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考点13 任意角和弧度制及任意角的三角函数
无
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考点14 三角函数的图象与性质
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T9)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是 (　　)
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|[来源:学,科,网]
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【命题意图】考查三角函数的图象与性质,属于中档题.[来源:学科网ZXXK][来源:学&科&网]
【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图象的升降情况可得A正确.
2.(2019·全国卷Ⅱ文科·T8)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= (　　)
A.2 B. C.1 D.
【命题意图】考查函数的极值点以及三角函数的性质.
【解析】选A.由于x1=,x2=是函数两个相邻的极值点,故=-=,所以T=π,即ω==2.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
二、填空题
3.(2019·北京高考理科·T9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是　　　　.?[来源:学。科。网]
【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质,三角恒等变换,培养学生的转化思想与逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】f(x)=(1-cos 4x),最小正周期T==.[来源:学科网]
答案:
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考点15 函数y=Asin(wx+)的图象及三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[-π,π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当【光速解题】画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图象,由图象可得①④正确,故选C.

2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T12)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在上单调递增[来源:学_科_网]
④ω的取值范围是.[来源:Zxxk.Com]
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
【命题意图】本题考查三角函数y=Asin的图象与性质,意在考查考生制图、用图的求解能力.
【解析】选D.
①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,[来源:学科网ZXXK]

由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,故①正确.
②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.
④当f(x)=sin=0时,ωx+=kπ(k∈Z),
所以x=,[来源:学,科,网]
因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.
所以当k=5时,x=≤2π,
当k=6时,x=>2π,[来源:学科网ZXXK]
解得≤ω<,故④正确.
③函数f(x)=sin的增区间为
-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),
取k=0,
当ω=时,单调递增区间为-π当ω=时,单调递增区间为-π综上可得f(x)在上单调递增.故③正确.
所以结论正确的编号有①③④.
3.(2019·北京高考文科·T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 (　　)

A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
【命题意图】本题以直线与圆,三角函数作为问题背景,求面积的最值,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:大.
【解析】选B.阴影区域面积最大时,也即△PAB面积最大时,AB不动,P动,即底AB是定值,高为点P到AB的距离最大时,面积最大.此时,点P在优弧AB的中点上,如图所示.[来源:学#科#网Z#X#X#K]

