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考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:
+=(R+r).设α=,由于α的值很小,因此在近似计算中≈3α3,则r的近似值为 (　　)
A.R B.R C.R D.R
【命题意图】本题主要考查函数模型及其应用.
【解析】选D.由题可知M1+M2=M1,把α=代入得:M1+M2=M1,
=[-]M1=M1
=M1,由题中给出的≈3α3,
所以≈3,r3≈R3,r≈R.
二、填空题
2.(2019·浙江高考·T12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2,-1),则m=　　　　,r=　　　　.?
【命题意图】本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系.
【解析】设圆的标准方程为x2+(y-m)2=r2,
由题意可得解得
答案:-2　
3.(2019·江苏高考·T10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.?
【命题意图】主要考查基本不等式的运用,通过点到直线距离公式表示出距离,然后运用基本不等式求解即可.
【解析】方法一:
设P(x0>0),由点到直线距离公式得d=≥=4,当且仅当2x0=时,即x0=时,取“=”号.
方法二:
当直线x+y=0平移到与曲线y=x+相切位置时,切点Q即为到直线x+y=0的距离最小的点P.
由y'=1-=-1,得x=(-舍),y=3,
即切点Q(,3),
则切点Q到直线x+y=0的距离为=4.
答案:4
三、解答题
4.(2019·全国卷Ⅰ文科·T21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.
【命题意图】本题考查圆的方程的求解问题,圆锥曲线中的定点定值类问题.
【解题指南】解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,进而验证定值符合所有情况,使得问题得解.
【解析】(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又⊥,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于⊥,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
5.(2019·江苏高考·T18)

如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长.
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由.
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P,Q两点间的距离.
【命题意图】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
【解析】方法一:

(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.
因为PB⊥AB,
所以cos∠PBD=sin∠ABE==.
所以PB===15.
因此道路PB的长为15百米.
(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E外)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,
从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,
此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.
方法二:

(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,
直线PB的方程为y=-x-.
所以P(-13,9),PB==15.
因此道路PB的长为15百米.
(2)①若P在D处,取线段BD上一点M(-4,0),则MO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),
所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M,因为OM=<=5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.
【题后反思】方法一:
(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长;
(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.
方法二:
(1)建立平面直角坐标系,分别确定点P和点B的坐标,然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长;
(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.
考点37 椭圆
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T10同2019·全国卷Ⅰ文科·T12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 (　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【命题意图】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.
【解析】选B.如图,由已知可设=n,则=2n,==3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB==.
在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·=4,解得n=.

所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,
所以所求椭圆方程为+=1,故选B.
2.(2019·北京高考理科·T4)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则 (　　)
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.
【解析】选B.离心率平方e2===,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.
二、填空题
3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T15同2019·全国卷Ⅲ文科·T15)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　.?
【解析】已知椭圆C:+=1可知,a=6,c=4,由M为C上一点且在第一象限,故等腰△MF1F2中,MF1=F1F2=8,MF2=2a-MF1=4,sin∠F1F2M==,
yM=MF2sin∠F1F2M=,
代入C:+=1可得xM=3.故M的坐标为(3,).
答案:(3,)
4.(2019·浙江高考·T15)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是　　　　.?
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.
【解析】设线段PF的中点为M.
方法一:由题意可知|OF|=|OM|=c=2,
由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,
设P(x,y),可得(x-2)2+y2=16,
联立方程+=1,
可解得x=-或x=(舍),点P在椭圆上且在x轴的上方,
求得P,所以kPF==.

