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考点14 三角函数的图象与性质
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T9)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是 (　　)
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【命题意图】考查三角函数的图象与性质,属于中档题.
【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图象的升降情况可得A正确.
2.(2019·全国卷Ⅱ文科·T8)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= (　　)
A.2 B. C.1 D.
【命题意图】考查函数的极值点以及三角函数的性质.
【解析】选A.由于x1=,x2=是函数两个相邻的极值点,故=-=,所以T=π,即ω==2.
二、填空题
3.(2019·北京高考理科·T9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是　　　　.?
【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质,三角恒等变换,培养学生的转化思想与逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】f(x)=(1-cos 4x),最小正周期T==.
答案:
考点15 函数y=Asin(wx+)的图象及三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[-π,π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当【光速解题】画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图象,由图象可得①④正确,故选C.

2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T12)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在上单调递增
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
【命题意图】本题考查三角函数y=Asin的图象与性质,意在考查考生制图、用图的求解能力.
【解析】选D.
①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,

由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,故①正确.
②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.
④当f(x)=sin=0时,ωx+=kπ(k∈Z),
所以x=,
因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.
所以当k=5时,x=≤2π,
当k=6时,x=>2π,
解得≤ω<,故④正确.
③函数f(x)=sin的增区间为
-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),
取k=0,
当ω=时,单调递增区间为-π当ω=时,单调递增区间为-π综上可得f(x)在上单调递增.故③正确.
所以结论正确的编号有①③④.
3.(2019·北京高考文科·T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 (　　)

A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
【命题意图】本题以直线与圆,三角函数作为问题背景,求面积的最值,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:大.
【解析】选B.阴影区域面积最大时,也即△PAB面积最大时,AB不动,P动,即底AB是定值,高为点P到AB的距离最大时,面积最大.此时,点P在优弧AB的中点上,如图所示.

设圆心为O,连接OA,OB,OP,
因为∠APB=β,所以∠AOB=2β,S扇形AOB=×2β×22=4β,
S△AOP=S△BOP=OA·OPsin∠AOP=×2×2sin(π-β)=2sin β,
所以阴影区域面积最大为4β+4sin β.
4.(2019·天津高考理科·T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命题意图】本题考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.
【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
5.(2019·天津高考文科·T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g=,则f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命题意图】本题考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.
【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;
又因为f(x)的最小正周期为π,可得ω=2,
所以y=f(x)=Asin 2x,把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asin x,
由g=,可得A=2,
所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
二、填空题
6.(2019·全国卷Ⅰ文科·T15)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　.?
【命题意图】本题首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于cos x的二次函数.题目有一定的综合性,注重了基础知识、数学式子的变形及运算求解能力的考查.
【解析】f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=-2+,
因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,
故函数f(x)的最小值为-4.
答案:-4
【易错提醒】解答本题的过程中,部分考生易忽视-1≤cos x≤1的限制,而简单应用二次函数的性质,出现运算错误.
考点16 三角函数的诱导公式、同角的基本关系式、
简单的三角恒等变换
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T7)tan 255°= (　　)
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
【命题意图】本题首先应用诱导公式,将问题转化成锐角三角函数的计算,进一步应用两角和的正切公式计算求解.题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)===2+.
【题后反思】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值及运算求解.
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T10同2019·全国卷Ⅱ文科·T11)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A. B. C. D.
【命题意图】考查三角恒等变换以及倍角公式的应用属于中档题.
【解析】选B.由2sin 2α=cos 2α+1可得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.
二、填空题
3.(2019·江苏高考·T13)已知=-,则sin的值是　　　　.?
【解题指南】由题意首先求得tan α的值,然后利用两角和、差的正、余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后弦化切求得三角函数式的值即可.
【解析】由===-,
得3tan2α-5tan α-2=0,
解得tan α=2,或tan α=-.
sin=sin 2αcos +cos 2αsin
=(sin 2α+cos 2α)=×
=×,
当tan α=2时,上式=×=;
当tan α=-时,上式=×=.
综上,sin=.
答案:
三、解答题
4.(2019·浙江高考·T18)(本小题满分14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.
(2)求函数y=+的值域.
【命题意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=或.
(2)y=+
=sin2+sin2
=+
=1-
=1-cos.
因此,函数的值域是.
考点17 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则= (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.
【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.
【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-=cos A=,所以=-,所以=,所以=×4=6,故选A.
二、填空题
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　.?
【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用.
【解析】因为cos B=,
又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,
解得c=2,a=4,
则△ABC的面积S=×4×2×=6.
答案:6
3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=　　　　.?
【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.
【解析】已知bsin A+acos B=0,由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,
又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=,cos B=-,故B=.
答案:
4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=
　　　　.?
【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.
【解析】在△ABD中,由正弦定理有:=,
而AB=4,∠ADB=,AC==5,
sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)
=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.

