资源简介

北京大学附属中学
张思明
突出素养、巧用情境、改善评价
--高中数学新课程中的建模和探究教学
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内容提要
? 1. 标准中的建模和探究要求
? 2. 建模和探究的教学价值
? 3. 建模和探究教学的建议
? 4. 一些可供选择的建模案例
? 5. 一些可供选择的探究案例
? 6. 结语
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数学课程目标
? 基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验

? 提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决
问题的能力；
? 提高数学表达和数学交流能力；发展数学应用能力及
创新意识；养成良好的数学学习习惯。
? 数学核心素养：
? 数学抽象、逻辑推理、数学建模
? 数学运算、直观想象、数据分析
? 用数学的眼光观察现实世界，
? 用数学的思维分析现实世界，
? 用数学的语言表达现实世界；

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? 是个体在面对复杂的、不确定的现实生活情境时，
? 能够综合运用特定学习方式下所孕育出来的
? （跨）学科观念、思维模式和探究技能，
? 结构化的（跨）学科知识和技能，
? 世界观、人生观和价值观在内的动力系统，
? 分析情境、提出问题、解决问题、交流结果
? 过程中表现出来的综合性品质
什么是核心素养（杨向东教授）
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究竟什么是“核心素养”？
? “素养不只是知识与技能。它是在特定情境中、
通过利用和调动心理社会资源（包括技能和态
度）、以满足复杂需要的能力。例如，有效交往
的能力是一种素养，它可能利用一个人的语言知
识、实用性信息技术技能、以及对其交往的对象
的态度。”

? ——OECD (2005) The definition and selection of key
competencies [Executive Summary]. 教
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核心素养导向的教学观与教学要点
第一部分：核心素养导向的教学观（基本理念）
1, 立德树人；2，学生学习。
第二部分：核心素养导向的教学要点
1，整合；2，情境；3，深度；
4，活动；5，大观念；6，独立。

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情境化——问题化——任务化教学。

? 鱼在水中才能活。通过创设情境，激活学科知识（
情境可以使枯燥乏味的学科知识由丰富的附着点和切
实的生长点，让学科教学具有更加深刻的意义）；激
活学生认知和情感（情境可以有效刺激学生，使学习
过程不仅是对知识的加工和认知，而且能使学生产生
情感的共鸣。）
? 情境能够有效增加学生学习活动的生动性、趣味性、
直观性、情感性。问题则能有效增强学生学习活动的
思维性、深刻性、批判性。从学生的角度讲，情境和
问题的核心是其经验和思维、情感的参与。知识只是
素养的媒介和手段，知识转化为素养的重要途径是情
境和问题（盐巴最好融入汤中被人吸收）。去情境化
和问题化，知识就只剩下知识（符号）了。
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? 构建从真实的情境（从简单情境到复
杂情境、具体情境到抽象情境）和问题
（主题、话题或任务）中进行学习（阅
读、实验、思考、建构）的认知路径。
? 情境要成为学生的思维发生处、知识
形成处、能力成长处、情感涵育处，创
设情境就是构建课程知识内容与学生的
生活、经验、情感、生命的接壤之处。
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“21世纪技能”
? 1.元认知与知道如何学习；
? 2.创造性与创新意识；
? 3.批判性思维与问题解决；
? 4.系统思维；
? 5.交往能力：包括听、说、写和非言语交际；
? 6.合作精神与尊重差异的工作能力；
? 7.信息管理和数字媒体的应用。
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二。建模和探究的价值（以建模为例）
? 数学建模是应用数学的知识与方法，通过建立
数学模型去解决问题。
? 数学模型是借用数学的语言讲述现实世界中与
数量、图形有关的故事。数学模型使数学走出了自
我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁。
? 正因为数学模型具有数学和现实这两个出发点，那
么数学模型就不完全属于数学的范畴。因此，就事
物的本质而言，数学模型的价值取向往往不是数学
本身，而是对所描述学科起到的实际作用。当然，
在人们构建数学模型和实际应用的过程中，必然会
从数学的角度汲取“创造数学的”的灵感，从而促
进数学自身的发展。
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数学建模的教育价值
? 它打破数学知识内部的严密的知识体系和
技能体系的界限，强调以学生的经验、学习实
际和社会需要的问题为核心，以问题求解的需
要为导向，对学生学过的数学学科内部和跨学
科的知识、工具、方法、资源进行整合应用，
以有效地培养和发展学生解决问题的能力、探
究精神和综合实践能力。