方法二:焦半径公式应用
由题意可知|OF|=|OM|=c=2,
由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,
即a-exP=4?xP=-,
求得P,所以kPF==.
答案:
三、解答题
5.(2019·全国卷Ⅱ文科·T20)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【命题意图】考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的关系以及椭圆的有关运算.
【解析】(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率是e==-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当|y|·2c=16,·=-1,即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
+=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.
由②③得x2=,所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).
考点38 双曲线
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T10)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 (　　)
A.2sin 40° B.2cos 40° C. D.
【解题指南】由双曲线渐近线定义可得-=tan 130°,所以=tan 50°,再利用e==求双曲线的离心率.
【解析】选D.由已知可得-=tan 130°,所以=tan 50°,
所以e====
==,故选D.
【题后反思】对于双曲线:-=1,有e==;对于椭圆+=1,有e==,防止记混.
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T11同2019·全国卷Ⅱ文科·T12)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 (　　)
A. B. C.2 D.
【命题意图】考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系和有关运算,属于较难题.
【解析】选A.以OF为直径的圆的方程为+y2=,则弦PQ所在的直线方程为x=,|PQ|=,根据|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.
3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T10)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=,则△PFO的面积为 (　　)
A. B. C.2 D.3
【命题意图】本题考查双曲线,意在考查考生利用双曲线的性质的运算求解能力.
【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;
在△PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF,垂足为H,
因为tan∠POF=得到PH=;
所以S△PFO=××=.
4.(2019·全国卷Ⅲ文科·T10)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点,若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为 (　　)
A. B. C. D.
【解题指南】利用条件求出点P的坐标后求面积.
【解析】选B.设点P(x,y),由题意得|OF|=|OP|=3,
则解得y2=,不妨令y=,故△OPF的面积为×|OF|·y=×3×=.
5.(2019·北京高考文科·T5)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a= (　　)
A. B.4 C.2 D.
【命题意图】本题考查了双曲线的标准方程和性质的应用,考查数学运算能力.
【解析】选D.由已知,b2=1,e==,所以c2=5a2,
又c2=a2+b2=a2+1,
所以a2=,a=.
6.(2019·浙江高考·T2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是 (　　)
A. B.1 C. D.2
【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质.
【解析】选C.由双曲线的渐近线方程可知a=b,
所以e====.
二、填空题
7.(2019·全国卷Ⅰ理科·T16)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　.?
【命题意图】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合思想解题.
【解析】如图,

由=,得F1A=AB.又OF1=OF2,得OA是三角形F1F2B的中位线,即BF2∥OA,BF2=2OA.由·=0,得F1B⊥F2B,OA⊥F1A,则OB=OF1=OF2,有∠OBF2=∠BF2O=2∠OBF1=2∠OF1B,∠AOB=∠AOF1.又OA与OB都是渐近线,得∠BOF2=∠AOF1,则∠BOF2=60°.
又渐近线OB的斜率为=tan 60°=,所以该双曲线的离心率为e====2.
答案:2
【题后反思】此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻,即便知道双曲线渐近线斜率和其离心率的关系,也不能顺利求解,解题需要结合几何图形,关键得到∠BOF2=∠AOF1=∠BOA=60°,即得到渐近线的倾斜角为60°,从而突破问题障碍.
9.(2019·江苏高考·T7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是　　　　　　.?
【命题意图】主要考查双曲线的渐近线,运用双曲线的渐近线定义求解.
【解析】因为双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),所以9-=1,解得b2=2,所以双曲线方程为x2-=1,所以双曲线的渐近线方程是y=±x.
答案:y=±x
【题后反思】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考的得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a,b密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.

考点39 抛物线
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T8同2019·全国卷Ⅱ文科·T9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p= (　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
【命题意图】考查抛物线与椭圆的方程和性质.属于中档题.
【解析】选D.因为椭圆的焦点为(±,0),抛物线的焦点为,由已知可得=,解得p=8.
2.(2019·天津高考理科·T5同2019·天津高考文科·T6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为 (　　)
A. B. C.2 D.
【解析】选D.l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x,可设A,B,
所以|AB|=,则=4,b=2a,
所以e===.
二、填空题
3.(2019·北京高考文科·T11)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为　　　　　　　　.?
【命题意图】本小题主要考查圆的方程,抛物线方程及性质,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
【解析】由已知,2p=4,=1,所以焦点F(1,0),准线l为x=-1,所求圆半径为2,方程为(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
三、解答题
4.(2019·北京高考理科·T18)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程.
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【命题意图】本小题主要考查求抛物线方程及性质,直线与圆锥曲线位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
【解析】(1)将(2,-1)代入C得4=2p,即p=2,
所以C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)C的焦点为(0,-1),
设直线MN方程为y=kx-1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y得x2+4kx-4=0,
显然Δ>0,
所以x1+x2=-4k,x1x2=-4,①