答案:　
三、解答题
5.(2019·全国卷Ⅰ理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A.
(2)若a+b=2c,求sin C.
【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.
【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cos A,根据A∈(0,π)可求得结果;(2)利用正弦定理可得sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A==.
因为0°(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-.
由于0°故sin C=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=.
方法二:因为a+b=2c,由正弦定理得:sin A+sin B=2sin C,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,
所以×+cos C+sin C=2sin C,
整理可得:3sin C-=cos C,
即3sin C-cos C=2sin=,
所以sin=,所以C=或,
因为A=且A+C<π,所以C=,
所以sin C=sin=sin=sincos+
cossin=.
6.(2019·全国卷Ⅲ理科·T18同2019·全国卷Ⅲ文科·T18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.
(1)求B.
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
【命题意图】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式,意在考查考生综合应用三角知识运算求解能力.
【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
故cos=2sincos.
因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
由正弦定理得a===+.
由于△ABC为锐角三角形,故0°因此,△ABC面积的取值范围是.
7.(2019·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B-C)的值.
【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=×-×=.
【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
8.(2019·北京高考文科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B+C)的值.
【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,
又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B=×+×=.
【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
9.(2019·天津高考理科·T15同2019·天津高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.
(1)求cos B的值.
(2)求sin的值.
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,因为sin C≠0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos B===-.
(2)由(1)可得sin B==,sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故
sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-×-×=-.
10.(2019·江苏高考·T15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值.
(2)若=,求sin的值.
【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.
【解题指南】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程,解方程可得边长c的值.
(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B的值,然后由诱导公式可得sin的值.
【解析】(1)因为a=3c,b=,cos B=,
由cos B=,得=,即c2=.
所以c=.
(2)因为=,
由正弦定理=,得=,所以cos B=2sin B.
从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=.
因此sin=cos B=.
考点19 平面向量的概念及其线性运算、
平面向量的基本定理及向量坐标运算
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T7同2019·全国卷Ⅰ文科·T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　)
A. B. C. D.
【命题意图】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归的思想,以及数学运算等数学素养.
【解题指南】先由(a-b)⊥b得出向量a,b的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.
【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ===,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为,故选B.
【题后反思】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的模,再利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,最后求出夹角,注意向量夹角范围为[0,π].
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T3)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·= (　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【命题意图】考查向量的坐标运算,向量的模,以及向量的数量积运算.
【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.
3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= (　　)
A. B.2 C.5 D.50
【命题意图】考查向量的坐标运算以及向量的模,属于容易题.
【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|==.
考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例
一、填空题
1.(2019·全国卷Ⅲ理科·T13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos????a,c????=　　　　.?
【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,
所以|c|=3,
因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,
所以cos????a,c????===.
答案:
【误区警示】本题容易忽视a,b为单位向量,致使解题困难.
2.(2019·全国卷Ⅲ文科·T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos????a,b????=　　　　.?
【解题指南】直接代入向量的夹角公式计算.
【解析】cos????a,b????===-.
答案:-
3.(2019·北京高考文科·T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　.?
【命题意图】本题考查向量的垂直与数量积,重在考查运算求解能力.
【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,
所以m=8.
答案:8
4.(2019·天津高考理科·T14同2019·天津高考文科·T14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=　　　　.?
【命题意图】本题考查向量的概念以及运算法则,考查数形结合思想,考查考生应用向量手段解决问题的能力和运算求解能力等.
【解题指南】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解即可.
【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,
因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,
因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.
因为∠BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.
因为==-=-,
所以·=(-)·=·--=×2×5×-12-10=-1.

