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微专题二　运动图像与追及、相遇问题
专 题 探 究
主题一　x - t图像与v - t图像的比较
【问题探究】
探究点　物体甲的x - t图像和物体乙的v - t图像如图所示，比较两物体在0～10 s内、10～20 s内、20～30 s内、30～40 s内、40～50 s内的运动情况？
提示：
甲(x - t)图像
乙(v - t图像)
0～10 s内，表示v＝1 m/s的匀速直线运动(斜率表示速度v)
0～10 s内，表示a＝1 m/s2的匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
10～20 s内，表示速度减小的变速直线运动(斜率减小)
10～20 s内，表示加速度减小的变速直线运动(斜率减小)
20～30 s内，表示物体静止(斜率为0)
20～30 s内，表示a＝0、v＝15 m/s的匀速直线运动(斜率为0)
30～40 s内，表示v＝－1.5 m/s沿负方向运动，40 s末回到出发点
30～40 s内，表示a＝－1.5m/s2、v>0沿正方向运动，40 s末v＝0
40～50 s内，继续以v＝－1.5 m/s沿负方向运动
40～50 s内，表示a＝－1.5 m/s2、v<0沿负方向运动
【探究总结】
1．x - t图像与v - t图像的比较
比较内容
x - t图像
v - t图像
图像
物理意义
反映的是位移随时间的变化规律
反映的是速度随时间的变化规律
物体的运动性质
①
表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并超过零位移处
表示物体先做正向匀减速直线运动，再做反向匀加速直线运动
②
表示物体静止不动
表示物体做正向匀速直线运动
③
表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动
表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动
④
表示物体做加速直线运动
表示物体做加速度逐渐增大的加速运动
图像与坐标轴围成的“面积”的意义
无实际意义
表示相应时间内的位移
2.v - t图像的“点、线、面、斜率、截距”
示例图像
解读归纳
【典例示范】
例1　(多选)物体甲的x - t图像和物体乙的v - t图像如图所示，则这两物体的运动情况是(　　)
A．甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
B．甲在整个t＝6 s时间内有往返运动，它通过的总位移为零
C．乙在整个t＝6 s时间内有往返运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
解析：甲图为位移图像，因位移图像的斜率表示速度，且一直为正，故甲的运动方向不变，且通过的总位移大小为4 m，选项A正确、B错误；乙图为速度图像，速度有正负，表示有往返运动，且面积表示位移的大小，在整个t＝6 s时间内乙通过的总位移为零，选项C正确、D错误．
答案：AC
训练1　(多选)有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的x - t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v - t图像如图乙所示．根据图像做出的以下判断中正确的是(　　)
A．物体A和B的速度均不变且A的速度比B更小
B．在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为10 m
C．t＝3 s时，物体C和D的速度相同
D．t＝3 s时，物体C的加速度为 m/s2
解析：由甲图看出：物体A和B位移图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，A图线的斜率大于B图线的斜率，A的速度比B更大，故A项错误；由甲图看出；在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为Δx＝10 m－0＝10 m，故B项正确；由乙图看出：t＝3 s时，D图线和C图线相交，说明物体C和D的速度相同，故C项正确；根据加速度定义可知物体C的加速度为：a＝＝ m/s2，故D项正确．
答案：BCD
主题二　追及与相遇问题
两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置．
1．追及、相遇问题中的一个条件、两个关系和三点技巧
2．追及、相遇问题常见的三种情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有三种常见情况：
【典例示范】
例2　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶．恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车．试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远，此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
分析：汽车的速度小于自行车的速度时，两车的距离将越来越大，汽车的速度超过自行车的速度时，两车的距离将缩小．两车速度相等时相距最远，运动草图如图所示．
解析：方法一(用运动学公式求解)
(1)设经时间t两车相距最远，
v汽＝at＝v自，所以t＝＝ s＝2 s，
Δx＝v自t－＝6×2 m－ m＝6 m.
(2)汽车追上自行车时，两车的位移相等，
则vt′＝，即6t′＝，解得t′＝4 s.
故v′＝at′＝3×4 m/s＝12 m/s.
方法二(用数学中求极值的方法来求解)
(1)设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远．
因为Δx＝x1－x2＝v自t－，
所以Δx＝6t－t2，
由二次函数求极值条件知，t＝ s＝2 s时，Δx最大．
所以Δxm＝6t－t2＝6×2 m－×22 m＝6 m.
(2)同方法一中的(2)．
方法三(用图像求解)
(1)自行车和汽车的v - t图像如图所示，由图像可以看出：在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即阴影部分)达到最大．所以t＝＝ s＝2 s，Δx＝v自t－＝6×2 m－ m＝6 m.