直线OM方程为y=x,与y=-1联立得x=-=-,即A,
同理B,
设点P(0,n)在以AB为直径的圆上,则
·=0,即·+(n+1)2=0,②
由①②,得n=-3,1,
所以以AB为直径的圆过y轴上的两定点(0,-3),(0,1).
考点40 直线与圆锥曲线的位置关系
一、解答题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.
(2)若=3,求|AB|.
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过根与系数的关系构造等量关系.
【解析】设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-=,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线.
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.
(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;
(ⅱ)求△PQG面积的最大值.
【命题意图】考查曲线与方程的关系、轨迹方程的求解、直线与曲线的关系,弦长公式的运用和最值的求解,较难题.
【解析】(1)由题设得·=-,化简得+=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.
(2)(ⅰ)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).
由得x=±.记u=,
则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①
设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,故xG=,由此得yG=.从而直线PG的斜率为=-.
所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.
(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|=2u,|PG|=,
所以△PQG的面积S=|PQ‖PG|==.
设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.
因为S=在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.
因此,△PQG面积的最大值为.
3.(2019·天津高考理科·T18)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.　
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为+=1.
(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从而k=±.
所以直线PB的斜率为或-.
4.(2019·天津高考文科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率.
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP,求椭圆的方程.
【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.　
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由已知得a=2b,
又因为a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得=,
所以椭圆的离心率为.
(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为+=1,
由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c),
点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,
解得x1=c,x2=-,代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c,
因为点P在x轴的上方,所以P,
由圆心在直线x=4上,可设C(4,t),因为OC∥AP,
且由(1)知A(-2c,0),故=,解得t=2,
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径为2,
又由圆C与l相切,得=2,解得c=2,
所以椭圆的方程为+=1.
考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
一、选择题
1.(2019·北京高考理科·T8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是 (　　)
A.① B.② C.①② D.①②③
【命题意图】考查曲线与方程,距离问题,面积问题,对称性等,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】选C.对①,令x=0得y=±1,即曲线C过整点(0,±1);令x=1得1+y2=1+y,y=0,1,即曲线C过整点(1,0),(1,1),又由曲线关于y轴对称知,曲线C过整点(-1,0),(-1,1),结合图形知,曲线C不过其他整点,所以①正确;
对②,只需考虑第一象限内的点,即x>0,y>0,设C上的点(x,y)到原点的距离为d,则x2+y2=1+|x|y=1+xy≤1+,x2+y2≤2,d≤,所以②正确;
对③,由①知,S△OAB=×1×1=,S正方形OBCD=1×1=1,所以S阴影=2×=3,所以心形区域面积大于3,③错误.

