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素养导向下的探究教学设计
渠东剑
一、学习课标，整体把握教学内容
二、研读教材，探寻析出核心素养
三、分析学情，回顾学习经历经验
目
录

四、设计教学，把握几个重要节点
一、学习课标，整体把握教学内容
课标2017年版：必修主题二、函数

4．函数应用
函数应用不仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决实际问题。本单元的学习，可以①帮助学生掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；②理解用函数构建数学模型的基本过程；③运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题。
内容包括：二分法一求方程近似解、函数与数学模型。

（1）二分法与求方程近似解
①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系。
②结合具体的连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解思路并会画程序框图，能借助计算机用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。
（2）函数与数学模型
……
课标实验版： 必修1

（5）函数与方程
① 结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。
② 根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
（6）函数模型及其应用
……


思考：为什么要引入函数的零点
函数本身的重要性质。
■函数求方程近似解——无法解决的问题转化为
可解了；
■方程解的存在；
■连续函数(导数)的研究；
■函数不动点原理；
……
“根本原因是用函数的观点统帅中学代数，把所有的中学代数问题纳入函数的思想下”；(数学的统一性)
■用联系的、整体的观点看问题；(函数、方程、不等式)
■用新观点看待旧事物；
■用动态变化的观点看待静态确定的事物， (零点将函数值大
于0与小于0的自变量集合确定下来)以静制动，以有限控制
无限；
■图象直观与精确刻画的研究方法；(数形结合)
……
思考：为什么要引入函数的零点
问题情境：
发现和提出问题
分析和解决问题
(寻找研究方法)
二、研读教材，探寻析出核心素养
1 分析教材
从具体熟悉的二次函数入手，以数形结合的方法探索方程与函数的关系
问题：
怎么想到函数上去的，面对方程求解不能问题，如何引入函数，这是渗透函数思想的重要契机。
不是做不到，而是想不到



只是再现，最多是重新发现，察觉；
但要回归任务取向，聚焦研究对象。
就一般的一元二次函数作讨论，既是上述研究的一般化过程，又研究了所有可能的情形，进一步
理解函数与方程的关系
在一般一元二次函数的基础上，抽象出一般概念，并据一元二次函数结论，得到一般结论(三种形式等价)
概念简单应用，深化概念理解，突出函数与方程的关系
解法1是通过求根公式求解，这是学生所掌握的，为解法2的教学打基础，使新旧知识联系起来
解法2与方法1互相印证，并开启定理探究话题，
为特殊到一般的概括作铺垫
知识的发展：定理的直接运用，用原有知识则不能解决问题，这是知识发展的必然，也体现出定理的应用价值的需要。
2 探寻析出核心素养
1 数学抽象
■零点概念，从具体的一元二次函数与一元二次方程的关系中抽象出零点概念。
(课标：通过对数学关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括从数量与数量关系、图形与图形与图形关系中抽象出数学概念……)

■零点存在定理，从具体的一元二次函数的零点背景中(例1,2)抽象出零点存在定理。
(课标：从事物具体的背景中抽象出一般规律)
2 逻辑推理
■零点存在定理，从具体的一元二次函数的零点背景中(例1,2)抽象出零点存在定理。
(课标：从一些事实……出发，依据规则推理其它命题的素养……一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要是归纳、类比)
2 探寻析出核心素养
()

①
二次函数图象

②

④图象不间断

3 数学建模
■基于方程建立函数模型，研究函数性质并用来解决问题
(课标：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建模型解决问题的素养。
过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型……)
2 探寻析出核心素养
4 直观想象
■通过一元二次函数的图象，得到零点概念、零点存在定理。

(课标：?借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。
主要包括：借助……认识事物的位置关系、形态变化……构建问题的直观模型、探索解决问题的思路)
(课标：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是……进行数学推理……思维基础)
2 探寻析出核心素养
2 逻辑推理
(课标：逻辑推理主要表现为：……发现问题和提出命题，探索和表述论证过程……)
3 教学中落实核心素养实践层面的思考
1 数学抽象
(课标：数学抽象主要表现为……提出数学命题……)
3 数学建模
(课标：过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型……)
4 直观想象
(课标：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是……进行数学推理……思维基础)
3 教学中落实核心素养实践层面的思考
“四基”
“四能”
“三会”


三、分析学情，回顾学习经历经验
■知识基础：初中、高中函数学习，几个函数模型的研究。
■思想方法：研究函数的一般套路与方法，定性、定量、数、形、运算、归纳、演绎，等；
初中“三个一次”、“用一元二次函数求一元二次方程的近似解”(这可能是本课的最近发展区、知识固着点)
■探究能力：学习的经历经验、具备了一定的探究学习能力。
特别关注：
用函数研究方程的方法观点，经历经验
四、设计教学，把握几个重要节点
求
的解问题
生活情境
数学情境
二次函数
与方程
函数
二次函数零点
两图象交点
一个函数图象
一般二
次函数再认识
零点概念
(三个等价)
例1、2
零点存在定理
例3
小结




①
②
③
④

⑤
求
的解问题
生活情境
数学情境

①
怎样提出研究方程解的问题，有“解不出”的方程；
启发学生主动发现问题，提出问题，明确任务。
几个重要节点分析与教学设计构想
直到1824年，22岁的挪威天才数学家阿贝尔（N.H.Abel）成功地证明了五次及以上的高次方程没有公式解．
在16世纪，意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano）和他的学生费拉里（Ferrari Lodovico）分别给出了三次方程和第四次方程的公式解，发表在卡尔达诺的著作《大术》一书中.
求
的解问题
函数
两图象交点
一个函数图象

②
如何想到函数上去？是主动寻找研究方法的关键!用函数来研究方程，不是做不到，而是想不到。(一层很薄的“”窗户纸，一捅就破，但由谁来捅破？)
渗透函数思想的重要契机!
若是学生会画一个函数的图象吗？
二次函数
与方程
函数

③
想到函数上去之后，凭什么较为自然地引入一元二次函数与一元二次方程？
——从简单开始，从已知入手，从已有经历经验想开去。(一次也可以在其中)
例1、2
零点存在定理

④
①启发学生主动提出问题：尝试将结论一般化，(逻辑推理)
这是数学研究的一般方法。
()

①
二次函数图象

②

④图象不间断

②不是匆忙给出定理后，让学生举反例，说明每一个条件必
不可少；
而是让学生主动尝试表征一般化结论，探究出结论成立的
充分条件来。
③当学生给出，要追问：为什么、非要这么多吗？怎么想到
　的，还有别的想法……
④当学生概括不够全面时，要启发引导：还有什么补充，有
这些就够吗？说明理由。一个学生也许给不全，给全了也
不意味着所有学生都已明白……
⑤要引导学生质疑：这样归纳而来的结果可靠吗？然后告知
，明确定理。
例如，闭区间改为开区间可否、开区间改为闭区间可否；
(若可以，为何写成说成开的)；
“图象不间断”可能学生想当然，但要通过追问，让
　　学生探究一般的情形……
经过了这样的探究过程，课本例3后的“思考”也许就
不成为其问题了。
让定理晚出场，把抽象、概括、辨析(反例)、精致、表征……的过程做足!
变式：这个零点距区间的哪个端点更近？

⑤
小结
■启发引导学生主动提出小结的问题
■让学生自己小结
■教师点拨
求
的解问题
生活情境
数学情境
二次函数
与方程
函数
二次函数零点
两图象交点
一个函数图象
一般二
次函数再认识
零点概念
(三个等价)
例1、2
零点存在定理
例3
小结




①
②
③
④

⑤
我们是想的比说得好
说得比做的好
请您批评指正!

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