(2)由图可看出：在t时刻以后，当自行车与汽车的v - t图像组成的三角形面积与标有阴影的三角形面积相等时，两车的位移相等(即相遇)．所以由图得相遇时，t′＝2t＝4 s，v′＝2v自＝12 m/s.
答案：(1)2 s　6 m　(2)12 m/s
方法技巧
追及相遇问题的解题思路和方法
训练2　如图所示，在两车道的公路上有黑白两辆车，黑色车停在A线位置，某时刻白色车以速度v1＝40 m/s通过A线后，立即以大小为a1＝4 m/s2的加速度开始制动减速，黑车4 s后以a2＝4 m/s2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B线位置．两车可看成质点．从白色车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车的速度大小．
解析：设白车停下来所需的时间为t1，减速过程通过的距离为x1，
则v1＝a1t1　v＝2a1x1
解得x1＝200 m，t1＝10 s
在t1＝10 s时，设黑车通过的距离为x2，
则x2＝a2(t1－t0)2
解得x2＝72 m所以白车停车时黑车没有追上它，则白车停车位置就是B线位置．
设经过时间t两车都到达B线位置，此时黑车的速度为v2，
则x1＝a2(t－t0)2　v2＝a2(t－t0)
解得t＝14 s，v2＝40 m/s.
答案：14 s　40 m/s
课 堂 达 标
1.(多选)如图所示图像能表示匀变速直线运动的是(　　)
解析：
A
图像斜率保持不变，说明加速度恒定不变，物体做匀变速直线运动
√
B
图像斜率保持不变，说明速度恒定不变，物体做匀速直线运动
×
C
纵坐标保持不变，说明物体的加速度不变，物体做匀变速直线运动
√
D
图像斜率变化，说明加速度变化，所以物体做变加速直线运动
×
答案：AC
2．四个质点做直线运动，它们的速度图像分别如图所示，在2 s末能回到出发点的是(　　)
解析：质点A在0～2 s内的位移x1＝×(－1)×1 m＋×(－1)×1 m＝－1 m，即质点在2 s末不能回到出发点，故A错误；质点B在0～2 s内的位移x2＝×2×1 m＝1 m，即质点在2 s末不能回到出发点，故B错误；质点C在0～2 s内的位移x3＝×1×1×2 m＝1 m，即质点在2 s末不能回到出发点，故C错误；质点D在0～2 s内的位移x4＝×1×1 m＋×(－1)×1 m＝0，即质点在2 s末回到出发点，故D正确．
答案：D
3.
如图所示为某物体的v - t图像，下列关于物体运动情况的说法，错误的是(　　)
A．0～4 s物体做加速运动，末速度大小为12 m/s
B．4～6 s物体做反向减速运动，末速度大小为0
C．6～7 s物体做反向加速运动，末速度大小为4 m/s
D．7～8 s物体做反向减速运动，末速度大小为0
解析：v - t图像中横轴以上部分代表物体沿正方向运动，横轴以下部分代表物体沿反方向运动，故4～6 s物体做正向减速运动，即选项B说法错误．
答案：B
4.
(多选)如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(x - t)图线．由图可知(　　)
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
解析：在时刻t1，a、b两车的位置坐标相同，由于开始时a的位移大于b的位移，则是b追上a，故A错误；在时刻t2，a的位移继续增大，b的位移减小，则两车的运动方向相反，故B正确；x - t图线的斜率表示速度，在t1到t2这段时间内，b车图线的斜率先减小后增大，则b车的速率先减少后增加，故C正确；在t1到t2这段时间内，b图线的斜率不是一直大于a图线的斜率，
因此b车的速率不是一直比a车的大，故D错误．故选B、C.
答案：BC
5．平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：
(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
解析：
画出示意图，如图所示．
甲追上乙时，x甲＝x0＋x乙，且t甲＝t乙，根据匀变速直线运动、匀速直线运动的位移公式列出方程，即能解得正确结果．
(1)设甲经过时间t追上乙，则有x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t.
根据追及条件，有a甲t2＝v乙t＋200 m.
代入数值，解得t＝40 s和t＝－20 s(舍去)．
这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s.
甲离出发点的位移x甲＝a甲t2＝×0.5×402 m＝400 m.
(2)在追赶过程中当v甲＝v乙时，甲、乙之间的距离达到最大值．
由a甲t′＝v乙，得t′＝10 s.
即甲在10 s末离乙的距离最大．
由xmax＝x0＋v乙t′－a甲t′2得xmax＝225 m.
答案：(1)40 s　20 m/s　400 m
(2)10 s末有最大距离225 m

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