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重庆市渝中区巴蜀中学2018-2019学年九年级（上）第一次定时作业数学试卷
一、选择题（每题4分,共48分)
1．（4分）下列函数中是反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（2，﹣3），则该函数的图象不经过的点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（1，﹣6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，﹣6）
3．（4分）tan60°的值是（　　）
A． B． C．﹣ D．
4．（4分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
5．（4分）若双曲线y＝与直线y＝﹣2x﹣1的一个交点的纵坐标为1，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB等于（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）若点（，y1），（，y2），（1，y3）都在二次函数y＝x2﹣3的图象上，则有（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
8．（4分）若ab＞0，则函数y＝ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）二次函数y＝ax2+c的图象与y＝2x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点（1，1），则该二次函数的解析式为（　　）
A．y＝2x2﹣1 B．y＝2x2+3 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝﹣2x2+3
10．（4分）如图，直线l与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于A、B两点，且与x轴的正半轴交于C点．若AB＝2BC，△OAB的面积为8，则k的值为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．18
11．（4分）已知点A在双曲线y＝﹣上，点B在直线y＝x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是（　　）
A．﹣10 B．﹣8 C．6 D．4
12．（4分）如图，已知A，B为反比例函数y1＝图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2＝（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且＝时，k的值为（　　）

A．﹣ B．﹣3 C．﹣4 D．﹣
二、填空题：（每题4分，共32分)
13．（4分）若函数y＝（k﹣2）x是关于x的二次函数，则k＝　 　．
14．（4分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　 　．
15．（4分）如果，则△ABC的形状是　 　．
16．（4分）一名滑雪运动员沿着坡度为3：3的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了　 　米．
17．（4分）如图是一块四边形空地，该空地面积为　 　m2．

18．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，则灯塔P与A点的距离PA为　 　海里．（结果保留根号）

19．（4分）以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为　 　．

20．（4分）如图，△ABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A（1，），点B在第一象限，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过顶点B，则△ABC的边长为　 　．

三、解答题：（共70分）
21．（15分）计算：
（1）tan60°?cos30°﹣2tan45°+（π﹣sin77°）0
（2）﹣sin60°?（1﹣sin30°）
（3）cos260°+sin260°+（tan30°）﹣1
22．（5分）在△ABC中，∠C＝45°，sinB＝，AC＝4，求BC的长．

23．（8分）有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．

24．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式．
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．
（3）根据图象，直接写出不等式﹣x+b＞的解集．

25．（10分）朝天门广场，重庆的标志性建筑，老重庆人永远的回忆，现在被富有时代气息的来福士广场所取代，广场上8栋塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑一“朝天扬帆”，来福士广场T3N塔楼的高度刷新了重庆市新高，小渝在广场玩无人机时突然想用新学的数学知识来测一下塔楼的高度，他看了一下手表，此时正好10：00，于是从楼底的B点出发，沿广场以44米/分的速度匀速前进至点C，前面就是两江交汇处了，于是减慢速度以35米/分的速度沿坡度为i＝1：2.4的斜坡匀速向下走65米到达码头D，接着上浮桥继续以35米/分的速度小心匀速前行至趸船E，小渝看了一下时间刚好10：09．此时他操作的无人机也正好飞到他的正上方F点，测得码头D的俯角为58°，楼顶A的仰角为30°，F到塔楼AB的距离为346米，（所有的点都在同一平面内）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
（1）求塔楼到江边的距离BC和浮桥DE的长度．
（2）求塔楼AB的高度．

