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第一章：集合与函数
第一节:集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义:一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
列举法 ：{a,b,c……}
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
4、集合的分类：
(4) 有限集 含有有限个元素的集合
(5) 无限集 含有无限个元素的集合
(6) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
3. 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作，即 CSA=
韦 恩 图 示
性 质 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ．

一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）
1. 下列所给的对象能构成集合的是（ ? ）
A. 2019届的优秀学生 B. 高一数学必修一课本上的所有难题
C. 遵义四中高一年级的所有男生D. 比较接近1的全体正数
【答案】C 【解析】解：A.2019?届的优秀学生不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误；
B.高一数学必修一课本上的所有难题不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误；
C.遵义四中高一年级的所有男生，元素确定，能构成集合，故本选项正确．
D.比较接近?1?的全体正数不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误；
2. 下列说法正确的是（）
A. 我校爱好足球的同学组成一个集合B. {1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合
C. 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合
D. 数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
【答案】C 【解析】解：选项A：不满足确定性，选项B：不大于3的自然数组成的集合是{0，1，2，3}，选项C：满足集合的互异性，无序性，确定性，选项D：1，0，5，，，，组成的集合有5个，
3. 给出四个结论：
①{1，2，3，1}是由4个元素组成的集合 ②集合{1}表示仅由一个“1”组成的集合
③{2，4，6}与{6，4，2}是两个不同的集合 ④集合{大于3的无理数}是一个有限集,其中正确的是( )
A. 只有③④ B. 只有②③④ C. 只有①② D. 只有②
【答案】D 【解析】解：对于①集合中元素的互异性可知判，①是不正确的．对于②集合的定义判断②是正确的；
对于③集合中元素的无序性判断③{2，4，6}与{6，4，2}是两个不同的集合，是不正确的；
对于④集合{大于3的无理数}是一个有限集，集合中元素的个数是无数的，所以④是不正确的．只有②正确．
4. 下列集合中表示同一集合的是　　
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B【解析】解：A、M、N都是点集，（3，2）与（2，3）是不同的点，则M、N是不同的集合，故A错误；
B、M={2，3}，N={3，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故B正确
C、M={（x，y）|x+y=1}，M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=1}，N表示直线x+y=1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误；
D、M={2，3}? 集合M的元素是两个数字（2，3），N={（2，3）}，集合N的元素是一个点（2，3），故D错误；
5. 已知集合M={x|-1＜x＜3}，N={x|-2＜x＜1}，则M∩N=（　　）
A. （-2，1） B. （-1，1） C. （1，3） D. （-2，3）
【答案】B【解析】解：M={x|-1＜x＜3}，N={x|-2＜x＜1}，则M∩N={x|-1＜x＜1}，
6. 设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（　　）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B【解析】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，
∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．
7. 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（　　）
A. {2} B. {1，2，4} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，4，6}
【答案】B【解析】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
8. 设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则?U（A∪B）=（　　）
A. {2，6} B. {3，6} C. {1，3，4，5} D. {1，2，4，6}
【答案】A【解析】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，
则A∪B={1，3，4，5}．?U（A∪B）={2，6}．
9. 用列举法将集合{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}可以表示为（　　）
A. {{1，1}，{1，2}，{2，1}，{2，2}} B. {1，2}
C. {（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} D. {（1，2）}
【答案】C【解析】解：根据描述法表示集合，集合中有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四个元素，
10. 已知集合，集合，则P与Q的关系是　　
A. B. C. D.
【答案】C【解析】解：依题意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q?P，
11. 集合A={1，2}的非空子集个数为（　　）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
【答案】D【解析】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，
去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22-1=3个．
12. 图中阴影表示的集合为（　　）
A. （P∪Q）∩?US B. （P∩Q）∪?US
C. （P∩Q）∩?US D. （P∪Q）∪?US

【答案】C【解析】解：依题意，由图知，
阴影部分对应的元素a具有性质a∈P，a∈Q，a∈CUS，
所以阴影部分所表示的集合是（P∩Q）∩CUS，
13. 已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{ x|x2－2x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（??? ）


