资源简介

第二课时 二元一次不等式(组)与平面区域 （二）
一、教学目标
（1）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题
（2）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢
（3）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育
二、教学重点、教学难点
教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题
教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题
三、教学过程
（一）复习引入
画出下列不等式组所表示的平面区域：
解：不等式表示直线及其下方的平面区域；
不等式表示直线上方的平面区域；
因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域
（二）探究新知
例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式来表示上述限制条件
学段
班级学生数
配备教师数
硬件建设(万元)
教师年薪(万元)
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
解：设开设初中班x个，高中班y 个，根据题意，
总共招生班数应限制在20到30之间，所以有
考虑到所投资金的限制，得到 即
另外，开设的班数不能为负，则

根据限制条件画出图形 （略）
例2、教材P85面例3
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
在直角坐标系中画出平面区域。
总结：学生分组讨论后，对结果进行汇总时，老师要对学生展示的成果进行点评，针对学习过程中出现的常见错误给予指正。
（三）练习：1、P86面第4题
2、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，
由题意得
3、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
（四）小结：
解线性规划的应用题时，（1）认真分清题意，将题目条件准确地转化为二元一次方程组，
（2）根据不等式组画出平面区域
（五）作业：
《习案》第二十七课时
课件14张PPT。3.3.1二元一次不等式
(组)与平面区域(二)复习引入:画出不等式组 所表示的平
面区域： xyO复习引入:画出不等式组 所表示的平
面区域： xyO复习引入:画出不等式组 所表示的平
面区域： xyO复习引入:画出不等式组 所表示的平
面区域： xyO练习:1. 画出不等式组 表示的平
面区域，并求该区域的面积.2. 画出(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平
面区域.讲授新课例1. 某人准备投资1200万元兴办一所完全
学校，对教育市场进行调查后，他得到了
下面的数据表格（以班级为单位）分别用
数学关系式来表示上述限制条件讲解范例:例2. 要将两种大小不同的钢板截成A、B、
C三种规格，每张钢板可同时截得三种规
格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型讲解范例:例3. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥
料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷
酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料
需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.
现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础
上生产这两种混合肥料.列出满足生产条
件的数学关系式，并画出相应的平面区域.练习:1. 教材P.86练习第4题.2. 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台
做总时间不超过300分钟的广告，广告总费
用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费
标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定
甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟
广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元
和0.2万元．设公司在甲电视台和乙电视台
做广告的时间分别为x分钟和y分钟，列出
满足生产条件的数学关系式，并画出相应
的平面区域.练习:3. 不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )练习:3. 不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )课堂小结解线性规划的应用题时，
(1) 认真分清题意，将题目条件准确
地转化为二元一次方程组；
(2)根据不等式组画出平面区域.课后作业2. 《习案》作业二十七.1. 阅读教材P.82-P.86；双基限时练(二十)
1．目标函数z＝3x－y，将其看作直线方程时，z的意义是(　　)
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的横截距
D．该直线纵截距的相反数
答案　D
2．有5辆6吨的汽车，3辆4吨的汽车，要运送一批货物，完成这项运输任务的线性目标函数是(　　)
A．z＝6x＋4y　　　　　　 B．z＝5x＋3y
C．z＝x＋y D．z＝3x＋5y
答案　A
3．已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足下列条件则(　　)
A．zmax＝12，zmin＝3
B．zmax＝12，无最小值
C．zmin＝3，无最大值
D．z既无最大值又无最小值
解析　画出可行域，如图所示．
画直线l：2x＋y＝0，平移直线l，知z＝2x＋y既无最大值，又无最小值．
答案　D
4．给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a＝(　　)
A. B.
C．4 D.
解析　由题意，知当直线y＝－ax＋z与直线AC重合时，最优解有无穷多个．
∴－a＝＝－，∴a＝.
答案　B
5．设变量x，y满足约束条件：则z＝x－3y的最小值为(　　)
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析　作出可行域．令z＝0，则l0：x－3y＝0，平移l0，
在点M(－2,2)处z取到最小值，最小值z＝－2－3×2＝－8.
答案　D
6．点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是(　　)
A．[0,5]　 B．[0,10]
C．[5,10] D．[5,15]
解析　因x，y满足－14≤x－y≤7，则点P(x，y)，在所确定的区域内，且原点也在这个区域内．
又点P在直线4x＋3y＝0上，
由解得A(－6,8)．
由解得B(3，－4)．
∴P到坐标原点的距离最小为0，
又|OA|＝10，|BO|＝5.
因此最大值为10，故其取值范围是[0,10]．如图所示．