26．（10分）对于一个各个数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数A，将它各个数位上的数字分别3倍后取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当（xy﹣xz）的值最小时，则称此为自然数A的“月考数”，并规定K（A）＝（|y﹣z|+x）2，例如：A＝147时，其各个数位上的数字分别3倍后的三个个位数分别是：3、2、1重新组合后的数为321、312、231、213、123、132，因为2×1﹣2×3＝﹣4的值最小，所以213是A＝147的“月考数”，此时K（A）＝（|1﹣3|+2）2＝16
（1）求K（235）和K（375）
（2）若m、n都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，m的个位数字为1，十位数字是个位数字的2倍，n的十位数字是百位数字的2倍，m的百位数字与n的个位数字相同．若（m+n）能被4整除，（m﹣n）能被11整除，求K（n）的值．
27．（12分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣2，m）、B（6，n）两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．
（1）求一次函数的解析式求出点C的坐标．
（2）在x轴上是否存在点P，使得PA+PD的值最小？若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由．
（3）将∠ADC沿x轴左右平移到∠AD′C′，在平移过程中，将该角绕点D′旋转，使它的一边始终经过点A，另一边与直线AC交于点C′，若为△AD′C′等腰直角三角形，求出点C′的坐标．



参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分,共48分)
1．解：A、该函数属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；
C、符合反比例函数的定义，故本选项正确；
D、该函数不属于反比例函数，故本选项错误．
故选：C．
2．解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（2，﹣3），
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6
∴解析式y＝
当x＝3时，y＝﹣2
当x＝1时，y＝﹣6
当x＝﹣1时，y＝6
∴图象不经过点（﹣1，﹣6）
故选：D．
3．解：由于tan60°＝，
故选：D．
4．解：△ABO的面积为：×|﹣4|＝2，
故选：D．
5．解：将y＝1代入直线y＝﹣2x﹣1得，1＝﹣2x﹣1，
解得x＝﹣1，
则交点坐标为（﹣1，1），
将（﹣1，1）代入y＝得，
k＝﹣1×1＝﹣1，
故选：A．
6．解：如图所示：∵cosA＝，
∴设AC＝7x，AB＝25x，则BC＝24x，
则tanB＝．
故选：C．

7．解：∵二次函数y＝x2﹣3的图象的对称轴是y轴（直线x＝0），
∴点（1，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y3），图象的开口向上，
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜﹣﹣＜0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：C．
8．解：∵ab＞0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一三象限，选项C符合；
（2）当a＜0，b＜0时，一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无符合选项．
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2+c的图象与y＝2x2的图象形状相同，开口方向相反，
∴a＝﹣2，
∴二次函数是y＝﹣2x2+c，
∵二次函数y＝ax2+c经过点（1，1），
∴1＝﹣2+c，
∴c＝3，
∴抛该二次函数的解析式为y＝﹣2x2+3；
故选：D．
10．解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
∵BE∥AD，
∴△CBE∽△CAD，
∴＝，
∵AB＝2BC，
∴CB：CA＝1：3，
∴＝＝，
∴AD＝3BE，
设B（t，），则A点坐标为（t，），
∵S△AOD+S梯形ABED＝S△AOB+S△BOE，
而S△AOD＝S△BOE，＝ k，
∴S△AOB＝S梯形ABED＝（+）?（t﹣t）＝8，
解得，k＝6．
故选：A．

11．解：∵点A的坐标为（m，n），A、B两点关于y轴对称，
∴B（﹣m，n），
∵点A在双曲线y＝﹣上，点B在直线y＝x﹣4上，
∴n＝﹣，﹣m﹣4＝n，即mn＝﹣2，m+n＝﹣4，
∴原式＝＝＝﹣10．
故选：A．
12．解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．

∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，
∵∠COF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠COF＝∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴＝（）2，
∵CA：AB＝5：8，AO＝OB，
∴CA：OA＝5：4，
∴CO：OA＝3：4，
∴＝（）2＝，∵S△AOE＝2，
∴S△COF＝，
∴＝，
∵k＜0，
∴k＝﹣，
故选：A．
二、填空题：（每题4分，共32分)
13．解：由y＝（k﹣2）x是关于x的二次函数，得，
解得k＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
15．解：由题意得，cosA＝，tanB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
16．解：如图在Rt△ABC中，，
AC＝AB?＝500×＝25m，
∴这名滑雪运动员的高度下降了25m．
故答案为25

