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拓展课　对力的合成和分解的进一步讨论
核心要点　多个分力的合成方法
[要点归纳]　
1.合成技巧：求解多个分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
(1)将共线的分力合成(方向相同或相反)。
(2)将相互垂直的分力合成。
(3)两分力大小相等且夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向。
2.三个力合力范围的确定
(1)最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值
①若一个力的大小在另外两个力大小的和与差之间，则它们的合力的最小值为零。
②若一个力的大小不在另外两个力的大小的和与差之间，则它们的合力的最小值
等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。　　 最小值不一定为零
[试题案例]
[例1] 5个力同时作用于某一质点，此5个力大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，这5个力的合力的大小为F1的(　　)
A.3倍 　　　B.4倍 C.5倍 　　　D.6倍
解析　如图所示，以F1和F4为邻边作平行四边形，F3为平行四边形的对角线(即F1与F4的合力为F3)，同理可知，F2与F5的合力也为F3，故5个力的合力等于3倍的F3，又F3等于2倍的F1，则5个力的合力等于6倍的F1，D正确。
答案　D
[针对训练1] 如图所示，在同一平面内，大小分别为1 N、2 N、3 N、4 N、5 N、6 N的六个力共同作用于一点，相邻力之间的夹角均为60°，其合力大小为(　　)
A.0 B.1 N
C.2 N D.3 N
解析　先分别求1 N和4 N、2 N和5 N、3 N和6 N的合力，大小都为3 N，且三个合力互成120°角，如图所示。
根据平行四边形定则知，图中三个力的合力为零，即题中所给六个力的最终合力为零。故A正确，B、C、D错误。
答案　A
核心要点　力的效果分解法
[要点归纳]　
1.力的分解的原则及基本思路
(1)分解原则：根据力的作用效果确定分力的方向，然后再画出力的平行四边形。
(2)基本思路
2.常见典型力的分解实例
实例
分析
地面上物体受到斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2，F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ(θ为拉力F与水平方向的夹角)
放在斜面上的物体的重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑的趋势；二是使物体压紧斜面；相当于分力F1、F2的作用，F1＝mgsin α，F2＝mgcos α(α为斜面倾角)
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板，相当于分力F1的作用；二是使球压紧斜面，相当于分力F2的作用，F1＝mgtan α，F2＝(α为斜面倾角)
A、B两点位于同一平面内，质量为m的物体被AO、BO两绳拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉AO绳，相当于分力F1的作用；二是使物体拉BO绳，相当于分力F2的作用，F1＝F2＝
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球垂直压紧墙面，相当于分力F1的作用；二是使球拉线，相当于分力F2的作用，F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止(OA为杆，A处为铰链，OB可绳可杆)，其重力产生两个效果：一是压杆OA，相当于分力F1的作用；二是拉OB，相当于分力F2的作用，F1＝，F2＝
[试题案例]
[例2] 如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点的压力F2。
解析　小球的重力产生两个作用效果：使球压紧墙壁和使球压紧A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。
小球对墙面的压力F1＝F1′＝Gtan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向。
答案　见解析
方法总结　按力的作用效果分解力的步骤
(1)根据力的作用效果确定两个实际分力的方向。
(2)再根据两个分力的方向画出平行四边形。
(3)根据平行四边形定则和所学的数学知识求两个分力的大小。
[针对训练2] (多选)下图中按力的作用效果分解正确的是(　　)
解析　对B项图，物体的重力按效果分解成垂直斜面的力与垂直挡板的力，如图甲所示，故B错误；
　　
　 　甲　　　　　　　　　　　乙
对C项图，按照力的作用效果，拉力分解成如图乙所示，故C错误；A、D图中力的分解是正确的。
答案　AD
核心要点　力的正交分解法
[要点归纳]　
1.力的正交分解法
把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法。在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算来解决矢量的运算。在力的正交分解法中，分解的目的是求合力，尤其适用于物体受多个力的情况。
2.力的正交分解的方法和步骤
[试题案例]
[例3] 如图，已知共面的三个力F1＝20 N、F2＝30 N、F3＝40 N作用于物体的同一点上，三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向。
思路点拨　本题既可以用平行四边形定则求合力，也可以采用正交分解的方法求出合力，将每个力向两个相互垂直的方向分解，然后求出这两个方向上的合力，最后求出总的合力。
解析　如图所示，沿F3方向、垂直F3方向建立直角坐标系，把F1、F2正交分解，可得
F1x＝－20sin 30° N＝－10 N
F1y＝－20cos 30°＝－10 N
F2x＝－30sin 30° N＝－15 N
F2y＝30cos 30° N＝15 N
故沿x轴方向的合力Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N
沿y轴方向的合力Fy＝F2y＋F1y＝5 N
可得这三个力合力的大小F＝＝10 N
方向与x轴的夹角即与F3的夹角为tan θ＝＝，
故θ＝30°。
答案　10 N　方向与F3夹角为30°斜向上
方法凝炼　正交分解法的应用
(1)建立坐标系的原则：使尽量多的力落在坐标轴上，减少力的分解个数。
(2)正交分解法适用于各种矢量运算，这种方法可以将矢量运算转化为代数运算。
(3)对于运动的物体，通常两坐标轴分别沿物体运动方向和垂直物体运动方向建立。
[针对训练3] 如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力。
解析　以C为原点建立直角坐标系，x轴水平，y轴竖直，如图所示，则
FACx＝FACsin 30°＝FAC，
FACy＝FACcos 30°＝FAC
FBCx＝FBCsin 45°＝FBC，FBCy＝FBCcos 45°＝FBC
