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第6讲：线段计算



【例1】如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长。











【例2】如图，同一直线上有A，B，C，D四点，已知DB=AD，AC=CB，CD=4，求AB的长。










【例3】已知A，B，C三点在同一条直线上，C为线段AB的中点，点D，E均在线段AB上，且AE=2BE，当AD：BD=2：3时，请画图并探究CD与CE之间的数量关系







1.如图，点C在线段AB上，M是AC的中点，N是BC的中点，若AC：CB=4：3，且AM+CN=14cm，求MC的长。






2.如图，C，D，E三点将线段AB分成2：3：4：5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN=21，求PQ的长。







3.如图，B，C是线段AD上两点，且AB： BC：CD=3：2：5，E，F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB，BC，CD的长。







4.如图，点C，B为线段AD上两点，AB=CD，BC=AB，M，N分别为AB，CD的中点，若MN=14，求AB的长






5.已知点A，M，N，B为同一直线上顺次4个点，若AM：MN=5：2，NB－AM=12，AB=24，求BM的长。







【例1】已知点A，B，C在直线上，且BC=AC，求的值。








【例2】已知线段AB=20，C，D为直线AB上的两点，且AC=12，BD=16，求线段CD的长。










1.线段AB，BC均在直线l上，若AB=12cm，AC=4cm，M，N分别是AB，AC的中点，求MN的长。











2.P是定长线段AB的三等分点，PB=2PA，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ=PQ，求PQ：AB的值。








3.如图，点C在数轴上，且AC：BC=1：5，求点C对应的数。








4.如图，P是定长线段AB的三等分点，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ=PQ，求的值。








5.点A，B，C在同一直线上
（1）若AB=8，AC：BC=3：1，求线段AC的长度；
（2）若AB=m，AC：BC=n：1(n为大于1的整数)，求线段AC的长度。













【例】如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x。
（1）PA= ；PB= ；(用含x的式子表示)；
（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由。







（3）点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位/秒的速度向左运动，点B以20个单位/秒的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是AP，OB的中点，问:值是否发生变化?请说明理由。









1.如图，点P是定长线段AB上一定点，C点从P点、D点从B点同时出发分别以acm/s
bcm/s的速度沿直线AB向左运动，并满足下列条件：
①关于m、n的单项式2m2na与-3mbn的和仍为单项式；
②当C在线段AP上，D在线段BP上时，C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC;
（1）直接写出：a= ，b= ，
（2）判断 ，并说明理由;





（3）在C、D运动过程中，M、N分别是CD、PB的中点，运动t秒时恰好有3AC=2MN，求此时的值。





































第6讲：线段计算



知线段比→直接设元建立方程
【例1】如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长。
【解析】设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，∴AD=10xcm.
∵M是AD的中点，所以AM=MD=，AD=5xcm，
∴BM=AM－AB=5x－2x=3x(cm);
∵BM=6cm，所以3x=6，x=2，∴CM=MD－CD=5x－3x=2x=2×2=4(cm)，AD=10x=10×2=20(cm).

先化线段比→再设未知数建立方程
【例2】如图，同一直线上有A，B，C，D四点，已知DB=AD，AC=CB，CD=4，求AB的长。
【解析】∵DB=AD，AC=CB ∴AB： BC=3：2，
AB：BD=1：2=3：6，∴AB：BC：CD=3：2：4，设AB=3x，
BC=2x，CD=4x，则4x=4，∴AB=3

知线段关系与线段比设元求线段比
【例3】已知A，B，C三点在同一条直线上，C为线段AB的中点，点D，E均在线段AB上，且AE=2BE，当AD：BD=2：3时，请画图并探究CD与CE之间的数量关系
【解析】如图，设AD=2x，BD=3x，则AB=5x，
∴AC=AB=，∴CD=AC－AD=，∵AE=2BE，∴AE=AB=，
∴ CE=AE－AC=， CD： CE=

1.如图，点C在线段AB上，M是AC的中点，N是BC的中点，若AC：CB=4：3，且AM+CN=14cm，求MC的长。
【解析】设AC=4x，CB=3x，则2x+1.5x=14，x=4，∴MC=2x=8



2.如图，C，D，E三点将线段AB分成2：3：4：5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN=21，求PQ的长。
【解析】设AC=2x，则CD=3x，DE=4x，EB=5x，
于是有MC=x，EN=2.5x，
由题意得MN=MC+CD+DE+EN=x
+3x+4x+2.5x，即10.5x=21，所以x=2，线段PQ的长度=CD+DE=3.5x=7

3.如图，B，C是线段AD上两点，且AB： BC：CD=3：2：5，E，F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB，BC，CD的长。
【解析】设AB=3x，BC=2x，CD=5x，则BE=，CF=，
，∴AB=12，BC=8，CD=20。

4.如图，点C，B为线段AD上两点，AB=CD，BC=AB，M，N分别为AB，CD的中点，若MN=14，求AB的长
【解析】设BC=x，则AC=2x=BD.BM==DN， BN=，
∴，x=7，∴AB=21。

5.已知点A，M，N，B为同一直线上顺次4个点，若AM：MN=5：2，NB－AM=12，AB=24，求BM的长。
【解析】设AM=5x，MN=2x，则NB=12+5x，∴5x+2x+(12+5x)=24，x=1，∴BM=19。



