资源简介

要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
1
前 言
——由薄到厚，再由厚到薄：分析与综合，发散与收敛的辩证统一
恒等变形是中学代数的基本功，对形的感觉如对称性、结构意识在初高中
那种按部就班的教学模式中很难培养。恒等变形能力的缺失会让学生在选拔考
中难以出类拔萃，在中高考压轴题上也容易吃亏。面对计算量大，分类讨论繁
琐的题，对于速度慢的孩子不仅时间不够用，还容易忙中出错。
小册子讲的是代数、函数以及方程不等式恒等变形的结构意识。
这些内容在小册子里的讲法虽然与课堂上讲的不一样，但讲的是同一件事
情。正如一尊美丽的雕像，从不同的角度看，它是不同的，但都是同一尊雕像。
小册子既注重基础又侧重能力，题目活而不难，巧而不偏，新而不怪。
高观点低起点，从入门到提高，注重思维，培养创新能力，书中很多解题心法
是提升数学实力的不二法门。
读完小册子，回顾一下什么是结构，如何完形填空，核心是有相同特征的
数或式子配对。这些东西你弄清楚后，便会发现小册子里讲的东西并不多，它
们之间的逻辑关系很简单。如果你把所有的例题仔细研读完，便会发现这不多
的基本知识，应用起来却很广泛，用得好能帮你解决不少问题。
学数学就是由少到多，再由多到少的过程，这与读书先由薄到厚，在由厚
到薄是一样的道理。刚开始学新东西容易眼花缭乱，等学通了想透了，你会发
现基本的观点并不多，抓住这么几点感觉就到位了；更进一步，应用你学到的
基本原理去解决问题，你会发现基本原理只有那么几条，应用起来却变化无穷，
而你不知道的知识却如汪洋大海，茫茫无边，这就是知道的越多，不知道的就
越多的道理。但你不必深陷题海，应当进入下一个学习周期，去学习新的内容。
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
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目 录
前 言：由薄到厚，再由厚到薄——分析与综合，发散与收敛的辩证统一
第一章：有理数计算入门心法——找片段、定符号、代数和
第二章：整式加减入门与提高——一步去三重括号、结构意识训练
第三章：一元一次方程结构意识训练
第四章：一元一次不等式结构意识训练与检查方法
第五章：整式乘法结构意识训练与特殊值代入检验法
第六章：寻找阿喀琉斯之踵——在等待中寻找简算机会。
第七章：综合除法，待定系数法与双十字相乘法——结构意识的综合提高
第八章：因式分解之轮换对称——结构意识培养的巅峰
第九章：较繁琐的整式乘除——交叉线口算各项系数
第十章：分式——消元、换元、对称性是必杀技
第十一章：分式难题突破——利用轮换对称破了冲虚道长的太极剑
第十二章：二次根式——消元、换元、配共轭是好手段
第十三章：函数与二次不等式——口算函数解析式和不等式解集
第十四章：三角函数——消元、换元、记住常用数据是纵云梯
第十五章：综合题——分析结构，填系数，整理结果三步舞曲
第十六章：关于数感的一些问题
附 录：初高中数学知识存在的“脱节”
后 记：气蒸云梦泽，波撼岳阳城
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
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第一章：有理数计算入门心法
单看加减乘除简单，但综合起来未必简单，主要体现在符号糅杂的复杂题。
计算题带上了绝对值，准确度就会成问题。加减整体去括号的方法是数括号外
负号个数，奇负偶正；乘除同级去括号的方法是数括号外除号个数，奇除偶乘。
找片段，定符号，代数和，这是结构意识的入门功夫，必须修炼到位。
例 1： ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?4673
2020
3125
5
1654321 ?????
?
?
?
?
????????
分析：此题我们首先找片段 ? ? ? ?? ?? ?654321 ????? 和 ? ? ? ?4673
2020
3125
5
1
?????
?
?
?
?
???