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数学建模的教育价值
? 它是一种独立的数学素养，却又是一
种综合程度最高的素养，因为建模的过程
离不开抽象概括、逻辑推理、直观想象、
数学运算、数据分析。中学数学建模首先
突出表现了数学学科的特点，主要是数学
应用的广泛性，理性精神和文化内涵。其
次强调了学生的自主性和实践性，强调
“问题”和“问题意识”，强调学习、实
践过程的开放性和活动性。

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数学建模的教育价值
? 它尤其注重学生学习方式的转变，
试图改变那种单一的以知识授受为基本
方式、以知识结果的获得为直接目的的
学习活动。提倡多样化、个性化、有时
代特征的学习和实践，如网络搜索、问
卷调查、计算机仿真实验、现场观察、
合作探究等，强调“做数学、学数学、
用数学”。因而，中学数学建模比其他
任何数学课程都更强调学生对实际的活
动过程的亲历和体验。

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数学建模的教育价值
? 在我们的建模实践中，我们特别强调建模学习的
“过程”，强调“活动”,强调建模学习的”选
题、开题、做题、结题“这四个操作环节，就是
要通过建模的学习和实践，给学生提供一个探究
发现、合作学习、个性展示、协作支持、工具选
择、信息挖掘、交流分享、归纳提升、反思拓展
的机会和氛围，通过建模活动，激发学生自主思
考，促进学生合作交流，提高学生学习兴趣，发
展学生创新精神，培养学生应用意识和实践能力，
提升对数学学科价值的理解，积累一定的用数学
解决问题的经验，最终使学生提升适应现代社会
要求的可持续发展的素养。

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三。建模的教学层次和教学建议
? 几年级开始做？要求有什么差别？
2017年6月，由美国数学及其
应用联合会（COMAP）、美
国工业与应用数学学会(SIAM)
联合原著，由梁贯成、赖明治、
乔中华、陈艳萍教授编译的
《数学建模教学与评估指南》
一书（以下简称《指南》）由
上海大学出版社出版发行。
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“午餐中的问题”：

?入学前班到二年级，可以收集数据，讨
论解决如下程度的问题：
?讨论我们组要吃掉多少胡萝卜？
?哪些食物与胡萝卜搭配最好？搭配量是
多少？
?多大的餐盒可以装下这些胡萝卜？
?怎样用图来表示我们分析得到的结果？
? ….

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3至5年级可以进一步讨论：

? 胡萝卜和其他蔬菜的营养成份的比较。
? 如何在各种食物中挑出或组成最佳的午餐。（最佳需要
学生自己定义）
? 如果把餐盒改成托盘，前面讨论的结果会有什么变化？
（修改条件和假设）
? 学校的伙食费有上限时，怎样安排各餐的品种和价位？
（量化估计和预测）
? …。

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6至8年级可以进一步讨论：

?给出选择的一个数量范围（成份、价格、
是否送餐、口味等），选择决定购买哪种
披萨饼。
?给披萨饼的售价找一个函数，自变量可以
是直径、或是配送时间等。
?…。
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在《指南》一书中，高中的建模案例
就更加丰富、复杂、开放。
? 如“乔丹罚球动态命中率如何算？”，
? “如何选择购买高性能电脑？”，
? “上哪个加油站加油更划算？”，
? 尽量均匀的喷灌系统的喷头间距是多少?,
? “救灾物资的公平分配”，…。
? 涉及的知识多是函数、几何、简单的概率统计。

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我们给出的建模推进层次
?在我们的建模实践中，提出了从数学应用
渗透到完整数学建模活动的逐步提升的以
下层次：
?（1）为了帮助学生理解、建立概念，函数，
定理，公式等而有意设计的实际情境。
?（2）. 直接套用数学概念，函数，定理，
公式等，给出有实际意义的结果（如函数
值），或者解释、说明、得到结果的实际
意义。
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我们给出的建模推进层次
? （3）. 通过简单的变换，间接套用数学概念，
函数，定理，公式等，给出有实际意义的结果。
? （4）. 教师或教材给出实际问题，并带领（教
材是引领）学生完成数学化的，简单、具体的
数学应用。
? （5）. 教师或教材给出实际问题，学生自主完
成数学化的，简单、具体的数学应用。

