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考点一 集合
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T1)已知集合M={x|-4　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-4C.{x|-2【命题意图】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.
【解析】选C.由题意得,M={x|-4【误区警示】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者全部.
2.(2019·全国卷Ⅰ文科·T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩UA= (　　)
A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
【命题意图】本题主要考查交集、补集的运算.渗透了直观想象素养.使用补集思想得出答案.
【解题指南】先求UA,再求B∩UA.
【解析】选C.由已知得UA={1,6,7},所以B∩UA={6,7},故选C.
3.(2019·全国卷Ⅱ理科·T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞)
【命题意图】考查集合的运算和不等式的解法,容易题.
【解析】选A.解得集合A:x<2或x>3,集合B:x<1.结合数轴可得x<1.
4.(2019·全国卷Ⅱ文科·T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.(-1,2) D.?
【命题意图】考查集合有关知识和运算,属于容易题.
【解析】选C.结合数轴可得A∩B=(-1,2).
5.(2019·全国卷Ⅲ理科·T1同2019·全国卷Ⅲ文科·T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2}
【命题意图】本题考查集合的交集,意在考查考生解不等式、集合的运算求解能力.
【解析】选A.B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所以A∩B={-1,0,1}.
6.(2019·北京高考文科·T1)已知集合A={x|-11},则A∪B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-1,1) B.(1,2)
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
【命题意图】本题考查集合的并集运算,考查运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.试题难度:易.
【解析】选C.在数轴上作出集合A,B,如图所示.

数形结合知,A∪B={x|x>-1}=(-1,+∞).
7.(2019·天津高考理科·T1同2019·天津高考文科·T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
【命题意图】本题考查考生对集合的含义、表示方式及集合的并集、交集的理解与运算.
【解题指南】先求出A∩C,再求(A∩C)∪B即可.
【解析】选D.因为集合A={-1,1,2,3,5},C={x∈R|1≤x<3},所以A∩C={1,2},又因为B={2,3,4},所以(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助Venn图或数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.
8.(2019·浙江高考·T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则UA∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{-1} B.{0,1} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}
【命题意图】本题主要考查集合的补集与交集的运算.
【解析】选A.因为UA={-1,3},所以UA∩B={-1}.
二、填空题
9.(2019·江苏高考·T1)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=　　　　.?
【命题意图】主要考查集合运算,运用交集定义求解.
【解析】因为集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},所以A∩B={1,6}.
答案:{1,6}
考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.(2019·北京高考理科·T7)设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本小题主要考查平面向量与充分条件、必要条件,意在考查平面向量的模、数量积的应用,培养学生的运算能力与逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】选C.因为||=|-|,
所以|+|>||?|+|>|-|?|+|2>|-|2?·>0?与的夹角为锐角或0°,又因为点A,B,C不共线,所以与的夹角不为0°,即|+|>||?与的夹角为锐角.
2.(2019·北京高考文科·T6)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本小题主要考查三角函数性质与充分条件、必要条件,意在考查三角函数的应用,培养学生的运算能力与逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】选C.若b=0,则f(x)=cos x,是偶函数;
若f(x)是偶函数,则f=f,即-b=b,即b=0.
综上,“b=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.
3.(2019·天津高考理科·T3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查充要条件的定义和判断方法,考查一元二次不等式,绝对值不等式的解法.　
【解析】选B.因为x2-5x<0,所以0【方法技巧】充要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p?q,q?p进行判断.
(2)集合法:根据由p,q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
4.(2019·天津高考文科·T3)设x∈R,则“0A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查充要条件的定义和判断方法,考查绝对值不等式的解法.
【解析】选B.因为|x-1|<1,所以0【方法技巧】充要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p?q,q?p进行判断.
(2)集合法:根据由p,q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
5.(2019·浙江高考·T5)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查条件的判断.
【解析】选A.如图所示,由a>0,b>0,a+b≤4?ab≤4,反之不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.

考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅲ文科·T11)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:?(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:?(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q　②p∨q　③p∧q　④p∧q
这四个命题中,所有真命题的编号是 (　　)
A.①③ B.①② C.②③ D.③④
【解题指南】分别判断命题p,q的真假,再利用逻辑联结词选择.
【解析】选A.分别取区域D内的点A(6,0),B(6,3),对于命题p,因为2×6+0=12≥9,故是真命题;对于命题q,因为2×6+3=15>12,故是假命题.所以p为假命题,q为真命题.故p∨q,p∧q为真命题.
考点4 函数及其表示
一、填空题
1.(2019·江苏高考·T4)函数y=的定义域是　　　　.?
【命题意图】主要考查定义域,运用根式定义域以及二次不等式求解.
【解析】由y=得7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7.
答案:[-1,7]
【题后反思】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.
考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
【命题意图】考查函数的性质、不等式的解法以及数学运算,属于较难题.
【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.