我们把两个大片段的符号确定第一个显然为正，第二个负因数为奇数个积为负。
①常规方法：第一个片段我们设法直接化归为连乘
? ? ? ?? ?? ?
5
36
6
5
4
1
3
21
6
54
3
21
6
54
3
21654321 ??
?
?
?
?
? ?????
?
?
?
?
? ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????????
深入思考 ? ? ? ? cbabcacbacba ????????? 这是乘除同级去括号的方法。
我们数除号个数奇除偶乘：2是÷，3是÷，4外面的除号个数 2个是÷，5是
÷因为外面 3个除号，6是÷，然后化归到连乘
5
366
5
143
2
11 ??????
②第二个片段要配对： ? ? ? ?
5
81815
5
13125
5
1 2019
2020
4673
2020
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
????????
?
?
?
?
???
③再代数和： 9
5
81
5
36815
5
16
5
143
2
11 2019
2020
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?????????原式
注：代数和就是省略了加号和括号，包括后面的整式加减都是带符号走的。
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
4
第二章：整式加减入门与提高
做整式加减很简单就是去括号合并同类项，对于很多学生来说必然是去小
括号，中括号，大括号依次进行的，边去括号边合并会更好。对于连贯性好的
学生来说一次去掉三重括号是很简单的事情。有的学生甚至可以把去三重括号
与合并同类项同时进行。
快速处理整式加减三步曲（目的是为了培养结构意识）：
1.找出同类项 2.合并同类项 3.用常规方法或特殊值代入验算。
例 1： ? ? ? ?? ?? ? .24325012 222222 的值，求若 baababbaabba ????????
化简：
①确定有几种类型的项：第一类 2ab 3个；第二类 ba2 2个.
②每类求系数代数和确定同类项系数：
? ? ? ? 222 422435 abbaab ???????原式 812 显然 ?????? 代入得上式，ba
例 2： ? ? ? ?? ?? ? .35.12223032 22222 的值，求若 ababbaababbaba ?????????
先化简：
①确定有几种类型的项：第一类 ba2 2个；第二类 2ab 2个；第三类 ab 2个.
②每类求系数代数和确定同类项系数：
? ? ? ? ? ? ababbaababba 373143463 2222 ???????????原式
108181263632 显然 ???????? 代入得上式，ba
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
5
第三章：一元一次方程结构意识训练
一元一次方程的同类项就两类，配对的原则：把相同特征的数或式子配对，
培养学生解方程结构意识三步曲：
①去括号与移项：把简单方程化为最简方程 bax ? ，确定 a和b
②最小公倍数法去分母与合并同类项 ③系数化为 1（1.定号 2.搞清楚谁除以谁）
例 2：
6
5
3
5
3
2
4
1
3
1
2
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??? xxxx
常规方法分析 1：
①两边同时乘 2去掉大括号同时去掉小括号得：
3
52
3
5
6
1
4
1
3
1
????
?
?
?
?
? ??? xxxx
②同时正（合并）逆（移项）向思维结合得：
3
102
6
1
4
3
3
1
???
?
?
?
?
? ?? xxx
③用整体 ?
?
?
?
?
? ??
6
1
4
3
3
1 xa 意识倒推得：
3
10
18
1
4
1
???? xx
④移项合并求解：
45
122
3
61
4
5
???? xx 解得：
结构意识训练法分析 2：
①找出同类项系数代数和，移项的变号：
6
5
36
1
6
51
24
1
6
1
2
1
????
?
?
?
?
? ??? x
②两边 72倍最小公倍数法： 12245 ?? x
③系数化为 1：
45
122
??x
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
6
第四章：一元一次不等式结构意识训练与检查方法
去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化 1
方程 等式性质 2 乘法分配律 等式性质 1 乘法分配律
逆运算
等式性质 2
不等式 不等式性质 2 不等式性质 1 不等式性质
2（分正负）
共性在于端点，而不同在于开口，也就是最后一步：系数化为 1
例 1： ? ?
4
132
8
13 ?