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我们给出的建模推进层次
? （6）. 教师或教材给出问题情境，学生自主提出
实际问题，师生一起完成“建立模型”和“模型
求解”的主要过程的数学活动。
? （7）. 全过程（选题、开题、做题、结题）、学
生部分自主（在发现提出问题，模型的选择和建
立，求解模型，给出模型结果的解释等环节中，
教师部分参与，给予指导和支持）的数学建模活
动。
? （8）. 全过程、全自主（学生自主发现提出问题，
自主完成数学化的建模过程，自主求解模型，自
主给出模型结果的解释，在整个过程中可以自主
寻求教师的帮助）的数学建模活动。

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我们给出的建模推进层次
? 一线教师应在日常教学中，要有意完成（1）、
（2）、（3）、（4）的内容，可以在章节复
习中出现（5）的要求， (6)、（7）、（8）是
数学建模的专项要求，教材会有体现，教师可
根据学生情况，选择做到一定程度（如就做到
（6）的水平）。
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做好数学建模渗透，要有意识地抓住
“渗透点”，如：

? 指数函数------人口增长，指数爆炸（指数函数）
? 有实际背景和意义的函数图像
? 数列的通项与求和-----存款的本金和利息的计算
? 分段函数-----邮费或打车费用的的计算
? 三角函数的应用-----有实际意义的高度、距离和角度的
计算
? 有实际意义的三角函数值，周期的计算或解释
? 直线和二次曲线的实际意义（拱桥曲线，入射线、反射
线等）
? ……

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四.一些数学建模和数学探究
的教学案例
? 参与式学习之一：复印纸问题

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案例：复印纸的问题

? 常用的复印纸的型号有Ａ4、Ａ5、Ｂ4、
Ｂ5等等。有一天，我在中关村上行走，突
然在某大型复印机专业公司服务部的门面上
看到贴出的如下广告：“本部承接超大型工
程图纸复印业务，规格可达Ａ1、Ｂ1大小
……”。好奇的我立刻联想到下面的问题，
Ａ1、Ｂ1的复印纸有多大？，能不能根据手
边的几种常见的复印纸的大小，推算出Ａ1
及Ｂ1 型复印纸的大小？，它们的尺寸之间
有什么数量关系？。
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[问题解析]


?（1）先观察若干复印纸的样品，容易发现如图所示的规律
：
B
4

B5 B5
A
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A4
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· 北
京
利用字处理软件
?（2）（如WORD、WPS等软件）的“页面设置”
栏目下的信息，可以具体查出Ａ4和Ｂ5的尺寸如下
：单位：mm
?复印纸的型号 长 × 宽
?Ａ4 297×210
?Ａ3 420×297
?Ｂ5 257×182
?Ｂ4 364×257
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· 北
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[问题拓展]

?我们类似地可以解决报纸、常见标准尺寸的出版物
的尺寸推算，如根据手中常见的32K的课本的尺寸
，估算16K、8K、4K、2K、1K出版物的尺寸。
?将“优美矩形列”推广到三维空间，会得到怎样的
“优美长方体列”，又会有怎样的性质？
?将“优美矩形列”推广到下图所示的情景，又会有
怎样的性质？
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· 北
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案例2：课堂内的探究活动-----正方体
可能的截面


? 【情境】用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？
? 操作建议：激发学生提出一个逐渐深入的问题串，引导学生的
讨论走向深入，例如学生提出（或教师引导提出）：
? (1) 给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。按照
你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找
到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。
? (2) 如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形
（分别按边，角分类）？为什么?
? (3) 如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？
为什么?
? (4) 还能截出哪些多边形？为什么?

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· 北
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案例：正方体所有可能的截面的类型：
? 三角形类
．直角三角形
．锐角三角形
．钝角三角形
．等边三角形或等腰三角形
其他：
．五边形
．正五边形
．六边形
．正六边形
．七边形
．多于7边的多边形

四边形类
．正方形
．矩形
．非矩形的平行四
边形
．等腰梯形
．非等腰的梯形
．直角梯形

问题：正方体的截面中是否可能出现
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M45
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? (5) 能否截出正五边形？为什么？
? (6) 能否截出直角三角形？为什么？
? (7) 有没有边数超过6的多边形截面？为什么？
? (8) 是否存在正六边形的截面？为什么？
? (9) 最大面积的三角形截面是哪个？为什么？

