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§3　向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1　空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2　空间向量基本定理
学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义．(重点)　掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)　理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．(难点)
1．标准正交基
在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．
2．标准正交分解
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，则把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解．
3．向量的坐标表示
在a的标准正交分解中三元有序实数组(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．
思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？
[提示]　(1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x，0，0)．
(2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a＝(0，y，0)．
(3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a＝(0，0，z)．
(4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a＝(x，y，0)．
(5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a＝(0，y，z)．
(6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a＝(x，0，z)．
4．向量坐标与投影
(1)i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z．把x，y，z分别称为向量a在单位向量i，j，k上的投影．
(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．
(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．
5．空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3．
思考：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？
[提示]　空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．
1.判断正误
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．
(　　)
(2)向量的坐标与点P的坐标一致． (　　)
(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使λ1a1＋λ2a2＋λ3a3＝0. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．若向量a、b、c是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m、n构成空间的另一个基底的向量是(　　)
A．a　　　　　　　　 B．b
C．c D．2a
C　[只有c与m，n不共面，故c，m，n可作一组基底．]
3．向量a＝(0，2，3)，则(　　)
A．a平行于x轴 B．a平行于平面yOz
C．a平行于平面zOx D．a平行于平面xOy
B　[因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.]
4．若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．
(2，－1，3)　[根据空间向量坐标的定义知，a＝(2，－1，3)．]
空间向量的基底
【例1】　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
[解]　假设，，共面．
则存在实λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作为空间的一个基底．
空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
3　[如图所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．]
用基底表示向量
【例2】　如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
(1)；(2)；(3)；(4).
[解]　连接AC，AD′.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c.
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
2．如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c.试用向量a，b，c表示向量.
[解]　∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，
∴＝(＋)，
＝＝×(＋)＝(b＋c)．
又＝＋＝＋，＝－，
∴＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
∵＝－，∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
空间向量的坐标表示
[探究问题]
1．在不同的基底下，空间任一向量对应的坐标是否相同？
[提示]　不相同．选取不同的基底所表示的向量对应实数组不同．
2．在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？
[提示]　关键是利用几何图形特征，尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线，若找不到则应想法构建．
【例3】　(1)已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(12，14，10)　　　 B．(10，12，14)
C．(14，12，10) D．(4，3，2)
(2)在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求向量，，的坐标.
A　[(1)＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．]
(2)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
1.(变结论)本例(2)题设条件不变，求向量，，的坐标．
[解]　＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋＝，
＝－＝(＋)－(＋)
＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝.
2.(变条件)本例(2)题设条件“以{，，}为基底”变为“若以{，，}为基底”，试写出，，的坐标.
[解]　＝＋＝－＋＝，
＝＋＝＋(－)
＝－＋＝，
＝＋＝.
用坐标表示空间向量的步骤
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A.　　　 B.
C. D.或
C　[∵＝a－b且a，b不共线，∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底．]
2．已知正方体OABC－O′A′B′C′的棱长为1，若以，，为基底，则向量的坐标是(　　)
A．(1，1，1) B．(1，0，1)
C．(－1，－1，－1) D．(－1，0，1)
A　[由于＝＋＋，所以＝(1，1，1)．]
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝2.设＝a，＝b，＝c ＝________(用a，b，c表示)．
－a＋b＋c　[如图所示，连接AN，
则＝－＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋(－)－(＋)
＝c＋(b－c)－(a＋b)＝－a＋b＋c.]
4．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7)　[由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7)．]
5．如图所示，在棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1中，M，N分别是面OAA1O1和面O1A1B1C1的中心．
(1)试用基底，，表示；
(2)试建立适当的空间直角坐标系，并求向量，，的坐标．
[解]　(1)＝(＋)，
＝＋＝＋(＋)
＝＋(＋)，
∴＝－＝＋＋－－
＝＋.
(2)如图在空间直角坐标系O-xyz中，＝i，＝j，＝k，则＝i＋k＝.
＝i＋j＋k＝.
∴＝－＝i＋j＋k－＝.
课件43张PPT。第二章　空间向量与立体几何§3　向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1　空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2　空间向量基本定理234a＝xi＋yj＋zk单位向量xi＋yj＋zk5a＝(x，y，z)(x，y，z)678不共面91011121314空间向量的基底 1516171819用基底表示向量 20212223242526空间向量的坐标表示 27282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出下列命题：
①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；
②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；
④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
D　[空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量，，共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．]
2．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．0
D　[∵m与n共线，∴xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
∴∴∴x＋y＝0.]
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
D　[＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝.]
4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为(　　)
A．，－1，－ B．，1，
C．－，1，－ D．，1，－
A　[∵a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3
∴d＝α a＋β b＋ γ c＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3
又∵d＝e1＋2e2＋3e3
∴解得故选A.]
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a－b＋c
B.a－b－c
C.a－b＋c
D.a－b＋c
C　[∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，＝a，＝b ，＝c，
∴＝(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋＝－＋(－)＋(－)
＝－＋＋＝a－b＋c.故选C.]
二、填空题
6．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．
(8，3，12)　[由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．]
7．在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，的坐标是________，的坐标是________．
(－2，－1，－4)　(－4，2，－4)　[＝－＝－－－＝－2i－j－4k，＝＋＋＝－4k－4i＋2j.
∴＝(－2，－1，－4)，＝(－4，2，－4)．]
8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________．
　[如图所示，有＝＋＋＝＋＋(－1)·.
又∵＝x·＋2y·＋3z·，
∴解得
∴x＋y＋z＝1＋－＝.]
三、解答题
9．已知在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．
[解]　设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．
因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以＝i＋j，所以向量的坐标为(1，1，0)，即点B的坐标为(1，1，0)．
同理可得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)．
又点P在z轴上，所以＝2k.
所以向量的坐标为(0，0，2)，即点P的坐标为(0，0，2)．
因为F为侧棱PB的中点，所以＝(＋)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐标为.
同理点E的坐标为.
故所求各点的坐标分别为A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，2)，E，F.
10．如图所示，已知正四面体的棱长为1，点E、F分别是OA、BC的中点，选择适当的基底：
(1)表示，并求出||；
(2)计算·，并求出〈，〉．
[解]　设＝a，OB＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，
∴a·b＝a·c＝b·c＝.
(1)＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c＝－(a－b－c)
则有||＝
＝
＝＝.
(2)∵＝－＝c－a＝－(a－c)，
∴·＝(a－b－c)·(a－c)＝(a2＋c2－a·b＋b·c－2a·c)＝＝.
则有cos〈，〉＝＝＝，
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
[能力提升练]
1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别为BB1，AC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.(a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a＋c) D．a＋(c－b)
D　[因为＝＋＋＝－b＋a＋c，所以选D.]
2．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
B　[设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.
∴即]
3．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝α a＋β b＋γ c时，α＋β＋γ＝________．
3　[由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
所以故有α＋β＋γ＝3.]
4．三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
　[＝－＝(＋)－(＋)＝－，即＝.]
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝1，E是DC上一点，且DE＝1，连接AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB＝30°，设AC与BE的交点为O.
(1)试用基向量，，表示向量；
(2)求直线OD1与BC所成角的余弦值．
[解]　(1)＝＋
＝＋＋
＝＋＋
＝－－＋.
(2)因为＝＋＝－＋
＝－－＋，
＝，
又因为〈，〉＝45°，〈，〉＝45°， ∠D1AB＝30°，
所以cos〈，〉＝
＝.
又异面直线OD1与BC所成角的范围为，
所以OD1与BC的夹角的余弦值为.

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