??
? xx
＜
常规方法分析 1：
①两边 8倍得： 22241633 ???? xx ＜
②合并同时移项：
5
775196223 ＜＜＜ xxxx ????
结构意识训练法分析 2：
①摆结构： 2
8
3
4
13
4
1
8
3
????
?
?
?
?
? ? ＜x ②两边 8倍：
5
775 ＜＜ xx ?
★我们对比方程：
? ?
4
132
8
13 ?
???
? xx
①摆结构： 2
8
3
4
13
4
1
8
3
?????
?
?
?
?
? ? x ②两边 8倍：
5
775 ??? xx
☆不等式的检查注意两点 1.端点 2.开口
Ⅰ.端点的检查与方程一致，把
5
7
?x 代入方程和不等式左边为 2.9，右边也是 2.9
Ⅱ.不等式开口检查有两种方法
A.代入一个解集范围内不同于端点的数，比如代入 0?x 得：
8
22
8
19左 ?? ，右
开口一致说明没问题.
B.比较左右系数
4
1
8
3
??? ，右左 ，左边大开口与原不等式一致，右边大则相反.
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
7
第五章：整式乘法结构意识训练与特殊值代入检验法
例 1：先化简，再求值 ? ?? ? ? ? ? ?
3
112152323 2 ???????? xxxxxx ，其中
常规方法分析 1：
? ?? ? ? ? ? ?
59
1445549
12152323
222
2
??
???????
??????
x
xxxxx
xxxxx
8
3
1
???? 时，原式当x
结构意识训练法分析 2：
化简结果是关于 cbxaxx ??2的二次三项式
抽象出三个意群：① ? ?? ?2323 ?? xx ② ? ?15 ?? xx ③ ? ?212 ?? x
依次确定：
①二次项系数： 0459 ??? ②一次项系数： 945 ?? ③常数项： 514 ????
整理得： 59 ?? x原式
☆计算虽然简单但容易出错，建议代入特殊值验算。把 1??x 代入化简后得 14? ，
代入化简前得： ? ? ? ? ? ? 14910592551 ???????????? ，这样可以保证准确率。
意群：
句子中按意思和结构划分出的各个成分，每一个成分对应一个意群。意群
是概念的组合，根据一定的关系组合在一起。意群的存在让我们更易理解和学
习。比如，一滴墨水掉在书上，有一两个字看不清，但这不妨碍你对阅读内容
的理解，这是由于意群关系在补足或修正相应的部分；输入法用意群输入能高
输入体验；阅读中，读意群可以把几个词一眼看下来，阅读速度会成倍地提高。
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
8
第六章：寻找阿喀琉斯之踵
这个意识在恒等变形中是最不好练的，看起来容易，做起来却非常难。
例 1：
22
13
9
13
6
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
常规做法分析 1：
169
117
169
8136
13
9
13
6 22
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
看不出约 13是数感不到位。
139211412111791179711139117 22 ??????????? 的倍数）②是，表明（①
数字大写着不动意识分析 2： ? ?
13
932
13
3
13
9
13
6 22
222
????
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
注：计算中要善于寻找阿喀琉斯之踵，主动制造破绽，就需要具备有公因数就
提和数字大写着不动的意识，
阿喀琉斯是凡人珀琉斯和海洋女神忒提斯的儿子。忒提斯为了让儿子炼成
"金钟罩"，在他刚出生时就将其倒提着浸入冥河，遗憾的是，阿喀琉斯被母亲
捏住的脚后跟却不慎露在水外，全身留下了唯一的弱点。后来在特洛伊战争中，
被帕里斯用毒箭射中了脚后跟而死去。
“阿喀琉斯之踵”譬喻这样一个道理:再强大的英雄，他也有致命的死穴或软肋。
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
9
第七章：综合除法，待定系数法与双十字相乘法——综合提升
例 1： 233 ?? xx
①长除法（ 是原式的一个因式，可知， 10原式1令 ??? xx ）：
0
22
22

3

2301
2
2
2
23
23
2
??