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· 北
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? 这是一个跨度很大的数学探究问题串，可以通过多种方
法直接实施探究，比如教学条件比较薄弱的学校，可以
让学生通过切萝卜块来观察；也可以通过向透明的正方
体盒子中注入有颜色的液体，来观察不同位置摆排放、
不同水量时的液体表面形状。
? 借助于信息技术（如几何画板）也可以直观快捷地展示
各种可能的截面，但是不能代替证明。探究的难点是分
类找出所有可能的截面，并实际找出、证明哪种形状的
截面一定存在或一定不存在。
? 可以鼓励学生通过观察、操作，形成猜想，再通过论证
形成结论。它有利于培养学生观察发现、分类讨论、推
理论证、直观想象、作图表达等能力，在具体情境中，
提升直观想象、推理论证等核心素养，积累数学活动经
验。

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· 北
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选做：其他自己提出的与本问题相关的
开放的子课题：


?如：
?1．最大面积的截面三角形是怎样的？

2．最大面积的截面四边形是 怎样的？

3．最大面积的截面形状是 怎样的？


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【案例3】包装的合理设计
（表现不同水平的建模案例）

?水平一的问题：各型饮料
罐的体积和表面积计算
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情境与问题：
? 收集并观察市场上的各种饮料罐（圆柱罐，球型罐，棱柱罐
等），测量它们必要的外观尺寸如直径、母线长等，选择适
用的公式，计算它们的容积和表面积。
? 如果有一张矩形的薄板，用做制罐的材料，已知薄板的场合
长和宽分别为2000mm*1000mm, 每做一个罐需要多出5%的
加工余量用于接口等，请给出一种常见圆柱形饮料罐的下料
方案，分析它的合理性，是否符合材料被尽量利用的要求？
（可选要求）
? 分小组一起讨论求解方案，算出相应结果，小组交流、理解
确认。每个人依据小组的求解结果，撰写结题报告，有可能
时选取代表组在全班介绍过程和结果。

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表1：数学建模素养水平一的案例相关要素说明表


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水平二的问题：关于一定容积
饮料罐的合理形状的讨论

? 情境与问题：一个容积一定的圆柱形罐，它的底面
半径为r, 高为h, 问当h:r为多少时，罐的表面积最小？
如果罐变成了有底无盖，无把手的杯子，当h:r为多
少时，杯子的表面积最小？对容积为330ml 的饮料
罐或无把手的杯子，给出表面积最小时，这个罐和
杯子的具体尺寸（精确到1mm）, 观察一个真实的
食品罐头和饮料罐头，分析数学得到的结论和实际
使用的产品之间产生差异的原因，给出你的解释。

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表2：数学建模素养水平二的案例相关要素说明表
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水平三的问题：同种商品但规格、型号不
同，应如何定售价？

? 首先请学生分组到超市收集有关商品的
重量、包装、售价的信息。

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问题情景和探究任务：

? 我们经常能在商场中看到这样的情形：
同种商品会有大小不同的型号，价格各
不相同，比如在某品牌牙膏有：40克、
120克、180克等几种规格的产品，价
格分别为3.70元、9.30元、13.20元。

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任务驱动的学习
? 任务1：以上述牙膏为例，研究该商品价格关于牙膏
重量的函数关系；对影响商品销售价格的因素进行分
析，选择主要因素，忽略次要的因素；研究主要因素
与价格的关系，从而得到该牙膏的以所售牙膏单只重
量为自变量的售价公式。
? 任务2：能否根据已有型号的价格推算出此类商品其
他型号的价格呢？（检验你建立的商品价格模型，并
尝试对结果进行解释。） 可以选择一种建立函数关
系式时未被使用的型号价格，将利用模型推算出的价
格与该型号商品的实际售价进行比较，考虑模型是否
能进一步改进，如何改进。
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表3：“同种商品不同型号的价格问题”
数学建模成果报告表
课题组成员：
成员姓名 分工与主要工作或贡献
建模过程和结果：原始问题，基本数据，模型假设，建模过程，解算和结果，
分析和说明
参考文献：
成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）
拓展（选做）：在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸或拓广的
内容；得到的新结果或猜想等
体会：描述在工作中的感受和收获
生生评价： 教师或专业人士的评价：
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交流与反思

? 让学生经历一个比较完整的“选题，开
题，做题，结题”的建模过程。特别是
数据采集分析，发现提出问题；合作学
习讨论，提出假设，构建或选用数学模
型；自己选择工具方法，求解模型；对
结果进行分析，验证，调整假设；组织
交流，多元评价的环节都是非常重要，
并且应该做的更充分的环节。这也是水
平三的要求。