答案:-1
【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:
建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.
因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,
因为AE=BE,所以∠BAE=30°,
所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),
直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.
由得x=,y=-1,所以E(,-1).
所以·=·(,-1)=-1.

答案:-1
5.(2019·浙江高考·T17)已知正方形ABCD的边长为1,当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.?
【命题意图】本题主要考查平面向量的应用,题目难度较大.从引入“基向量”入手,简化模的表现形式,利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【解析】λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6
=(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)
要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的值最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,
λ5=1,λ6=1,
此时|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|min=0,
|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|2
=|(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)|2
=(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤(|λ1|+|λ3|+|λ5-λ6|)2+(|λ2|+|λ4|+|λ5+λ6|)2
=(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2
=8+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)+(λ5-λ6)2+(λ5+λ6)2
=8+4+2+2
=12+4
=12+4=20,
等号成立当且仅当λ1,-λ3,λ5-λ6均非负或者均非正,并且λ2,-λ4,λ5+λ6均非负或者均非正.
比如λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,λ5=1,λ6=1,
则|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|max==2.
答案:0　2
6.(2019·江苏高考·T12)

如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是　　　　.?
【命题意图】主要考查平面向量的基本定理和数量积,选取,为基本量.
【解析】

如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
6·=3·(-)=(+)·(-)
=(+)·=
==·-+=·,
得=,即||=||,故=.
答案:
考点21 数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 (　　)
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
【命题意图】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易.此题可采用几何法,根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可求解.
【解析】选C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C.
【反思总结】本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法,利用方程思想解题.
2.(2019·全国卷Ⅰ文科·T1)设z=,则|z|= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B. C. D.1
【命题意图】本题主要考查复数的乘法运算,复数模的计算.本题也可以运用复数模的运算性质直接求解.
【解题指南】先由复数的除法运算(分母实数化),求得z,再求|z|.
【解析】选C.因为z=,所以z==-i,所以|z|==,故选C.
3.(2019·全国卷Ⅱ理科·T2)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【命题意图】考查复数的有关概念、共轭复数以及复数的几何意义.
【解析】选C.由z=-3+2i可得=-3-2i,故对应点的坐标为(-3,-2),此点在第三象限.
4.(2019·全国卷Ⅱ文科·T2)设z=i(2+i),则= (　　)
A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i
【命题意图】考查复数的运算以及共轭复数,属于容易题.
【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.
5.(2019·全国卷Ⅲ理科·T2同2019·全国卷Ⅲ文科·T2)若z(1+i)=2i,则z= (　　)
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
【命题意图】本题考查复数的除法,意在考查考生复数的运算求解能力.
【解析】选D.z(1+i)=2i,z===i(1-i)=1+i.
6.(2019·北京高考理科·T1同2019·北京高考文科·T2)已知复数z=2+i,则z·= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C.3 D.5
【命题意图】本题考查共轭复数,复数的运算与性质,重在考查基本运算求解能力,难度较小.
【解析】选D.z·=(2+i)(2-i)=4-i2=5.
【光速解题】z·=|z|2=()2=5.
二、填空题
7.(2019·天津高考理科·T9同2019·天津高考文科·T9)i是虚数单位,则的值为　　　　.?
【命题意图】本题考查复数的概念以及复数的四则运算法则,考查考生的运算能力.
【解题指南】先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模.
【解析】==|2-3i|=.
答案:
【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:===.
答案:
8.(2019·浙江高考·T11)复数z=(i为虚数单位),则|z|=　　　　.?
【命题意图】本题主要考查复数的代数运算及复数模的运算.
【解析】z===,
所以|z|==.
答案:
9.(2019·江苏高考·T2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　.?
【命题意图】主要考查复数计算,运用复数的基本运算使得实部为0.
【解析】因为(a+2i)(1+i)=(a+2)i+a-2,实部为0,即a-2=0,所以a=2.
答案:2
考点22 等差数列及其前n项和
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 (　　)
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式,渗透方程思想,以及数学运算等素养.利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再通过计算即可作出判断.
【解析】选A.由题知,
解得所以an=2n-5,故选A.
【光速解题】本题还可用排除法,对于B,a5=5,S4==-10≠0,排除B,
对于C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C.
对于D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=2.5≠5,排除D,故选A.
二、填空题
2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T14)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=　　　　.?
【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,
所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),
所以====4.
答案:4
3.(2019·北京高考理科·T10)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=　　　　,Sn的最小值为　　　　.?
【命题意图】本小题主要考查等差数列,属容易题,意在考查等差数列通项公式与基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,当n=4或5时,Sn最小,为-10.
答案:0　-10
【方法技巧】求等差数列前n项和的最值方法
1.求前n项和Sn=n2+n=An2+Bn,其结构是以n为自变量的二次函数,从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题.
2.利用通项公式,令an=0,解得n0,当n取最接近n0的整数时,前n项和有最值.
4.(2019·江苏高考·T8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　.
【命题意图】主要考查数列的基本量,运用基本量法求解.
【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2a5+a8=0,S9=27,
得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.
答案:16
【题后反思】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建a1,d的方程组.
三、解答题
5.(2019·全国卷Ⅱ理科·T19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【命题意图】考查等差数列、等比数列的概念以及判定方法,数列通项公式的求解方法.
【解析】(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).
又因为a1+b1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列.
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.
所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,
bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.