??
?
?
?
????
??
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xx
? ?? ? ? ? ? ?2121 222 ???????? xxxxx原式
②综合除法：
0 2 1 1
2 1 1
2 3 0 1
1
，，，
，，
，，，
?
??
?
? ?? ? ? ? ? ?2121 222 ???????? xxxxx原式
综合除法与长除法算理是一致的：减去一个数就是加上它的相反数。
综合除法的优势是过程简化，快速计算，占用空间小。
③待定系数法：
? ?? ?
? ?? ? ? ? ? ?2121101
21
10原式1令
222
2
????????????
?????
???
xxxxxaa
axxx
xx
原式，对比二次项系数易知
设原式
是原式的一个因式，可知，
④数感强的学生可以一眼看出两个因式：
? ?? ?
? ?
? ? ? ?21
11212
210原式21令
2
23
????
??????????
???????
xx
xAxxxA
Axxxx
原式
，；是一个一次式，而易知
，则可设原式均为或
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
10
第八章：因式分解之轮换对称——结构意识培养的巅峰
轮换式未必对称，但对称式必定轮换。
展开多项式时，如果心中有了轮换对称的感觉，解决问题就会特别简单。
例 1： ? ? ? ? ? ?222222 xzzxzyyzyxxy ?????因式分解：
分析：
这个式子是 4次轮换对称式，显然有因式： ? ?? ?? ?xzzyyx ??? 。
余下的是一次三字母轮换对称式（其实可以理解轮换对称式的性质：变形前后
必须都是轮换对称的结构）只有 zyx ??
马上对最高次项待定系数后有： ? ?? ?? ?? ?xzzyyxzyx ???????原式
例 2： ? ? 5555 zyxzyx ?????因式分解：
分析：
显然有 yx ? 这个因式，由对称性可知还有因式： zy ? ， xz ? ；
很明显展开后式子 zyx 、、 的 5次方都抵消了；
余下部分是二次三字母轮换对称式为 ? ?zxyzxyzyxk ????? 222 ；
? ?? ?? ?? ?zxyzxyzyxxzzyyxk ????????? 222设原式 ；
? ?? ?? ?? ?zxyzxyzyxxzzyyxkzyx ?????????????? 222551 原式可得令
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
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第九章：较繁琐的整式乘除——交叉线口算各项系数
用交叉线做多项式乘法，这个功夫事实上就是用双十字相乘的原理做整式乘除。
例 1： ? ?? ?7553 22 ???? xxxx
分析：明确化简结构 edxcxbxax ???? 234 双十字法口算各项系数
? ?
? ? ? ? ? ?
356438
3575 645573
3531715 81315 111
7 5
5 3
234
234
2
2
??????
??????????
?????????????
?
?
xxxx
x
xxx
xx
xx
原式
常数项：系数：
系数：系数：系数：
例 2： ? ?? ?4332 ???? yxyx
分析：明确化简结构 feydxcybxyax ????? 22 双十字法口算各项系数
? ?
1256
1243 11341 13342
111 51312y 632
4 3
3 2
22
22
???????
????????????
????????
?
yxyxyx
yx
yxx
yx
yx
原式
常数项：系数：系数：
系数：系数：系数：
例 3： ? ? ? ?? ?51532 2222 ??????? xxxxxx （能力强的也可以一步合并）
5 5 3
1 5 3
22
22
xxxx
xxxx ??
? ? ? ? 5566291256325301662 23424234 ?????????????? xxxxxxxxxxx原式
例 4： ? ? ? ?44 32 ??? xx
? ? ? ?
97767842
8110854121632248
9644
234
234234
2222
?????
??????????
??????
xxxx
xxxxxxxx
xxxx原式
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
12
第十章：分式——消元、换元、对称性是必杀技
例 8： 1111 222 ?????? zyx
x
z
z
y
y
xzyx 求证：且为互不相等的非零实数、、已知
分析：本题 zyx 、、 具有轮换对称的特点,我们不妨先看二元的情形，即
? ? ? ?