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案例：有关测量的讨论
---你能发现和提出多少问题？？？

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测量任务
? 1．测量本校教学楼的高度、本校的旗
杆的高度。
? 2．测量学校墙外的一座不可及，但在
学校操场上可以看得见的一座高大写
字楼的高度。
? 3 写出测量方法，实测数据、计算过
程和数据结果。 教
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测量报告的项目、格式

、 我们课题组的成员与分工。
１ 成员姓名 主要工作与贡献



2、我们测量的方法、原理是：（请说明测量的原理、合理性、创意或创新点、
得意之处等）

3、我们的测量数据（可以用表）和计算结果、减少误差的想法和做法。（如有
照片或图片可以附在后边，地方不够可以另加纸


4、选做：用简单的语言，描述你们在工作中的感受：






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测量目标
我们的东教学楼有多高 ？
操场上的旗杆有多高 ？？
学校东南角外的“理想大厦”有多高？？？
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讨论：
?请你给出几种实用、可行的
测量方法
?解释测量的过程和原理
?说明使用的工具
?…… 教
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不可及物体的测量
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· 北
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计算公式：

h
a
x ?
?
?
??
??
tantan
tantan
楼高
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· 北
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使用镜子的测量法：
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· 北
京
a1，a2是人距镜子的距离,a指两次镜面的距离，b 指人的高度.
则有楼高 x=ab/（a2-a1）

1 2 3 4
复习 再分析 测量讨论 实践
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· 北
京
照相法：
1 2 3 4
复习 再分析 测量讨论 实践

? 让一个学生站在楼前，然后照一张含有
这个人的完整照片。相片就是一个很好
的比例尺，测量相中的人高与大楼高，
可以很顺利地求出大楼高度。
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· 北
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复习 再分析 测量讨论 实践
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· 北
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照相法测量误差的原因分析
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复习 再分析 测量讨论 实践
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· 北
京
上下一样
的窗子最
多相差：
22:57
缩小到原
长的
40%
? 看一看原因
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复习 再分析 测量讨论 实践
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· 北
京
感悟
?不是有知识就会应用

?知识就是力量？这话不对了
测量误差
教学实录
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· 北
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分析误差原因后，建议
学生二次测量！
二次测量
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· 北
京
拓展任务
? 1．本市的最高建筑物-----中央彩电中心电视塔
的高度是多少米？
? 2．一座高度为H米的电视塔，它的信号传播半
径是多少公里？信号覆盖面积有多大？
? 3．找一张本市的地图，看一看本市的地域面积
有多少平方公里？电视塔的位置在地图上的什
么地方，按照计算得到的数据，这座电视塔发
出的电视信号是否覆盖本市？
作业
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· 北
京
让我们一起-----
?学数学 , 用数学
?让数学给我们一双观察世界的
慧眼

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· 北
京
本课我们一起来做
------打包问题
?希望在小组学习的过程中,既有
热烈的讨论,智慧的碰撞;又有高
效率的分工合作.
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· 北
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打包问题
? 市场上一封火柴内装１０盒火柴；
一条香烟内装１０包香烟……。它们打
包形式一样吗？哪一种包装形式更能节
省外包装材料呢？为了讨论方便，我们
先来定义一种“规则打包”法，这是指
打包时要求包内的相邻两物必须以全等
的两个侧面来对接。打包后的结果仍是
一个长方体。我们可以更数学地提问：
长方体的物品，按“规则打包”的形式
将１０包打成一个大包，怎样打包可使
表面积最小？

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· 北
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一条香烟的打包设计
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· 北
京
基本数据

?香烟盒的外形 尺寸是
? a=88mm,
? b=58mm,
? c=22mm.

?请各组同学先讨论出一个解决
打包问题的“行动方案”.


? b


? a
? c

b
a
c
X=ab
Y=ac
Z=bc
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· 北
京
?先试着摆出几种打包方案，对每一
种打包方案由具体数据算出面积，
再从中挑出最小的，它对应的打包
方案就是我们所要的.
?关键点: 10包烟,按规则打包方式,
所有的不同的打包方案有几种?
(以便能从中挑出表面积最小的).
求解参考方案一:
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· 北
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求解参考方案二
? 理论上确定:使得包的表面积最小的条
件,
? 寻求满足条件的打包方案.