2.(2019·全国卷Ⅱ文科·T6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)= (　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
【命题意图】考查函数的奇偶性以及求函数的解析式.
【解析】选D.当x<0时,则-x>0,则有f(-x)=e-x-1,又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-e-x+1.
3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T11同2019·全国卷Ⅲ文科·T12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 (　　)
A.f>f()>f()　
B.f>f()>f()
C.f()>f()>f
D.f()>f()>f
【命题意图】本题考查函数的性质的应用,意在考查考生利用函数的奇偶性、单调性、指数与对数的性质的求解能力.
【解析】选C.依据题意,函数f(x)为偶函数且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;
因为f=f(-log34)=f(log34);
又因为0<<<1所以f()>f()>f.
二、填空题
4.(2019·全国卷Ⅱ理科·T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　　　.?
【命题意图】考查函数的奇偶性以及数学运算能力.
【解析】因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.
答案:-3
5.(2019·江苏高考·T14)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是　　　　　　.?
【命题意图】主要考查数形结合和直线与圆的位置关系,属综合题,对知识运用能力综合考查.
【解析】当x∈(0,2]时,f(x)=,即(x-1)2+y2=1,y≥0.
又f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为4,如图,函数f(x)与g(x)的图象(部分),要使f(x)=g(x)在(0,9]上有8个不同实根,只需二者图象有8个交点即可.

当g(x)=-时,函数f(x)与g(x)的图象有2个交点;
当g(x)=k(x+2)时,g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线,只需函数f(x)与g(x)的图象有6个交点.当f(x)与g(x)图象相切时,圆心(1,0)到直线kx-y+2k=0的距离为1,即=1,得k=,函数f(x)与g(x)的图象有3个交点;当g(x)=k(x+2)过点(1,1)时,函数f(x)与g(x)的图象有6个交点,此时1=3k,得k=.
综上可知,满足f(x)=g(x)在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为.
【题后反思】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数,从而确定参数的取值范围.
答案:
考点6 指数函数、对数函数、幂函数
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T3同2019·全国卷Ⅰ文科·T3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 (　　)
A.a【命题意图】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.
【解题指南】运用中间量0比较a,c,运用中间量1比较b,c.
【解析】选B.a=log20.220=1,0<0.20.3<0.20=1,则02.(2019·北京高考文科·T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)
A.y= B.y=2-x C.y=lox D.y=
【命题意图】本题考查基本初等函数的单调性,考查考生应用数学解决问题的能力和运算能力等.
【解析】选A.对A,y=是幂函数,且>0,所以y=在(0,+∞)上单调递增;对B,y=2-x即y=是指数函数,且0<<1,所以y=2-x在(0,+∞)上单调递减;对C,y=lox是对数函数,且0<<1,所以y=lox在(0,+∞)上单调递减;对D,y=即y=x-1是幂函数,且-1<0,所以y=在(0,+∞)上单调递减.
3.(2019·天津高考理科·T6)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.aC.b【命题意图】本题考查考生对于对数的运算法则、指数函数、对数函数的性质的理解与掌握情况,考查考生对比较实数大小的方法的掌握情况.　
【解析】选A.0b=log0.50.2>log0.50.5=1,
c=0.50.2>0.51=,所以a【方法技巧】一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一下每个数值,看能否根据估算值直接比较大小;估算不行的话再找中间量,经常和0,1,-1比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.
4.(2019·天津高考文科·T5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c【命题意图】本题考查考生对于对数的运算法则、指数函数、对数函数的性质的理解与掌握情况,考查考生对比较实数大小的方法的掌握情况.　
【解题指南】利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小.
【解析】选A.c=0.30.2<0.30=1;log27>log24=2;
1【方法技巧】一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一下每个数值,看能否根据估算值直接比大小;估算不行的话再找中间量,经常和0,1,-1比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.
考点7 函数的图象
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T5同2019·全国卷Ⅰ文科·T5)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为 (　　)