在x轴方向上有：FACx＝FBCx，即FAC＝FBC
在y轴方向上有：FACy＋FBCy＝G，即FAC＋FBC＝G
代入数据解得
FAC＝50(－1) N，FBC＝25(－) N
答案　50(－1) N　25(－) N
1.(多力的合成)(多选)一物体同时受到同一平面内的三个力的作用，下列力的合力可能为零的是(　　)
A.4 N、8 N、9 N B.7 N、4 N、3 N
C.1 N、5 N、10 N D.1 N、8 N、8 N
解析　两个力的合力大小的范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2。三个力的合力的求法是先求两个力的合力，然后将这个合力与第三个力合成，得到总的合力。A中，前两个力的合力范围是4 N≤F′≤12 N，包含了9 N在内，其总的合力可为零，因此A正确；同理，选项B、D正确，选项C错误。
答案　ABD
2.(按作用效果分解)(多选)如图所示是李强同学设计的一个小实验，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止。通过实验会感受到(　　)
A.细绳是被拉伸的，杆是被压缩的
B.杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A
C.细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向A
D.所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大
解析　重物所受重力的作用效果有两个，一是拉紧细绳，二是使杆压紧手掌，所以重力可分解为沿细绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示，由三角函数得F1＝，F2＝mgtan θ。故A、C、D正确。
答案　ACD
3.(按作用效果分解)如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂—个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则 (　　)
A.绳AO先被拉断 B.绳BO先被拉断
C.绳AO、BO同时被拉断 D.条件不足，无法判断
解析　依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示。据图可知：FB＞FA。又因为两绳承受的最大拉力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确。
答案　B
4.(力的正交分解)如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力FN＝64 N，摩擦力Ff＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。
解析　对四个共点力进行正交分解，如图所示。
则x方向的合力：
Fx＝Fcos 37°－Ff
＝60×0.8 N－16 N＝32 N，
y方向的合力：
Fy＝Fsin 37°＋FN－G＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0，
所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右。
动摩擦因数μ＝＝＝0.25。
答案　32 N，方向水平向右　0.25
基础过关
1.如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　　)
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力
B.物体受mg、FN、F1、F2四个力作用
C.物体只受重力mg和弹力FN的作用
D.FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg、FN两个力的作用效果不相同
解析　F1、F2都作用在物体上，施力物体都是地球，选项A错误；斜面光滑，所以物体只受重力mg和弹力FN的作用，故选项C正确；F1、F2是重力的两个分力，它们与重力是等效替代的关系，效果相同，不能说物体受4个力的作用，所以选项B、D错误。
答案　C
2.如图所示，有2n个大小为F的共点力，沿着顶角为120°的圆锥体的母线方向。
相邻两个力的夹角都是相等的。这2n个力的合力大小为(　　)
A.nF B.2nF
C.2(n－1)F D.2(n＋1)F
解析　在圆锥体两侧正对的两个力的夹角为120°，则合力大小为F，方向沿轴线向下，同理，其余正对的两个力的合力大小亦均为F，故2n个力的合力大小为nF，选项A正确。
答案　A
3.如图所示，重为30 N的物体A放于水平桌面上，现用大小为20 N、方向与水平方向成30°角的力拉物体A，物体A仍保持静止，则物体A对桌面的压力为(　　)
A.30 N B.20 N
C.10 N D.0
解析　按照力的作用效果把拉力F分解，如图所示，则F2＝Fsin 30°＝20× N＝10 N，故桌面对A的支持力FN＝G－F2＝20 N。由牛顿第三定律知FN′＝FN＝20 N，B项正确。
答案　B
4.减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是(　　)
解析　减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误。
答案　B
5.如图所示，一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀登，由于身背较重的行囊，重心上移至肩部的O点，总质量为60 kg。此时手臂与身体垂直，手臂与岩壁夹角为53°，则手受到的拉力和脚受到的作用力分别为(设手、脚受到的作用力均通过重心O，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A.360 N，480 N 　　　B.480 N，360 N
C.450 N，800 N 　　　D.800 N，450 N
解析　如图所示，根据运动员的重力的作用效果，将重力mg分解为沿手臂方向的力F1和沿身体方向的力F2，F1＝mgcos 53°＝360 N，F2＝mgsin 53°＝480 N。由牛顿第三定律可知手受到的拉力为360 N，脚受的作用力为480 N，选项A正确。
答案　A
6.如图所示，将绳子的一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10 m。用300 N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5 m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为(　　)
A.1 500 N B.6 000 N
C.300 N D.1 500 N
解析　由题意可知绳子与水平方向的夹角正弦值为sin α＝＝0.1，所以绳子的作用力为F绳＝＝1 500 N，A项正确，B、C、D项错误。
答案　A
7.如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g。若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为(　　)