? 关键: (1)条件是什么? 为什么?
? (2) 寻求满足条件的打包方案时的“寻
求范围”是什么?
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· 北
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? １０的分解因数只有两种：
１０＝１×１０，１０＝２×５，就１
×１０型的打包方式来看，一个长方体
有三个面，按面积大小记为Ｘ、Ｙ、Ｚ，
Ｘ≥Ｙ≥Ｚ，只有三个方向可以×１０
（即按同一种方式接连排１０包）。由
此只有三种打包方式，同理:２×５型
的打包方式有 ? 种。
不同打包方式有多少种？ X
Y Z
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· 北
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X
z
y
摆放形式的数学模型
10 = 1 ? 1 ? 10有三种摆法:
x方向\y方向\z方向
(1) 10 1 1
(2) 1 10 1
(3) 1 1 10


10= 1?2? 5还有六种摆法
x方向\y方向\z方向
(4) 2 5 1
(5) 2 1 5
(6) 5 2 1
(7) 1 2 5
(8) 1 5 2
(9) 5 1 2
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· 北
京
1 ? 1?10的三
种不同的打
包方法

第二种
第一种
第三种 教
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· 北
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“1?2?5”
的六种摆
放示意图

第四种
第五种
第六种
第七种
第八种
第九种
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· 北
京
? 可以分别计算面积。其中
? Ｘ＝ab=5104mm2,
? Ｙ＝ac=1936mm2,
? Ｚ＝bc=1276mm2.
实施计算
10 = 1 ? 1 ? 10有三种摆法:
x方向\y方向\z方向
(1) 10 1 1
(2) 1 10 1
(3) 1 1 10

10= 1?2? 5还有六种摆法
x方向\y方向\z方向
(4) 2 5 1
(5) 2 1 5
(6) 5 2 1
(7) 1 2 5
(8) 1 5 2
(9) 5 1 2
X
Y
Z
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· 北
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计算结果如下：１×1 × 10型：
? Ｓ１＝２Ｘ＋２０Ｙ＋２０Ｚ＝７４４４８mm２ ①


? Ｓ２＝２Ｙ＋２０Ｚ＋２０Ｘ＝１３１８７２mm２ ②


? Ｓ３＝２Ｚ＋２０Ｘ＋２０Ｙ＝１４４１５２mm２ ③ 教育
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· 北
京
1×２×５型的计算结果如下：
? Ｓ４＝４Ｙ＋１０Ｘ＋２０Ｚ＝８４３０４ｍｍ２ ④
? Ｓ５＝４Ｚ＋１０Ｘ＋２０Ｙ＝９４８６４ｍｍ２ ⑤


? Ｓ６＝４Ｘ＋１０Ｙ＋２０Ｚ＝６５２９６ｍｍ２ ⑥
? Ｓ７＝４Ｚ＋１０Ｙ＋２０Ｘ＝１２６５４４ｍｍ２⑦


? Ｓ８＝４Ｙ＋１０Ｚ＋２０Ｘ＝１２２５８４ｍｍ２⑧
? Ｓ９＝４Ｘ＋１０Ｚ＋２０Ｙ＝７１８９６ｍｍ２ ⑨ 教
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· 北
京
结论：
? 由计算发现：十包香烟表面积最小的打
包方法是：第六种，它的最小表面积是：
? ６５２９６ｍｍ２.
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· 北
京
发展性练习题
? 将上题中的6包改成12包或8包，结果怎
样？有没有一个更一般的处理这类问题
程序？

? 提示：先将12作“规则因式分解”，即把它表
成由小到大的三个因数的乘积，不足三个因数
的可用“１”代替。这样１２有如下四种“规
则因式分解”：12＝１×１×12；12＝１×２
×６；12＝２×２×３； 12＝１×３×４。
三个因数分别表示在ｘ、ｙ、ｚ方向上摆放的
盒数。
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· 北
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你还能提出哪些问题？
? 你能设计一个新的打包问题吗？
? 由打包问题你还能联想到那些相关的问
题？
? 你有解决这些问题的想法或方案吗？
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探究练习：
?不同的凸多面体中的顶点数v、棱数e、面数f
之间存在着怎样的关系？
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· 北
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【探究建议】
?先对常见的多面体进行实验观察、计数、归纳，
如可以填写下表：
?表3-1 常见的多面体几何量的实验观察记录表
所选多面体 顶点数v 棱数e 面数f 形成猜想
正四面体
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体
四棱柱
五棱锥
六棱台
自选观察体一？
自选观察体二？
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· 北
京
选做：试一试自己提出的一些与本问题相关的
新问题，如：

?（1）．是否有e, v, f间的不等关系？
?（2）．每一个棱数的多面体都存在吗？
?（3）．你上面发现的规律总是对的吗？能不
能构造出“反例”？，或者找出更一般的规律、
或者找到使你发现的规律成立的更严格的条件。
?（4）．你自己想到的新问题 ……
?

