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微专题一　匀变速直线运动的重要推论
专 题 探 究
主题一　平均速度＝
【问题探究】
探究点　一个物体做匀变速直线运动，初速度为v0，经过时间t，速度变为v，证明在这段时间的平均速度＝.
提示：在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度v＝v0＋at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0＋at＝＝＝.即＝.
【探究总结】
1．匀变速直线运动的平均速度公式
(1)＝，适用于所有运动．
(2)＝，适用于匀变速直线运动．
2．某段时间内中间时刻的瞬时速度
某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即v＝＝.

特别提醒
＝及v＝是矢量式，v0和v都要根据选定的正方向带上“＋”、“－”号．
【典例示范】
例1　从车站开出的汽车，做匀加速运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，总共历时20 s，行进了50 m，求汽车的最大速度．
解析：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最高速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可应用图像法．
方法一　(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得，
x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2－a2t，t＝t1＋t2.
vmax＝a1t1 0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
方法二　(平均速度法)由于汽车在前后两段均做匀变速直线运动，故前后段的平均速度均为最大速度vmax的一半，
即＝＝，由x＝t，得vmax＝＝5 m/s.
方法三　(图像法)作出运动全过程的v - t图像，如图所示，v - t图像中图线与t轴围成的三角形的面积与位移大小等值，故x＝，则vmax＝＝＝ m/s＝5 m/s.
答案：5 m/s

方法技巧
运动学公式的选取技巧
(1)如果题目中无位移x，也不求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at.
(2)如果题目中无末速度v，也不求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋at2.
(3)如果题目中无运动时间t，也不求运动时间，一般选用位移与速度关系式v2－v＝2ax.
(4)如果题目中无加速度a，也不求加速度，一般选用公式x＝t＝t.
训练1　物体做匀加速直线运动，相继经过两段距离均为16 m的路程，第一段用时4 s，第二段用时2 s，则物体的加速度是(　　)
A. m/s2 B. m/s2
C. m/s2 D. m/s2
解析：由v＝＝得
第一段4 s的中间时刻速度v1＝＝ m/s＝4 m/s
第二段2 s的中间时刻速度v2＝＝ m/s＝8 m/s
由a＝得a＝＝ m/s2＝ m/s2
故选项B正确．
答案：B
主题二　位移差公式Δx＝aT2
【问题探究】
探究点　在匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2.用你学过知识规律证明上述结论的成立．
提示：x1＝v0T＋aT2，
x2＝v0·2T＋a·T2，
x3＝v0·3T＋a·T2……
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2……
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2……
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2.
【探究总结】
1．逐差相等：匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内，位移差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2.
2．适用范围：xⅡ－xⅠ＝aT2只适用于匀变速直线运动．
3．应用：
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
①若x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝0，则物体做匀速直线运动．
②若x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1≠0，则物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
【典例示范】
例2　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及加速度．
解析：由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
又x1＝vAT＋aT2　vC＝vA＋a·2T
联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
答案：1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
例3　如图甲所示，在做“练习使用打点计时器”的实验时将小车靠近打点计时器，将穿好的纸带拉直，接通电源，释放小车．图乙是打出的一条清晰纸带，O点是打下的第一个点，1、2、3、4、5是连续打下的点，O点和点1之间还有多个点(图中未画出)，相邻点间的时间间隔为0.02 s．在打下点4时小车的速度v＝________m/s，小车的加速度a＝________m/s2(保留三位有效数字)．
解析：在打下点4时小车的速度：
v＝＝ m/s＝2.30 m/s，
由匀变速直线运动的推论Δx＝at2可知，小车的加速度
a＝
＝ m/s2
＝5.00 m/s2.
答案：2.30　5.00
训练2　一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m．则刹车后6 s内的位移是(　　)
A．20 m　　　B．24 m C．25 m　　　D．75 m
解析：由Δx＝aT2得a＝2 m/s2，由v0T－aT2＝x1得v0＝10 m/s，汽车刹车时间tm＝＝5 s<6 s，故刹车后6 s内的位移为x＝at＝25 m，选项C正确．
答案：C
主题三　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
【探究总结】
1．速度比例．
1T末、2T末、3T末、…、nT末的速度之比
v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n
2．位移比例．
(1)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2
(2)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第N个T内的位移之比
xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN＝1：3：5：…：(2N－1)
3．时间比例．
通过连续相等的位移所用的时间之比
t1：t2：t3：…：tn＝1：(－1) ：(－)：…：(－)
【典例示范】
例4　汽车刹车后做匀减速直线运动，经过3 s停止运动，那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1：x2：x3为(　　)
A．1：2：3 B．5：3：1
C．1：4：9 D．3：2：1
解析：可通过研究刹车过程的逆过程而使分析简化．刹车过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动．根据初速度为0的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续1 s内的位移之比为1：3：5，所以刹车过程在连续相等的三个1 s内的位移之比为5：3：1.
答案：B