考点23 等比数列及其前n项和
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅲ理科·T5同2019·全国卷Ⅲ文科·T6)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= (　　)
A.16 B.8 C.4 D.2
【命题意图】本题考查等比数列通项公式的应用,意在考查考生数列基本量的运算求解能力.
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
二、填空题
2.(2019·全国卷Ⅰ理科·T14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　.?
【命题意图】本题根据已知条件,列出关于等比数列公比q的方程,应用等比数列的求和公式,计算得到S5.题目的难度不大,注重基础知识、基本计算能力的考查.
【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.
答案:
【易错警示】准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式计算,部分考生易出现运算错误.
3.(2019·全国卷Ⅰ文科·T14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=　　　　.?
【命题意图】准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式计算,部分考生易出现运算错误.题目的难度不大,注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【解题指南】本题根据已知条件,列出关于等比数列公比q的方程,应用等比数列的求和公式,计算得到S4.
【解析】设等比数列的公比为q,由已知
S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,
解得q=-,所以S4===.
答案:
【光速解题】S4=S3+a4=S3+a1q3=+=.
4.(2019·全国卷Ⅲ文科·T14)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=5,a7=13,则S10=　　　　.?
【解析】设公差为d,因为a3=5,a7=13,所以解得
所以S10=10+×2=100.
答案:100
三、解答题
5.(2019·全国卷Ⅱ文科·T18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.
【命题意图】考查等比数列的性质、数列通项公式的求法以及数列的求和.
【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,
即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
6.(2019·北京高考文科·T16)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式.
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
【命题意图】本小题主要考查等差数列及其性质,等比中项,意在考查等差数列通项公式与基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养,属容易题.
【解析】(1)设{an}的公差为d,则
a2+10=a1+d+10=d,a3+8=a1+2d+8=2d-2,a4+6=a1+3d+6=3d-4,
又因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,
所以d(3d-4)=(2d-2)2,即d=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n-12,n∈N*.
(2)Sn==n(n-11),
二次函数y=x(x-11)的对称轴为x=5.5,
所以当n=5或6时,Sn有最小值-30.
【方法技巧】求等差数列前n项和的最值方法
1.求前n项和Sn=n2+n=An2+Bn,其结构是以n为自变量的二次函数,从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题.
2.利用通项公式,令an=0,解得n0,当n取最接近n0的整数时,前n项和有最值.
考点24 数列求和及综合应用
一、选择题
1.(2019·浙江高考·T10)设a,b∈R,数列{an}中a1=a,an+1=+b,n∈N*,则 (　　)
A.当b=时,a10>10 B.当b=时,a10>10
C.当b=-2时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10
【解析】选A.由an+1=+b得,
an+1-an=+b-an=(an-)2+(b-),
当b=时,
an+1-an=(an-)2+>0,
数列{an}是递增数列,
a2=+≥,
a3=+≥()2+=,
a4=+≥()2+=>1,
a5=+>12+=,
a6=+>()2+=,
a7=+>()2+=>8,
a8=+>82+>10,
所以:a10>a9>a8>10.
二、解答题
2.(2019·全国卷Ⅰ文科·T18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式.
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【命题意图】该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的求和公式,在解题的过程中,需要认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
【解题指南】(1)首先设出等差数列的公差,根据题的条件,建立关于a1和d的方程组,求得a1和d的值,利用等差数列的通项公式求得结果.
(2)根据题意有a5=0,根据a1>0,可知d<0,根据Sn≥an,得到关于n的不等式,从而求得结果.
【解析】(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
3.(2019·天津高考理科·T19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式.
(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=其中k∈N*.
①求数列{(-1)}的通项公式.
②求aici(n∈N*).
【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.　
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
依题意得解得