【命题意图】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.
【解题指南】先判断函数的奇偶性,得f(x)是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.
【解析】选D.由f(-x)===-f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.又f==>1,f(π)=>0.故选D.
2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T7)函数y=在[-6,6]上的图象大致为 (　　)

【命题意图】本题考查函数图象的判断,意在考查考生函数的奇偶性、特值等性质的应用求解能力.
【解析】选B.因为y=f(x)=,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,排除选项C.
又因为f(4)=≈=8,
根据图象进行判断,可知选项B符合题意.
3.(2019·浙江高考·T6)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是 (　　)

【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图象问题.
【解析】选D.y=loga的图象过点,排除A,C.y==与y=loga的单调性相异.可排除B.
考点8 函数与方程、函数模型及其应用
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅲ文科·T5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解题指南】利用二倍角公式变形,列方程求零点.
【解析】选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,
则sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.
2.(2019·北京高考理科·T6同2019·北京高考文科·T7)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 (　　)
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
【命题意图】本题以天文学作为问题背景,考查对数的运算法则,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,
lg=10.1,=1010.1.
3.(2019·浙江高考·T9)已知a,b∈R,函数f(x)=
若函数y=f(x)-ax-b恰有三个零点,则 (　　)
A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0
C.a>-1,b>0 D.a>-1,b<0
【解析】选D.y=f(x)-ax-b=
求导:y'=
(1)当a<-1时,y'≥0(y'|x=0=0)
所以y=f(x)-ax-b在R上是增函数,不会多于一个零点,故A,B两选项排除.
(2)当a>-1时,y=f(x)-ax-b在(0,a+1]上y'<0,是减函数,在(a+1,+∞)上y'>0,是增函数.
若b>0,y=f(x)-ax-b与y轴交点(0,-b)在y轴的负半轴上,其图象特征是:在y轴左侧为射线,起点(0,-b),在y轴右侧从(0,-b)开始,先减后增,从而至多出现两个零点,故C选项排除.
二、填空题
4.(2019·北京高考理科·T14同2019·北京高考文科·T14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;?
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.?
【命题意图】本题考查函数模型的应用,考查逻辑推理能力,运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.试题难度:大.
【解析】①价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.
②设促销前总价为a元,a≥120,李明得到金额l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值为=15,所以x最大值为15.
答案:130　15
【反思总结】实际问题求最值,往往数学建模,转化为求函数的最值.但是本题第②问,求x最值,可转化为恒成立问题,再转化为求的最值.
考点9 变化率与导数、导数的计算
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ文科·T10)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为 (　　)
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
【命题意图】考查函数的导数与切线斜率的关系、导数的运算.
【解析】选C.由y=2sin x+cos x可得y'=2cos x-sin x,当x=π时,y'=-2,即切线的斜率为-2,所以切线方程为2x+y-2π+1=0.
2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T6同2019·全国卷Ⅲ文科·T7)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (　　)
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
【命题意图】本题考查导数的运算,导数在切线问题中的应用.意在考查考生导数公式、运算法则、切线的求法的求解能力.
【解析】选D.令f(x)=aex+xln x,
则f'(x)=aex+ln x+1,f'(1)=ae+1=2,得a==e-1.
f(1)=ae=2+b,可得b=-1.
二、填空题
3.(2019·全国卷Ⅰ理科·T13同2019·全国卷Ⅰ文科·T13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　　　.?
【命题意图】本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程.
【解析】y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以,k=y'|x=0=3,
所以,曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.
答案:3x-y=0
【题后反思】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求.
4.(2019·天津高考文科·T11)曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　　　.?
【命题意图】本题考查导数的概念,求导法则以及常见函数的导函数公式.
【解题指南】利用导数值确定切线斜率,再用点斜式写出切线方程.
【解析】y'=-sin x-,当x=0时其值为-,故所求的切线方程为y-1=-x,即x+2y-2=0.
答案:x+2y-2=0
【方法技巧】曲线切线方程的求法
(1)以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f'(x);②求切线的斜率f'(x0);
③写出切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),并化简.
(2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程.
5.(2019·江苏高考·T11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　.?
【命题意图】主要考查导数的几何意义,根据导数的几何意义求得斜率,表示出切线方程,然后将已知点代入可得.
【解析】设点A(x0,y0),则y0=ln x0.又y'=,
当x=x0时,y'=,
曲线y=ln x在点A处的切线为y-y0=(x-x0),
即y-ln x0=-1,
代入点(-e,-1),得-1-ln x0=-1,
即x0ln x0=e,
考查函数H(x)=xln x,当x∈(0,1)时,H(x)<0,当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,
且H'(x)=ln x+1,当x>1时,H'(x)>0,H(x)单调递增,
注意到H(e)=e,故x0ln x0=e存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1,
故点A的坐标为A(e,1).
答案:(e,1)
【误区警示】导数运算及切线的理解应注意的问题
(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
(2)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.