二、解答题
2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点.
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
【命题意图】本题考查直线、圆及其位置关系的应用,考查考生数学运算、逻辑推理的求解综合问题的能力.
【解析】(1)设D,A(x1,y1),则=2y1.
由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点.
(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.
由可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,x1x2=-1,
y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,
|AB|=|x1-x2|=×=2(t2+1).
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,
则d1=,d2=.
因此,四边形ADBE的面积
S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).
设M为线段AB的中点,则M.
由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.
当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.
因此,四边形ADBE的面积为3或4.
3.(2019·全国卷Ⅲ文科·T21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点.
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.
【解题指南】(1)表示出直线AB的方程,求出直线所过的定点.
(2)利用根与系数的关系及已知条件,分别表示出,,利用二者的关系解出参数后求圆的方程.
【解析】(1)设D,A(x1,y1),则=2y1.
由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点.
(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.
由,可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.
设M为线段AB的中点,则M.
由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.
当t=0时,||=2,所求圆的方程为x2+=4;
当t=±1时,||=,所求圆的方程为x2+=2.
4.(2019·北京高考文科·T19)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程.
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
【命题意图】本小题主要考查椭圆方程及性质,直线与圆锥曲线位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2,
所以a2=2,
所以C的方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,①
因为直线与椭圆有两个交点,所以必须Δ>0,②
x1+x2=,x1x2=,③
直线AP方程为y=x+1,与y=0联立得x=,即M,
同理,N,
(y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1)
=k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2
=,
所以|OM|·|ON|=
===2,
所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或0,
当t=0时,①式Δ>0,符合题意,所以直线l方程为y=kx,
所以直线l过定点(0,0).
5.(2019·浙江高考·T21)(本小题满分15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.

(1)求p的值及抛物线的标准方程.
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.
【解析】(1)由题意得=1,即p=2.
所以,抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).
令yA=2t,t≠0,则xA=t2.
由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,
故2tyB=-4,即yB=-,所以B.
又由于xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,得C,G.
所以,直线AC的方程为y-2t=2t,得Q.
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而
====2-.
令m=t2-2,则m>0,
=2-=2-≥2-
=1+.
当且仅当m=,即m=时等号成立,所以取得最小值1+,此时G(2,0).
6.(2019·江苏高考·T17)

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1,已知DF1=.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)求点E的坐标.
【命题意图】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
【解题指南】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程.
(2)方法一:由题意首先确定直线AF1的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B的坐标,联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标;
方法二:由题意利用几何关系确定点E的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E的坐标.
【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2===,
因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,椭圆C的标准方程为+=1.
(2)方法一:
由(1)知,椭圆C:+=1,a=2,
因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
由得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=-.
将x=-代入y=2x+2,得y=-,
因此B.又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1).
由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.
将x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此E.

方法二:
由(1)知,椭圆C:+=1.如图,连接EF1.
因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B,所以∠A=∠B,
所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1,0),由得y=±.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-.
因此E.
考点42 算法与程序框图、基本算法语句、算法案例
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T8同2019·全国卷Ⅰ文科·T9)如图是求的程序框图,图中空白框中应填入 (　　)

A.A= B.A=2+ C.A= D.A=1+
【命题意图】本题主要考查算法中的程序框图,渗透逻辑推理等素养,认真分析式子结构特征与程序框图结构,即可作出选择.
【解析】选A.执行第1次,A=,k=1≤2,是,因为第一次应该计算=,k=k+1=2,循环,执行第2次,k=2≤2,是,因为第二次应该计算=,k=k+1=3,循环,执行第3次,k=3≤2,否,输出,故循环体为A=,故选A.
【光速解题】认真观察计算式子的结构特点,可知循环体为A=.
2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T9同2019·全国卷Ⅲ文科·T9)执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于 (　　)

A.2- B.2- C.2- D.2-
【命题意图】本题考查算法与程序框图,考查考生利用程序框图进行运算求解的能力.
【解析】选C.
第一次循环:s=1,x=;
第二次循环:s=1+,x=;
第三次循环:s=1++,x=;
第四次循环:s=1+++,x=;
…
第七次循环:s=1+++…+,x=,
此时循环结束,可得s=1+++…+=2-.
3.(2019·北京高考理科·T2同2019·北京高考文科·T4)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
【命题意图】本题考查对程序框图的理解以及算法的循环结构.也考查推理论证能力,难度较小.
【解析】选B.开始,k=1,s=1,s==2,判断k=1≥3,否;k=2,s==2,……,发现s总是2,所以选B.
4.(2019·天津高考理科·T4同2019·天津高考文科·T4)阅读程序框图,运行相应的程序,输出S的值为 (　　)

A.5 B.8 C.24 D.29
【解析】选B.S=1,i=2→j=1,S=1+2·21=5,i=3,S=8,i=4,
结束循环,故输出8.
二、填空题
5.(2019·江苏高考·T3)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是　　　　.?