答案　B
7．若x，y满足则z＝x＋2y的最小值是________．
解析　可行域如图．
当直线x＋2y＝0平移经过点A(1,3)时，z有最小值7.
答案　7
8．不等式组所确定的平面区域记为D.若点(x，y)是区域D上的点，则2x＋y的最大值是________；若圆O：x2＋y2＝r2上的所有点都在区域D内，则圆O面积的最大值是________．
解析　区域D如图所示．
令z＝2x＋y可知，直线z＝2x＋y经过(4,6)时z最大，此时z＝14；当圆O：x2＋y2＝r2和直线2x－y－2＝0相切时半径最大，此时半径r＝，面积S＝π.
答案　14　π
9．当x，y满足约束条件(k为常数)，且使z＝x＋3y取得最大值12时，k的值为________．
解析　根据题意，要使z取得最大值12，直线2x＋y＋k＝0与直线y＝x的交点B必在第一象限，约束条件所在的平面区域为如图阴影部分所示的△ABO，直线x＋3y＝0的斜率为－，直线2x＋y＋k＝0的斜率为－2，直线y＝x的斜率为1，
故目标函数在B点取得最大值12，所以－＋3×＝12，解得k＝－9.
答案　－9
10．已知x，y满足约束条件求的取值范围．
解　作出不等式组表示的平面区域，如图所示．
设k＝，因为＝表示平面区域内的点与点P(－1，－1)连线的斜率，由图可知kPA最小，kPC最大，而A(5,0)，C(0,2)，则kPA＝＝，kPC＝＝3，所以k∈，即的取值范围是.
第2课时　二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
1．复习巩固二元一次不等式(组)表示的平面区域．
2．掌握二元一次不等式(组)表示的平面区域在求最值和实际背景中的应用．
1．二元一次不等式及其表示的平面区域
(1)定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是__的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成________(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．[来源:Z。xx。k.Com]
(2)画二元一次不等式表示平面区域的步骤：
①画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式的不等号中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)．
②定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)．
【做一做1】 画出二元一次不等式y＞2x表示的平面区域．
2．二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的____部分．注意平面区域是否包括边界，包括边界时边界直线为实线，不包括边界时边界直线为虚线．
【做一做2】 画出不等式组表示的平面区域．
答案：1．(1)1　有序数对
【做一做1】 解：画直线y＝2x，且画成虚线．当x＝0，y＝1时，y＞2x成立，则点(0,1)在y＞2x表示的平面区域一侧，则所求作平面区域，如图中的阴影部分所示．
2．公共
【做一做2】 解：画出直线x－y－1＝0(虚线)，不等式x－y－1＜0表示直线x－y－1＝0左上方的平面区域．
画出直线2x－y－3＝0(实线)，
不等式2x－y－3≥0表示直线2x－y－3＝0上及右下方的平面区域．
所以不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．
判定二元一次不等式表示的平面区域
剖析：(1)B＞0时，Ax＋By＋C＞0可转化为y＞－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；B＜0时，Ax＋By＋C＜0可转化为y＞－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域．
(2)B＞0时，Ax＋By＋C＜0可转化为y＜－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域；B＜0时，Ax＋By＋C＞0可转化为y＜－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．[来源:学科网ZXXK]
题型一 最值问题
【例题1】 如果实数x，y满足不等式组则x2＋y2的最小值为__________．
反思：已知x，y满足二元一次不等式(组)，求形如，的最值时，通常利用数形结合来解决，其步骤是：(1)画出二元一次不等式(组)表示的平面区域；(2)令P(x，y)是平面区域内任意一点，则＝|PM|，其中M(a，b)，＝kPN，其中N(m，n)；(3)借助于平面区域找出|PM|，kPN的最值．
题型二 实际应用问题
【例题2】 某厂使用两种零件A，B装配甲，乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件，每月生产乙产品最多1 200件，而且装一件甲产品需要4个A,6个B，装一件乙产品需要6个A,8个B.2008年1月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个，用不等式将甲，乙两种产品产量之间的关系表示出来，并画出相应的平面区域．
分析：分别设出两种产品的产量，由题目中的条件列出不等式组．[来源:学科网]
反思：解决此类题目的关键是列出不等式组，用字母表示变量，找出表示不等关系的关键词，列出不等式组即可．本题中表示不等关系的关键词是“A最多有14 000个，B最多有12 000个”．
本题易错写为不等式组
其原因是忽视了变量的实际意义，其避免方法是实际问题中要优先考虑实际意义．
答案：【例题1】 5　设M(x，y)为满足不等式组表示的平面区域内一点，
则x2＋y2＝[]2＝|OM|2.画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示．[来源:Z.xx.k.Com]
由得A(1,2)．
当M与点A(1,2)重合时，|OM|取最小值，
所以x2＋y2的最小值为5.
【例题2】 解：设每月生产甲产品x件，每月生产乙产品y件，
则x，y满足
即
在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如下图的阴影部分所示．
1如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
2若x，y满足条件则的取值范围是__________．
3(2017北京朝阳二模，文14)已知区域D：则x2＋y2的最小值是__________．
4某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
5有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：
货物
轮船运输量
飞机运输量
粮食/t
300
150
石油/t
250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系．
答案：1．A　2.[1,4]　3.4
4．解：设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y，
它们满足的数学关系式为
分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
5．解：设需要x艘轮船，y架飞机，代数关系式和几何描述(如图)分别为

展开更多......

收起↑