考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
一、选择题
1.(2019·天津高考理科·T8)已知a∈R,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为 (　　)
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]
【解析】选C.对于第一段函数,当a≥1时,只需f(1)=12-2a+2a=1,此时f(x)≥0,符合题意;当a<1时,只需x2-2ax+2a=0的判别式(-2a)2-4×2a≤0,解得:0≤a≤2.所以a≥0.
对于第二段函数,由题意得x-aln x≥0(x>1),即a≤(x>1),设y=(x>1),易知该函数在(1,e)上为减函数,在(e,+∞)上为增函数,所以其最小值为e,所以a≤e.
综上可知:0≤a≤e.
【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:
选C.若a=0,当x≤1时,f(x)=x2,f(x)≥0;
当x>1时,f(x)=x,f(x)≥0.所以排除D选项.
若a=2,当x≤1时,f(x)=x2-4x+4,f(x)≥0;
当x>1时,f(x)=x-2ln x>0,所以排除A选项.
若a=e,当x≤1时,f(x)=x2-2ex+2e,f(x)≥0;
当x>1时,f(x)=x-eln x>0,所以排除B选项.
2.(2019·天津高考文科·T8)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为 (　　)
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
【解题指南】画出f(x)图象及直线y=-x+a,借助图象分析.
【解析】选D.如图,当直线y=-x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方,或者直线y=-x+a与曲线y=相切在第一象限时符合要求.
即1≤-+a≤2,即≤a≤,
或者-=-,得x=2,y=,
即=-×2+a,得a=1,
所以a的取值范围是∪{1}.

