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46、几何公式
　　【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。
　
　
　　【立体图形计算公式】
　　(1)柱体公式。
　

　　（2）锥体公式。
　　正n棱锥（如图1．13）的公式：
　　
　　圆锥的公式（圆锥如图1．14所示）：
　
　　　

　　（3）棱台、圆台公式。

　　正n棱台（如图1．15）的公式：
　　
　　圆台（如图1．16）的公式：

　　　
　　（4）球的计算公式。
　　球的图形如图1．17所示。

　　S表=4πr2；
　　
　　附录：其他常用公式
　　【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。
　　例如，求4500的约数个数。
　　解 ∵4500=22×32×53
　　∴4500的约数个数是
　　（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）。
　　【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为

为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算：
　　
　　例如 求1992的所有约数的和。
　　解 S（1992）=S（23×31×831）
　　
　　=5040．
　　【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：
　　（1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。即
　　　
　　（2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即
　　
　　（3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数，
　　
　　（4）一般分数拆项公式。当n、d都是自然数时，有
　　
　　【堆垛计算公式】
　　（1）三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数S时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是
　　　
　　例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边4个，顶尖1个（如图1．18）。桔子总数是多少个？”

　　解 依据三角形堆垛公式，得
　　
　　=20（个）。
　　（2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时，可将底边个数n乘以底边数加0．5的和，再乘以底边个数加1的和，最后将乘积除以3。用式子表示，就是
　　
　　例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图1．19），底层每边放4个，顶尖放一个。苹果总数是多少个？”

　　解 依据公式，得
　　　　
　　（3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图1．20。）的堆垛物体的总个数S时，可将底层宽边的个数n1，长边的个数n2，按照下面的公式计算：

　　
　　例如，“有一盘馒头，底边宽5个，长边上放8个，如图1．20所示，这盘馒头共有多少个？”
　　解 此题中，n1=5，n2=8。依据长方形堆垛公式，得
　　
　　=45+55=100（个）
　　或者是
　　　　
　　（4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数S时，可将最上层总数S1，加上最下层总数S2后，乘以层数n，再除以2。（梯形堆垛如图1．21所示。）用式子表示就是
　　
　　例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图1．21），最上层为32只，最下层为45只，共堆有14层（每层差1只）。酒坛的总数是多少只？”

　　解 依计算公式，得
　　
　　【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点（不包括A、B端点），则AB线段上共有的线段条数S，计算的公式是：
　　S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1
　　
　　例如，求下图（图1．22）中所有线段的条数。

　　解 在线段AB上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得
　　S=（5+1）+5+4+3+2+1
　　
　　注意：这一公式，还可以用来数形如图1．23的三角形个数。

　　在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为
　　
　　【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为
　　S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1）
　　
　　例如，请数出下图1．24中共有多少个不同的长方形。

　　解 长方形ABCD长边上有6个小格，宽边上有4个小格。根据数长方形总数的公式，可得
　　
　　=21×10=210（个）。（答略）
　　注意：这一公式，还可以用来数形如图1．25中的梯形的个数。

　　显然，这个图形中除了△ADE以外，其余均为大大小小的梯形。
　　最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为
　　
　　=15×10=150（个）。（答略）
　　【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n（n＜m）等份（长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数S为：
　　S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+……+（m-n+1）×1
　　特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形中正方形的总个数S为：
　　
　　例1 求下图中正方形的总个数（如图1．26）。

　　解 图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式，可得：
　　S＝7×3+6×2+5×1
　　=21+12+5
　　=38（个）。（答略）
　　例2 求下图（图1．27）中的正方形有多少个。

　　解 图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计算公式，得
　　
　　（答略）
　　【平面内n条直线最多分平面部
　　分数的公式】平面内有n条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数S为
　　
　　例 平面内有8条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这8条直线能把平面划分出多少个部分？
　　解 根据平面内n条直线，最多分平面部分数的计算公式，得
　　S=2+2+3+4+5+6+7+8
　　
　　【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为
　　S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2
　　=n2-n+2
　　例 在一个平面上有20个圆，这20个圆最多可将平面划分为多少个部分？
　　解 根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得
　　S=2+1×2+2×2+…+19×2
　　=202-20+2
　　=400-20+2
　　=382（块）（答略）
　　【格点面积公式】
　　每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。
　　在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算：
　　图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数÷2-1。
　　例 如图1．28，求格点平面内A、B两个图形的面积。

　　解 A图内部无格点，B图内部有9个格点；
　　A图周界上有9个格点，B图周界上有7个格点。
　　根据格点面积公式，得：
　　A图面积=9÷2-1=3.5（面积单位）
　　B图面积=（9+7）÷2-1=11．5（面积单位）（答略）
　　如果格点是由形如“∴”或“∵”构成（如图1．29），且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形，则计算多边形面积公式为
　　多边形面积=2×图形内部格点数+图形周界上格点数-2。

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