）也类似（代数孪生问题类似，证明的思路应该，而三元与二元的结构
解：
求证且为互不相等的非零实数、令
1
011111
111
22
22
??
????
?
?
?????????????
????
yx
yx
yx
xyxyxyyxxy
yx
yx
x
y
y
x
yx
x
y
y
xyx
1
111
222 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
zyx
xz
yxxy
zy
xzzx
yx
zyyz
x
z
z
y
y
x
③得②①
③②①可得：证明：由
说明：
①这种欲进先退的解题策略经常被用于探索解决问题的思路中，也就是华罗庚
的退步解题法：复杂的问题要善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性
的地方，是学好数学的一个诀窍。
说得更简单一点就是盯住目标，使目标特殊化。
②另外恒等式证明的关键在于代数式的变形技巧，要在明确变形目的的基础上，
深刻体会常用的变形技巧和方法，这对今后的数学学习有着重要的意义。
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
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第十一章：分式难题突破——利用轮换对称破了冲虚道长的太极剑
例 3： 1
222
222222222
?
??
?
??
?
??
ca
bac
bc
acb
ab
cba
.11
222
222222222
?
??????
，另一个式子的值为其中有两个式子的值为、、求证：
ca
bac
bc
acb
ab
cba
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
.11
222
1
22
1
2
1
22
0
0
02
2
1
222
222222222
222222222222222
222222222
222222222
222222222
?
??????
?
?
?
???
?
??
?
?
???
??
???
?
??
??????
????????
???????????
?????????
?
??
?
??
?
??
，另一个式子的值为其中有两个式子的值为、、
；；
：代入所证三个代数式得不妨设
★
去分母化简得：证明：
ca
bac
bc
acb
ab
cba
aba
baba
ca
bac
bab
abab
ab
baba
ab
cba
cbacba
bacacbcba
abcbacbacbacbac
abcbacbacbacbac
ca
bac
bc
acb
ab
cba
? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?? ? 0
01
2
1

222
????????
???????
??
bacacbcba
cbacba
ab
cba
联想目标
即
以在猜想时用题目要求证明的结论可假设第一个加式为
来的？这个因式分解怎么看出★注：
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
14
第十二章：二次根式——消元、换元、配共轭是必杀技
例 2： 1111000202120192017 222 ????????
zyx
zyxzyx 且，，，已知
202120192017202120192017 ????? zyx求证：
分析：连等式可以考虑引入参数 k换元（换元时必须考虑新元的范围），左右
变形为同一形式，使等式成立。本题的证明思路是“相向趋进”。
? ?
202120192017202120192017
111202120192017
1112021201920171111
202120192017 202120192017
0 202120192017
222
222
222
??????
???
?
?
??
?
?
?????????
???
?
?
??
?
?
????????????
???????
????