【方法技巧】根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法.
二、填空题
3.(2019·北京高考理科·T13)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　.?
【命题意图】本题考查了函数奇偶性,单调性,指数函数的性质,同时也考查了数学运算能力.
【解析】①显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1.
②因为f(x)是R上的增函数,所以f'(x)=ex-ae-x=≥0恒成立,即g(x)=(ex)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值范围是(-∞,0].
答案:-1　(-∞,0]
【误区警示】若f(x)为奇函数,不一定有f(0)=0,例如f(x)=.f(0)有意义时有f(0)=0.
三、解答题
4.(2019·全国卷Ⅰ理科·T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:
(1)f'(x)在区间存在唯一极大值点;
(2)f(x)有且仅有2个零点.
【命题意图】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键:一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点,另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性,二者缺一不可.
【解析】(1)设g(x)=f'(x),
则g(x)=cos x-,g'(x)=-sin x+.
当x∈时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'()<0,可得g'(x)在有唯一零点,设为α.
则当x∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0.
所以g(x)在(-1,α)单调递增,在单调递减,故g(x)在存在唯一极大值点,即f'(x)在存在唯一极大值点.
(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).
①当x∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在(-1,0)单调递增,而f'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)单调递减,又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零点.
②当x∈时,由(1)知,f'(x)在(0,α)单调递增,在单调递减,而f'(0)=0,f'<0,所以存在β∈,使得f'(β)=0,且当x∈(0,β)时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.故f(x)在(0,β)单调递增,在单调递减.
又f(0)=0,f=1-ln>0,所以当x∈时,f(x)>0.从而,f(x)在没有零点.
③当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在单调递减.而f>0,f(π)<0,所以f(x)在有唯一零点.
④当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)没有零点.
综上,f(x)有且仅有2个零点.
5.(2019·全国卷Ⅱ理科·T20)已知函数f(x)=ln x-.
(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点.
(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.
【命题意图】考查函数的单调性、函数的零点的概念和判定,函数在某点处的导数值与该点处切线的斜率的关系.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,1),(1,+∞),因为f'(x)=+>0,所以f(x)分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增.
因为f(e)=1-<0,f(e2)=2-=>0,
所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x1,即f(x1)=0.
又0<<1,f=-ln x1+=-f(x1)=0,
故f(x)在(0,1)有唯一零点.
综上,f(x)有且仅有两个零点.
(2)因为=,故点B在曲线y=ex上.
由题设知f(x0)=0,即ln x0=,故直线AB的斜率k===.曲线y=ex在点B(-ln x0,)处切线的斜率是,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是,
所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.
6.(2019·全国卷Ⅱ文科·T21)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点.
(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
【命题意图】考查函数的导数与单调性的关系、函数的极值点以及函数性质的应用.
【证明】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=+ln x-1=ln x-.
因为y=ln x单调递增,y=单调递减,
所以f'(x)单调递增,
又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln 2-=>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f'(x0)=0.
又当xx0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因此,f(x)存在唯一的极值点.
(2)由(1)知f(x0)0,
所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α.
由α>x0>1得<1又f=ln--1==0,故是f(x)=0在(0,x0)的唯一根.
综上,f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
7.(2019·全国卷Ⅲ理科·T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.
【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性、最值中的应用,意在考查考生数学运算、逻辑推理的求解能力.
【解析】(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减;
若a=0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.
(2)满足题设条件的a,b存在.
①当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件,当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.
②当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.
③当0f=-+b,最大值为b或2-a+b.
若-+b=-1,b=1,则a=3,与0若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1,最大值为1.
8.(2019·全国卷Ⅲ文科·T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当0【解题指南】(1)求出f'(x),解不等式求单调区间.
(2)根据f'(x)的零点与区间的关系分类表示出最值,再求差的范围.
【解析】(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减;
若a=0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0.
故f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.
(2)当0所以f(x)在[0,1]的最小值为f=-+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
于是m=-+2,M=
所以M-m=
当0当2≤a<3时,单调递增,
所以M-m的取值范围是.
综上,M-m的取值范围是.
9.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)=x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
【命题意图】本题主要考查导数的应用,求切线方程,研究函数的极值和最值,考查转化与化归能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.
【解析】(1)f(x)定义域为R,f'(x)=x2-2x+1,
设切点为P(x0,y0),则
y0=f(x0)=-+x0,k=f'(x0)=-2x0+1=1,
所以x0=0,,
当x0=0时,y0=0,切线方程为y-0=x-0,即x-y=0;
当x0=时,y0=,切线方程为y-=x-,即27x-27y-64=0.
(2)令g(x)=f(x)-x=x3-x2,x∈[-2,4],则
g'(x)=f'(x)-1=x2-2x,
令g'(x)=0得x=0,,
x,g'(x),g(x)关系如下
x (-2,0) 0
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ ↘ ↗

又因为g(-2)=-6,g(0)=0,g=-,g(4)=0,
所以在x∈[-2,4]上,g(x)min=-6,g(x)max=0,
所以-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.
(3)由(2)知,-6≤f(x)-x≤0,-6-a≤f(x)-(x+a)≤-a,
所以M(a)=max{|-6-a|,|-a|}=max{|a+6|,|a|},
①若a≤-6,则M(a)=max{-a-6,-a}=-a,
当a=-6时,M(a)最小,为6;
②若-6=
a=-3时M(a)最小,为3;
③若a≥0,则M(a)=max{a+6,a}=a+6,
当a=0时,M(a)最小,为6.
综上,M(a)最小为3,M(a)最小时a=-3.

10.(2019·江苏高考·T19)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值.
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值.
(3)若a=0,0【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.
【解题指南】(1)由题意得到关于a的方程,解方程即可确定a的值.
(2)由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式,然后求其导函数,由导函数即可确定函数的极小值.
(3)由题意首先确定函数的极大值M的表达式,然后证明题中的不等式.
【解析】(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.
因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.
(2)因为b=c,
所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,
从而f'(x)=3(x-b).令f'(x)=0,得x=b或x=.
因为a,b,都在集合{-3,1,3}中,且a≠b,
所以=1,a=3,b=-3.
此时f(x)=(x-3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x-1).
令f'(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.
(3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,
f'(x)=3x2-2(b+1)x+b.
因为00,
则f'(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1由f'(x)=0,得x1=,
x2=.
列表如下:
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以f(x)的极大值M=f(x1).
因为0当x∈(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.
令g(x)=x(x-1)2,x∈(0,1),则g'(x)=3(x-1).
令g'(x)=0,得x=.列表如下:
x
g'(x) + 0 -
g(x) ↗ 极大值 ↘

所以当x=时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g=.
所以当x∈(0,1)时,f(x)≤g(x)≤,因此M≤.

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