题要考虑高中学生接受能力，重视课程内容的实际背景，关注数学内容的直观理解，培养学生的运算能力，为进一步学习大学相关课程奠定基础。
内容包括：极限、导数与微分、定积分、二元函数。
1．极限
（1）通过典型数列，了解数列的极限，掌握极限的符号，了解基本事实：单调有界数列必有极限。
（2）通过具体函数犳，且，，了解函数极限和连续的概念，掌握极限的符号，了解闭区间上连续函数的性质。
2．导数与微分
（1）通过导数概念，理解二阶导数的概念，了解二阶导数的物理意义与几何意义；掌握一些基本初等函数的一阶导数与二阶导数。
（2）理解拉格朗日中值定理，了解它的几何解释。
（3）能利用导数讨论函数的单调性，并证明某些函数不等式（例如，当时，，）。
（4）会利用导数讨论函数的极值问题，利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件（不要求数学证明）。
（5）借助导数，会求闭区间上一元一次函数、一元二次函数、一元三次函数的最大值与最小值。
（6）了解微分的概念及其实际意义，会用符号表示。
3．定积分
（1）了解闭区间上连续函数定积分的概念，理解其几何意义与物理意义。
（2）能用等分区间方法计算特殊的黎曼和。
（3）利用的单调性、等分区间的方法、拉格朗日中值定理，推导牛顿-莱布尼茨公式。
（4）会利用定积分计算某些封闭平面图形的面积，计算球、圆锥、圆台和某些三棱锥、三棱台的体积；了解祖暅原理。
4．二元函数
（1）通过简单实例，掌握二元函数的背景。
（2）了解偏导数的定义，能计算一些简单函数的偏导数。例如，已知与分别是基本初等函数，会求，的偏导数。
（3）会求一些简单二元函数的驻点，并能求相应的实际问题中的极值。
（4）利用等高线法，会求一次函数在闭凸多边形区域上的最大值和最小值。
（5）会求闭圆域、闭椭圆域上二元二次函数的最大值和最小值。
空间向量与代数
本专题在必修课程和选择性选修课程的基础上，比较系统地学习三维空间的整体结构———向量代数，感悟几何与代数的融合。引入矩阵与行列式的概念，并讨论三元一次方程组解的结构。本专题中强调几何直观，把握问题的本质，培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和直观想象等素养，为大学线性代数课程的学习奠定直观基础

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