17．解：如图，连接AC，作AE⊥BC于点E，作CF⊥AD于点F，

在Rt△ABE中，∵AB＝30，∠ABC＝60°，
∴AE＝ABsinB＝30×＝15（m），
在Rt△CDF中，∵CD＝20，∠D＝60°，
∴CF＝CDsinD＝20×＝10（m），
则该空地的面积＝S△ABC+S△ACD
＝×BC×AE+×AD×CF
＝×50×15+×50×10
＝375+250
＝625（m2），
故答案为：625．
18．解：过P作PC⊥AB于C，如图，
则∠APC＝60°，∠BPH＝45°，AB＝20海里，设BC＝x海里，则AC＝AB+BC＝（20+x）海里．
在△PBC中，∵∠BPC＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝BC＝x海里，
在Rt△APC中，∵tan∠APC＝，
∴AC＝PC?tan60°＝x，
∴x＝20+x，
解得x＝10+10，
则PC＝10+10，
∴PA＝2PC＝20（1+），
答：灯塔P与A点的距离PA为20（1+）海里．
故答案为：20（1+）．

19．解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．
∵CD＝BD，
∴S△CDO＝＝S矩形ABCD，
∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，
∴AE＝EB，
∵C′（2，4），
∴AE＝EB＝4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝42+（m﹣2）2，
∴m＝5，
∴E（5，4），
∴B（5，8），则BC＝5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G＝3，CG＝4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2，
∴FG＝，
∴CF＝4﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．
故答案是：．

20．解：如图延长AB到D，使得AB＝BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵AB＝BD，
∴BA＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，
∵∠CAD＝60°，
∴DC＝AC，
∵∠ACD＝∠AHC＝∠DEC＝90°，
∴∠ACH+∠DCE＝90°，
∵∠ECD+∠CDE＝90°，
∴∠ACH＝∠CDE，
∴△ACH∽△CDE，
∴＝＝＝，
∵A（1，），
∴AH＝1，CH＝﹣c，
∴EC＝，DE＝﹣c，
∴D（﹣c，c﹣），
∵BA＝BD，
∴B（，），
∵A、B在y＝上，
∴＝×，
整理得：4c2﹣16c﹣11＝0，
解得c＝﹣或（舍弃），
∴C（0，﹣），
∴AC＝＝＝2，
故答案为2．

三、解答题：（共70分）
21．解：（1）原式＝×﹣2×1+1＝﹣2+1＝；

（2）原式＝﹣×（1﹣）
＝﹣×
＝﹣
＝．

（3）原式＝（）2+（）2+（）﹣1﹣
＝++﹣1+
＝．
22．解：过A作AD⊥BC，
∵∠C＝45°，AC＝4，
∴AD＝DC＝，
∵sinB＝，
∴AB＝6，
∴BD＝，
∴BC＝BD+DC＝8+2．
23．解：（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y＝ax2+6（a＜9），
∵点A（﹣4，0）或B（4，0）在抛物线上，
∴0＝a?（﹣4）2+6，
16a+6＝0，
16a＝﹣6，
a＝﹣．
故抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+6．

（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ＝4.5m．
将y＝4.5代入y＝﹣x2+6中，
4.5＝﹣x2+6，
﹣x2＝4.5﹣6，
x＝±2．
∴P（﹣2，4.5），Q（﹣2，0），
于是|PQ|＝4.5，|BQ|＝6，
从而|PB|＝＝＝7.5．
所以照明灯与点B的距离为7.5m．

24．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A（﹣3，2）、B两点，
∴3＝﹣×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝，k＝﹣6
∴一次函数解析式y＝﹣x+，反比例函数解析式y＝
（2）根据题意得：
解得：，
∴S△ABF＝×4×（4+2）＝12
（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4
25．解：（1）如图，作FG⊥AB于点G，CH⊥DO于点H，
由i＝＝可设CH＝x、DH＝2.4x，
∵CD2＝CH2+DH2，且CD＝65，
∴652＝x2+（2.4x）2，
解得：x＝25，
则BO＝CH＝25，DH＝2.4x＝60，
∴FG＝EO＝ED+DH+OH＝100+60+185＝346，
设DE＝m，BC＝n，
∴，
解得：，
答：塔楼到江边的距离BC和浮桥DE的长度分别为110米，176米．
（2）∵AG＝FGtan∠AFG＝346×＝≈199.86，
又∵GO＝EF＝ED×tan∠FDE＝110×tan58°≈110×1.60＝176．
∴AB＝AG+OG﹣OB＝199.86+176﹣25≈350.86≈351（米）．