一个点的位置不确定
【例1】已知点A，B，C在直线上，且BC=AC，求的值。
【解析】①如图1，点C在线段AB上，BC=AC，∴=；
如图2，点C在线段BA的延长线上，∵BC=AC，
∴AB=AC，∴.综上所述，的值为或。


两个点的位置不确定
【例2】已知线段AB=20，C，D为直线AB上的两点，且AC=12，BD=16，求线段CD的长。
【解析】设点A在点B左边，分四种情况(从左到右)
（1）A－D－C－B：CD=12+16－20=8；（2）C－A－D－B：CD=12+20－16=16；（3）A－C－B－D：CD=16+20－12=24；(4)C－A－B－D：CD=12+16+20=48.所以CD=8或16或24或48



1.线段AB，BC均在直线l上，若AB=12cm，AC=4cm，M，N分别是AB，AC的中点，求MN的长。
【解析】分两种情况讨论，如图1，

当点C在线段AB上时，MN=MA－NA=AB－AC=6cm－2cm=4cm;
如图2，当点C在线段BA的延长线上时，NM=MA+NA=AB+AC=6cm+2cm=8cm.
故MN的长为4cm或8cm。

2.P是定长线段AB的三等分点，PB=2PA，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ=PQ，求PQ：AB的值。
【解析】（1）当点Q在线段AB上时，因为AQ－BQ=PQ，所以AQ－BQ=PQ=AQ－AP，所以AP=BQ=3AB=PQ，所以=;
（2）当点Q在AB的延长线上时，因为AQ－BQ=PQ，所以AQ－BQ=PQ=AB，所以。

3.如图，点C在数轴上，且AC：BC=1：5，求点C对应的数。
【解析】分两种情况：①点C在线段AB上，设AC=x，BC=5x，
x+5x=10+14，x=4，∴点C对应的数是﹣6。②点C在BA的延
长线上，设AC=x，BC=5x，5x－x=10+14，x=6，∴点C对的数是－16。
4.如图，P是定长线段AB的三等分点，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ=PQ，求的值。
【解析】经分析，点Q的位置有两种情况：①Q在点P、B之间时，
=。②Q在PB的延长线上时，=1。
5.点A，B，C在同一直线上
（1）若AB=8，AC：BC=3：1，求线段AC的长度；
（2）若AB=m，AC：BC=n：1(n为大于1的整数)，求线段AC的长度。
【解析】（1）当点C在线段AB上时，AB=8，AC：BC=3：1，∴AC=6;
当点B在线段AC上时，∵AB=8，AC：BC=3：1，∴BC=4，∴AC=AB+BC=12;
（2）当点C在线段AB上时，∵AB=m，AC：BC=n：1，∴AC=
当点B在线段AC上时，∵AB=m，AC：BC=n：1，∴BC=，∴AC=AB+BC=。



【方法归纳】将直线上的点理解为数轴上的点，从而利用数轴上两点间的距离公式，中点公式等来解决。
【例】如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x。
（1）PA= ；PB= ；(用含x的式子表示)；
（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由。
【解析】分三种情况:①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去，
②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x-3，∴(x+1)+(x-3)=5，∴x=3.5;
③当点P在A点左边时，PA=-x-1，PB=3-x，∴(-x-1)+(3-x)=5，∴x=-1.5

（3）点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位/秒的速度向左运动，点B以20个单位/秒的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是AP，OB的中点，问:值是否发生变化?请说明理由。
【解析】设运动时间为t秒，则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，
AB=OA+OB=25t+4， AP=OA+OP=6t+1， AM =AP=+3t，
OM=OA-AM=5t+1-(+3t)=2t+，ON=OB=10t+，∴ MN=OM+ON=12t+2
∴

1.如图，点P是定长线段AB上一定点，C点从P点、D点从B点同时出发分别以acm/s
bcm/s的速度沿直线AB向左运动，并满足下列条件：
①关于m、n的单项式2m2na与-3mbn的和仍为单项式；
②当C在线段AP上，D在线段BP上时，C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC;
（1）直接写出：a= 1 ，b= 2 ，
（2）判断 3 ，并说明理由;
【解析】设AP=m，BP=n，PC=x，则BD=2x，
∵PD=2AC，∴n-2x=2(m-x)，∴n=2m，BP=2AP，即AB=3AP
（3）在C、D运动过程中，M、N分别是CD、PB的中点，运动t秒时恰好有3AC=2MN，求此时的值。
【解析】设点A对应的数为0，PA对应的数为m，BA对应的数为3m，则点C对应的数为m-t，点D对应的数为3m-2t，点M对应的数为，点N对应的数为，且MN=。
①当C在A右边时，AC=m-t，∵3AC=2MN，∴3(m-t)=2×t，解得m=2t，∴；
②当C在A左边时，AC=t-m，∵3AC=2MN，∴3(t-m)=2×t，解得m=0(不符题意，舍去)。

























题型一：运用方程思想计算线段

题型二：运用分类讨论思想计算线段

题型三：运用数形结合思想计算线段

题型一：运用方程思想计算线段

题型二：运用分类讨论思想计算线段

题型三：运用数形结合思想计算线段






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