zyx
k
zyx
k
z
k
y
k
x
kzyx
k
zyx
k
z
k
y
k
x
k
zyx
z
k
y
k
x
k
z
kz
y
ky
x
kx
kkzyx
同时
结合
，，；，，
证明：令
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
15
后 记
——气蒸云梦泽，波撼岳阳城
有理数计算，整式加减乘除，因式分解，分式，二次根式，一元二次方程
这几个大板块都涉及计算。简便计算的意识越强烈，计算能力就越犀利。
简便计算需要这些意识：1.换元意识：见重复结构就换元，理由是方便计算。
2.配对意识：分母相同，符号相同，能约分，能凑整，整数与整数，分数与
分数，互为相反数的，互为倒数的，同类项，共轭二次根式，次数相同的，整
式和整式，分式与分式，二次根式与二次根式，总之就是把类项相同的数或代
数式放在一起配对，整式计算的经整理得，解方程的三步舞曲都是这么做的。
初中数感心法小册子酝酿许久，今日横空出世，作者心中的神采之气笼罩
着云梦泽，情绪的波涛仿佛能撼动整个岳阳城，学会了这套心法能让你面对初
高中各种考试时做到气定神闲，敢于取敌将首级于千军万马之中。
读完小册子你的内心会跟作者一样汹涌澎湃，不读小册子你会抱憾终身，
与书中展现的数学之美失之交臂。
如果你是一名学生，志向是考取重点高中、重点大学，从初中开始学习这
本小册子是你错不了的选择，数感的练就不可能一蹴而就，不经一番寒彻骨，
怎得梅花扑鼻香？
如果你是一名中学数学教师，想要训练学生的恒等变形与结构意识，学习
这本小册子依然是你错不了的选择，数感的训练需要一幅科学有效的地图，方
能带领你驰骋于数学之美的广阔草原。
小册子，你值得拥有！匆忙落笔，错误之处，望各位朋友不吝指正。
2019年 8月 24日于甬城
要按你想的去生活，否则，你迟早会按你生活的去想。
16
第 1天
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114.033 3
看我举重，你是长不出肌肉的。——阿诺德·施瓦辛格
17
第 2天
1. ? ?22 22125.03.0 ????? 2. ? ?
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2018
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123
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115
总有人要赢，为什么不能是我?——科比·布莱恩特
18
第 3天
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91
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82
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37
5
312
当你慢到清晰地意识到自己在做什么,就会找到一种安稳平和的状态，做事
虽然慢,但是很连贯,实际效率并不低,这时候,慢反倒成了快。
19
第 41天
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5
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3.
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2018
2015
2016 xxxx ?
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07.003.0
21.7
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求
，，，已知： 43214321432143215.
假如你和另外一个人住在一起，你应该和他约定：一旦你们当中有人开始责备
对方，你们将马上终止争辩。 ——列夫·托尔斯泰
20
第 42天
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????????????????
求
，，，已知： 54325432543254325.
真理不在蒙满灰尘的权威著作中，而是在宇宙、自然界这部伟大的无字书中。
——伽利略
21
第 43天
1. ? ?
2
2
3
35
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4 ?
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6
25
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05.0
1.01.0
2.0
2
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? xx
? ? mxxxmxmx 的解相等求与的方程关于 1
3.0
28.1
2.0
52
3
105. ??????
改善你自己好了，那是你为改善世界能做的一切。——维特根斯坦
22
第 91 天
因式分解：
1. 23 23 ??? xxx 2. 262 234 ???? xxxx
3. 6542 22 ????? yxyxyx 4. ? ?? ? abba 411 22 ???
5. ? ?? ? 84333 22 ????? xxxx 6. ? ?? ? 9038423 22 ????? xxxx
完美是优秀的敌人。——伏尔泰
23
第 92天
因式分解：
1. xx ??? 126 2 2. ? ?? ?? ? 9195272 2 ???? xxx
3. ? ? ? ?? ? 614376 2 ???? xxx 4. ? ?? ?? ?? ? 25113121616 ????? xxxx
5. 12222 22224444 ??????? yyxyxyxyxx
通常对别人没有耐心的人，对自己也没有耐心。
24
第 93天
因式分解：
1. ? ? ? ? 8235 44 ???? xx
2. 653856 234 ???? xxxx 3. 676376 234 ???? xxxx
4. ? ? ? ?22222 4 yxxyyxyx ????
5. ? ? 171 44 ??? xx 6. 1262 234 ???? xxxx
面对痛苦的感受,我们常常躲避，关闭了自己的感觉通道,这样远离了痛苦,
也远离了生命的完整。还有一类人,他们把一切苦乐,都视为生命中独一无二
的体验，来了就迎,体味其中的千般滋味，走了就送,从此不再悲戚挂怀。
25
第 121天
1.
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1
12
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1
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2
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23
3
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3. ._______543
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，则已知
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总讲道理的人,意味着与感觉是分离的。
26
第 122天
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1
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2
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x
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2.