26．解：（1）A＝235时，其各个数位上的数字分别3倍后的三个个位数分别是：6、9、5，重新组合后的数为695、659、965、956、569、596，因为6×5﹣6×9＝﹣24的值最小，所以659是A＝235的“月考数”，此时K（235）＝（|5﹣9|+6）2＝100．
A＝375时，其各个数位上的数字分别3倍后的三个个位数分别是：9、1、5，重新组合后的数为915、951、195、159、591、519，因为5×1﹣5×9＝﹣40的值最小，所以519是A＝375的“月考数”，此时K（375）＝（|1﹣9|+5）2＝169．
（2）设m的百位数为a，n的百位数为x，则m＝100a+21，n＝120x+a，
m+n＝100a+21+120x+a能被4整除，
∵m、n都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，
∴a＝3或7，
当a＝3时，m﹣n＝321﹣（120x+3）＝318﹣120x能被11整除，可得x＝1，此时m＝321，n＝123，同理可求得K（n）＝（|3﹣9|+6）2＝144．
当a＝7时，m﹣n＝721﹣（120x+7）＝714﹣120x能被11整除，可得x＝1，此时m＝721，n＝127，同理可求得K（n）＝（|1﹣6|+3）2＝64．
∴K（n）的值为144或64．
27．解：（1）∵A（﹣2，m）、B（6，n）两点在y＝﹣上，
∴m＝6，n＝﹣2，
∴A（﹣2，6），B（6，﹣2），
把A（﹣2，6），B（6，﹣2）代入y＝ax+b，则有，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4．
令y＝0，得到x＝4，
∴D（4，0），
∵C，D关于y轴对称，
∴C（﹣4，0）．

（2）在y轴上取一点E（0﹣，3），作PH⊥DE于H．

在Rt△ODE中，∵OD＝4，OE＝3，
∴DE＝5，
∴sin∠ODE＝＝＝，
∴PH＝PD，
∴PA+PD＝PA+PH，
根据垂线段最短可知，当A，P，H共线且垂直DE时，PA+PD的值最小．
∵直线DE的解析式为y＝x﹣3，设AH′⊥DE于H′，
∴直线AH′的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得到x＝，
∴P′（，0），
由，解得，
∴AH′＝＝，
∴点P的坐标为（，0）时，PA+PD的最小值为．

（3）当边AD经过点A时有两种情形：
①如图，将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF交x轴于点D′，则F（2，﹣2）．

∵∠AD′C′＝45°，
∴当D′C′⊥AC时，△AC′D′是等腰直角三角形，
∵A（﹣2，6），C（﹣4，0），
∴直线AC的解析式为y＝3x+12，直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，
∴D′（1，0），
∴直线D′C′的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴C′（﹣，）．

②如图，当D′A⊥AC时，△AD′C′是等腰三角形．

∵直线AC的解析式为y＝3x+12，
∴直线AD′的解析式为y＝﹣x+，
∴D′（16，0），
设C′（m，3m+12），
∵AC′＝AD′，
∴（m+2）2+（3m+12﹣6）2＝（16+2）2+62，
解得m＝﹣8或﹣4（舍弃），
∴C′（﹣8，﹣12），
当边AC经过点A时，有两种情形：
③当△AD′C′是等腰直角三角形时，作AF⊥x轴于F，C′⊥AF交FA的延长线于E．

∵D′（16，0），
∴OD′＝18，
OA＝6，
∵△AFD′≌C′EA，
∴EC′＝6，AE＝FD′＝18，
∴C′（4，24）．
④当AC′＝C′D′时，作C′F⊥x轴于F，C′E∥x轴，AE⊥A′E，则△C′FD′≌△C′EA．

设C′（m，3m+12），
∵C′F＝C′E，
∴﹣3m﹣12＝﹣2﹣m，
∴m＝﹣5，
∴C′（﹣5，﹣3）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（﹣，）或（﹣8，﹣12）或（4，24）或（﹣5，﹣3）．

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