【命题意图】主要考查框图的有关计算,运用循环运算求解.
【解析】执行第一次,S=S+=,x=1≥4不成立,继续循环,x=x+1=2;
执行第二次,S=S+=,x=2≥4不成立,继续循环,x=x+1=3;
执行第三次,S=S+=3,x=3≥4不成立,继续循环,x=x+1=4;
执行第四次,S=S+=5,x=4≥4成立,输出S=5.
答案:5
【解题技巧】识别、运行算法流程图和完善算法流程图的思路
(1)要明确算法流程图的顺序结构、条件结构和循环结构.
(2)要识别、运行算法流程图,理解流程图所解决的实际问题.
(3)按照题目的要求完成解答并验证.
考点43 随机抽样、用样本估计总体
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 (　　)
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
【命题意图】本题主要考查系统抽样.
【解题指南】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想,逐个选项判断得出答案.
【解析】选C.由已知将1 000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到,所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{an},公差d=10,所以an=6+10n(n∈N*),
若8=6+10n,则n=,不合题意;若200=6+10n,则n=19.4,不合题意;
若616=6+10n,则n=61,符合题意;若815=6+10n,则n=80.9,不合题意.故选C.
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 (　　)
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
【命题意图】考查统计中的数字特征,属于容易题.
【解析】选A.由于去掉1个最高分、1个最低分,不影响中间的数值,故中位数不变.
3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T3同2019·全国卷Ⅲ文科·T4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (　　)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【命题意图】本题考查抽样、利用样本估计总体,考查考生数据的分析、运算求解能力.
【解析】选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为80-60=20,所以阅读过《西游记》的学生人数为90-20=70,故所求的估计值为=0.7.
二、填空题
4.(2019·全国卷Ⅱ理科·T13同2019·全国卷Ⅱ文科·T14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　.?
【命题意图】本题主要考查频率、频数以及平均数的有关知识,容易题.
【解析】=0.98.
答案:0.98
5.(2019·江苏高考·T5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是　　　　.?
【命题意图】主要考查方差,运用方差公式计算.
【解析】=×(6+7+8+8+9+10)=8,
所以方差为×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=.
答案:
三、解答题
6.(2019·全国卷Ⅲ理科·T17同2019·全国卷Ⅲ文科·T17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:


记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值.
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
【命题意图】本题考查用样本估计总体,意在考查考生频率分布直方图的运算求解能力.
【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.
b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

考点45 二项式定理
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅲ理科·T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中,x3的系数为 (　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查考生二项式定理、数据的运算求解能力.
【解析】选A.由题意可知含x3的项为1··1·x3+2x2··13·x=12x3,所以系数为12.
二、填空题
2.(2019·天津高考理科·T10)展开式中的常数项为　　　　.?
【命题意图】本题考查二项式定理、二项式某项的系数,考查考生应用二项式定理解决与二项式某项有关的问题,考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力.　
【解析】的第r+1项为
Tr+1=(2x)8-r=(-1)r28-4rx8-4r,
令8-4r=0,解得r=2,即T3=T2+1=(-1)220x0=28.
答案:28
3.(2019·浙江高考·T13)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　.?
【命题意图】本题主要考查二项展开式中的特定项.
【解析】展开式通项是:Tr+1=()9-rxr,所以常数项是T1=()9=16,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.
答案:16　5
三、解答题
4.(2019·江苏高考·T22)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*.已知=2a2a4.
(1)求n的值.
(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.
【命题意图】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.
【解题指南】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定a2,a3,a4的值,然后求解关于n的方程可得n的值.
(2)方法一:利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值,然后计算a2-3b2的值即可;
方法二:利用(1)中求得的n的值,由题意得到(1-)5的展开式,最后结合平方差公式即可确定a2-3b2的值.
【解析】(1)因为(1+x)n=+x+x2+…+xn,n≥4,
所以a2==,a3==,
a4==.
因为=2a2a4,
所以=2××,
解得n=5.
(2)由(1)知,n=5.
(1+)n=(1+)5
=++()2+()3+()4+()5
=a+b.
方法一:
因为a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,
从而a2-3b2=762-3×442=-32.
方法二:
(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+
(-)4+(-)5
=-+()2-()3+()4-()5.
因为a,b∈N*,所以(1-)5=a-b.
因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32.
考点46 随机事件的概率、古典概型、几何概型
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 (　　)