A. B. ? C. ? D.
【答案】A 解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2-2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，
∴CUB={x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（CUB）={0，1，2}．故选A．
14. 已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】D 【解析】解：由题意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，则B的子集个数为：23=8个
15. 下列所给关系正确的个数是（　　）
①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|-4|?N*．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B 解：由于①π∈R；②?Q；③0?N*；④|-4|∈N*．故①②正确，③④错误，故选B．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
16. 设集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}，若M∩N≠?，则k的取值范围是______ ．
【答案】(-1，+∞）
解：∵集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}={x|x≤k}，
且M∩N≠?，如图所示；∴k的取值范围是：(-1，+∞）．
故答案为(-1，+∞）．
17. 给定集合A、B，定义：A*B={?x|x∈A或x∈B，但x?A∩B}，又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，用列举法写出A*B=______．
【答案】{0，3}
解：∵A*B={x|x∈A，或x∈B，但x?B}，A={0，1，2}，B={1，2，3}，
∴A*B={0，3}.故答案为{0，3}.
18. 满足{2}?A?{1，2，3}的集合A的个数为______．
【答案】3【解析】解：∵满足{2}?A?{1，2，3}，
∴集合A中必有元素2，且具有元素1，3中的0个或1个，∴满足条件的集合A的个数为：=3个．
19. 已知集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，则A∩B= ______ ．
【答案】{-1，2}【解析】解：∵集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，
∴A∩B={-1，2}，故答案为：{-1，2}
20. 已知集合A={2，3}，B={1，2，a}，若A?B，则实数a=______．
【答案】3
解：∵集合A={2，3}，B={1，2，a}，A?B，∴a=3．故答案为：3．
21. 已知集合A={a，a2}，B={1，b}，若A=B，则a+b= ______ ．
【答案】-2
【解析】解：∵集合A={a，a2}，B={1，b}，A=B，∴或，解得（舍）或，
∴a+b=-1-1=-2．故答案为：-2．
三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）
22. 设集合，．（1）求集合；（2）若不等式的解集为，求，的值．
【答案】解：（1），,
;
（2）不等式的解集为,
方程的两根为和，且，，?.
23. 已知全集，集合，． （1）求；（2）．
【答案】解：（1）集合，??：,可化为：，
?所以或，所以或.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?（2）因为， ? ? ? ? 所以.

24. 设集合A={x|a-1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2-2x-8＜0的解集为B．（1）当a=0时，求集合A，B；（2）当A?B时，求实数a的取值范围．
【答案】解：（1）当a=0时，A= {x|-1＜x＜0}，解不等式x2-2x-8＜0得：-2＜x＜4，即B={x|-2＜x＜4}，
（2）若A?B，则有：
①A=?，即2a≤a-1，即a≤-1，符合题意，②A≠?，有，
解得：-1＜a≤2，综合①②得：a≤2，
25. 设集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}．（1）若A∩B=?，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
【答案】解：（1）集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}，
若A∩B=?，则 即，解得：0≤a≤1，
实数a的取值范围时[0，1]；????????????????????????????
（2）∵若A∪B=B，∴A?B??????????????????则a+1≤-1或a-1≥2，
解得：a≤-2或a≥3，则实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[3，+∞）．
26. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m-4≤x≤3m+3}．（1）若A?B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
【答案】解：（1）∵集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m-4≤x≤3m+3}．A?B，∴，
解得1≤m≤2．∴实数m的取值范围是[1，2]．
（2）∵A∩B=B，∴B?A，①当B=?时，贼》3m+2，∴m＜-3符合题意；②当B≠?时，，无解．
综上可得，m＜-3．∴实数m的取值范围是（-∞，-3）．
27. 全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，A∩B，（?UA）∩（?UB）；
（2）若集合C={x|x＞a}，A?C，求a的取值范围．
【答案】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；
（CUA）∩（CUB）=（-∞，2]∪[10，+∞）；
（2）∵集合C={x|x＞a}，∴若A?C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．
28. 设集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1＜x＜m+1}（1）当m=1时，求A∩B；（2）若B?A，求实数m的取值范围．
【答案】解：（1）∵集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1＜x＜m+1}∴当m=1时，B={x|1＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．
（2）∵B?A，∴当B=?，即2m-1≥m+1，即m≥2时符合题意；当B≠?时，有?，解得-1≤m＜2．
综上，实数m的取值范围是[-1，+∞）．
29. 设集合，或．若，求实数a的取值范围；
若，求实数a的取值范围．
【答案】解：（1）集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}，若A∩B=?，则
解得：0≤a≤1，实数a的取值范围时[0，1]；
（2）∵若A∪B=B，∴A?B，则a+1≤-1或a-1≥2，解得：a≤-2或a≥3，则实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[3，+∞）．
30. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.



S

A



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