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250720694 222
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的值，求，已知
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厌烦,都是因为感觉不新鲜。感觉新鲜,才有求知欲。知识,从某种程度上说,
是一种新鲜感。怎样才能感觉新鲜?老祖宗早有定论,就是：活在当下。
27
第 123 天
1.
11
9
15
13
17
15
9
7
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5. .1111110 的值，求已知 ?
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初中数感心法
数感训练单老师出品28
第 1 天
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135.0 ???
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7
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组字画：安身立命
第 2 天
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20198
2018
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3. ? ??
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????????原式 919214 ?????原式
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????
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? ????原式 组字画：气象万千
初中数感心法
数感训练单老师出品29
第 3 天
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228499 ???????原式
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??????原式
3. ?
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?? 4.0
3
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25.0
1231283 3233 ??????????
7.43.016 ??????原式 47
4
189227 ????????原式
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????
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???
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???
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?????????原式 组字画：百战百胜
第 41天
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求
，，，已知： 43214321432143215.
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?原式 组字画：奴颜媚骨
第 42天
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7
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初中数感心法
数感训练单老师出品30
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求
，，，已知： 54325432543254325.
625?原式 组字画：雄鹰翱翔
第 43天
1. ? ?
2
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3
35
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4 ?
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???
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6
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3. 33333
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05.0
1.01.0
2.0
2
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603?x
3
11
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? ? mxxxmxmx 的解相等求与的方程关于 1
3.0
28.1
2.0
52
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105. ??????
? ? 852
3
106.0
6.046.33
0.1
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28.1
2
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3.0
28.1
2.0
????????
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?
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mxmxmx
xxx
xxxx
代入
解：
组字画：一网打尽
第 91 天
1. 23 23 ??? xxx 2. 262 234 ???? xxxx
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12
2
233
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xxxx原式 ? ? ? ?
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12122
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224
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xxxxxxx
xxxxx原式
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? ?? ?322 ????? yxyx原式
? ? ? ? ? ?? ?111
41
22
2222
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?????
baabbaabbaab
abbaba原式
5. ? ?? ? 84333 22 ????? xxxx
? ? ? ? ? ?? ?? ?14532033 2222 ?????????? xxxxxxxx原式
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初中数感心法
数感训练单老师出品31
? ?? ?? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?? ?72112528452552
9025235290321221
2222
22
??????????
????????????
xxxxxxxx
xxxxxxxx原式
组字画：一分为二
第 92天
1. xx ??? 126 2
? ?? ?3243 ???? xx原式
2. ? ?? ?? ? 9195272 2 ???? xxx
? ?? ?? ?? ? ? ?? ?
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? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?827248228210109133
182
9115221291335272
222
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xxxxxxxxaaaa
axx
xxxxxxxx
均值换元法令
原式
3. ? ? ? ?? ? 614376 2 ???? xxx
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47323346112
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??????????
??????????
??????
xxxxxxxx
axxaaaa
xxxx
换元令
原式
4. ? ?? ?? ?? ? 25113121616 ????? xxxx
? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?2222
22
3162458123255416
25123181216
????????????
??????
xxaaxxaa
xxxx
令
原式
5. 12222 22224444 ??????? yyxyxyxyxx
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?1111111
1121
2222
22224
??????????????
??????
xxyxxyyxxyxyyx
yyxyx原式
组字画：日上三竿
第 93天
1. ? ? ? ? 8235 44 ???? xx
? ? ? ? ? ?? ?
? ?? ?? ? ? ?? ?? ?26862216552262
526262462482350
62131382
22
44
4444
???????????????
????????
?????????
xxxxaxaxxxx
x
xx
原式，令设原式
确定常数项：令
必有因式
2. 653856 234 ???? xxxx 3. 676376 234 ???? xxxx
初中数感心法
数感训练单老师出品32
? ? ? ?
? ?? ?
? ?? ?? ?? ?212313
2523103
501516
22
2222
?????