设圆心为O,连接OA,OB,OP,
因为∠APB=β,所以∠AOB=2β,S扇形AOB=×2β×22=4β,
S△AOP=S△BOP=OA·OPsin∠AOP=×2×2sin(π-β)=2sin β,
所以阴影区域面积最大为4β+4sin β.
4.(2019·天津高考理科·T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命题意图】本题考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.
【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
5.(2019·天津高考文科·T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g=,则f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命题意图】本题考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.[来源:学+科+网]
【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;[来源:Zxxk.Com]
又因为f(x)的最小正周期为π,可得ω=2,
所以y=f(x)=Asin 2x,把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asin x,
由g=,可得A=2,
所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.[来源:Zxxk.Com]
二、填空题
6.(2019·全国卷Ⅰ文科·T15)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　.?[来源:学。科。网]
【命题意图】本题首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于cos x的二次函数.题目有一定的综合性,注重了基础知识、数学式子的变形及运算求解能力的考查.
【解析】f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=-2+,
因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,
故函数f(x)的最小值为-4.
答案:-4
【易错提醒】解答本题的过程中,部分考生易忽视-1≤cos x≤1的限制,而简单应用二次函数的性质,出现运算错误.
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考点16 三角函数的诱导公式、同角的基本关系式、[来源:学*科*网][来源:Zxxk.Com]
简单的三角恒等变换
一、选择题[来源:学科网ZXXK]
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T7)tan 255°= (　　)[来源:Zxxk.Com]
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
【命题意图】本题首先应用诱导公式,将问题转化成锐角三角函数的计算,进一步应用两角和的正切公式计算求解.题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.[来源:Zxxk.Com][来源:学。科。网]
【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)===2+.
【题后反思】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值及运算求解.
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T10同2019·全国卷Ⅱ文科·T11)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A. B. C. D.
【命题意图】考查三角恒等变换以及倍角公式的应用属于中档题.
【解析】选B.由2sin 2α=cos 2α+1可得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.
二、填空题[来源:学&科&网]
3.(2019·江苏高考·T13)已知=-,则sin的值是　　　　.?
【解题指南】由题意首先求得tan α的值,然后利用两角和、差的正、余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后弦化切求得三角函数式的值即可.
【解析】由===-,
得3tan2α-5tan α-2=0,
解得tan α=2,或tan α=-.
sin=sin 2αcos +cos 2αsin
=(sin 2α+cos 2α)=×
=×,
当tan α=2时,上式=×=;
当tan α=-时,上式=×=.
综上,sin=.
答案:
三、解答题
4.(2019·浙江高考·T18)(本小题满分14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.
(2)求函数y=+的值域.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
【命题意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.[来源:学*科*网]
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=或.
(2)y=+[来源:学科网ZXXK]
=sin2+sin2
=+
=1-
=1-cos.
因此,函数的值域是.
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考点17 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则= (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.
【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.
【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-=cos A=,所以=-,所以=,所以=×4=6,故选A.
二、填空题
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　.?
【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用.
【解析】因为cos B=,
又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,
解得c=2,a=4,
则△ABC的面积S=×4×2×=6.
答案:6
3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=　　　　.?
【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.
【解析】已知bsin A+acos B=0,由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,
又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=,cos B=-,故B=.
答案:
4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=
　　　　.?
【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.
【解析】在△ABD中,由正弦定理有:=,
而AB=4,∠ADB=,AC==5,
sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)
=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.

答案:　
三、解答题
5.(2019·全国卷Ⅰ理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.[来源:Z#xx#k.Com]
(1)求A.
(2)若a+b=2c,求sin C.
【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.
【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cos A,根据A∈(0,π)可求得结果;(2)利用正弦定理可得sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果.[来源:学+科+网]
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A==.
因为0°(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-.
由于0°故sin C=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=.
方法二:因为a+b=2c,由正弦定理得:sin A+sin B=2sin C,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,
所以×+cos C+sin C=2sin C,
整理可得:3sin C-=cos C,
即3sin C-cos C=2sin=,
所以sin=,所以C=或,
因为A=且A+C<π,所以C=,
所以sin C=sin=sin=sincos+
cossin=.
6.(2019·全国卷Ⅲ理科·T18同2019·全国卷Ⅲ文科·T18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.
(1)求B.
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
【命题意图】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式,意在考查考生综合应用三角知识运算求解能力.
【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
故cos=2sincos.
因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.[来源:Zxxk.Com]
由正弦定理得a===+.
由于△ABC为锐角三角形,故0°因此,△ABC面积的取值范围是.
7.(2019·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B-C)的值.
【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.[来源:学科网]
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=×-×=.
【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
8.(2019·北京高考文科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B+C)的值.
【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,
又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B=×+×=.
【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,[来源:Zxxk.Com]
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
9.(2019·天津高考理科·T15同2019·天津高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.[来源:Zxxk.Com]
(1)求cos B的值.
(2)求sin的值.[来源:学科网]
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,因为sin C≠0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos B===-.
(2)由(1)可得sin B==,sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故
sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-×-×=-.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
10.(2019·江苏高考·T15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值.
(2)若=,求sin的值.[来源:学科网ZXXK]
【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.
【解题指南】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程,解方程可得边长c的值.
(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B的值,然后由诱导公式可得sin的值.
【解析】(1)因为a=3c,b=,cos B=,
由cos B=,得=,即c2=.
所以c=.
(2)因为=,
由正弦定理=,得=,所以cos B=2sin B.
从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=.
因此sin=cos B=.
温馨提示：
此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。
考点18 解三角形应用举例
无

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