方法技巧
逆向思维法
逆向思维是指在解决问题的过程中从正面入手有一定难度时，可有意识地去改变思考问题的顺序，沿着正向(由前到后，由因到果)思维的相反(由后到前、由果到因)途径思考、解决问题的方法．如减速到零的匀减速运动逆着看就是初速度为零的匀加速运动，比如速度可以直接用v＝at解决．
训练3　[2019·广东揭阳期中]小球在离地面不同高度处同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动的时刻起每隔相等的时间间隔，小球将依次碰到地面，则如下所示各图中，能大致正确反映出刚开始运动时各小球相对地面的高度的是(　　)
解析：每隔相等的时间间隔小球依次碰到地面，可以知道第一个小球经过T时间落地，第二个小球落地的时间为2T，第三、四个小球落地的时间依次为3T、4T.各球位移之比为1：4：9：16，故选项C正确．
答案：C
课 堂 达 标
1.
我国自行研制的J—31隐形战机在起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间t，则起飞前的运动距离为(　　)
A．vt B.
C．2vt D．不能确定
解析：x＝t＝，选项B正确．
答案：B
2．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为(　　)
A．1：3：5 B．1：4：9
C．1：2：3 D．1：：
解析：由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1：x2：x3＝1：3：5，而平均速度＝，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1：3：5，故A正确．
答案：A
3．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法中正确的是(　　)
A．这2 s内平均速度是2.25 m/s
B．第3 s末瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
解析：这2 s内的平均速度＝＝ m/s＝2.25 m/s，A对；第3 s末的瞬时速度等于 2～4 s内的平均速度，B对；质点的加速度a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，C错、D对．故应选A、B、D.
答案：ABD
4．(多选)在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军，如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)(　　)
A．v1：v2＝2：1 B．v1：v2＝：1
C．t1：t2＝1： D．t1：t2＝(－1) ：1
解析：将此匀减速运动看成反方向的匀加速运动，则由题意知v＝2ax，v＝2a·2x，则＝，所以A错误、B正确；根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系，可知＝，D项正确．
答案：BD
5.
(多选)有一串佛珠，穿在一根长1.8 m的细线上，细线的首尾各固定一个佛珠，中间还有5个佛珠．从最下面的佛珠算起，相邻两个佛珠的距离为5 cm、15 cm、25 cm、35 cm、45 cm、55 cm，如图所示．某人向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个佛珠紧靠水平桌面．松手后开始计时，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则第2、3、4、5、6、7个佛珠(　　)
A．落到桌面上的时间间隔越来越大
B．落到桌面上的时间间隔越来越小
C．依次落到桌面上的速率关系为1：2：3：4：5：6
D．其中第4个佛珠落到桌面上的速率为3 m/s
解析：佛珠同时做自由落体运动，下降的位移之比为1：4：9：16：25：36.根据h＝gt2，知落地的时间之比为1：2：3：4：5：6，知落到桌面上的时间间隔相等，故A、B错误．根据v＝gt知，依次落到桌面上的速率关系为1：2：3：4：5：6，故C正确．第4个佛珠距离地面的高度为45 cm，则v＝＝3 m/s，故D正确，故选C、D.
答案：CD

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