A. B.
C.mgtan α 　D.
解析　石块的重力产生两个作用效果，即压紧两侧接触面，把mg沿垂直于两侧面的方向分解为F1、F2，如图所示。由几何关系可知，F1＝F2＝，则石块对接触面的压力大小等于，根据物体间的相互作用力大小相等，石块侧面所受弹力的大小等于。
答案　A
8.人们不可能用双手掰开一段木桩，然而，若用斧子就容易把树桩劈开。如图所示，斧子的两个斧面间的夹角为θ，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力F时，木桩的两个劈开面受到的侧向压力(　　)
A.FN＝ B.FN＝
C.FN＝ D.FN＝
解析　将力F分解为F1、F2两个分力，这两个分力分别与斧子的两个侧面垂直，根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形。因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以有F1＝F2＝，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN＝，选项C正确。
答案　C
能力提升
9.如图所示剪式千斤顶，当摇动手把时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是(　　)
A.此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C.若继续摇动手把，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D.若继续摇动手把，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
解析　汽车的压力有两个效果，分别沿120°角的两臂方向挤压，所以将此压力沿120°的两臂方向分解，如图所示。F1cos ＋F2cos ＝F。当θ＝120°时，
F1＝F2＝F＝1.0×105 N，选项A、B错误；继续摇动手把，将汽车顶起，θ减小，cos 增大，F1、F2均减小，选项C错误，D正确。
答案　D
10.如图所示，一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上，一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起使绳与竖直方向的夹角为θ＝30°。且绳绷紧，则练功队员对沙袋施加的作用力大小为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
解析　建立如图所示的直角坐标系，对沙袋进行受力分析。由平衡条件有
Fcos 30°－FTsin 30°＝0
FTcos 30°＋Fsin 30°－mg＝0
联立可解得F＝mg，故选项A正确。也可沿F、FT两个方向建立直角坐标系，只需分解重力mg便可求得F＝mgsin 30°＝mg。
答案　A
11.两个大人和一个小孩拉一条船沿河岸前进。两个大人对船的拉力分别是F1和F2，其大小和方向如图所示。今欲使船沿河中心线行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向。
解析　如图所示建立直角坐标系，则
F1y＝F1sin 60°＝200 N
F2y＝F2sin 30°＝160 N
因使船沿河中心线行驶，则合力沿河中心线方向，即x轴方向，y轴方向上的合力为零。
所以小孩最小拉力的大小为
F＝F1y－F2y＝(200－160) N＝186.4 N
方向为垂直于河中心线指向y轴负方向。
答案　186.4 N，垂直于河中心线指向右侧
12.如图所示，已知电灯的重力为G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为θ＝45°，BO绳水平。
(1)请按力的实际作用效果将OC绳对O点的拉力加以分解，并作出示意图；
(2)AO绳所受的拉力和BO绳所受的拉力分别为多大？
解析　(1)OC绳的拉力产生了两个效果，一是沿着AO的方向向下拉紧AO的分力F1，另一个是沿着BO绳的方向向左拉紧BO绳的分力F2。画出平行四边形，如图所示。
(2)因为电灯处于静止状态，根据二力平衡的条件，可判断OC绳的拉力大小等于电灯的重力，因此由几何关系得
F1＝＝10 N，F2＝＝10 N。
答案　(1)见解析图　(2)10 N　10 N

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