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· 北
京
?你的观察发现，形成的猜想是什么？你能否证
明它？如果能证明它，将它改写成定理，如果
不能，一方面可以修改猜想，进一步试探证明；
另一方面，也可以试探寻找相应的参考资料，
把它读懂，形成这一问题的一个结论性的结果。

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· 北
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探究作业--------“折纸的探究”

?（1） 用用一张矩形的白纸，上面没有任何记
号和标记，仅靠折动，怎样折出正三角形、正
方形、正六边形、正八边形、正五边形。为了
折出这些正多边形，矩形的长宽比有限制吗？。
?（2）（选做）探索用折痕和包络线的方法画
抛物线的方法。（网上检索+自主学习）

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折纸与探究的水平分析
? 任务驱动的学习：
用折纸的方法，你
能折出几种正多边
形？（小学、初中）








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正八边形怎么折？

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正五边形
的挑战

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高中的拓展
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初中折纸的成果
?


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自主学习

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新探究：
?已知：y=f(x)的图像，如何画出y=1/f(x)的图像？

?（1）探究策略讨论
?（2）有限实验
?（3）归纳发现
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2 2
2 2
2 2
1 1 1
(1) ; (2) ; (3) 1 ;
1
2 1
(4) ; (5) ; (6) ; (7) ;
3 2 4 4
1 1 2 2 1
(8) ; (9) ; (10) ; (11) .
2 4 2 2
x x
y y y
x x x
x x x
y y y y
x x x x
y y x y y x
x x x x
?
? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
练习二：
? ?
? ?
22 2
2 2
2
(1) ; (2) 2 3 1 4;
(3) 2 3 ; (4) 2 3;
(5) 2 3; (6) 1 3 .
y x y x x x
y x x y x x
y x x y x x
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
练习一：

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探究作业：
? 1. 几类函数的图像和性质的探究
?（1）分析给出函数 y = ax +
b
x
的图像和性质，
其中a、b是非零实常数
?（2）分析给出函数 y =
ax+b
cx+d
的图像和性质，
其中a、b、c?0、d是实常数
?（3）分析给出函数 y =
1
ax2+c+bx
的图像和性
质，其中a?0、b、c是实常数

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9。重心问题 （A=>B、C类的问题）

? 解析几何课本上给出了三角形的重心公式, 请
你将结果推广到凸四边形, 已知凸四边形的四
个顶点的坐标Ai（xi，yi）， i=1，2，3，4。
求出它的重心公式。建议从正方形做起、长方
形、平行四边形、一般四边形……。
? 进而引导学生自己提出的与本问题相关的其他
开放的子课题：如凸5边形的重心的算法、三棱
锥的重心等问题。
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五。一些数学探究的教学案例
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? 陈翀尧组《汉字使用频率的决定因素与之函数关系》
? 沈达组《衣服成本、原价、件数、总利润、降价能多卖件
数等与利润之间的关系》
? 卢迪组《电信手机新套餐收费问题》
? 宋畅组《关于篮球投篮角度与命中率关系的探讨》
? 王恺峥组《黄金期货问题》
? 越光组《手机价格随时间变化的函数研究》
? 陆袆组《贺岁片票房趋势》
? 陈莹娇组《自行车脚踏板旋转次数与行程的关系探究》
? 曹正旺组《银行利息计算问题》
? 吕兰松组《走出脚下的怪圈》
? 张宇白组《扔实心球问题》