A. B. C. D.
【命题意图】对利用排列组合计算古典概型问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题还是组合问题.本题是
重复元素的排列问题,所以基本事件的计算是“住店”问题,满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题.
【解析】选A.由题知,每一爻有2种情况,一重卦的6爻有26种情况,其中6爻中恰有3个阳爻的情况有,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=,故选A.
【题后反思】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题,渗透了传统文化、数学计算等数学素养,“重卦”中每一爻有两种情况,基本事件计算是住店问题,该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题,利用直接法即可计算.
2.(2019·全国卷Ⅱ文科·T4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【命题意图】考查随机事件的概率和古典概型.
【解析】选B.从5只兔子中随机取出3只,总的基本事件有10种;又因为只有3只测量过某项指标,故恰有2只测量过该指标的种数为6,则恰有2只测量过该指标的概率为,即.
3.(2019·全国卷Ⅲ文科·T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解题指南】利用古典概型的概率公式计算.
【解析】选D.两位男同学编号a,b,两位女同学编号为1,2,若a在第一位有ab12,ab21,a1b2,a12b,a2b1,a21b共6种排法,同理b在第一位时也有6种排法,两种情况女同学相邻有8种排法;若1在第一位有1ab2,1a2b,1ba2,1b2a,12ab,12ba共6种排法,同理2在第一位也有6种排法,两种情况女同学相邻有4种排法,故所求的概率为=.
二、填空题
4.(2019·全国卷Ⅰ理科·T15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　.?
【命题意图】本题应注意分情况讨论,即前五场甲队获胜的两种情况,应用独立事件的概率的计算公式求解.题目有一定的难度,注重基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.
【解析】前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,
前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072,
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.
答案:0.18
【易错警示】由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是思维的全面性是否具备,要考虑甲队以4∶1获胜的两种情况;易错点之三是是否能够准确计算.
5.(2019·江苏高考·T6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　.?
【命题意图】主要考查概率,运用概率公式求解.
【解析】方法一:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,共有=10种情况.若选出的2名学生恰有1名女生,有=6种情况,
若选出的2名学生都是女生,有=1种情况,
所以所求的概率为=.
方法二:P=1-=1-=.
答案:
【题后反思】计数原理是高考考查的重点内容,考查的形式有两种,一是独立考查,二是与古典概型结合考查,由于古典概型概率的计算比较明确,所以,正确计算基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意,明确“分类”“分步”,根据顺序有无,明确“排列”“组合”.
三、解答题
6.(2019·全国卷Ⅱ理科·T18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2).
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【命题意图】考查二项分布的应用以及概率的有关计算.
【解析】(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
7.(2019·天津高考文科·T15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
　　　员工 项目　　　 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
【命题意图】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.　
【解题指南】(1)根据题中所给的老、中、青员工人数,求得人数比,利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的,结合样本容量求得结果;(2)①根据6人中随机抽取2人,将所有的结果一一列出;②根据题意,找出满足条件的基本事件,利用公式求得概率.
【解析】(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工,
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种;
②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种,所以事件M发生的概率P(M)=.

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