?????
?????
xxxx
xxxx
xxxx原式 ? ? ? ?
? ?? ?
? ?? ?? ?? ?212313
232383
241716
22
2222
?????
?????
?????
xxxx
xxxx
xxxx原式
4. ? ? ? ?22222 4 yxxyyxyx ????
? ? ? ? ? ? ? ?222222222222 42 yxyxyxyxxyyxxyyx ??????????原式
5. ? ? 171 44 ??? xx 6. 1262 234 ???? xxxx
? ? ? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?4212
21212117
2
4444
??????
????????
xxxx
xx
原式
必有因式 ? ? ? ?
? ?? ?22
2222
114
8121
????
?????
xxx
xxxx原式
组字画：门当户对
第 121天
1. ? ?
1
12
122
1
122
1
2
2
23
3
23
3
?
?
?
???
?
?
???
?
x
x
xxx
x
xxx
x
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ? 0
1
12
11
11
11
11
2
2
2
2
2
2
?
?
?
?
???
???
?
???
???
?
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
原式
2.
abbcacc
ba
acabbcb
ac
bcacaba
cb
???
?
?
???
?
?
???
?
222
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?
? ?? ?
acbcacabcbcaba
bcac
acbc
abcb
cbab
caba
baca
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
???
?
??
???
?
2111111
原式
3. ._______543
222
?
??
??
?
?
?
?
? xzyzxy
zyx
xzzyyx
，则已知
11
14
3
2
5
4
3
222
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
zxyzxy
zyx
kz
ky
kx
kxz
kzy
kyx
令
4. ._____
5
1
4
1
3
1
的值是，那么，，如果
cabcab
abc
ac
ca
cb
bc
ba
ab
??
?
?
?
?
?
?
初中数感心法
数感训练单老师出品33
6
1
111
16111
511
411
311
5
1
4
1
3
1
?
??
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cba
cabcab
abc
cba
ac
cb
ba
ac
ca
cb
bc
ba
ab
解
组字画：言不由衷
第 122天
1.
1
21
1
4
2
2
?
??
?
?
x
x
x
xx 2.
7
1
6
1
8
1
5
1
?
?
?
?
?
?
? xxxx
2
1
??x
2
31
??x
3. .
1032
250720694 222
222
的值，求，已知
zyx
zyxzyxzyx
??
??
??????
13
1032
25
3
2
072
0694
222
222
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
zyx
zyx
zx
zy
zyx
zyx
解：
4. 的值，求若
111
1
??
?
??
?
??
?
cca
c
bbc
b
aab
aabc
1
111
?
??
?
??
?
?? cca
c
bbc
b
aab
a
5.
? ?? ?? ? .的值，求已知
abc
cacbba
a
cba
b
cba
c
cba ??????
?
??
?
??
? ?? ?? ? 1801 ???????????
?
?
?
?
?
????
???
???
?
?
???
?
??
?
??
或或
解：令
abc
cacbbacbak
ckcba
bkcba
ckcba
k
a
cba
b
cba
c
cba
组字画：牢不可破
第 123 天
1.
11
9
15
13
17
15
9
7
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
x
x
2.
12
3
1
1
12
2
2 ??
?
?
?
? xxxx
13?x 原方程无解为增根??
2
1x
初中数感心法
数感训练单老师出品34
3. .11013 2
22 的值，试求已知： ?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
? ????
a
a
a
aaa
15537131013
2111111
2
22
2
2
2
2
2
?????????????
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
? ?
原式而
解：
a
a
a
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
4. .______
1
383013 2
232 的值是，则若
?
??????
a
aaaaa
? ? 21112
3
3183
1
383 222
23 ???????????
?
???
a
a
a
aa
a
aaa
a
aaa解：
5. .1111110 的值，求已知 ?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ????
ab
c
ac
b
cb
acba
3111111 ?????????
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ?
a
cb
c
ba
b
ca
ab
c
ac
b
cb
a解：
组字画：目中无人

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