故an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n.
所以{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=3×2n.
(2)①(-1)=(bn-1)=(3×2n+1)(3×2n-1)=9×4n-1.
所以数列{(-1)}的通项公式为(-1)=9×4n-1.
②aici=[ai+ai(ci-1)]
=ai+(-1)
=+(9×4i-1)
=(3×22n-1+5×2n-1)+9×-n
=27×22n-1+5×2n-1-n-12.
4.(2019·天津高考文科·T18)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式.
(2)设数列{cn}满足cn=求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).
【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.
【解题指南】(1)首先设出等差数列的公差,等比数列的公比,根据题意,列出方程组,求出公差和公比,进而求得等差数列和等比数列的通项公式.
(2)根据题中所给的cn所满足的条件,将a1c1+a2c2+…+a2nc2n表示出来,之后应用分组求和法,结合等差数列的求和公式,以及错位相减法求和,最后求得结果.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
依题意,得解得
故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n,
所以{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n.
(2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n
=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)
=+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)
=3n2+6×(1×31+2×32+…+n×3n),
记Tn=1×31+2×32+…+n×3n①
则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1②
②-①得2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-+n×3n+1=,
所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn
=3n2+3×
=(n∈N*).
5.(2019·浙江高考·T20)(本小题满分15分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)记cn=,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.
【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意得
a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,
解得a1=0,d=2.
从而an=2n-2,n∈N*.
由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得
(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).
解得bn=(-SnSn+2).
所以bn=n2+n,n∈N*.
(2)cn===,n∈N*.
我们用数学归纳法证明.
①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
②假设n=k时不等式成立,即c1+c2+…+ck<2.
那么,当n=k+1时,
c1+c2+…+ck+ck+1<2+
<2+<2+
=2+2(-)=2.
即当n=k+1时不等式也成立.
根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2对任意n∈N*成立.
6.(2019·江苏高考·T20)
定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M-数列”.
(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足:b1=1,=-,其中Sn为数列{bn}的前n项和.
①求数列{bn}的通项公式.
②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.
【命题意图】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.
【解题指南】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论.
(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定bk的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0,q≠0.
由得解得
因此数列{an}为“M—数列”.
(2)①因为=-,所以bn≠0.
由b1=1,S1=b1,得=-,则b2=2.
由=-,得Sn=,
当n≥2时,由bn=Sn-Sn-1,
得bn=-,
整理得bn+1+bn-1=2bn.
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此,数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N*).
②由①知,bk=k,k∈N*.
因为数列{cn}为“M-数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0.
因为ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.
当k=1时,有q≥1;
当k=2,3,…,m时,有≤ln q≤.
设f(x)=(x>1),则f'(x)=.
令f'(x)=0,得x=e.列表如下:
x (1,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘

因为=<=,所以f(k)max=f(3)=.
取q=,当k=1,2,3,4,5时,≤ln q,即k≤qk,
经检验知qk-1≤k也成立.
因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上,所求m的最大值为5.

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