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? 陈乐组《银行窗口优化问题》
? 张博洋组《确定篮球鞋的优劣综合指数》
? 邓啸然组《股票价值定量分析》
? 刘靺子组《汽车尾气排放研究》
? 朱晨冉组《电脑键盘优化》
? 北京公共交通出行问题(王子豪)
? 跳绳中的数学问题 (孟翰马申,安宇宁,曾凌寒)
? 每天天安门升国旗的时间与日期的函数关系(李烁、李佳
琪、贾潞、乔明宇）
? 地震中报道死亡人数随时问变化的规律(高胤翔,仇星，李
璐，骆文泰，赵丹妮)
? 预测中国人口峰值到来时间(叶麦…)

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? 最好的洗衣方案(李硕,王一涵,丁雪婷,王璐畅)
? 怎样投篮命中率更高(龚梓博、温佳杉、张竞天 王牧野)
? 饮料罐的优化设计（陈兆初、梁立、王喆、姚可）
? 太阳光通过南面窗子投下的光影面积与一天中时刻的关系(王雪韵 组
员：郑亦婷、赵婧雅、张植蕙)
? 神州行与动感地带 哪个更适合你(叶世清,张西达,董子祥,邵通)
? 跑步与边际效应递减原理(沈斯成、董婧、刘芳林、曾逸菲)
? 汽车侧滑的最佳入弯初速度（郭鸿涛，杭庆骅，李煌，刘禹淳）
? 飞机投弹(李亮，田一鸣，李晨飞，马若龙)
? 灯个数，角度，瓦数，距离与其可照亮的面积的关系(陈南 蒋思予 杨
明昱 尹玉瑶)
? 西瓜价格的变动研究及其未来价格的预测(王青南、陈雨亮、李翔宇、
蔡竞昂)
? 热水壶烧水温度与用电量的函数关系(倪增涛…)
? 竖直立在天空的烟花每一闪烁火焰颗粒的配重问题(沈怡辰…)
? 台球中的数学分析(刘业鸿…)
? 近地面空气温度与柏油马路温度的关系(檀望舒)
? 水温变化问题研究(王仲舒…)
? 由墨水扩散所想到的(王述宇…)
? 燃气灶旋钮旋转角度与使用的燃气量的关系(杨丽强…)
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数学建模小课题
?课题： 为所在小区设计一个最佳的邮政
投递路线, 设计一个合理的保安巡逻路
线。
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给学生的实施建议（初中）
? 1:对你要研究的小区,进行观察,收集必要的数据和信
息,(如平面图,楼的门洞的朝向,道路情况, 小区的进
出口位置等).
? 2: 复习必要的知识,如一笔画方法, 最短邮路的画法
等.
? 3:画出小区的平面示意图, (最好复印一下,以避免后
面画坏时重画),在图上完成邮政投递路线的设计,使
邮递员走的路线最短).
? 创新项目1:: 为小区设计一个合理的保安巡逻路线。首先思考”合
理”的含义
? 实践项目1: 按你设计的路线,实际走一遍, 测算出路程. 再让一个
按投递要求随意地走一遍, 看一看相差多少? (记录数据).

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保安巡更路线生成方案及流程设计
于颢 陈明卿 （北京大学附中）
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评价除了分数外还应该关注什么?
? 提出问题是否有新意
? 操作求解是否有创意
? 合作学习是否有效率
? 结果呈现是否有特色
? 反思拓展是否有眼光
? 自我感受是否有收获
? 兴趣动力是否有增强
? 数学素养是否有提高
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建模的“考试”

1. 一道完整的题
2. 问测量一个不可及的大楼，可操作的测量量如何
测量？
3. 这种测量法对不对？
4. 如何改进提高测量精度，提供的你的办法和数学
解释
5. P153 例26、27


6. 请大家参与！
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新疆学员21000185880：
? “新课程的备课” ：新课程的备课应该考虑以下
几个问题的实施：
1、如何把问问题的权利，百分之百地还给学生；
2、如何把发现简捷解法的“专利”，大智若愚
地让给学生；
3、如何把在班集体中显露数学才能的机遇，诚
心诚意地留给学生；
4、如何把通向成功之巅的阶梯，十分艺术地架
设给学生；
5、如何把带有鼓励与期望的评语，语重心长地
写给学生。 教
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国
· 北
京
小结
? 学科的核心素养绝不仅仅是掌握学科
的知识点和技能，更重要的是在学科知
识学习中表现出的人格特征和智慧特征，
是学科内在和潜在的价值、精神和文化
在学生身上的体现。
? 一线教师在提升学生和自己的数学
素养方面，大有作为、大有可为、时不
我待、机会多多。


教
育
部
普
通
高
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课
程
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和
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培
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